精品解析：宁夏银川市北京师范大学银川学校2025-2026学年下学期期中素质测评八年级数学卷

宁夏银川市北京师范大学银川学校2025-2026学年下学期期中素质测评八年级数学卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 不等式的解在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，、、的对边分别为a、b、c，下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一个正八边形与一个正六边形按如图所示放置，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，E为公共顶点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 7. 如图，在中，，，分别以，两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，交于点，若，则的长度为（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 若不等式组的解集是 x＞3，则m的取值范围是（ ）. A. m＞3 B. m≥3 C. m≤3 D. m＜3 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 命题“若，则”的逆命题是___________（填“真”或者“假”）命题． 10. 如图，已知函数与函数的图象交于点P，则不等式的解集是______． 11. 若有意义，则x的取值范围是：____________________． 12. 如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为_____度． 13. 如图，BD是的平分线，于，则__________cm． 14. 某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打_____折． 15. 如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为、，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为_____． 16. 如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________． 三、解答题（共72分） 17. 解下列不等式组 （1） （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，B． （1）画出将向下平移5个单位得 （2）请画出，使与关于原点中心对称 （3）将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的 19. 晨光文具店用进货款元购进A品牌的文具盒个，品牌的文具盒个，其中A品牌文具盒的进货单价比品牌文具盒的进货单价多元． （1）求A，两种文具盒的进货单价． （2）已知A品牌文具盒的售价为元／个，若使这批文具盒全部售完后利润不低于元，品牌文具盒的销售单价最少是多少元？ 20. 如图，已知 （1）尺规作图：作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法，并标明字母） （2）在（1）的条件下，若交的延长线于点E，求证：是等腰三角形． 21. 2025年春节档电影《哪吒之魔童降世》掀起观影热潮，影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．哪吒之魔童闹海人物卡通模型深受青少年喜爱．现有甲、乙商店推出购买优惠活动： 甲商店优惠大放送：购买哪吒系列人物卡通模型20元/个．若购买超过3个，则超过的部分按六折付款！ 乙商店促销活动：原价：20元/个．现优惠价：八折！！ （1）若在甲、乙商店购买哪吒系列人物卡通模型的付款金额分别记为（元），请分别求出与购买数量的函数关系式． （2）当购买数量超过3个时，应选择在哪家商店购买更划算？请通过计算说明． 22. 政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线． （1）分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示） （3）经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？ 23. 如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． （1）若的周长为，的周长为，求的长； （2）若，，求的度数． 24. 如图，过点的直线与直线交于点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求点的坐标和直线的解析式； （2）若点在正半轴上运动时，点运动到何处时与面积相等？并求出此时面积． 25. 在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义： 【尝试】探究函数的图象与性质． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： 0 1 2 3 4 2 0 0 根据表格中的信息可得____________． （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【探索】 （3）写出函数的一条性质____________． 【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题： （4）关于的不等式的解集为____________． （5）若关于的方程有且只有一个正数解和一个负数解，请直接写出满足条件的的取值范围． 26. （1）如图1，O是等边内一点，连接，且，将绕点B顺时针旋转后得到，连接． 求：①旋转角的度数　　； ②线段的长　　； ③求的度数． （2）如图2所示，O是等腰直角内一点，连接，将绕点B顺时针旋转后得到，连接OD．当满足什么条件时，？请给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏银川市北京师范大学银川学校2025-2026学年下学期期中素质测评八年级数学卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的定义，逐项分析求解即可． 【详解】解：A． 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B． 该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C． 该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 2. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可解答 【详解】解：A、在不等式的两边同时加2，不等式仍成立，即，正确，不符合题意； B、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，正确，不符合题意； C、在不等式的两边同时除以2，不等式仍成立，即，正确，不符合题意； D.当时，，原判断错误，故本选项符合题意 故选：D. 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 不等式的解在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，即可求得答案． 【详解】解： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 在数轴上表示为： 故选：A 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 4. 在中，、、的对边分别为a、b、c，下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】据三角形内角和定理可得A、D是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出B、C是否是直角三角形． 【详解】A、在中，,, 故是直角三角形，不符合题意； B、在中，，设， 则， 故是直角三角形，不符合题意； C、在中，，故是直角三角形，不符合题意； D、在中，，， 设， 解得：， ， 故不是直角三角形，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，熟练掌握三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解决本题的关键． 5. 将一个正八边形与一个正六边形按如图所示放置，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，E为公共顶点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，得出即可． 【详解】解：由多边形的内角和可得， ， ， ， ， 由三角形的内角和得： ， ． 故选：C 6. 某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】B 【解析】 【分析】设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x），然后根据题意列出不等式组，确定不等式组整数解的个数即可． 【详解】解：设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x）个 由题意得：，解得4≤x≤6 则x可取4、5、6，即有三种不同的购买方式． 故答案为B． 【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用，弄清题意、列出不等式组并确定不等式组的整数解是解答本题的关键． 7. 如图，在中，，，分别以，两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，交于点，若，则的长度为（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，再计算出，则利用含30度角的三角形三边的关系得到，所以，然后计算即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：D． 8. 若不等式组的解集是 x＞3，则m的取值范围是（ ）. A. m＞3 B. m≥3 C. m≤3 D. m＜3 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式组，然后根据不等式的解集，得出m的取值范围即可． 【详解】， 解①得，x>3； 解②得，x>m， ∵不等式组的解集是x>3， 则m≤3. 故选C. 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，其简便求法就是利用口诀求解.也可利用不等式的性质求解.求不等式组的解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解集. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 命题“若，则”的逆命题是___________（填“真”或者“假”）命题． 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查了逆命题与判断命题的真假，写出逆命题，举出反例，由此即可得出答案． 【详解】解：命题“若，则”的逆命题是“若，则”， 不妨设，，满足，但， ∴“若，则”是假命题， 故答案为：假． 10. 如图，已知函数与函数的图象交于点P，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察图象可得当时，函数的图象位于函数的图象的上方，即可求解．利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象的上方， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 11. 若有意义，则x的取值范围是：____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：根据题意得， 解得． 12. 如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为_____度． 【答案】15 【解析】 【分析】根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC=BD，求出∠CBD的度数，再求∠BDC的度数． 【详解】解：根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC＝BD， ∴△CBD是等腰三角形， ∴∠BDC＝∠BCD， ∵∠CBD＝180°﹣∠DBE＝180°﹣30°＝150°， ∴∠BDC＝（180°﹣∠CBD）÷2＝15°． 故答案为15． 【点睛】根据旋转的性质，确定各角之间的关系，利用已知条件把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转求出即可． 13. 如图，BD是的平分线，于，则__________cm． 【答案】5 【解析】 【分析】过点作于，设为，根据角平分线的性质得到 ，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可． 【详解】解：过点作于， 设为， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ， 解得， ∴． 14. 某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打_____折． 【答案】七 【解析】 【分析】利润率不低于，即利润要大于或等于元，设打x折，则售价是元．根据利润率不低于就可以列出不等式，求出x的范围．本题考查一元一次不等式的应用，正确理解利润率的含义，理解利润=进价×利润率，是解题的关键． 【详解】解：设至多打x折， 则， 解得， 即最多可打七折． 故答案为：七． 15. 如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为、，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，如图，，代入函数关系式，可得，则，所以，线段扫过的面积为平行四边形的面积． 【详解】解：∵，，点A、B的坐标分别为、， ∴，， 将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，如图， 根据平移的性质得：，，， ∴四边形是平行四边形， 把代入直线， 解得，即， ∴， ∴平行四边形的面积； 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的性质、平移的性质、勾股定理以及平行四边形的判定，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 16. 如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________． 【答案】8105 【解析】 【分析】观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2026除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴将绕点顺时针旋转到位置①时，， 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②时，， 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③时，， ……， 以此类推可知，每旋转3次为一个循环组，每一个循环长度增加12， ∵， ∴ ． 三、解答题（共72分） 17. 解下列不等式组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：解不等式①， ， ， ， ， ， ， 解不等式②， ， ， ， ， ∴不等式组的解集为 ． 【小问2详解】 解：解不等式①， ， ， ， ， ， 解不等式②， 去分母得，， ， ， ， ， ∴不等式组的解集为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，B． （1）画出将向下平移5个单位得 （2）请画出，使与关于原点中心对称 （3）将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）将三个顶点分别向下平移5个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将三个顶点分别关于原点中心对称得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （3）将三个顶点分别绕原点逆时针旋转后得到其对应点，再首尾顺次连接即可得． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求； 19. 晨光文具店用进货款元购进A品牌的文具盒个，品牌的文具盒个，其中A品牌文具盒的进货单价比品牌文具盒的进货单价多元． （1）求A，两种文具盒的进货单价． （2）已知A品牌文具盒的售价为元／个，若使这批文具盒全部售完后利润不低于元，品牌文具盒的销售单价最少是多少元？ 【答案】（1）A品牌文具盒进货单价为元，品牌文具盒进货单价 元 （2） 元 【解析】 【分析】（1）设A品牌文具盒进货单价为元，则品牌文具盒进货单价为 元．根据“用进货款元购进A品牌的文具盒个，品牌的文具盒个”列方程求解即可； （2）设品牌文具盒销售单价为元，根据“这批文具盒全部售完后利润不低于元”列出不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设A品牌文具盒进货单价为元，则品牌文具盒进货单价为 元． 由题意，得 ． 解得 ． 则（元） 即A品牌文具盒进货单价为元， 品牌文具盒进货单价元． 【小问2详解】 设品牌文具盒销售单价为元， 由题意，得 ． 解得 ． 即品牌文具盒的销售单价最少是元． 【点睛】此题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． 20. 如图，已知 （1）尺规作图：作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法，并标明字母） （2）在（1）的条件下，若交的延长线于点E，求证：是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图-角平分线的作法作图即可； （2）先推导出，得到，证明出，则是等腰三角形，即可解答． 【小问1详解】 解：如图①，即为所求； 【小问2详解】 证明：如图②， 由（1）知，平分， ， ∵， ， ， ， 是等腰三角形． 21. 2025年春节档电影《哪吒之魔童降世》掀起观影热潮，影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．哪吒之魔童闹海人物卡通模型深受青少年喜爱．现有甲、乙商店推出购买优惠活动： 甲商店优惠大放送：购买哪吒系列人物卡通模型20元/个．若购买超过3个，则超过的部分按六折付款！ 乙商店促销活动：原价：20元/个．现优惠价：八折！！ （1）若在甲、乙商店购买哪吒系列人物卡通模型的付款金额分别记为（元），请分别求出与购买数量的函数关系式． （2）当购买数量超过3个时，应选择在哪家商店购买更划算？请通过计算说明． 【答案】（1），（其中为正整数） （2）当时，到乙商店购买更划算；当时，到甲、乙两个商店购买花费一样；当时，到甲商店购买更划算． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以求得与之间的函数关系式； （2）分，，三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：当时， ， ． 【小问2详解】 解：当时，； 当时，； 当时，． ∴当时，到乙商店购买更划算；当时，到甲、乙两个商店购买花费一样；当时，到甲商店购买更划算． 22. 政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线． （1）分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示） （3）经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？ 【答案】（1）， （2） （3）元 【解析】 【分析】本题考查了平移的实际应用，能将图形中的等宽路利用平移重合组合成一个矩形是解题的关键． （1）利用平移的思想将分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可得出和，即可解决； （2）利用平移的思想将分成的四块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可； （3）代入数据求值即可． 【小问1详解】 解：由图1可得小路是长为，宽为的长方形， 则分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长为米，宽为的长方形， 则， 由图2可得小路分成的两块草地也可以通过平移重新组合成一个长方形， 由图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线， 则， 故答案为：，； 【小问2详解】 由图可知图3中的四块草地可以通过平移得长为米，宽为米的长方形， 则； 【小问3详解】 当，时， ， 因为铺草地平均每平方米需要花费元， 所以铺设这块草地一共需要花费（元）， 答：铺设这块草地一共需要花费元． 23. 如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． （1）若的周长为，的周长为，求的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的性质和判定是解本题的关键． （1）先证明，，结合的周长为，的周长为，可得，从而可得答案； （2）先求解，证明，再利用三角形全等的性质可得答案； 【小问1详解】 解：是线段的垂直平分线， ，， 的周长为，的周长为， ，， ， ； 【小问2详解】 ，， ， 在和中， ， ， ， ． 24. 如图，过点的直线与直线交于点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求点的坐标和直线的解析式； （2）若点在正半轴上运动时，点运动到何处时与面积相等？并求出此时面积． 【答案】（1）点P的坐标为， （2）点M运动到时，与面积相等， 【解析】 【分析】（1）先把代入，求出m得到P点坐标，然后利用待定系数法求直线l1的解析式； （2）由与有相同的高，即．当时， 与面积相等，可求，求得，则点M运动到时， 与面积相等，再根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入中，得 ， ∴点P的坐标为． 把点分别代入中，得 ， 解得， ∴直线l1的解析式为； 【小问2详解】 解：对于直线，当时，， 解得， ∴， 由（1）得点P的坐标为， ∵与有相同的高，即．要使与面积相等，且点M在x轴正半轴上， 如图， ∴在x轴上取点M，当时，与面积相等． ∵在直线中，当时， ，即点B的坐标是 ， ∴， 即， ∴， 则点M运动到时，与面积相等． ∴． 25. 在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义： 【尝试】探究函数的图象与性质． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： 0 1 2 3 4 2 0 0 根据表格中的信息可得____________． （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【探索】 （3）写出函数的一条性质____________． 【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题： （4）关于的不等式的解集为____________． （5）若关于的方程有且只有一个正数解和一个负数解，请直接写出满足条件的的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3）当时，y随x增大而减小，当时，随x增大而增大（答案不唯一） （4） （5） 【解析】 【分析】（1）直接代入求值即可； （2）通过描点，连线，画图即可； （3）由函数图象，写出对应的增减性即可； （4）求出两个函数的交点坐标，结合函数图象即可得到答案； （5）根据（4）所画函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入得，， ． 【小问2详解】 解：如图所示即为所求； 【小问3详解】 解：由函数图象可得，在中，当时，y随x增大而减小，当时，随x增大而增大； 【小问4详解】 解：在中，当时，，当时，， 联立， 解得； 联立， 解得； 如图 ∴由函数图象可得，不等式的解集为：； 【小问5详解】 解：由函数图象可知， 当时，函数与函数有两个交点，且两个交点分别在y轴的左右两侧， 即此时关于x的方程有且只有一个正数解和一个负数解， m的取值范围为． 26. （1）如图1，O是等边内一点，连接，且，将绕点B顺时针旋转后得到，连接． 求：①旋转角的度数　　； ②线段的长　　； ③求的度数． （2）如图2所示，O是等腰直角内一点，连接，将绕点B顺时针旋转后得到，连接OD．当满足什么条件时，？请给出证明． 【答案】（1）①；②4；③；（2）当满足时，，见分析 【解析】 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，于是可确定旋转角的度数为； ②由旋转的性质得，加上，则可判断为等边三角形，所以； ③由为等边三角形得到，再利用旋转的性质得，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，，所以； （2）根据旋转的性质得，则可判断为等腰直角三角形，则，然后根据勾股定理的逆定理，当 时，为直角三角形，． 【详解】解：（1）①为等边三角形， ， 绕点B顺时针旋转后得到， ， 旋转角的度数为； ②绕点B顺时针旋转后得到， ， 而， 为等边三角形； ； ③为等边三角形， ， 绕点B顺时针旋转后得到， ， 在中，， ， ， 为直角三角形，， ； （2）时，．理由如下： 绕点B顺时针旋转后得到， ， 为等腰直角三角形， ， 当时，为直角三角形，， ， 当满足时，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定与性质，根据熟练掌握旋转性质并灵活运用是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $