广西桂林市国龙外国语学校2026届高三5月全真模拟适应性考试数学试卷

国龙外国语学校2026届高三5月25日全国高考（Ⅱ)全真模拟适应性考试 数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设0={xx是小于9的正整数}，A={1,2,3},B={3,4,5,6,则C(U)() A.{7,8 B.{0,7,8 C.{1,2,3,4,5,6} D.{1,2,4,5,6,7,8} 2.设函数f(x) log:-.0<x52 则不等式f(x2-3)>f(2x)的解集是() -x+1,x>2 A.(0,3) B.（W5,+o) c.(5,3 D.(3,+o) 3.在平行四边形ABCD中，AB=(2,4),BC=(2,-2),则ACDB=（) A.12 B.8 C.10 D.6 4.在aABC中，ab,c是角4B,C所对的边长若a:b:c=4:5:6,则20cos4-（) A.月 B.1 c D.2 5.已知函数f(x)=x3-5ax2+3a2x+1的极小值为-8，则实数a的值可能为() A.-3 B.-1 C.1 D.3 6.在一张半圆形纸片（圆心为O)内部剪掉一个小半圆形（圆心为O),将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则 该圆台的母线与底面所成角的度数是() A君 B.9 C. D. 7.函数f(x)=(1-2x)+(1-2x)°+(1-2x)°，则f(x)导函数f'(x)的展开式中x4的系数为() A.1120 B.-1120 C.560 D.-560 8.记点A(-2,3),A,(2,-3),B(2,0),D0,-V5,第三象限内一点P满足PA与P4,的斜率之积为3，则△PBD 周长的最小值为() A.2 B.4 C.8 D.16 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知两个变量y与x对应关系如下表： 3 4 J y 5 m P 9 10.5 若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为)=1.25x+4.25,则() A.y与x正相关 B.=7.5 C.样本数据y的第60百分位数为8.5 D.样本数据y的平均数为7 10.已知函数()的定义域为(-0,0)U(0,+0),且()=+口，当>1时，()>0，则有() A.(1)=0 B.()是偶函数： C.当-1<<0时，()>0： D.=1是()的极值点： 11.已知F是抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点，点MV2,-3)在圆C:x2+(y+2)2=R2(R>0)上，圆C在点M 处的切线与E只有一个公共点，动直线：y=√2x+t,则() A.R=V3,p=5 B.与E和圆C各恰有一个公共点的直线有6条 C.当t=0时，记E上一点Q到1的距离为d,QF+d的最小值为3 D.满足圆C上仅有一个点到1的距离为2√5的t的值有4个 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知复数z=(a+2)+(2-a)i(a∈R)为实数，则|a+i日 13.已知4行58名-6 为曲线()=V3(+)0<0<4,0<p<号)上的两点，则p= <<,()= ,则 14.若直线1：ax十y-4a=0上存在相距为2的两个动点A,B,圆O:x2+y2=1上存在点C,使得△ABC为 等腰直角三角形(C为直角顶点)，则实数α的取值范围为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(满分13分).如图，己知直三棱柱ABC-ABC中，E,F分别1,11的中点，==4， 1==6. (1)求证：直线1∥平面1： (2)求三棱锥1一的体积。 16.(满分15分)已知数列{an}和{b}满足a,a2…an=(2)(neN),b=6+b2;直线1上有三点P、A、B 满足=2+(1-+1)· (1)求{an}与{bn}: 2设c,=neN)记数列c,}的前n项和为S,求S. a b 17.(满分15分)2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式A”(GenerativeAI)向决策式AI (Decision-makingAI)的全面跨越.行业焦点已从A能说会道”的创造能力，转向其“能落地千活”的自主决 策与执行能力.某企业采用决策式AI对电子元件进行智能质量检测.工程师随机抽取若干元件进行人工全 面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分（满分100分），按[40,50)，[50,60)，[60,70)， [70,80),[80,90),[90,100]分成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图： 规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率.与此同时进行 AI检测试验，AI设备存在误判情况，试验结果显示： 若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为 30 9 若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为 10 (1)估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）： (2)该企业将AI智能质量检测投入使用. ①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被AI判定为不合格的概率； ②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被A虹判定为不合格的件数为X, 求X的分布列： (3)企业规定：若AI判为合格，则直接出厂；若AI判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%识别是否 合格.已知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200元；每个元件需 要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算，元件成本 忽略不计).若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望. 频率/组距 0.025---- 0.020 0.015 0.010 0.005 405060708090100分数 图.（满分17分）已知椭圆C+a>的离率为PK达，>为椭圆C的动点，4B是 直线1：x=-1上的两个不同点，直线PA,PB的斜率分别为k,k2,且原点O到直线PA,PB的距离均为1. (1)求椭圆C的标准方程； 2证明：飞k-1 x好-1 (3)当△PAB周长取最小值时，将椭圆以y轴为折痕折成一个直二面角，此时点P为点S,设异面直线SB与 OA所成的角为，平面ASB与平面SOA的夹角为，求(-). 19.(满分17分)设函数f(x)=sin,0<x<元. ()设()=（)，求函数=(+)+'传+)在区间(0，)上的值域： (2)证明：函数y=f(sinx)f(x)在定义域内单调递减： (3)设△ABC的外接圆直径为d,且内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若在数值上Bsina=Asinb,当且仅当 A=B,证明：0<d≤π. 国龙外国语学校2026届高三5月全国高考()全真模拟适应性考试 数学试卷（二） 参考答案 题号 2 3 5 6 8 9 10 11 答案 C A B C D B C ABC AC ABD 1.A 【详解】由题意可得U={1,2,3,4,5,6,7,8,AUB={1,2,3,4,5,6}, 则A（AUB)={7,8}. 2.C 【详解】当0<x≤2时，fy)=10g-1g,为单调递减函数，且(2)=-1og,2=-l, 当x>2时，f(x)=-x+1,也为单调递减函数，f(x)<-2+1=-1, 所以f(x)在(0，+o)上单调递减. [x2-3<2x [-1<x<3 因为f(x2-3)>f(2x),所以{x2-3>0,解得{x>V5或x<-5, 2x>0 x>0 所以3<x<3. 故该不等式的解集为(V3,3) 3.A 【详解】AC=AB+BC=(2,4)+(2,-2)上(4,2)， DB=AB-AD=AB-BC=(2,4(2,-2上(0,6)， .ACDB=4×0+2×6=12 4.B 【详解】因a:b:c=4:5:6,设a=4k,k>0,则b=5k,c=6k 由余弦定理知c0s4=2+c2-0_2502+362-1623 2bc 2×5kx6k41 由正弦定理，sinA:sinC=a:c=2:3 2acos A-2sin AcosA=2xsinAx 23 ×cosA=2×2×=1. sin C sinC 34 故选：B. 5.c 【详解】f'(x)=3x2-10ax+3a2=(3x-a)(x-3a). 令f)=0,得输界点=号名=3如 ①当a=0时，f(x)=x3+1,f'(x)=3x2≥0，函数单调递增，无极小值，舍去. ②当a>0时，3a> 31 x<8时，f')>0,f)单调递增： 3 x<3a时，f"田0，f)单调递延 x>3a时，'(x)>0,f(x)单调递增. 故x=3a为极小值点，代入f(x)得：f(3a)=(3a)3-5a(3a)2+3a2.3a+1=-9a3+1. 由极小值为-8，得-9a3+1=-8,解得a3=1,即a=1,符合a>0. @当a<0时，号>3a, x<3a时，f'(x)>0,f(x)单调递增： 3a<x<a时，f')<0,f)单调递减： x>号时，f>≥0，)单调递增 故x=号为小信4.代入年：得-9-5a写+如号1- 27+1. 由极小值为-8，得13女+1=-8，解得心=24，不在选项中，舍去 27 13 6.D 【详解】设大半圆半径为R,小半圆半径为r,则AB=R-r, O R-r B 02 B 设圆台上底面圆的半径为，圆台下底面圆的半径为R, 将此半圆环卷成圆台侧面时，展开的扇环大弧长πR,对应圆台底面周长2πR, 所以欢-2成，则R=号：小弧长和对应顶面周长2，所以和=2，则行 圆台母线长1=R-r,过A作AC垂直BO2,则AC/1OO2,所以AC⊥底面圆O2, 则母线与底面所成角为∠ABC,底面与顶面半径差为CB=R-片=2， R-r R-r 在直角三角形4CB中，9C=风-1=号，所以cs∠CC-之-· AB R-r 2 所以∠4BC=子，即母线与底面所成角的度数是 7.B 【详解】由函数f(x)=(1-2x)4+(1-2x)°+(1-2x)°， 可得f'(x)=4×(1-2x）·(-2)+5×1-2x·2)+6×1-2x）(2)=-8(1-2x)-101-2x)-121-2x）, 对于-8(1-2x)'展开式中最高次数为x,所以x4的系数为0： 对于-10(1-2x)的展开式中x4的系数为-10.C4(-2)4=-160 对于-12(1-2x)°的展开式中x4的系数为-12.Cg(-2)4=-12×5×16=-960, 所以f'(x)的展开式中x4的系数为-160-960=-1120 故选：B。 8.C 【详解1改P小，由条件号兰=兰=3，得-写=1， 可知其轨迹为双曲线第三象限的一部分，易知B为该双曲线的右焦点，左焦点为F(-2,0), 由定义与位置知PB-PF=2,于是PB+PD=PF+2+PD≥FD+2=5 当且仅当F,P,D三点共线时等号成立，于是△PBD的周长C=PB+PD+BD≥5+3=8， YA B O D 9.ABC 【详解】对于A,经验回归方程的斜率为1.25>0，所以y与x正相关，故A正确： 对于BD,由题意得x=1+2+3+4+5=3, 5 代入经验回归方程得y=1.25×3+4.25=8,所以D错误： 即8=5+m+8+9+105,解得m=75,所以B正确： 5 对于C,5×60%=3,样本数据y从小到大排列为：5,7.5,8,9,10.5， 故样本数据y的第60百分位数为8+9=8.5，故C正确。 2 10.AC 【详解】对()=①+①，两边乘以得：()=()+() 设()=() 则有()=()+() 就是对数模型，结合已知条件，可设()=丨|（只要底大于1即可） 则()=1 对于A,(1)=0,故A对： 很显然，()是奇函数，而不是偶函数，故B错误： 当-1<<0时，||<0，所以()>0，C正确： 当>0时，()=一 所以()=2 当>时，()<0：当0<<时，《)>0 所以()在区间(0，)递增，在(，+∞)上递减， 故()的极值点为=，故D错误。 11.ABD 【详解】已知点MV2,-3在圆C:x2+(0y+2)2=R2(R>0)上， 则R2=（N2+(-3+2=2+1=3,解得R=5, 圆心C(0,-2),半径为R=√3， -3-(2） :kw=2-0 ，设切线斜率为，则kkw=-5 2 k=-1, 解得k=√2， “切线方程为y+3=V2(x-2),即y=V2x-5, 联立已知切线与抛物线方程得：x2-2p(V2x-5),即x2-22pr+10. 已知切线与抛物线E:x2=2py(p>0)只有一个公共点， :△=(22p-4110p=8p2-40p=0,解得p=5或p=0(舍去)， 故A正确； 斜率存在时，设切线方程为y=c+b,圆心到直线的距离为√， 则2+A=5,即6+46+1-3法-00， Vk2+1 联立直线与抛物线方程得：x2-10x-10b=0, 己知直线与抛物线只有一个公共点，故△=100k2+40b=0②， 联立①②解得k=-或V2或5或2 共4条 5 5 当斜率不存在时，圆C的竖切线为x=±5，与抛物线x2=10y各有1个交点，共2条： 综上，共有6条，故B正确： 抛物线E:x=10,的焦点F0》,准线=子，由物线定义得，QF=。+ 当t=0时，直线1：y=√2x,点Q到1的距离d= |2xe-ye 取抛物线上点Q(0,0),则QF+d=0+2 55 <3, 故存在点Q使得QF+d<3,故C错误； 圆C上仅有一个点到1的距离为2√3，则该距离为圆上点到直线的最大或最小距离： 圆心C(0,-2)到直线的距离d=2+利 当d,+R=23时，d,=V3,则2+=3，解得t=1或t=-5: 当d-R=2√3时，d=3W3,则2+=9，解得t=7或t=-11: 故t共有4个值，故D正确. 三、填空题 12.V5 13. T._7+243 14. 50 33 12【详解】由题意，复数z=(a+2)+(2-a)i(a∈R)为实数， 则2-a=0,解得a=2, 所以a+i=2+i=V2+12=5. 13.3 -7+24v3 50 【详解】因为y=5s血(r+p)的最大值为5，最小值为-5，且4行5，B仔5， 所以吗-=乞十，k为非负整数，解得=，k为非负整数， 又T=2红，0<0<4，所以0=+2)瓜，k为非负整数， 2 令k=0,得日=于符合题意，k取其他非负整数，均不符合题意， 则y=v5m爱+p,因为过点后 所以5×t0=号+2，keZ,解得o=+2keZ, 23 令长=0，得P=于符合题意，k取其他非负整数，均不符合题意，故= 第二空：由()=一(+)= 因为<<专 所以；<2+< 所以os(G+)=-1-2(+)=-专 所以五=(G+)=cos(+)+9(G+)=3 所以 =222-1=-74243 50 a[s 【详解】根据条件：相距为2的两个动点A,B,△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)， 可以确定点C为圆心在直线1上半径为1的动圆上的点，进而将问题转化为两个圆的位置关系解决， 记线段AB的中点为M,因为△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，所以点C在以M为圆心， 半径为1的圆上，又因为点C在圆O上，所以圆M和圆O有公共点， 即0sOM≤2， 只需圆心O到直线1的距离d= -4a V1+a2 ≤2，解得-5sa 3 √35 所以实数a的取值范围为 -3’3 故答案为： 3’3 四、解答题 15.(1)证明见解析；(2)6v7 【详解】(1)取AC的中点为H,连接EH、HF F为AC的中点 ∴.FH为△AAC的中位线， .FH/IAA,且 =31 又在直棱柱中，侧棱AABB1,AA=BB1,E为BB1的中点， .'.FH//B E ∴.四边形EBFH为平行四边形 ..BiF//EH 又，EHc平面AEC1 1￠平面AEC .直线1∥平面1 (2).AB1=AB=4,B1C1=BC=4 ∴.1111 在直三棱柱中，侧棱A1AL底面AB1C 1C底面ABC .∴.AIA⊥B1F 又A1A、A1C1为侧面A1ACC1内的两条相交直线， .1⊥侧面AACC1, .由(1)得EHL侧面AACC, .∴.EH为三棱锥E-ACC1的高 “三棱锥1-的体积1-=-1=}×V7××6×6=6V7 16.(I)an=2"(n∈N),bn=n(n+1)(n∈N) 2)S,=1_1 n+12EN) 【详解】(1)由题意，a,a2…an=(N2)(n∈N)）,b-b,=6, 知a,=(2=8,a>0, 因为三点P、A、B共线，且满足=2+(1一+1) 所以2+(1-+1)=1 解得+1=2 因为an>0, 所以数列{an}是等比数列，公比g=2 ÷1=号=8=2 所以数列{an}的通项公式为an=2"(n∈N), 所以a4aa,=2=(2), 故数列{bn}的通项公式为，bn=n(n+1)(n∈N): (2)由(1)知，Cn= 1-1-1-11 b,2(nn+ (n∈N), 所以8=日*)H引+日》 11 -(neN') n+1 2 17.0071.5分(2①4 ② X 0 1 2 3 27 27 9 1 64 64 64 64 (3)67.5元 【详解】(1)平均数x=45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.25+85×0.15+95×0.15=71.5分. (2)设事件A:元件实际合格，事件B:元件被AI判定为不合格， 由题意得： P-Pa-0-0Pa-8 10 D自企概车公式：P(到=P)P(⑧A)P⑧子六子品号 ②由题意， x~a34 计算概率得： Kx--c rx-n-c) 分布列为： X 0 1 3 27 27 9 1 64 64 64 64 (3)设每件元件收益为Y,分四种情况计算期望： 支际合备，AN判合格：了=0，颜率R-子器器 实际合格，A1判不合格：Y=100-10=0,概率B=3×=】 43040 实际不合格，1究合格：了测，降月-的而 实标不合格，N判不合格：y=0,既率月子00 期E()=100000+(-20j+(-10 9=675元· 18.( 4+少=1(2)证明见解析 8-V 【详解】(1)：e=c-a2-1 ,a=2 a a2 因此椭圆C的标准方程为：+y=1 4 (2)直线1p4y-yo=k(x-x)，,即kx-y+-kx=0, 原点0到直线距离为1，由点到直线距离公式：=1O: k2+1 平方整理得：(x-1)k2-2xyk+y-1=0, 同理：(x-1)k-2xyk2+y后-1=0， 人、点是方程（后-1k2-2k+后-1=0两根，由韦达定理得：人k,=片1 x2-1 (3).lpa:y-yo=k(x-x), .（-1,0+1(-1-0), 同理：B:(-1,+k(-1-x)》,AB=|k-k31+x, AP=V+k1+x,由①可得；AP叫=-k1+x, 同理：BP=以-kxl+xl, ∴AP+BP+AB=。-kxl+x+-kxl+x+k-k1+x =(%-kx+y-k3x+|k-k20×1+x =x1+x)k-k+k-k31+x) =(1+x)2k-k=(1+)2V(k+k2)2-4kk3 6+6=2 x6-1 6= x-1 2 ·AP+|BP+AB=(1+xo) 2xoYo 481 x-1 x-1 +。)V4+48-4 x-1 年片-1，g=-,P+laP+B=+B-5+2, 41 x-1 x-1 令1=-1,1∈(0，则，设s0=5+3+2）,1e0, t ∴s)=5+2+3,t0,小，s)在1∈(0,1单调递减， ∴.△PAB的周长的最小值为s(1)=6√5 因为1 所以，将椭圆以Y轴折成直二面角后垂直X轴和Y轴所在的平面， 以OS为Z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 此时(0,0,2)，(-1，V3,0),(-1,-V3,0) =(0,0,2), =(-1,V3,0),=(1,3,2),=(0,2W3,0) =(, 川===号 =同 设平面SOA的法向量为=(，，) Z 个 则·=0，·=0 …。-{=8 2=0 A 取=1得=(V3,1,0) 设平面SAB的法向量为=(，，) --->x 则· =0, =0 (2V3=0 ·+3+2=0}-。2 =0 取=-1得=(2,0，-1) 2V3V15 255 哈 3 (-)=1+ 7- 8V6-5√7 1+零 11 19.(1)(-1,V3 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】(1)解：由函数f)=si,可得gx)sinx, ·()= (+)=3（吃+） =G+-+石)=G+)+ =2G- :0<< 6<26<3 /1 故所求函数在区间(0，)上的值域是(-1，V3) (2)证明：由函数y=了sir)f)片s血(sn叫，xeQ,, 可得y=xcosrcos((sinx)--sin(sinx) x 要证明其单调递减，只需证明y<0,由x>0,只需证明分子小于0， N(x)=xcosxcos(sinx)-sin(sinx), 当xe[径时，可得oxs0,且0csmr1<经 所以cos(sinr)>0且sin(sinx)>0,此时xcosxcos(sinr)≤0，-sin(sinr)<0, 所以0成立，所以/<0，所以函数y=m小心)在经上单调递减： 当x0》时，可得cor>0,要证明aa(6in)km(sm. sin(sinx) 只需证明 cos(sinx) >xcosx,即证明tan(sinx)>xcosx, 下面明xeo时，mc>, 设两数m()=mr-t0引：可得m-=1x， cos'x 当x0时.m()>0,m()在0上单调递增， 因为m(0)=0,可得m(x)>m(0),即tanr-x>0,所以tanx>x得证； 因为所以mr@=(o》 可得tan(sinx)>sinx, 只需证明sinr>xcosx, 等价于证明sinr>x,即ar>x,此结论已证， cosx sin(sinx) 所以tan(sinx)>sinx>xcosx,即 xcoSX, cos(sinx) 又因为cos(sinx)>0,故sin(sinx)>xcosxcos(sinx),即N(x)<0, 所以y<0,所以函数y=(m)y在(0引上单调递减： 综上可得，函数y=f(sinx)f(x)在定义域内单调递减. (3)证明：在eABC中，由正弦定理得=sin,=sin, 代入Bsina=-Asinb,可得Bsin(sinA)=Asin(dsinB),即sin(kin4)_si血(kinB) A B 设g)=s血(n,其中xc(0,列，则sa=inb当且仅当A=B, 等价于方程g(A)=g(B)在eABC满足A,B∈(O,π)且A+B<π时只有唯一解A=B, 当0<d≤元时，g(y)=d.s加(im.sinr dsinx 时， sinx∈(0,1]单调递增，可得u=dsinx∈(O,π]单调递增， 由(1)知： sin(dsinx)与sinx均为关于x的正值减函数， dsinx 则&()在(0 上单调递减， 下面证明：若g()=g(,则必有A=B,不纺设A≤B当8e0,时， 因为4B(0,且g)在该区间单调递减，放由g(4)=8(®)，必有A=B: 当8e经时，由于8是®8c的内角，故4+B<,即0<<-<号 因为)0 单调递减，可得g(A)>g(π-B), 又因为g(x-B）-sin(asin(r-B)sin(dsin) π-B 元-B 因为B>x,所以0<π-<，且d≤元且sinB∈(0，)，有dsinB∈(0，， 所以sin(dsinB)>0,所以sin(dsinB）、sin(dsinB) π-B 2,即g(π-B)>g(B), B 联立得g(A)>g(π-B)>g(B),这与g(A)=g(B)矛盾， 所以当0<d≤π时，当且仅当A=B时，Bsina=Asinb成立， 当d>π时，假设原命题成立，下证矛盾， 因为d>x,存在无0到引使得9n。=,此时g)-0, 取B(经使得杰B=(伍2，则g(D)<0, 令a=元-B,则a∈0，且sina=sinp, 2 因sin=sin>π=sino,且a,x均为锐角，故o<, 只需比较g(a),g(B).由于sin(dsina)=sin(dsinβ)<0且0<a<f, 所以sin(dsina）)sin(dsin6 ,即g(a)<g(B)<0,此时有g(a)<g()<g(x),设 a F(x)=g(x)-g(B), 可得F(x)=g(x)-g(B)=-g(B)>0,F(a)=g(a)-g(B)<0, 则根据零点存在性定理，存在A∈(xo,)使得F(A)=0,即g(A)=g(), 令B=B,则g(A)=g(B), 因为AKa且=π-，故A+B<a+(π-a)=元：且<<，故A≠B, 这与“当且仅当A=B”矛盾，故d>π不成立， 综上所述，实数d的取值范围是(0，π.