精品解析：甘肃兰州市2024学年第二学期初三年级第二次学生学习能力诊断调研（问卷）

兰州市2024学年度初三年级第二次学生学习能力诊断调研 数学 调研（问卷） （满分150分，时间100分钟） 注意： 1.本练习含三个大题，共25题； 2.答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、练习卷上答题一律无效： 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分、满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列四组线段中，成比例的是（ ） A. 1，2，3，4； B. 2，3，4，5； C. 1，2，3，5； D. 2，3，4，6． 2. 在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知（为常数）是二次函数，那么的值是（ ） A. 3 B. C. D. 3或 4. 设非零向量、、，如果，，那么下列说法中错误是（　　） A. B. 与方向相反 C. D. 5. 如图，在中，点D在边上，点E、F在边上，．下列条件中，不一定能判定的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在等边三角形中，点在边上，点关于直线的对称点分别是点，那么关于线段与线段之间的数量关系正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：___________． 8. 如果抛物线（为常数）开口向下，那么取值范围是___________． 9. 已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． 10. 小丽为了画二次函数的图像，列出了表（信息不全），那么的值是___________． … 0 … … 10 5 1 5 10 … 11. 已知两个相似三角形相似比为，且这两个三角形的周长之和为25，那么其中较小三角形的周长是___________． 12. 在中，，如果，那么长是___________． 13. 如图，在中，，为中线，点E在边上，．如果，，那么___________． 14. 已知四边形对角线与交于点O，，．如果，那么___________度． 15. 如图，斜坡的坡度为，如果将斜坡的铅垂高度从A处沿射线的方向延伸2米，并保持坡度不变，那么需从B处沿射线的方向延伸___________米． 16. 如图，中，、分别平分、，点M、N分别在边、上．过点O的线段．如果，，，那么___________． 17. 我们把一个三角形一条边上的中线与另一条边上的高的交点称为这个三角形的中垂点．已知在中，，，为边上的高，点O在上，连接并延长交于点E，如果点O是的中垂点，那么的值为___________． 18. 如图，中，，，，点D在边上，将沿着翻折得，其中点A与点对应，连接，如果，那么___________． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. “已知抛物线经过点，求抛物线的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线的表达式为． （1）请根据已有的信息添加一个缺失的条件：_____________； （2）将抛物线向上平移个单位后得到抛物线，如果抛物线的顶点关于原点的对称点在抛物线上，求的值． 21. 如图，、分别是边、上的点，且，． （1）求的长； （2）如果，求的长． 22. 如图，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面，为斜坡上的传送带，，四边形是边长为米的正方形．点为仓库卷帘门打开的最高位置，点、、在同一直线上，点到地面的距离为5米． （1）求的长（精确到米）； （2）已知到地面距离为米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（足够长）．（参考数据：） 23. 已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． （1）求证：； （2）如果，求证：． 24. 在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点为P． （1）用含a的代数式分别表示点B、点P的坐标； （2）作过点B和点P的直线交x轴于点C． ①当a取不同的数值时，点C是否会移动？如果不会，试求出点C的坐标；如果会，试用含a的代数式表示的长； ②当a取1时，抛物线与y轴的交点记作，顶点记作，当a取时，此时抛物线与y轴的交点和顶点分别记作和，如果的补角等于的两倍时，求m的值． 25. 如图，已知矩形中，点E是边上一动点，在右侧作，使得，其中点C、F分别与点E、C对应．已知，． （1）当点E与点B重合时，求四边形的面积； （2）点E由点A向点B移动的过程中（点E不与点B重合），研究以下3个量的变化情况，完成填空并说明编号为②的量的变化情况的理由： ①的大小；②的长度；③的值． 其中，变大的量是___________；变小的量是___________．（请在横线处填入编号） （3）当四边形的一条对角线平分另一条对角线时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市2024学年度初三年级第二次学生学习能力诊断调研 数学 调研（问卷） （满分150分，时间100分钟） 注意： 1.本练习含三个大题，共25题； 2.答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、练习卷上答题一律无效： 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分、满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列四组线段中，成比例的是（ ） A. 1，2，3，4； B. 2，3，4，5； C. 1，2，3，5； D. 2，3，4，6． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查成比例线段的概念，判断四条线段是否成比例，可将四条线段的长度按从小到大排序，看最小线段与最长线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积．若相等，则四条线段成比例；反之，则不成比例． 【详解】解：A、，∴选项A中的四条线段不成比例； B、，∴选项B中的四条线段不成比例； C、，∴选项C中的四条线段不成比例； D、，∴选项D中的四条线段成比例； 故选：D． 2. 在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理．结合在中，，，运用勾股定理求斜边，再根据锐角三角函数的定义计算的各个三角函数值，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵的对边为，邻边为，斜边为， ∴， 故选：C． 3. 已知（为常数）是二次函数，那么的值是（ ） A. 3 B. C. D. 3或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 4. 设非零向量、、，如果，，那么下列说法中错误的是（　　） A. B. 与方向相反 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，根据非零向量、、，有，，即可推出，然后逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：∵，且， ∴， 对于 A：∵，∴，正确； 对于 B：∵ ，∴ 与 方向相反，正确； 对于 C：，正确； 对于 D：，错误； 故选 D． 5. 如图，在中，点D在边上，点E、F在边上，．下列条件中，不一定能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是由平行得相似三角形，相似三角形的性质与判定，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键，根据相似三角形的性质与判定，逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∴， 选项A：∵，∴，∵，∴，∴，∴，不符合题意； 选项B：∵，∴，不能得到，符合题意； 选项C：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，不符合题意； 选项D：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在等边三角形中，点在边上，点关于直线的对称点分别是点，那么关于线段与线段之间的数量关系正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，过作于点，由轴对称性质可得，，，，又是等边三角形，则，即，可得，所以，故有，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，过作于点， ∵点关于直线的对称点分别是点， ∴，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了向量的运算，根据向量的数乘和加法运算法则，先运用分配律将括号展开，再合并同类向量即可得到答案． 【详解】解：． .故答案为：． 8. 如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线 的开口向下， ∴， 解得． 故答案为： 9. 已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，由，可知函数图像开口向下，对称轴为，再根据增减性判断即可． 【详解】解：由，可知函数图像开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ． 故答案为． 10. 小丽为了画二次函数的图像，列出了表（信息不全），那么的值是___________． … 0 … … 10 5 1 5 10 … 【答案】 1 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性，由点和确定对称轴，再利用点和关于对称轴对称求解m即可． 【详解】解：由点和纵坐标相同，可得它们关于对称轴对称，对称轴为． 所以，点和也关于对称轴对称， 因此， 解得． 故答案为：1． 11. 已知两个相似三角形的相似比为，且这两个三角形的周长之和为25，那么其中较小三角形的周长是___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比设较小三角形周长为，较大三角形周长为，根据周长之和为25列方程求解． 【详解】解：∵两个相似三角形相似比为， ∴它们的周长比为． 设较小三角形的周长为，较大三角形周长为，则，即， 解得， ∴较小三角形的周长为． 故答案为：10． 12. 在中，，如果，那么的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正弦，根据正弦的定义，等于对边与斜边的比，结合勾股定理求解． 【详解】解：在中，，，， 所以． 由勾股定理，，即， 解得：． 故答案为：． 13. 如图，在中，，为中线，点E在边上，．如果，，那么___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了利用余切求边长和直角三角形斜边中线的性质，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，进而得出，再由即可得出结果． 【详解】∵，为中线，， ∴， ∴， ∵，， ∴ 即． 故答案为：6． 14 已知四边形对角线与交于点O，，．如果，那么___________度． 【答案】68 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点是做题的关键﹒由条件，，可得，同理可得，再根据角之间的关系，即可求出的度数﹒ 【详解】解：如图， ，（对顶角相等）， ， ﹒ 同理可得，， ﹒ 设，则， ﹒ 因为，即， 解得， 又， ﹒ 故答案为：68﹒ 15. 如图，斜坡的坡度为，如果将斜坡的铅垂高度从A处沿射线的方向延伸2米，并保持坡度不变，那么需从B处沿射线的方向延伸___________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，坡度比的相关问题，根据坡度比设，，由题意可知：，，则， 列方程求解即可． 【详解】解：如图所示：斜坡的坡度为，设，， 由题意可知：，， ∴即， 解得， 故答案为． 16. 如图，中，、分别平分、，点M、N分别在边、上．过点O的线段．如果，，，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例，根据题意得，，得，得，设，，列比例方程求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵、分别平分、，， ∴，， ∴，，， ∴； 设，， ∵，，，则，，， 解得， ∴， 故答案为． 17. 我们把一个三角形一条边上的中线与另一条边上的高的交点称为这个三角形的中垂点．已知在中，，，为边上的高，点O在上，连接并延长交于点E，如果点O是的中垂点，那么的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，余弦的定义，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据中垂点的定义，利用相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，分情况讨论即可． 【详解】解：，为边上的高， 点为的中点，． 点O是的中垂点， 或点为的中点． 如图， 当点为的中点，时， ，． 在中，， 设，则， ，． ，， ， ， 即， ， ， ； 当点为的中点，时， ，为边上的高， 点为的中点． 如图，连接， 即为的中位线， ，， ， ． 综上，的值为或． 故答案为：或． 18. 如图，中，，，，点D在边上，将沿着翻折得，其中点A与点对应，连接，如果，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的相关计算，折叠的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，根据题意证，得，设，则，求得，列方程求解即可． 【详解】解：如图所示： 由题意可知：，，，，； ∴， ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，所以； ∵，设， ∴，即 ∵，， ∵， ∴，即， ∴， ∴，解得， ∵点D在边上， ∴，即， ∴． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊锐角三角函数值的混合运算，原式分别代入特殊锐角三角函数值，再根据实数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 20. “已知抛物线经过点，求抛物线的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线的表达式为． （1）请根据已有信息添加一个缺失的条件：_____________； （2）将抛物线向上平移个单位后得到抛物线，如果抛物线的顶点关于原点的对称点在抛物线上，求的值． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 【解析】 【分析】本题考查根与系数关系，抛物线的平移，关于原点对称的点的坐标； （1）由，经过，得是的一个根，求另一个根即可解答； （2）求出平移后的函数解析式的顶点坐标和关于原点对称的点的坐标，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵，经过， ∴是的一个根， 由根与系数关系，得，即， 解得， ∴添加的条件为； 【小问2详解】 解：将抛物线向上平移个单位后解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 关于原点的对称点为， 将代入， 得即， 解得． 21. 如图，、分别是边、上的点，且，． （1）求的长； （2）如果，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，把数值代入进行计算，即可作答． （2）结合，证明，又因为，故，把数值代入，得（负值已舍去），即，解得，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由（1）得，， ∴， 则， ∴， ∴ ∴（负值舍去）， ∴ 解得． 22. 如图，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面，为斜坡上的传送带，，四边形是边长为米的正方形．点为仓库卷帘门打开的最高位置，点、、在同一直线上，点到地面的距离为5米． （1）求的长（精确到米）； （2）已知到地面的距离为米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（足够长）．（参考数据：） 【答案】（1）7.6米 （2）正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输，说明见解析 【解析】 【分析】本题考查用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是找到恰当的直角三角形，灵活运用锐角三角函数解直角三角形，注意单位和精确度． （1）记与交于点，根据等角的余角相等得，在中，根据锐角三角函数求出和的长，进而计算长，在中，根据锐角三角函数求出，由计算的长； （2）正方形扩大2倍后为正方形，则新正方形边长米，在中，根据锐角三角函数计算的长，从而计算的长，进而比较和的大小，从而判断扩大后的正方形会不会被卷帘门M所影响到． 【小问1详解】 解：如图，记与交于点， 四边形是边长为米的正方形， ，米， ， ， ， ， ， 在中，， 由得，（米）， 由得，（米）， 在中， ，（米）， 由得，（米）， （米）， 答：的长约为7.6米； 【小问2详解】 解：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输， 如图，正方形扩大2倍后为正方形， 则新正方形边长米， 在中，， 由得，（米）， （米）， 由（1）得米，米， ， 不能继续利用该传送带运输， 答：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输． 23. 已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边； （1）由得，由三角形外角得即可解答； （2）由得，题意证即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. 在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点为P． （1）用含a的代数式分别表示点B、点P的坐标； （2）作过点B和点P的直线交x轴于点C． ①当a取不同的数值时，点C是否会移动？如果不会，试求出点C的坐标；如果会，试用含a的代数式表示的长； ②当a取1时，抛物线与y轴的交点记作，顶点记作，当a取时，此时抛物线与y轴的交点和顶点分别记作和，如果的补角等于的两倍时，求m的值． 【答案】（1）， （2）①不会，；② 【解析】 【分析】（1）把代入求出，得出，再求出点B坐标和顶点P的坐标即可； （2）①先求出，然后令，得出，求出点，即可得出答案； ②先求出，，，，作，交于点H，过点作于点Q，求出，根据等腰三角形的判定得出，根据勾股定理得出，列出关于m的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：把代入得： ， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， 把代入得：， ∴． 【小问2详解】 解：①设，将代入得： ， ∴， ∴， 令，则： ， 解得：， ∴， ∴点C不会移动，且； ②当时，， ∴，， 当时，， ∴，， ∴点，都在y轴上，，都在直线上， ∴， 如图，作，交于点H，过点作于点Q， 则，， ∵的补角等于的两倍， ∴， ∵，，，， ∴，，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 25. 如图，已知矩形中，点E边上一动点，在右侧作，使得，其中点C、F分别与点E、C对应．已知，． （1）当点E与点B重合时，求四边形的面积； （2）点E由点A向点B移动过程中（点E不与点B重合），研究以下3个量的变化情况，完成填空并说明编号为②的量的变化情况的理由： ①的大小；②的长度；③的值． 其中，变大的量是___________；变小的量是___________．（请在横线处填入编号） （3）当四边形的一条对角线平分另一条对角线时，求的长． 【答案】（1） （2）变大的是③，变小的是①② （3）或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，三角函数，三角形面积公式，三线合一，三角形重心的性质，分类讨论，数形结合是解决问题的关键； （1）根据勾股定理得，由得，求出直角边，再按三角形面积公式计算即可； （2）作于H，根据移动过程中、、的变化情况判断即可； （3）分两种情况讨论，当平分时，，过点O作，，则，，得是等腰三角形，是的垂直平分线，，和关于对称，，得，，根据求解即可；当平分时，取中点P，连接交于Q，证，根据Q是中线的交点，求出，，设，则，，，，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当点E与点B重合时，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得，， ∴四边形的面积为：． 【小问2详解】 解：作于H如图所示： ∵， ∵增大， ∴减小， ∵，点C、F分别与点E、C对应， ∴，， ∴减小； ∵， ∴．即，得， ∵增大， ∴减小； ∵， ∵减小， ∴增大； ∴增大， 综上：增大的是③，减小的是①②． 【小问3详解】 解：1、如图所示：当平分时，记与的交点为， ∵， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， 过点O作，，则， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴和关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴； 2、如图所示：当平分时，， 取中点P，连接交于Q， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵Q是中线的交点， ∴，， 设，，， 解得，则，， ∵， ∴． 设，则，， ∴，， ∴，解得． ∵E在边上， ∴， ∴． ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $