宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2026届高三年级高考模拟预测 数学试题

**基本信息** 高三数学模拟卷以激光单光子通讯概率模型、导数证明等为载体，融合几何直观与空间观念，突出数学眼光、思维及语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、向量投影、函数奇偶性|第7题函数图像对称问题考查数形结合| |多选题|3/18|数列单调性、正三棱柱动态问题|第10题空间轨迹与体积最值体现空间观念| |填空题|3/15|回归直线、抛物线几何性质|第14题重心向量运算考查数学抽象| |解答题|5/77|解三角形、椭圆方程、立体几何、概率统计、导数证明|第18题激光通讯概率模型培养数据观念，第19题导数双根证明考查逻辑推理|

石嘴山市第一中学2026届高三年级高考模拟预测（第四次模拟） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A B D C D ACD AC 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为， ，故. 故选：C. 2．A 【详解】由已知，所以， 故向量在向量上的投影向量为. 3．B 【分析】要判断函数的奇偶性，先依据奇函数定义，对于定义域为的函数，若满足，则为奇函数，再逐一分析各选项即可. 【详解】选项A：因为， 所以，满足偶函数定义，是偶函数，不是奇函数.A错误. 选项B：因为， 所以， 满足奇函数定义，是奇函数.B正确. 选项C：因为， 所以， 满足偶函数定义，是偶函数，不是奇函数. C错误. 选项D：因为， 所以， 满足偶函数定义，是偶函数，不是奇函数.D错误. 故选：B. 4．A 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出项的系数作答. 【详解】二项式展开式的通项公式为：， 令，解得，于是， 所以所求系数为. 故选：A 5．B 【分析】先根据，确定点的轨迹，再根据可取遍任何实数，得点可取遍线段上的任意一点，包括端点，从而确定所扫过的平面区域可看作两个半圆和一个矩形构成的图形，最后求该图形面积. 【详解】记点，，连接， 不等式 表示以点为圆心，为半径的圆且包含圆的内部. 当取遍任何实数时，有，，， 点取遍线段上的任意一点，包括端点. 故可作出取遍任何实数时，所扫过的平面区域. 由图知，该区域可看作两个半圆和一个矩形构成的图形. 该图形的面积为. 故选：B. 6．D 【分析】由正弦定理把换成,代入化简得,结合三角形内角范围,得或,故三角形为等腰三角形或直角三角形. 【详解】在中，由正弦定理，为外接圆半径. 得，. 将其代入已知条件，可得. 化简得，因为，所以. 因此有两种情况： ①，即，此时为等腰三角形； ②，即，则，此时为直角三角形. 综上，的形状为等腰三角形或直角三角形. 7．C 【分析】令，由题意可知在上有零点，利用导数法研究函数的零点即可求解 【详解】令，，， 因为上存在关于轴对称的点， 所以，则， 令，要使有对称点，则在上有零点， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 又， ， 所以， 要使在上有零点，则， 即，解得， 故选：C 8．D 【分析】举例判断A、B，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解即可判断D. 【详解】对于A和B，假设从一个装有标号为1，2，3，4，5的5个小球的密封盒子中任取1球， 记事件：从中取出球的标号为1或2，事件：从中取出球的标号为1或2或3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，只有事件A、B相互独立时,才有成立， 由题设不知道事件A、B的关系，故不能确定的值，故C错误； 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，故D正确. 故选：D. 9．ACD 【分析】由得，进而求即可判断A，先求出即可判断B，分，和讨论，即可判断C，当时，计算，由即可判断D. 【详解】由，所以， 所以，所以， ，故A正确； 因为，所以， 所以，所以数列不是单调递增数列，故B错误； 当时，，所以，当时，， 当时，，所以，所以当时，取得最大值，故C正确； 又，，， 因为，所以当时，，所以当时， 数列前项积取得最大值，最大值为，故D正确； 故选：ACD. 10．AC 【分析】对于A选项，当点为中点时，利用向量证明即可；对于B选项，当点位于点时，此时线面角为，大于；对于C选项，当点位于点（或棱上）时，体积最大，为；对于D选项，先判断出点的轨迹为四段圆弧，然后求出长度即可. 【详解】对于A选项，当点为中点时，所以，故A正确； 对于B选项，当点位于点时，为直线与平面所成角，故B错误； 对于C选项，当点位于点（或棱上）时，点到平面的距离最远， 此时四面体的体积最大，以点为例，此时，故C正确；对于D选项，若，如图， 在棱上取点，使，在棱上取点使， 在棱上取中点，则，， 则点的轨迹由圆弧构成，且其所在圆的半径依次为， ，圆心角依次为， 圆弧的长分别为，故点的轨迹的长为，故D错误； 故选：AC. 11．BCD 【分析】运用函数的奇偶性定义可判断A项；根据函数的零点定义求出函数在给定区间上的零点再求和即可判断B项；将结论等价转化为，分和两个区间，构造函数，利用求导判断其单调性，再借助于偶函数特征即可推出C项正确；通过对函数求导，选定区间，，判断函数单调性，再考虑的取值，即可判断D项正确. 【详解】对于A，由可得，即函数定义域为，关于原点对称， 且，则为偶函数，故A错误； 对于B，令，因，则，即，， 故在区间内的所有零点之和为，故B正确； 对于C，由题可得，因此可化为①， 当时，因，，则①式等价于， 令，，则， 取，则有， 故在上单调递增，，即①式成立； 当时，仍取，则有，故①式成立， 综上，存在使得在上，均有， 又由为偶函数，可知在上，也有，故C正确； 对于D，对求导得， 当时，，，取区间，， 当时，，则在时单调递减，又，， 则当k足够大时，对任意，存在，使得在上单调递减，故D正确． 故选：BCD. 12． 【分析】根据回归方程必过样本中心点，即可得到答案. 【详解】回归直线经过， 且， 代入回归方程得：， 即， 所以当时，的最小值为. 故答案为：. 13． 【分析】在中，由结合正弦定理可得，在设抛物线上点，列式求解即可得，则可求. 【详解】因为抛物线的准线，焦点为，准线与的对称轴交于点， 所以，， 因为在中，， 所以由正弦定理可得，,      因为为抛物线上一点，所以可设为 由此可得， 平方化简可得：，即，可得, . 故答案为：. 14． 【分析】利用向量求得的表达式，由此求得的最大值. 利用向量求得的表达式，由此求得的取值范围. 【详解】，由于，所以. 设是中点，则共线. ,. ， . 的最大值为，所以的最大值为. ， 其中，即， 所以，， . 即的取值范围是. 故答案为：； 【点睛】要求向量数量积的最值或范围，需要利用数量积的运算将所求表达式进行化简，结合已知条件求得求得最值或范围. 15．(1) (2) 【分析】（1）借助面积公式可先求出，再借助余弦定理即可得解； （2）借助正弦定理可得，则可得，再利用正弦定理即可得. 【详解】（1），， ，， 在中，由余弦定理得： ，； （2）在中，由正弦定理得：， ，， ，， 在中，由正弦定理得：， ，. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据题意代点入方程求解，再结合椭圆定义求解和椭圆方程； （2）讨论斜率为时不满足条件，再设直线的方程并和椭圆联立，由结合韦达定理求解参数即可. 【详解】（1）圆过点． 又圆过点，解得． 解得， 椭圆的方程为． （2）由（1）可知． ①当直线的斜率k=0时，，不合题意. ②当直线的斜率k≠0时，设直线的方程为， 由题意可知，则．设． 由消去，整理得， 则． 直线BP，BQ的斜率分别为， ． ，解得， 此时直线的方程为，即． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立恰当的空间直角坐标系，用向量法可证（2）用表示所求二面角的余弦值，求其取值范围即可 【详解】（1）在长方体中，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 则，，， 所以， 所以 所以 （2），则（）， ，， 因为平面，平面 所以， 又且，平面，平面 所以平面 所以为平面的一个法向量 设为平面的法向量 则， 所以即 令，则 所以平面的一个法向量 设平面与平面所成的锐二面角为，则 则， 令，则，所以， 所以， 所以当且仅当，即当时，取得最大值为1， 当时，取得最小值为， 所以的取值范围为. 18．(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）列出基本事件，再求解概率即可. （2）利用分布列的定义求解分布列，再求解数学期望即可. （3）依据贝叶斯公式得出结论即可. 【详解】（1）设“解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振相同”作为事件A，易知共有3个基本事件，则． （2）的可能取值为. ，， ，， 所以，的分布列如下： 0 1 2 3 P ． （3）结论： 证明：由窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1可得原始信息只能包含0，1，2， 设原始信息的单光子只有一种偏振状态为事件A，有两种偏振状态为事件B，有三种偏振状态为事件C，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1为事件M, 则， , ，，， 故得证. 【点睛】方法点睛：应用已知先设事件，再分别设事件，表示成为条件概率再依据贝叶斯公式得出结论即可. 19．(1) (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合的值可得切线方程； （2）（i）所证不等式可化为，令，利用导数可求得单调性，进而得到，从而证得结论； （ii）根据（i）中结论，知与的交点为，得到，从而可知只需证得即可，又与的交点为，则需证得，构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，由此可得结论. 【详解】（1），，又， 所求切线方程为：，即. （2）（i）令，则定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增；， 即，，即； （ii）令，则， 令，则， 在上单调递增，又， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； ，即； 不妨设， 与的交点为，；与的交点为， 由图象可知：，； . 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数几何意义求解切线方程、不等式的证明问题；本题证明两根之差范围的解题关键是能够利用之前证得的不等关系对所证不等式进行放缩，将问题进一步转化为关于函数最值的求解问题. 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2026届高三年级高考模拟预测 数学试题 （本卷共150分，考试时间120分钟。） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在本题给出的选项中，只有一项为正确答案. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．的展开式中项的系数是（    ） A． B． C． D． 5．已知点集，当取遍任何实数时，所扫过的平面区域面积是（    ） A． B． C． D． 6．在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7．已知函数（）的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（   ） A．事件与一定是对立事件 B． C． D．若事件A，B互相独立，则 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在本题给出的选项中，有多项为正确答案. 9．已知数列的通项公式为，前项和为，下列说法正确的有（   ） A． B．数列为单调递增数列 C．当时，取得最大值 D．当时，数列前项积取得最大值 10．如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（    ） A．存在点，使得 B．直线与平面所成的最大角为 C．若不共面，则四面体的体积的最大值为 D．若，则点的轨迹的长为 11．已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．在的所有零点之和为 C．存在，使得 D．任意，存在，使得在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知一组数据（）大致呈线性分布，其回归直线方程为，则的最小值为＝______. 13．已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为__________． 14．如右图，中，为重心，P为线段上一点，则的最大值为______，分别是边的中点，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共77分，15题13分，16－17题15分，18－19题17分。解答应写出验算和证明过程 15．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，. (1)求线段AC的长度； (2)求的值. 16．已知圆过点，且过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)直线过点与椭圆交于两点，设直线BP，BQ的斜率分别为，若，求直线的方程． 17．如图，在长方体中，，．若，分别为棱，上的点，且，平面与棱，分别交于，，． (1)求证：； (2)求平面与平面所成的锐二面角余弦值的取值范围． 18．激光的单光子通讯过程可用如下模型求述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息．某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态等可能地出现，原始信息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系． 原始信息的单光子的偏振状态 0 1 2 3 解密信息的单光子的偏振状态 已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现． (1)若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1，求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同的概率； (2)若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)已知发送者连续三次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1．设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为a，有两种偏振状态的可能性为b，有三种偏振状态的可能性为c，试比较的大小关系． 19．已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)若为方程的两个不相等的实根，证明： （i）； （ii）. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $