考点01 分式与分式的化简（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 以“概念-性质-运算-应用”为主线，融合易错点警示与解题策略，系统构建分式知识体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题型|定义判定法、条件分类讨论|从分式定义出发，衍生有意义/值为0条件，形成概念网络| |性质应用|1题型|整体代换、符号变换规则|以基本性质为核心，关联约分与化简求值| |运算化简|1题型|通分找最简公分母、减法变号法则|承接性质，构建加减乘除混合运算逻辑链| |代数推理|4题型|倒数法、分离参数、整体代入|深化运算，培养符号意识与逻辑推理能力| |实际应用|1题型|作差比较法、模型转化|联结代数与现实，发展应用意识| |新定义问题|1题型|规则转化、分类讨论|拓展思维，提升创新意识与数学表达能力|

考点01 分式与分式的化简 考点一：分式的概念 ·分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. ·分式的值： 分式有意义的条件 ，B≠0 分式无意义的条件 ，B=0 分式值为0的条件 ，A=0，B≠0 考点二：分式的基本性质与约分 分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数（式子），分式的值不变 （M为不等于0的整式） 最简分式与约分 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式 约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.（可以分子、分母先因式分解再进行约分） 分式的乘除 乘法运算：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. 公式：，其中是整式，. 除法运算：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. 公式：，其中是整式，. 一般步骤：①除法变乘法（除式的分子和分母颠倒位置后相乘）； ②分式乘法（分子相乘，分母相乘）；③约分. 考点三：分式的通分与分式加减 通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　 几个分式的最简公分母的步骤 ①取各分式的分母中系数最小公倍数； ②各分式的分母中所有字母或因式都要取到； ③相同字母（或因式）的幂取指数最大的； ④所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母 分式加减运算 ①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 分式的混合运算 分式的混合运算顺序： ①先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的 ②可先把分子、分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分 题型一：判断一个式子是否分式 1. 误把含π、常数的分母判定为分式； 2. 化简后判断，忽略原式分母形式； 3. 混淆整式与分式概念。 ·根据定义判定：分母中含有字母的有理式子即为分式；只看原式结构，不化简变形；π视作常数，不算字母。 1．（25-26八年级上·广西河池·期末）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式：，，，，其中分式共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 题型二：分式有意义的条件 ①分式有意义：令所有分母≠0，解不等式求出字母取值范围，即当B≠0时，分式才有意义；②分式无意义则分母=0；③分式的值=0，则分子=0且分母≠0。 1. 只考虑单个分母，忽略多重分母； 2. 分母为零的情况遗漏、算错取值； 3. 混淆有意义、无意义、值为0的条件。 1．（25-26八年级上·山东德州·期末）若要使有意义，则x的取值范围为（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（24-25八年级下·四川绵阳·月考）若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 3．若有意义，则的取值范围是______． 4．（25-26八年级上·江西南昌·期末）无论取何值，下列分式总有意义的是（    ） A． B． C． D． 题型三：分式的值（根据分式的值求字母的值） 1. 求出解后不检验分母，出现分母为零的增根； 2. 分式值为0时分母条件遗忘； 按题意列方程求解；结果必须代入分母检验，舍去使分母为0的数值；值为0满足分子为0且分母不为0。 1．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）若分式的值为零，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 2．分式，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 4．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若分式的值为，则的取值为() A． B． C． D． 5．（19-20八年级上·四川广安·期末）当______时，分式的值等于零． 题型四：根据分式的基本性质化简求值 1. 分子分母同乘除时，漏乘其中一项； 2. 符号变换出错； 3. 约分随意消去加减项。 1.分子分母整体同乘（除）同一个不为零整式；先因式分解再约分；只约因式，不拆分加减式子。 2.特殊值代入法 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）分式中字母，的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 2．（25-26八年级上·山东德州·期末）下列各式与相等的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 4．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如果把分式中的a、b都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 5．（25-26八年级上·山东烟台·期末）先化简，再求值：，其中． 题型五：最简分式与分式的加减 1. 通分找错最简公分母； 2. 减法运算分子未整体添括号变号； 3. 结果不约分，未化为最简分式。 1.异分母先通分，同分母直接分子运算； 2.减法注意括号变号； 3.运算结束因式分解，约分为最简形式。 1．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）并联电路中两个电阻的阻值分别为，电路的总电阻和满足＋，则可表示为______（用含，的代数式表示）． 4．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）先化简，再求值： ，其中． 5．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）先化简，再求值：，其中． 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，且； (1)分别化简x和A； (2)将x的值代入A化简后的结果，求A的值． 7．（25-26八年级上·江西赣州·期末）先化简，再求值：，其中． 8．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知当时，比较A与B的大小． 题型六：分式的值与代数求值 1. 直接硬解未知数，计算繁琐易出错； 2. 代入数值时分式符号、括号出错； 3. 不会整体替换变形。 1.优先整体代换，简化式子结构； 2.方程思想：引进参数，进行消元 3.特殊值法：代入满足条件的特殊值计算； 1．（2026·安徽亳州·一模）已知，则______． 2．若，则的值等于______． 3．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，则___________． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，则=______． 5．（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，则分式的值为______． ※题型七：代数推理—分式恒等变形与代入消元 1. 等式变形移项符号出错； 2. 消元替换时式子对应错误； 3. 等量代换不彻底。 1.从已知等式用一个字母表示其余字母；2.整体代入目标分式化简计算；3.变形时刻保证等式等价。 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知，则的值为（） A．2025 B． C．2026 D． 2．（25-26八年级上·江西上饶·期末）已知，则的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）【教材呈现】 a，b，c，d都不为0，，，若，则．如下证明这个结论的正确性，设，则，，所以，同理，，所以． 【类比分析】 （1）若，且…，求证． 【学以致用】 （2）若x，y，z都不为0，且，求的值． ※题型八：代数推理——分式恒等变形与倒数法 1. 随意取倒数，忽略式子不为零前提； 2. 倒数展开运算、配方变形出错。 1.式子不为零时两边同时取倒数； 2.拆分、凑整体式子，结合加减变形求解，常用于求和、求平方类题型。 1．（25-26八年级上·云南大理·期末）阅读下面的解题过程． 已知，求的值 解：由，知；即， ；． 说明：该题的解法叫做“倒数法” 请你利用“倒数法”解下面题目： 已知， (1)求的值； (2)求的值 2．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 题型九：代数推理—分式拆分与分离参数（常数） 1. 多项式拆分搭配不合理； 2. 分离后符号整理错误； 3. 不会结合取值分析整数解。 1.把分子凑出分母同款多项式，拆分分式； 2.分离常数简化结构； 3.常用于判断取值、整数解、最值问题。 1．（25-26八年级上·山东滨州·期末）根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法． 例：m为何值时，多项式有一个因式是． 解：设它的另一个因式为（a为常数）， 则 比较两边的系数，得，解得． (1)已知多项式有一个因式是，求m的值； (2)已知，其中A，B为常数，求的值； (3)已知是的一个因式，分解因式：________． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．例如：，． 解决下列问题： 【理解知识】 （1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】 （2）将下列假分式化为带分式： ①；②； 【运用知识】 （3）如果分式的值为整数，求x的整数值． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）综合与实践 素材1 为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 素材2 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分子的次数不低于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 问题解决 任务1 ①当时，随着的增大，的值______（增大或减小）； ②当时，随着的增大，的值______（增大或减小）； 任务2 ①当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请写出这个数； ②当为整数时，请求出整数x的值； 任务3 若分式的值为，求的取值范围． 题型十：分式的应用 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地．张华在前半程平均行走速度是，后半程平均行走速度为；李明全程行走的平均速度为．如果，两人谁先到达乙地？ 2．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． 3．（25-26八年级上·全国·期末）【提出问题】（1）已知，试比较，的大小； 【解决问题】根据某地相关规定，民用住宅居室的窗户面积必须小于该室内地面面积，采光标准是：窗户面积和地面面积的比不小于，显然，这个比值越大住宅的采光情况越好． （2）如图，小琼家主卧原来的窗户的面积为，为了增加采光，决定将其进行改造，使其面积增加，求改造后，采光情况为原来的多少倍 （3）若小琼家窗户增加的同时，将主卧墙体改造，使地面的面积也增加，则采光情况会变好吗 4．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 题型十一：新定义问题 1. 理解错全新运算规则； 2. 套用公式时代入对应量混乱； 3. 忽略定义附加限制条件。 1.精读题干，摘抄运算规则； 2.严格按新定义格式代入计算； 3.全程遵守题目限定条件，做完复核运算逻辑。 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数）的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：， 分式就拆分成一个分式与一个整式的和的带分式形式． 阅读材料2：由得，；如果两个正数a，b，即， 则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)分式可变形带分式得 ，当，它的最小值为 ； (2)若分式的值为整数，则整数x的值为 ； (3)某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入支出总费用参加活动的同学人数） (4)若式子的最小值是4，求m的值． 2．（25-26八年级上·福建福州·期末）对于分式与，若（为常数），则称是的“级牵挂分式”，如分式，则是的“3级牵挂分式”． (1)若分式是分式的“级牵挂分式”，则的值为____________； (2)已知分式，且分式是分式的“2级牵挂分式”， ①求（用含的式子表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知分式（为整数），是的“级牵挂分式”，若，请用含的代数式表示和． 3．（25-26八年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 阅读下面材料，并完成相应任务． 分式中的欧拉公式欧拉是18世纪瑞士著名的数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理．下面是关于分式的欧拉公式： （其中a，b，c均不为0，且两两互不相等） 这个公式可以分情况进行研究，当时的欧拉公式为： ． 证明：左边 ________ ． 右边． 所以． 任务一：将阅读材料中时欧拉公式的证明过程中的三个空填写完整，它们分别是__________，__________，__________； 任务二：直接写出当时的欧拉公式：_____________； 任务三：任选一组a，b，c的值，对公式时的情形进行验证； 任务四：利用欧拉公式直接写出的结果． 1．（24-25八年级上·北京·期末）已知，，则下列式子一定比大的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若为三角形的三边，且满足分式的值为0，则此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 3．（25-26八年级上·江苏南通·期末）下列说法正确的是（） A．代数式是分式 B．分式是最简分式 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式中都扩大3倍，分式的值不变 4．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或1 5．（25-26八年级上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（    ） A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得 C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得 6．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·山东烟台·期末）当整数m____时，分式的值也为整数． 9．等式成立的条件是_____． 10．（25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 11．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 12．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，则_____． 13．（25-26八年级上·江西·期末）已知，则的值________； 14．（2025·北京·模拟预测），求代数式的值． 15．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）在分式，，中，先选择2个分式用“”或“”连接起来，再进行化简，并选择一个自己喜欢的数作为x的值代入求值． 16．（25-26八年级上·河北张家口·期末）已知题目“先化简，再求值：，其中．”嘉嘉和淇淇的部分运算过程如下． 嘉嘉： 解：原式 … 淇淇： 解：原式 … (1)嘉嘉第一步运算的依据是________，淇淇第一步运算的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质  ②分式的基本性质  ③乘法对加法的分配律  ④乘法交换律 (2)从嘉嘉和淇淇的解法中，任选一种，写出完整的解答过程． 17．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是单项式． 例：计算． 解：原式， …… (1)请写出单项式_______________； (2)将该例题的解答过程补充完整； (3)请在，，中选择一个合适的数，代入化简后的结果求值． 18．（25-26八年级上·河北承德·期末）阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 19．（25-26八年级上·河南商丘·期末）【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． (1)【知识运用】请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”，“”或“”）： ① ；②当时， ； (2)【知识运用】若，试比较与的大小，并说明理由； (3)【类比运用】图（1）是边长为4的正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的新正方形，此正方形的面积为；请判断与的大小关系，并说明理由． 20．（25-26八年级上·福建莆田·期末）阅读材料：分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和，如：或．阅读下面拆分成几个不同单位分数之和的过程： 拆法一：设正整数满足：，则， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 拆法二：． (1)参考上述方法，直接写出拆分成几个不同单位分数相加的形式；（要求：写出三种拆分形式即可） (2)对于任意质数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式． 21．（25-26八年级上·湖南·期末）定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，则称这个分式为“优美分式”． 如；，，则、都是“优美分式”． (1)请你判断下列式子是否为“优美分式”？（在题后相应的括号中，是“优美分式”打“√”，不是“优美分式”打“×”）； ①；（    ） ②；（    ） ③；（    ） ④．（    ） (2)若“优美分式”，其中A为整式，B为常数． ①求整式A； ②若，求的值． (3)若“优美分式”与（其中a，b为常数），当两者拆分后的分式分子为相等常数时，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 分式与分式的化简 考点一：分式的概念 ·分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. ·分式的值： 分式有意义的条件 ，B≠0 分式无意义的条件 ，B=0 分式值为0的条件 ，A=0，B≠0 考点二：分式的基本性质与约分 分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数（式子），分式的值不变 （M为不等于0的整式） 最简分式与约分 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式 约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.（可以分子、分母先因式分解再进行约分） 分式的乘除 乘法运算：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. 公式：，其中是整式，. 除法运算：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. 公式：，其中是整式，. 一般步骤：①除法变乘法（除式的分子和分母颠倒位置后相乘）； ②分式乘法（分子相乘，分母相乘）；③约分. 考点三：分式的通分与分式加减 通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　 几个分式的最简公分母的步骤 ①取各分式的分母中系数最小公倍数； ②各分式的分母中所有字母或因式都要取到； ③相同字母（或因式）的幂取指数最大的； ④所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母 分式加减运算 ①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 分式的混合运算 分式的混合运算顺序： ①先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的 ②可先把分子、分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分 题型一：判断一个式子是否分式 1. 误把含π、常数的分母判定为分式； 2. 化简后判断，忽略原式分母形式； 3. 混淆整式与分式概念。 ·根据定义判定：分母中含有字母的有理式子即为分式；只看原式结构，不化简变形；π视作常数，不算字母。 1．（25-26八年级上·广西河池·期末）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：A．的分母π是常数，不是字母，属整式；     B．分母含字母，属分式；     C．是多项式，属整式；     D． 的分母2是常数，不是字母，属整式． 2．下列各式：，，，，其中分式共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【难度】0.85 【分析】根据分式的定义判断，分母中含有字母的式子是分式，注意π是常数不是字母，据此逐一判断即可． 【详解】解：，，的分母都不含字母，是整式，不是分式； 的分母含字母，的分母含字母，这两个式子是分式， 所以，分式共有个． 题型二：分式有意义的条件 ①分式有意义：令所有分母≠0，解不等式求出字母取值范围，即当B≠0时，分式才有意义；②分式无意义则分母=0；③分式的值=0，则分子=0且分母≠0。 1. 只考虑单个分母，忽略多重分母； 2. 分母为零的情况遗漏、算错取值； 3. 混淆有意义、无意义、值为0的条件。 1．（25-26八年级上·山东德州·期末）若要使有意义，则x的取值范围为（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【难度】0.75 【分析】要使该代数式有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件，据此分别列出不等式求解，即可得到x的取值范围． 【详解】∵要使有意义，需同时满足两个条件： ①二次根式被开方数非负，即， ②分式分母不为0，即，解得， ∴的取值范围为且． 2．（24-25八年级下·四川绵阳·月考）若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.92 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可得被开方数大于0，列出不等式即可求解． 【详解】解：要使代数式有意义，必须满足，解得， ∴实数的取值范围是． 3．若有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【难度】0.85 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组求解即可． 【详解】解：要使有意义，需满足被开方数为非负数，且分式的分母不等于零，可得： 解不等式，得， 解不等式，得， ∴的取值范围是且． 4．（25-26八年级上·江西南昌·期末）无论取何值，下列分式总有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查了分式有意义的条件． 分式有意义的条件是分母不为零，因此需判断各选项分母是否可能为零即可． 【详解】解：分式有意义的条件是分母不为零． 对于A，当时分母，故分式无意义； 对于B，分母，恒不为0，故分式总有意义； 对于C，当时分母，故分式无意义； 对于D，当时分母，故分式无意义； 故选：B． 题型三：分式的值（根据分式的值求字母的值） 1. 求出解后不检验分母，出现分母为零的增根； 2. 分式值为0时分母条件遗忘； 按题意列方程求解；结果必须代入分母检验，舍去使分母为0的数值；值为0满足分子为0且分母不为0。 1．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）若分式的值为零，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【难度】0.84 【分析】利用分式值为零的条件得到且，然后解方程和不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得：． 2．分式，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】先根据分式值为0的要求令分子为0，求出x的可能值，再根据分母不能为0排除不符合的解，即可得到结果． 【详解】解：∵分式， ∴需满足分子为0，且分母不为0， 由得， 解得， 又∵分母，即， ∴． 3．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 4．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若分式的值为，则的取值为() A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【详解】解：∵分式的值为0 ∴且 由 ∴或 当时， 当时， ∴ 故选：A． 5．（19-20八年级上·四川广安·期末）当______时，分式的值等于零． 【答案】 【难度】0.75 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得， ∴当时，分式的值为零． 题型四：根据分式的基本性质化简求值 1. 分子分母同乘除时，漏乘其中一项； 2. 符号变换出错； 3. 约分随意消去加减项。 1.分子分母整体同乘（除）同一个不为零整式；先因式分解再约分；只约因式，不拆分加减式子。 2.特殊值代入法 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）分式中字母，的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】D 【难度】0.8 【详解】解：， 当①②改变时，，故选项A不符合题意； 当②③改变时，，故选项B不符合题意； 当①③改变时，，故选项C不符合题意； 当③④改变时，，故选项D符合题意． 2．（25-26八年级上·山东德州·期末）下列各式与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一判断即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、选项分子分母同时加，不符合分式基本性质，值改变，不符合题意； 、选项分子分母未同乘（或除以）同一个整式，值改变，不符合题意； 、∵， ∴， ∵该分式有意义时，即，此时， ∴约分后得，与原式相等，符合题意； 、选项无法因式分解为含的整式，无法约分得到原式，不符合题意； 故选：． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 【答案】A 【难度】0.85 【分析】根据题意，将扩大后的x、y代入原分式，化简后和原分式比较，即可判断分式值的变化． 【详解】解：由题意，将原分式中x换为，y换为，===， ∴ 新分式的值是原分式值的2倍 ． 4．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如果把分式中的a、b都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 【答案】B 【难度】0.85 【分析】先根据题意对分式进行变形，再依据分式的性质进行化简，将化简后的分式与原分式进行对比即可． 【详解】解：由题意得，故分式的值扩大为原来的2倍． 5．（25-26八年级上·山东烟台·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【难度】0.85 【分析】本题考查了分式的化简求值、平方差公式以及完全平方公式，先将除法转化为乘法再进行约分，最后代入即可． 【详解】解： ， 将代入，得： 原式 ． 题型五：最简分式与分式的加减 1. 通分找错最简公分母； 2. 减法运算分子未整体添括号变号； 3. 结果不约分，未化为最简分式。 1.异分母先通分，同分母直接分子运算； 2.减法注意括号变号； 3.运算结束因式分解，约分为最简形式。 1．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】各选项分子分母因式分解，判断分子分母是否存在公因式，没有公因式的分式即为最简分式． 【详解】解：A、=，分子为，分子分母有公因式，所以A不是最简分式，不符合题意； B、=，分子为，分子分母有公因式，所以B不是最简分式，不符合题意； C、无法分解因式，与分母没有公因式，所以C是最简分式，符合题意； D、分子和分母有公因式，可约分为，所以D不是最简分式，不符合题意． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】先对分母因式分解确定最简公分母，再将两个分式通分为同分母分式，接着对分子进行减法运算并因式分解，最后约去分子分母的公因式，得到最简分式． 【详解】解： ． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）并联电路中两个电阻的阻值分别为，电路的总电阻和满足＋，则可表示为______（用含，的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 根据异分母分式减法法则通分计算得：， 对等式两边取倒数得：． 4．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【难度】0.8 【详解】解：原式                =                                 =                                     将代入，得原式． 5．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【难度】0.85 【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，且； (1)分别化简x和A； (2)将x的值代入A化简后的结果，求A的值． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.84 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式化简的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式化简，利用平方差公式化简A； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：， 则； （2）解：将代入得： ． 7．（25-26八年级上·江西赣州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【难度】0.85 【分析】本题考查了分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把除法化为乘法，再进行化简得，然后把代入计算，即可作答． 【详解】解： 依题意，把代入，得原式． 8．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知当时，比较A与B的大小． 【答案】 【难度】0.65 【分析】利用作差法，把两个分式相减，判定结果的正负即可． 【详解】解：， ， ， ， 即． 【点睛】掌握作差法比较大小． 题型六：分式的值与代数求值 1. 直接硬解未知数，计算繁琐易出错； 2. 代入数值时分式符号、括号出错； 3. 不会整体替换变形。 1.优先整体代换，简化式子结构； 2.方程思想：引进参数，进行消元 3.特殊值法：代入满足条件的特殊值计算； 1．（2026·安徽亳州·一模）已知，则______． 【答案】 【难度】0.65 【分析】设，（），代入求值即可． 【详解】解：由，设，（）， 则． 故答案为：． 2．若，则的值等于______． 【答案】 【难度】0.85 【分析】根据已知的比例关系，可设参数用同一字母表示a和b，代入所求分式化简即可得到结果. 【详解】∵ . ∴ 设，， ∴. 3．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，则___________． 【答案】5 【难度】0.85 【分析】已知，设 （），则 ，代入所求分式化简，约去参数即可得到结果． 【详解】解：， 设 （），则 ， 将，代入得： ． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，则=______． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了分式的求值，由已知等式变形，求出的值，再代入目标表达式计算求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，则分式的值为______． 【答案】 【难度】0.75 【分析】先根据已知等式得到a与b的数量关系，再通过代入消元将分式转化为只含单一字母的式子，最后依据分式的基本性质约分求值． 【详解】解：∵ ∴，且（若，则，与矛盾） 将代入，得 故答案为：． ※题型七：代数推理—分式恒等变形与代入消元 1. 等式变形移项符号出错； 2. 消元替换时式子对应错误； 3. 等量代换不彻底。 1.从已知等式用一个字母表示其余字母；2.整体代入目标分式化简计算；3.变形时刻保证等式等价。 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知，则的值为（） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查了分式化简求值，先提取公因式，再对分式进行通分，结合已知条件化简计算，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴原式 ∵， ∴ 代入得： 故选：C． 2．（25-26八年级上·江西上饶·期末）已知，则的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可得，，据此求出，再代入所求式子中求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， 故选：C． 3．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）【教材呈现】 a，b，c，d都不为0，，，若，则．如下证明这个结论的正确性，设，则，，所以，同理，，所以． 【类比分析】 （1）若，且…，求证． 【学以致用】 （2）若x，y，z都不为0，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【难度】0.65 【分析】本题考查了分式的求值，设参数求解是解答的关键． （1）设，则，，…，，所以，然后进行分式的化简即可得到结论； （2）设，则，，，然后把它们分别代入所求的代数式中，再进行分式的化简计算即可． 【详解】（1）证明：设，则，，…，， …， ， ； （2）解：设，则，，， 所以． ※题型八：代数推理——分式恒等变形与倒数法 1. 随意取倒数，忽略式子不为零前提； 2. 倒数展开运算、配方变形出错。 1.式子不为零时两边同时取倒数； 2.拆分、凑整体式子，结合加减变形求解，常用于求和、求平方类题型。 1．（25-26八年级上·云南大理·期末）阅读下面的解题过程． 已知，求的值 解：由，知； 即， ． 说明：该题的解法叫做“倒数法” 请你利用“倒数法”解下面题目： 已知， (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查分式的性质与完全平方公式的应用，核心方法为“倒数法”，即通过对已知分式和目标分式取倒数，结合代数变形求解． 【详解】（1）解：由，知， ∴， ∴； （2）解：对取倒数，得． ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.35 【分析】（1）已知等式“取倒数”求出的值即可； （2）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由知， ∴，即， ∴； （2）解：根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． 题型九：代数推理—分式拆分与分离参数（常数） 1. 多项式拆分搭配不合理； 2. 分离后符号整理错误； 3. 不会结合取值分析整数解。 1.把分子凑出分母同款多项式，拆分分式； 2.分离常数简化结构； 3.常用于判断取值、整数解、最值问题。 1．（25-26八年级上·山东滨州·期末）根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法． 例：m为何值时，多项式有一个因式是． 解：设它的另一个因式为（a为常数）， 则 比较两边的系数，得，解得． (1)已知多项式有一个因式是，求m的值； (2)已知，其中A，B为常数，求的值； (3)已知是的一个因式，分解因式：________． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【分析】（1）由题意设它的另一个因式为 ，则，再利用多项式的乘法法则展开，比较系数即可求解； （2）把等式右边两个分式通分相加，再比较两边分子的系数即可求得A、B的值，从而可求解； （3）由题意设它的另一个因式为（为常数），则，再把右边展开，合并同类项，比较系数即可． 【详解】（1）解：设它的另一个因式为 ， 则 比较两边的系数，得， 解得； （2）解：， ， ， 比较分子的系数得， ∴ ； （3）解：设它的另一个因式为（为常数） 则 ， 比较两边的系数，得，解得， ． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．例如：，． 解决下列问题： 【理解知识】 （1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】 （2）将下列假分式化为带分式： ①；②； 【运用知识】 （3）如果分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】（1）真；（2）①，②；（3） 【难度】0.56 【分析】（1）根据“真分式”和“假分式”定义即可判断； （2）①将分子写成，然后进行变形即可解答；②将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据x为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】解：（1）∵分子2026的次数为0，分母的次数为1， ∴是真分式． （2）①； ②． （3）原式 ， ∵的值为整数，x为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∵在化简过程中，各分母均不能为0， ∴，，，， 解得，，，， ∴在中，应舍去， ∴． ∴x的整数值为． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）综合与实践 素材1 为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 素材2 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分子的次数不低于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 问题解决 任务1 ①当时，随着的增大，的值______（增大或减小）； ②当时，随着的增大，的值______（增大或减小）； 任务2 ①当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请写出这个数； ②当为整数时，请求出整数x的值； 任务3 若分式的值为，求的取值范围． 【答案】任务1：①减小；②减小；任务2：①2；②；任务3： 【难度】0.52 【分析】任务1：由、随x的变化情况，判断、的变化情况即可； 任务2：①由，即可求解； ②由推出为整数，，即可求解； 任务3：可求出，根据题意求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：任务1：∵当时，随着的增大而减小， ∴随着的增大，的值减小； ∵当时，随着的增大而减小，且 ∴随着的增大，的值减小； 任务2：①， ∵当时，随着的增大，（把看成一个整体）的值随之减小，并无限接近0， ∴当时，随着的增大，的值无限接近； ②∵为整数，x的值为整数， ∴为整数， ∴或或， 解得或或或或或 ∴x的值可为； 任务3：， ∵， ∴， ∵（把看成一个整体）随着的增大而减小，并无限接近0， ∴， ∴，即． 题型十：分式的应用 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地．张华在前半程平均行走速度是，后半程平均行走速度为；李明全程行走的平均速度为．如果，两人谁先到达乙地？ 【答案】李明先到达乙地． 【难度】0.65 【分析】本题考查分式的应用及作差法比较大小，关键是运用行程问题中“时间=路程÷速度”的基本公式，分别表示出张华和李明从甲地到乙地的总时间，再通过作差法比较时间长短，时间短的先到达目的地． 【详解】解：设甲地到乙地的总路程为． 设张华的步行总时间为，李明的步行总时间为： ∵张华前半程路程为，速度为，后半程路程为，速度为， ∴前半程时间为，后半程时间为， ∴； ∵李明全程平均速度为，总路程为， ∴， ∴， 又∵，且，，， ∴，， ∴，即， ∴李明先到达乙地． 2．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． 【答案】(1)； (2)宁宁先返回云中湖；理由见解析 【难度】0.78 【分析】代数式比大小一般使用作差法或者作商法，掌握好分式的性质和因式分解是关键． （1）根据速度、路程和时间之间的关系分别计算即可； （2）利用作差法比较两个分式的大小，从而得出结论． 【详解】（1）解：安安往返所需时长：（小时）， 宁宁往返所需时长：（小时）． （2）解：宁宁先返回云中湖，理由如下： ∵，，且， ∴ ∴ ∴宁宁先返回云中湖． 3．（25-26八年级上·全国·期末）【提出问题】（1）已知，试比较，的大小； 【解决问题】根据某地相关规定，民用住宅居室的窗户面积必须小于该室内地面面积，采光标准是：窗户面积和地面面积的比不小于，显然，这个比值越大住宅的采光情况越好． （2）如图，小琼家主卧原来的窗户的面积为，为了增加采光，决定将其进行改造，使其面积增加，求改造后，采光情况为原来的多少倍 （3）若小琼家窗户增加的同时，将主卧墙体改造，使地面的面积也增加，则采光情况会变好吗 【答案】（1）；（2）；（3）会变好 【难度】0.65 【分析】本题主要考查分式的大小比较，分式的混合运算，掌握分式的混合运算的运算法则，是解题的关键． （1）利用作差法解答即可． （2）设主卧的地面面积为，则，即可解答． （3）设改造前主卧的地面面积为，则，求解后再比较大小即可． 【详解】解：（1） ， ， ，， ， ． （2）设主卧的地面面积为， 则， 答：改造后，采光情况为原来的倍 （3）设改造前主卧的地面面积为， 则 ， 根据题意可知：，， ，， 所以，， 所以． 答：采光情况会变好． 4．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 【答案】(1)元千克，元千克 (2)购买乙种什锦糖较便宜，理由见解析 【难度】0.65 【分析】（1）设质量各为千克，，求出甲的售价，设总价各为元，求出乙的售价； （2）利用作差法，求出，利用非负数的意义判断差的符合，进而比较大小． 本题考查了分式的化简以及异分母分式相加减，掌握作差法比较大小是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲什锦糖由相同质量的A，两种糖果混合，设质量各为千克， 则售价为：元千克， 乙什锦糖由总价相同的A、两种糖果混合，设总价各为元， 则售价为：元千克， 答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元千克，元千克． （2）解：购买乙种什锦糖较便宜，理由如下： ． ，，， ． 甲的售价高于乙的售价， 购买乙种什锦糖较便宜． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 【答案】（1）若．理由见解析；（2）；（3）①乙试验田的小麦的单位面积产量高，理由见解析；②乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍 【难度】0.65 【分析】本题考查了完全平方公式，分式减法运算及实际应用； （1）由判断即可； （2）作差比较大小即可； （3）①分别表示出两块试验田的产量，再作差比较大小即可 ②根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”得到，计算化简即可． 【详解】解：（1）若， 理由：， ， ， ； （2），， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）①甲试验田的面积为：， 乙试验田的面积为：， ， ， ， ， ， 乙试验田的小麦的单位面积产量高； ② ， 乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍． 题型十一：新定义问题 1. 理解错全新运算规则； 2. 套用公式时代入对应量混乱； 3. 忽略定义附加限制条件。 1.精读题干，摘抄运算规则； 2.严格按新定义格式代入计算； 3.全程遵守题目限定条件，做完复核运算逻辑。 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数）的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：， 分式就拆分成一个分式与一个整式的和的带分式形式． 阅读材料2：由得，；如果两个正数a，b，即， 则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)分式可变形带分式得 ，当，它的最小值为 ； (2)若分式的值为整数，则整数x的值为 ； (3)某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入支出总费用参加活动的同学人数） (4)若式子的最小值是4，求m的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元 (4) 【难度】0.48 【分析】（1）仿照示例，对分式进行变形，可得到结果； （2）对分式变形为，仿照示例，可得到结果； （3）根据题意，列出人均费用，仿照示例的方法可得到结果； （4）先对式子变形，化为带分式形式，再求最小值，得到结果． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，式子有最小值，最小值为2； （2）解： ； ∵分式的值为整数，为整数， ∴， ∴或； （3）解：设参加的人数为x人，则支出总费用为， 人均费用为， ∵， ∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为24， ∴的最小值为36， 答：参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元； （4）解：由题意得，， ∴， ， 当且仅当时，有最小值， ∵最小值是4， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·福建福州·期末）对于分式与，若（为常数），则称是的“级牵挂分式”，如分式，则是的“3级牵挂分式”． (1)若分式是分式的“级牵挂分式”，则的值为____________； (2)已知分式，且分式是分式的“2级牵挂分式”， ①求（用含的式子表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知分式（为整数），是的“级牵挂分式”，若，请用含的代数式表示和． 【答案】(1) (2)①；②当时，；当时，； (3)当时，；当时， 【难度】0.4 【分析】本题主要考查了分式的减法运算，正确理解“级牵挂分式”的定义是解题的关键． （1）计算出的结果即可得到答案； （2）①根据题意可得，据此去分母求解即可；②可得，则根据题意可得为正整数，且6能被整除，据此建立方程求解即可； （3）根据题意可得，则可推出，，进一步可得，根据a、b都是整数，可推出是一个完全平方数，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ∴分式是分式的“级牵挂分式”， ∴； （2）解：①∵分式，且分式是分式的“2级牵挂分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由（2）①得， ∵的值为正整数，为正整数， ∴为正整数，且6能被整除， ∴或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）； 当时，； 当时，； （3）解：∵分式（为整数），是的“级牵挂分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵k为常数， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a、b都是整数， ∴是整数， ∴是一个完全平方数， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴ 3．（25-26八年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 阅读下面材料，并完成相应任务． 分式中的欧拉公式欧拉是18世纪瑞士著名的数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理．下面是关于分式的欧拉公式： （其中a，b，c均不为0，且两两互不相等） 这个公式可以分情况进行研究，当时的欧拉公式为： ． 证明：左边 ________ ． 右边． 所以． 任务一：将阅读材料中时欧拉公式的证明过程中的三个空填写完整，它们分别是__________，__________，__________； 任务二：直接写出当时的欧拉公式：_____________； 任务三：任选一组a，b，c的值，对公式时的情形进行验证； 任务四：利用欧拉公式直接写出的结果． 【答案】任务一：，，； 任务二：； 任务三：见解析； 任务四：． 【难度】0.65 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 任务一：根据分式的加减运算法则计算即可； 任务二：当时，； 任务三：当时，，任选一组符合要求的a，b，c的值，代入验证即可； 任务四：当时，，令，，，代入运算即可． 【详解】任务一：解：左边 ． 右边． 所以． 故答案为：，，； 任务二：解：由题意可知，当时，； 故答案为：； 任务三：解：由题意可知，时，， 令，，， 则 ， 右边，成立； 任务四：解：当时，， 令，，， 则， 即． 1．（24-25八年级上·北京·期末）已知，，则下列式子一定比大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【分析】本题考查了不等式的性质，有理数符号的判断及其利用分式的基本性质判断分式值的大小； 由且 ，可得，，故，比较各选项与的大小即可． 【详解】解：∵且 ， ∴，， 故， A、∵，， ∴， ∴比小，故此选项不符合题意； B、∵且， ∴， ∴一定比大，故此选项符合题意； C、∵，故此选项不符合题意； D、∵，但可能大于或小于，故与大小不确定， ∴不一定比大； 故选：B． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若为三角形的三边，且满足分式的值为0，则此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查分式的值为0的条件，以及等腰三角形的定义，根据分式值为0时分子为0、分母不为0，结合三角形的分类判断三角形形状即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子，且分母， ∴，且， ∴此三角形有两边相等，为等腰三角形． 故选B． 3．（25-26八年级上·江苏南通·期末）下列说法正确的是（） A．代数式是分式 B．分式是最简分式 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式中都扩大3倍，分式的值不变 【答案】B 【难度】0.75 【分析】本题主要考查了分式的定义、最简分式的定义、分式值为0的条件、分式的基本性质，熟练掌握分式相关概念及性质的应用条件是解题的关键．根据分式的定义、最简分式的定义、分式值为0的条件、分式的基本性质，对每个选项逐一分析判断即可． 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母的整式，π是常数， ∴的分母不含字母，是整式不是分式，故A错误． ∵的分子与分母没有公因式， ∴该分式是最简分式，故B正确． ∵分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，由得，又时，分母，分式无意义， ∴，故C错误． 将都扩大3倍后，新分式为，是原分式的3倍，分式的值改变，故D错误． 故选：B． 4．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或1 【答案】B 【难度】0.65 【分析】将变形得到，从而推出，再利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：由条件可知， ， ， 又， ． 5．（25-26八年级上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（    ） A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得 C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得 【答案】A 【难度】0.65 【分析】本题考查最简分式的判断，分式有意义的条件及分式的基本性质，解题的关键是根据最简分式的定义、分式有意义的条件及分式的基本性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．∵该分式的分子为，分母为，分子分母无公因式， ∴是最简分式，原说法正确，故此选项符合题意； B．当时，得：，与分式的基本性质不符，变形不成立， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意； C．若分式有意义，则，得， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意； D．， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 6．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题考查了分式的基本性质，需依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项的变形是否正确，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵分式的基本性质为：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变， ∴、将的分子分母同乘，得，与不相等，故该选项变形错误，不符合题意； 、，又，故该选项变形正确，符合题意； 、化简得（），与选项中的结果符号相反，故该选项变形错误，不符合题意； 、当时，无意义，不满足分式基本性质中“乘不为的整式”的要求，故该选项变形错误，不符合题意； 故选：． 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题考查比例的基本性质与分式的变形，可通过比例交叉相乘、分式拆分等方法验证各选项． 【详解】选项A：∵ ， ∴ ，故A错误； 选项B：对交叉相乘得， 展开化简得，与一致， 且，则，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：∵， ， ，故D错误． 故选：B． 8．（25-26九年级上·山东烟台·期末）当整数m____时，分式的值也为整数． 【答案】1或或2或 【难度】0.65 【分析】此题考查分式的值． 先将分式分离常数，根据分式值为整数的条件，确定分母是6的整数约数，再通过解方程求出整数m的值． 【详解】解： ∵m为整数，分式的值也为整数． ∴是整数， ∵是奇数， ∴或， 解得整数1或0或2或， 故答案为：或或2或 9．（18-19七年级·上海·月考）等式成立的条件是_____． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵要使等式成立，等式两边均需有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了分式无意义的条件及分式的值为零的条件，根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），分别求出和的值，再计算． 【详解】解：当时，分式无意义，则，即，解得． 当时，分式的值为0，则分子，即，解得． 所以． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值是整数列式计算是解题的关键．根据分式的值为整数，则分母 必须是分子的约数，即，，，分别求解，并筛选出整数解，最后求和即可． 【详解】解：分式的值为整数， 是的约数，即，，， 当时，； 当时，； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数， 符合条件的整数为和， 它们的和为； 故答案为：． 12．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，则_____． 【答案】4或 【难度】0.65 【分析】本题考查了分式的运算，完全平方公式的运用，熟练掌握各知识点并灵活运用是解决本题的关键． 通过完全平方公式将所求表达式平方，再与已知条件建立关系求解，即可解题． 【详解】解：由， 对平方得： 代入已知得：， 所以， 故答案为：4或． 13．（25-26八年级上·江西·期末）已知，则的值________； 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了数字规律探究、数列的周期性及有理数的运算，熟练掌握通过计算前几项寻找数列周期，再利用周期解决问题的方法是解题的关键．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为，即每项重复一次：，，．计算除以的余数，余数为，对应周期中的第一项，因此． 【详解】解：计算序列的前几项： ， ， ， ， ， ， 由此可知序列周期为，即． ， 因此， 故答案为：． 14．（2025·北京·模拟预测），求代数式的值． 【答案】6 【难度】0.65 【分析】先算括号内的分式减法，然后算分式除法，通过约分化成最简，最后代入即可求解． 【详解】解： =， =， =， =， ∵， ∴， 则原式=． 15．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）在分式，，中，先选择2个分式用“”或“”连接起来，再进行化简，并选择一个自己喜欢的数作为x的值代入求值． 【答案】，（答案不唯一） 【难度】0.65 【分析】先选择两个分式和运算方式，再结合分式的运算法则，进行化简，最后代入合适的值计算即可得出结果． 【详解】解：选择和，进行乘法运算， 则 ， ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 16．（25-26八年级上·河北张家口·期末）已知题目“先化简，再求值：，其中．”嘉嘉和淇淇的部分运算过程如下． 嘉嘉： 解：原式 … 淇淇： 解：原式 … (1)嘉嘉第一步运算的依据是________，淇淇第一步运算的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质  ②分式的基本性质  ③乘法对加法的分配律  ④乘法交换律 (2)从嘉嘉和淇淇的解法中，任选一种，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②；③ (2)见解析 【难度】0.75 【分析】本题考查了分式的化简计算，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）根据分式的基本性质和乘法对加法的分配律求解； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着约分得到原式，然后把x的值代入计算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉第一步运算的依据是分式的基本性质，淇淇第一步运算的依据是乘法对加法的分配律； 故答案为：②，③； （2）解：原式 ， 当时，原式 17．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是单项式． 例：计算． 解：原式， …… (1)请写出单项式_______________； (2)将该例题的解答过程补充完整； (3)请在，，中选择一个合适的数，代入化简后的结果求值． 【答案】(1) (2)过程见解析 (3)选， 【难度】0.65 【分析】本题考查分式的混合运算，分式的基本性质，代数式化简求值，掌握好分式混合运算的法则是关键． （1）将分式通分成，对比可得单项式； （2）根据分式混合运算的法则进行计算即可； （3）在原分式有意义的前提下（即分母不为，除数不为），选择合适的值，代入求值即可． 【详解】（1）解：根据分式的性质可得， 由题意可知， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：原式， ， ， ； （3）解：当或时，原分式无意义，故只能选． 当时，． 18．（25-26八年级上·河北承德·期末）阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 【答案】(1)假分式 (2)， (3) 【难度】0.65 【分析】本题考查分式的化简，分式的求值，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据题干给定的方法，进行求解即可； （3）先将假分式化为带分式，再根据分式的值为整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，分式是假分式； （2）解：； ． （3）解：， 若使原分式的值为整数，则的值为整数， 或， ∴， ∴符合条件的负整数的值为． 19．（25-26八年级上·河南商丘·期末）【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． (1)【知识运用】请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”，“”或“”）： ① ；②当时， ； (2)【知识运用】若，试比较与的大小，并说明理由； (3)【类比运用】图（1）是边长为4的正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的新正方形，此正方形的面积为；请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【难度】0.5 【分析】本题考查了整式混合运算，分式的大小比较，完全平方公式在几何图形中的应用． （1）先求出两数的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可； （2）先求出两数的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可； （3）先求出和的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：， 理由如下： ， ， ， ， ； （3）解：， 理由如下： ，， ， ． 20．（25-26八年级上·福建莆田·期末）阅读材料：分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和，如：或．阅读下面拆分成几个不同单位分数之和的过程： 拆法一：设正整数满足：，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 拆法二：． (1)参考上述方法，直接写出拆分成几个不同单位分数相加的形式；（要求：写出三种拆分形式即可） (2)对于任意质数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式． 【答案】(1)，，； (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查了分式规律性问题， 第一小题参考阅读材料中的拆法，通过解方程或选择乘数分解分子得到三种拆分形式； 第二小题仿照拆法一，利用因式分解推导出对于任意质数 的拆分公式． 【详解】（1）解：参考拆法一：设正整数满足：，则 ， 整理得 ， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 参考拆法二：选择分子分母同时乘 ，则 ，∵ ，且 均为 的因数，∴ ． 选择分子分母同时乘 ，则 ，∵ ，且 均为 的因数，∴ ， ∴ 可以拆分成为 ，，． （2）证明：设正整数满足 ， ∵ 为质数且 ， ∴， ∴ ∴， ∴ 的正因数对为 或 ，但， ∴ ，， ∴ 解得，． ∵ 为质数，∴ 为奇数， 为偶数， 和 均为整数． ∴ ． 21．（25-26八年级上·湖南·期末）定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，则称这个分式为“优美分式”． 如；，，则、都是“优美分式”． (1)请你判断下列式子是否为“优美分式”？（在题后相应的括号中，是“优美分式”打“√”，不是“优美分式”打“×”）； ①；（    ） ②；（    ） ③；（    ） ④．（    ） (2)若“优美分式”，其中A为整式，B为常数． ①求整式A； ②若，求的值． (3)若“优美分式”与（其中a，b为常数），当两者拆分后的分式分子为相等常数时，求的取值范围． 【答案】(1)①√；②×；③√；④√； (2)①；②19； (3)且 【难度】0.4 【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、整式、分式的化简求值，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． （1）依据题意，根据“优美分式”的意义逐个计算判断可以得解； （2）①依据题意，由，且“优美分式”，其中A为整式，B为常数，从而可以得解； ②由，则结合①可得，，则，故，从而代入计算可以得解； （3）依据题意，设， ，故，，则，，，，从而，，代入可得即可求解． 【详解】（1）解：①， ∴①是“优美分式”． 故答案为：√； ②是整式，不是“优美分式”． 故答案为：×； ③=1+， ∴③是“优美分式”． 故答案为：√； ④， ∴④是“优美分式”． 故答案为：√； （2）解：①由题意，∵ ， 且“优美分式”，其中A为整式，B为常数， ∴整式； ②∵， ∴结合①可得，，则． ∴． ∴ ； （3）解：∵“优美分式”与（其中a，b为常数）， 当两者拆分后的分式分子为相等常数， ∴可设， ，， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵， ， ∵ ∴， ∴，且． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $