2026届全国二卷高考模拟预测数学试题四

**基本信息** 融合文化传承与现实问题，通过斗拱几何体、智能家居节能等情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数、集合、椭圆离心率等|第7题以斗拱为背景考查棱台与长方体组合体体积，体现文化传承| |填空题|3题/15分|二项式展开、空间向量夹角等|第14题结合函数奇偶性与周期性，考查数学抽象| |解答题|5题/77分|解三角形、双曲线、概率分布等|第18题以智能家居节能为情境，通过概率分布分析节能目标，体现数学与现实联系；第19题将双曲线与数列结合，考查逻辑推理|

高2026届全国二卷高考模拟预测试题四 数学参考答案 一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 > 8 答案 B c A A C ⊙ c D 二.选择题 题号 9 10 11 答案 BD AD ABD 三.填空题 12.-160 13. 14.log210(也可以写成1+1og25) 10 四.解答题 A 15.解：（1)因为asin B=bcos2,由正弦定理可得2Rsin4sinB=2 Rsinos2 ………2分 A A 因为0<B<,所以sinB≠0，可得sinA=cos2,即2sin2cos2 =cos 2 2 2 因为0<4<x,所以cas0,得到2sin=1,即血子号 所以2若，则4 …6分 (2)因为a+b+c=20,又a+b=3c, 所以c=5,a+b=3x5=15 由余弦定理得a2=b2+25-5bc,… ……8分 又因为a=15-b,c=5, 故(15-b)2=b2+25-5b,解得b=8.… 则a=15-8=7,所以bc=8×5=40.… ………11分 所以5e-)x40xsim5-5×40x5=105.… …13分 2 32 2 16.解：(1)由双曲线C的一个焦点为(5,0)，得a2+b2=25,… …1分 南点P4E.3)在双曲线C上，得是-号，解得0三4,6=3，…3分 所以双曲线C的方程为号上=1.…4分 169 (2)设B(4√2，t),D(x,y),E(x2,y2),则直线AB方程为y= 2万r-22),…5分 y- x-22) W2 由 x2y2」 ,消去y得(9-22)x2+8V22x-1612-144=0, (169=1 9-22≠0 由直线AB交C于D,E两点，得 △=128t4-6422-9(2+9>01 …………6分 解得-3<1<3，且r:3 8V22 16t2+144 ……8分 2 ,且x+x2= 212-9 ，XX2= 212-9 当K32时，D,E在A的异侧，在B的同侧：当3 tK3时，D,E在A的同侧，在B的异侧， 2 则总有ADBE-AEBD=DA.EB-DB.AE,… ………10分 DA.EB-DB.AE=(2W2-x,-y)(4V2-x,t-y)-(4V2-x,t-y)(x2-2V2,y) =2xx2+2yy2-6V2(x1+x)-(0y+y2)+32…12分 =2+6-2-2-656+025+5-4+2 =e5-9r6w34+r42 4 42+802+9_4r3+24+4+32=0, 2t2-9 2t2-9 所以ADBE=AEBD.… …15分 17.解：(1)因为AB=2,，BF=2,AF=2√2， 所以AB2+BF2=AF2,则BF⊥AB.…2分 因为平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF平面ABCD=AB,BFC平面ABEF,·4分 所以BF平面ABCD,………5分 又因为CDC平面ABCD,所以CD上BF.…6分 (2)存在，由(1)知，BF⊥平面ABCD且AB⊥BC, 以B为坐标原点，BA,BC,BF的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则B(0,0,0),A2,0,0,C0,4,0),D(2,2,0),F(0,0,2,E(-2,0,2）…7分 所以BD=(2,2,0),BF=(0,0,2), 设CM=1CE=1(-2,-4,2=-22,-42,2元)(0≤元≤1， 则BM=BC+CM=(0,4,0+-22,-42,22)=(-2元，-41+4,2元).· ··9分 设平面BDF的一个法向量为i=(x,y,z, BD=2x+2y=0 则 故可取i=(1,-1,0).… …11分 iBF=2z=0 设点M到平面BDF的距离为d, 则d= B列_2a-4_4W5,解符元=名或9 3 3 (舍). …14分 √23 所以在线段CE上存在点M,且CM- CE3· …15分 18.解：(1)随机变量X表示一个家庭安装智能灯泡的数量，其分布列概率和等于1， 1-m mp +m- 21+p P+1-m-l,mp=p-0,m-p=0,m=p,%=1,3分 1+p2 1+p (2)①由于y取离散整数值，分析条件PV<)=0PW<2)=2… 1 …4分 故：A=PY==PI≤y<2)=PW<2)-P0<=7…5分 +++=1,代入A=2得2*：+8*6*16 概率总和为1：p+P,+8+1616 1 ,1,1,1 1,…6分 1 解得卫，4“…门分 (i)事件A:一个家庭单月节省电量总和至少为4度，即总节省电量S≥4.…8分 总节省电量S-∑y,其中Y独立同分布于Y,X与y独立 由(D知m=P,故X的分布为：PX=0=)，P(X=)=,PX=2)=p- 1+p 1+p 1-卫 P(X=3)= 2 计算P(S≥4Xek): 若X=0,则S=0<4,故P(S24X90)=0, 若X=1,则S=Y,故PS24Xe1)=PY≥4)=PW=4+PY=5)=↓+=， 。··。··。··“··…9分 16168’ 若X=2,则S=y+Y2,需P(Y+Y2之4).……………10分 计算P(S<4)=P(S≤3： S=2:(Y,)=(1,1,概率=pA= S=3:,2)或(2，，概率=A+2,A=2 244 故P0≤)=+，所以PS24X92=1 11 22’ 若X=3,则S=Y+Y,+Y3,需P(S≥4) 计算P(S<4)=P(S≤3)： S=3仅当所有y=1,概率=[PY=13= 21 故P(S≥4Xe3)=1-1-7, 88 …12分 则：P(A)=P(S≥4)=∑P(S≥4Xek)P(X=k) k=0 -0.P(x-0)+P(x-+P(x-2)+P(x3 小-078200 …14分 设函数f(p)=P(A)，p∈(0,1). 求导将/2G9PgP3p12p-17p+2p一 ,…15分 16(1+p)月 令gp)=-12p3-17p2+2p+1,则g'(p)=-36p2-34p+2,为开口向下的抛物线， :g'0)=2>0,g'1=-68<0,.存在唯一的实数9∈(0,1，使得g（q)=0,且(0，q)内g'(p)>0,gp)单调 递增，（9,1内g'(p)<0,gp)单调减， 又：g(0)=1>0,g(1=-26<0,存在唯一的实数re(0,1),使得g(r)=0,且(0，r)内gp)>0,f(p)单调 递增，(r,1内gp)<0,f(p)单调减， 又：当p→0*，P(A)→ =0.4375>0.3, 16 当p→，P(4)→5=0.3125>03，：在0,1)内P4>5>0.3恒成立， 5 16 16 因此，对任意卫∈(0，)，有P(A)>0.3,即政府目标总能完成.…17分 19.解：(1)双曲线C的渐近线方程为x±y=0,Aa,0,·2分 测点4氧新近线的距高为号-吗.，所以。g1,所以C的方程为--1.3粉 (2)(i)因为A（x,yn),所以An-x-,y-)、B-n,yn, 直线An-Bn-1的方程为y+yn=-2(x-xn),即y=-2x+2xn-yn, 代入x2-y2=1,得3x2-4(2xm-yn)x+(2xn-yn)+1=0, 极据韦达定理得无+膏2-y小.… ……4分 B 53 3 5 所以%=44，=-2x+2x,-% …5分 4 由题设有x1+y=1-y=1, 53 因为少 x-4n-4 n-1 4 ………6分 Xn-1-Yn-1 3 5 x144- 所以{x,-y是公比为的等比数列。 3 53 9 3 因为+少= x+4x-4 4 4 3 5 3 0…7分 +y+-44.4 1 所以{xn+yn}是公比为3的等比数列， 所以x%（ 3-1 3 ····8分 X=- y= 2 2 (ii)先证明结论：若MN=(a,b),MP=(a2,b)为两个不共线的非零向量， 则Snw=2MN-MPsin.∠PMN=MHM1-PMN -Mm-(reos∠PwN-;Vwm-(丽 g+6G+吲)-(aa+h0=s-2a,%+函=%-ah.…10分 本题中，因为AAn=(xn+1,yn).AAn=(x1+1,yn1), 所以S=2+-(xa+=2,n-以.+-小 …11分 因为AAn=(xm-l,yn)，AAn1=（xn1-1,yn1), T=x-刂y-(xn-y=k-x以+y-小，…12分 Xnyn+l-Xn+lyn …13分 =+ ms-非+得r… ……14分 0…15分 所以dd,>0,所以d>d,所以d,≥3+。号-l6 939 所以1名1+名1+，一多，当仪当nE2时等碧成立mmao16酚 9 所以字的最大值为 ,……………17分 高2026届全国二卷高考模拟预测试题四 数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 2．考生必须保持答题卡的整洁。 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则z的虚部为 A． B． C． D． 2．用集合语言表示下图中的阴影部分，正确的是 A． B． C. D． 3．已知，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．若向量，满足：，则 A． B． C． D．1 5．已知等差数列的前项和为，且，则 A．54 B．51 C．57 D．59 6．已知是定义域为的奇函数，且当时，，则 A． B． C． D． 7．斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体）组成.若棱台两底面面积分别是，，高为，长方体形凹槽的高为，斗的密度是.那么这个斗的质量是 A. B． C． D． 8．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，与轴交于点.若，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在元的学生有45人，则下列说法正确的是 A．样本中支出在元的频率为 B．的值为150 C．采用分层抽样从这45人中抽出10人，则在中共需抽出5人 D．该校学生一周生活方面支出的第75百分位数大约是52元（精确到个位数） 10．已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，是上的三个点，且，则下列说法正确的是 A．的准线方程为 B． C．直线的斜率为 D．若三点共线，则的最小值为8 11．已知函数，则下列结论正确的是 A．有相同的最大值 B．若对任意的，都有成立，则的最小值为 C．若时，则 D．若直线与函数与恰有三个交点，则成等比数列 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．二项式的展开式中第四项为___________（用数字作答）． 13．在平行六面体中，，，，，．则与所成角的余弦值为______． 14．定义在上的奇函数满足，当时，，则______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若的周长为，求的面积． 16．(15分) 已知双曲线C：（，）的一个焦点为，点在C上. (1)求C的方程； (2)已知点，，B为线段PQ上一点，且直线AB交C于D，E两点，证明：. 17．(15分) 如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，． (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．(17分) 某市推广智能家居节能计划，调研发现一个家庭安装智能灯泡的数量X（单位：个）的分布列为： X 0 1 2 3 P 其中，.每个家庭安装智能灯泡的个数是相互独立的.记事件A：一个家庭单月节省电量总和至少为4度.若事件A发生，则认为该家庭完成节能目标. (1)求m与p的比值； (2)每个智能灯泡互不影响，且每个智能灯泡每月节省的电量Y（单位：度）的分布列如下（，）； Y 1 2 3 4 5 P 其概率满足下列条件： ①（）；②. （ⅰ）求，的值； （ⅱ）若政府希望有30%以上的家庭完成节能目标（即），试问：对任意的，该目标能否完成？请说明理由. 19．(17分) 双曲线的左、右顶点分别为、，点到的渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)按照如下方式依次构造点（且）：过点作斜率为的直线交于另一点，设是点关于实轴的对称点，记点的坐标为． （i）证明：数列、是等比数列，并求数列和的通项公式； （ii）记的面积为，的面积为，求的最大值． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $