5.2分式的运算自主学习达标测试题2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦分式运算，通过选择、填空、解答题分层考查运算能力、推理意识与应用意识，如以住宅采光问题体现用数学语言表达现实世界。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|分式运算、有意义条件|基础巩固，如判断分式计算正误| |填空题|8/24|最简公分母、化简求值|能力提升，如结合分式分解求参数| |解答题|7/72|新定义（真/假分式）、实际应用（采光问题）|创新应用，如通过作差法比较分式大小|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《5.2分式的运算》自主学习达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 2．使式子有意义的的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．，且 3．分式的运算结果为，则“□”处的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 5．若，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．81 6．若，则的值是（   ） A．4 B． C． D． 7．若，则的值为（    ） A．10 B．7 C． D． 8．张华和李明同时从甲地沿着同一路线步行去乙地．张华在前半段路程的平均行走速度是，在后半段路程的平均行走速度是；李明全程的平均行走速度是．如果，那么关于两人中谁先到达乙地的说法正确的是（    ） A．张华先到达 B．李明先到达 C．两人同时到达 D．谁先到达无法确定 二、填空题（满分24分） 9．分式、、的最简公分母是________． 10．计算：___________． 11．化简的结果是____________________ ． 12．若，则________． 13．计算：__________． 14．已知可以写成，根据这一做法解决：当整数的值为______时，分式的值为整数． 15．并联电路中两个电阻的阻值分别为，电路的总电阻和满足＋，则可表示为______（用含，的代数式表示）． 16．定义，即当时，；当时，，则_____． 三、解答题（满分72分） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（10分）化简： (1)； (2)． 19．（9分）先化简，再求值：，其中． 20．（9分）已知x、y、z满足．试求的值． 21．（12分）阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 22．（12分）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为______； (2)若可以分式分解为（其中是常数），则______，______； (3)当时，判断与的大小关系，并写出你的证明过程． 23．（12分）某资料上有这样一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”下面是奇奇和嘉嘉的对话，请根据对话内容回答问题． 奇奇：“如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，那么住宅的采光条件会不会更好？” 嘉嘉：“我们可以具体算一下：假设某住宅窗户面积为3平方米，地板面积为15平方米，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好．” (1)请你通过计算，验证嘉嘉的说法． (2)假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好吗？请说明理由． 参考答案 1．D 【分析】根据分式乘方、加法、除法的运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A，根据分式乘方法则，，，A错误． 对于选项B，，分子分母没有公因式，不能约分，，B错误． 对于选项C，计算异分母分式加法，，，C错误． 对于选项D，根据分式除法法则，，D计算正确． 2．D 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义要求分母不为0，且除法运算中除式不能为0，据此列出不等式即可得到x的取值范围． 【详解】解：依题意， 则，，， 解得，且， 故选：D． 3．D 【分析】此题考查了分式的加减乘除运算．本题可先利用平方差公式对分母因式分解，再将各运算符号代入分式运算，对比结果确定正确符号． 【详解】解：∵ 将“”代入□： 原式= = 与题目运算结果一致． 代入其他符号验证： 若为“＋”： 若为“－”： 若为“×”： ∴“□”处的运算符号是÷， 故选D 4．B 【分析】先化为同分母作差，再约分化简即可． 【详解】解： ． 5．B 【分析】先计算分式的乘方，再把所给的等式利用分式的乘除混合运算法则化简，然后结合积的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 6．A 【分析】本题主要考查了异分母分式加法，完全平方公式． 根据，可得，从而得到，再代入化简后的结果计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 7．A 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过已知分式等式变形得到与的关系，再将所求分式的分子、分母转化为含和的形式，最后代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 将代入中， 分子， 分母， ∴原式． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了分式的混合运算的实际应用，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则．设甲乙两地路程为，分别计算张华和李明从甲地到乙地的步行时间，再比较时间长短判断谁先到达即可． 【详解】解：设甲乙两地之间的路程为， ∵张华前半段路程速度为，后半段为， ∴张华从甲地到乙地的总时间， ∵李明全程平均速度为， ∴李明从甲地到乙地的总时间， ， ∵，且，，， ∴，， ∴，即， ∴李明用的时间更短，先到达乙地． 故选：B． 9． 【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式、、的最简公分母是． 10． 【详解】解： ． 11．/ 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解． 【详解】解：原式 ． 12． 2 【分析】先对等式右边进行通分，根据分式相等的性质得到分子相等，再利用多项式相等对应系数相等建立方程组，求解得到B的值． 【详解】解：对等式右边通分，得， 已知， 分母相同且分式相等，因此分子相等，即， 将等式右边整理为多项式的形式，得， 根据多项式相等，对应项的系数相等，可得方程组， 将， 代入第二个方程，得， ， 解得． 13． 【分析】本题主要考查了分式的加减运算．先把加号后面的代数式看成整体，再通分，然后按照同分母分式加减法的法则进行计算即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 14．3或1或7或-3 【分析】先将分式通过拆分变形为整式与真分式相加的形式，转化为；再根据分式的值为整数，得出必须为整数，进而确定是5的约数，最后通过枚举5的所有整数约数求出的整数值． 【详解】解：， 是整数， 应是整数， ， 或或或， 解得：或或或． 15． 【分析】根据已知等式移项得到的表达式，再利用异分母分式减法法则计算，最后取倒数即可得到的表达式． 【详解】解：∵， ∴， 根据异分母分式减法法则通分计算得：， 对等式两边取倒数得：． 16． 2027 【分析】先推导得到，且，据此对原式两两配对，再加上的值即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， 原式 ． 17．(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，解题思路为将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约去公因式，即可计算得到结果，用到分式乘除运算法则和因式分解的知识． 【详解】（1） 解： ． （2）解： ． 18．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 19．， 【分析】本题考查了分式化简求值． 先对括号内的式子通分，再把除法化为乘法，化简得，最后把代入计算，即可作答． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20． 【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式的分子分母颠倒位置后计算是解题关键．先将该题中所有分式的分子和分母颠倒位置，化简后求出的值，从而得出代数式的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 21．(1)假分式 (2)， (3) 【分析】本题考查分式的化简，分式的求值，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据题干给定的方法，进行求解即可； （3）先将假分式化为带分式，再根据分式的值为整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，分式是假分式； （2）解：； ． （3）解：， 若使原分式的值为整数，则的值为整数， 或， ∴， ∴符合条件的负整数的值为． 22．(1) (2)1，3 (3)，证明过程见详解 【分析】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键． （1）根据题中示例进行变形即可得出答案； （2）将通分，即可求得m及关于的方程组，解之即可得答案； （3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ， ， 解得， 故答案为：1，3； （3） 证明： ， 当时，，，， ． 23．(1)窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件会变好 (2)如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好． 【分析】此题考查了分式的混合运算，弄清作差法比较大小的方法是解本题的关键． （1）根据题意计算出窗户面积和地板面积同时增加1平方米时窗户面积与地板面积的比值，与原比值进行比较即可； （2）根据题意表示出窗户面积和地板面积同时增加1平方米是窗户面积与地板面积的比值，利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：住宅窗户面积为3平方米，地板面积为15平方米， ． 窗户面积和地板面积同时增加1平方米， ． ， 窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件会变好． （2）解：如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好． 理由：住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米， ． 窗户面积和地板面积同时增加1平方米，．， 又， ，． ． ． 如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好． 学科网（北京）股份有限公司 $