甘肃兰州市第三十五中学2025-2026学年九年级数学试卷（二）

2025-2026学年九年级数学试卷（二） （满分：120分 答题时间：120分钟） 一、单选题（共11题，每题3分，共计33分） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为钱，乙持钱数为钱，列出关于、的二元一次方程组（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数的值是（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 6. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段放大为原来的2倍后得到线段，则端点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数的图象上有点，，，且，则关于，，大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为1的正方形网格中，，，，，是正方形网格上的五个点，若半径为1的与线段交于点，则的余弦值是（ ） A. B. 2 C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 11. 如图，某小区有一块菱形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点M，N，P，Q分别在边，，，上．记，，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ） A. 一次函数关系，反比例函数关系 B. 二次函数关系，一次函数关系 C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 反比例函数关系，二次函数关系 二、填空题（共4题，每题3分，共12分） 12. 因式分解：________． 13. 紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇碱性变成蓝色，遇中性不变色．现有四个完全相同的不透明瓶子，里面分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）．从四个瓶子中随机选取两瓶，适量的溶液进行混合，则混合后溶液变成红色的概率为_______． 14. 如图，菱形的周长为8，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是__________． 15. 如图，在扇形中，已知，，正方形的顶点、、分别在、、上，把正方形的沿直线向右平移，得到正方形，其中点的对应点恰好与重合，如图所示，则图中阴影部分的面积为___________． 三、解答题（共11题，共计75分） 16. 计算：． 17. 解不等式组并写出它的所有整数解． 18. 解方程： 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接，请直接写出四边形的面积． 20. 下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量岳麓山主峰（禹王峰）的高度”之后撰写的项目报告． 项目主题 测量岳麓山主峰（禹王峰）的高度 项目背景 长沙“山水洲城”申遗工作正在持续推进中，岳麓山作为核心景观，其主峰（禹王峰）的精确高度是测绘工作的重要内容． 测量工具 测角仪 测量示意图 测量过程 1．在距离禹王峰一定距离的地面处放置测角仪，测得禹王峰山顶的仰角为； 2．在与地面处水平距离为的地面处放置另一测角仪，测得禹王峰山顶的仰角为．（C，B，D在同一水平直线上） 请根据表中的测量数据，计算禹王峰的高度．（测角仪高度忽略不计，参考数据：，，，） 21. 阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】 问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________． 问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接． 求证：线段是线段的双关联线段． 证明：延长交于点F． 是等边三角形， ． ， （依据）． ， ， ； … 任务： （1）问题1中的________，问题2中的依据是________________； （2）补全问题2的证明过程； （3）如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段． （要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 22. 2025年4月24日是第十个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“海上生明月，九天揽星河”．为迎接中国航天日的到来，某校七、八年级举行了航天知识竞赛，政教处在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分100分，单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． 【收集、整理数据】 七年级学生竞赛成绩分别为54，62，69，75，77，78，87，88，88，89，89，89，89，89，92，95，96，98，98，99．八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为74，78，78，78，78，79，85，88，89．根据以上数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 88.5 八年级 84.8 78 【问题解决】 请根据上述信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，上述表中__________，__________，七年级竞赛成绩在D组的学生在扇形统计图中所占扇形的圆心角为__________度． （2）根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生的成绩好，还是八年级学生的成绩好？写出一条理由． （3）如果该校七年级有1000名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数． 23. 综合与探究 如图1，在边长为12的正方形中，是正方形内一点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，． （1）求证：． （2）若点是的中点，连接，且． ①如图2，当A、、三点共线时，连接，求线段的长； ②连接，在运动的过程中，当最小时，直接写出四边形的面积． 24. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 25. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过两点． （1）求二次函数的表达式； （2）点、为该二次函数图象上的两点，当时，试比较与的大小，并说明理由； （3）点、为该二次函数图象上不同的两点，且满足，请写出、之间的数量关系，并写出推理过程． 26. 我们给出如下定义：两个图形和，在上的任意一点引出两条垂直的射线与相交于点、，如果，我们就称、为点的垂等点，、为点的垂等线段，点为垂等射点． (1)如图1，在平面直角坐标系中，点为轴上的垂等射点，过作轴的平行线，则直线上的为点的垂等点的是_______； (2)如果一次函数图象过，点为垂等射点的一个垂等点且另一个垂等点也在此一次函数图象上，在图2中画出示意图并写出一次函数表达式； (3)如图3，以点为圆心，1为半径作，垂等射点在上，垂等点在经过(3，0)，(0，3)的直线上，如果关于点的垂等线段始终存在，求垂等线段长的取值范围(画出图形直接写出答案即可)． 2025-2026学年九年级数学试卷（二） （满分：120分 答题时间：120分钟） 一、单选题（共11题，每题3分，共计33分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】D 【11题答案】 【答案】C 二、填空题（共4题，每题3分，共12分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 三、解答题（共11题，共计75分） 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】，整数解为：，0，1，2，3． 【18题答案】 【答案】 【19题答案】 【答案】（1）， （2）10 【20题答案】 【答案】 【21题答案】 【答案】（1），等角的补角相等； （2）见解析 （3）见解析 【22题答案】 【答案】（1）；； （2）七年级的学生成绩好，理由见解析 （3）七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数约为人 【23题答案】 【答案】（1）见解析 （2）①，②88． 【24题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【25题答案】 【答案】（1） （2），理由见解析 （3），见解析 【26题答案】 【答案】(1)；(2)或；(3). 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $