第21章 四边形 章末复习 第1课时 教案 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章 四边形 章末复习 第一课时 教学目标 1．掌握多边形的相关概念及内角和、外角和公式，了解四边形的不稳定性，发展几何直观和空间观念． 2．掌握平行四边形的定义、性质及判定方法，理解两条平行线之间的距离处处相等，掌握三角形的中位线定理以及直角三角形的性质定理，能综合运用相关知识解决几何问题，提升推理能力，增强应用意识． 教学重点 1．多边形的内角和、外角和公式． 2．综合运用平行四边形的性质与判定等相关知识解决几何问题． 教学难点 综合运用平行四边形的性质与判定等相关知识解决几何问题． 教学过程 复习导入 请你带着下面的问题，进入本章的复习吧！ 1．四边形的内角和与外角和分别是多少？n边形呢？在得出这些结论的过程中，采用了怎样的方法？ 2．平行四边形有哪些性质？如何判定一个四边形是平行四边形？你能概述一下研究平行四边形的思路和方法吗？ 3．本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理，你能仿照这一过程，再得出一些其他几何结论吗？ 【设计意图】以问题串的形式创设情境，引导学生系统回顾本章知识内容，为后续系统复习与知识整合奠定基础． 要点复习 【要点一】多边形及其内角和与外角和 知识点1　四边形及其内角和与外角和 1．四边形的相关概念 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点．连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线． 与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角． 记作：四边形ABCD． 2．四边形的内角和与外角和：四边形的内角和与外角和都等于360°． 3．四边形不具有稳定性． 知识点2　多边形的有关概念 1．在平面内，由n（n≥3）条线段A1A2，A2A3，…，An－1An，AnA1首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形．多边形有几条边就叫作几边形． 2．各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形． 知识点3　多边形的内角和与外角和 1．一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形，n边形的内角和等于(n－2)×180°． 2．多边形的外角和等于360°． 【例1】若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形内角和为1 800°，则原多边形的边数是（ ） A．12 B．11或12 C．12或13或14 D．11或12或13　 【答案】D 【解析】设多边形截去一个角后的边数为n， 则(n－2)·180°＝1 800°， 解得n＝12． 截去一个角后边的数量情况有三种：①减少1；②不变；③增加1． ∴ 原来多边形的边数是11或12或13． 【归纳】多边形（边数大于3）截去一个角有三种截法： （1）过相邻两边上不相邻的两个顶点截取，则新多边形的边数比原多边形的边数少1； （2）过任意一个顶点，以及与这个顶点所在边相邻边上的一点（非顶点）截取，则新多边形的边数与原多边形的边数相同； （3）过相邻两边上的任意两个点（非顶点）截取，则新多边形的边数比原多边形的边数多1． 【例2】如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后，向左转30°，再沿着直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米． 【答案】120 【解析】依题意，小亮行走的路线构成了一个正多边形，每一个外角都是30°． ∵ 360÷30＝12， ∴ 他需要走12次才会回到原来的起点， 即一共走了12×10＝120（米）． 【例3】如图，四边形ABCD的内角∠BCD的平分线与外角∠ABE的平分线相交于点F． （1）若BF∥CD，∠ABC＝80°，求∠BCD的度数； （2）已知四边形ABCD中，∠A＝110°，∠D＝120°，求∠F的度数． 【答案】解：（1）∵ ∠ABC＝80°， ∴ ∠ABE＝180°－80°＝100°． ∵ BF 平分∠ABE， ∴ ∠ABF＝∠EBF＝50°． ∵ BF∥CD， ∴ ∠BCD＝∠EBF＝50°． （2）∵ CF平分∠BCD，BF平分∠ABE， ∴∠BCF＝∠DCF＝∠BCD，∠EBF＝∠ABF． ∵ ∠A＋∠D＋∠ABC＋∠BCD＝360°，∠A＝110°，∠D＝120°， ∴ ∠ABC＋∠BCD＝360°－110°－120°＝130°， 即180°－∠ABE＋2∠BCF＝130°． ∵ ∠ABE＝2∠EBF，∠EBF＝∠F＋∠BCF， ∴ 180°－2(∠F＋∠BCF)＋2∠BCF＝130°， ∴ 2∠F＝50°，∴ ∠F＝25°． 【设计意图】通过知识梳理和例题分析，帮助学生加深对多边形内角和与外角和公式的理解，提升推理和运算能力． 【要点二】平行四边形的性质与判定 知识点1　平行四边形的概念 1．定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形． 2．表示方法：平行四边形用“▱ABCD”表示，如图，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”． 知识点2　平行四边形的性质 1．平行四边形的对边相等． 2．平行四边形的对角相等． 3．平行四边形的对角线互相平分． 知识点3　两条平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离．两条平行线之间的距离处处相等． 知识点4　平行四边形的判定 1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 5．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【例1】如图，▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O．若AC＋BD＝22，则△BOC的周长为（ ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【解析】∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，BC＝AD＝10， ∵ AC＋BD＝22，∴ OC＋OB＝11， ∴ △BOC的周长＝OC＋OB＋BC＝11＋10＝21． 【归纳】“平行四边形的对角线互相平分”这一性质经常被用来求三角形的周长或边的取值范围． 【例2】如图，▱ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且∠ADE＋∠CDF＝60°，求∠EDF的度数． 【答案】解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠A＝∠C，DC∥AB， ∴ ∠A＋∠ADC＝180°． ∵ DE⊥AB，DF⊥BC， ∴ ∠A＋∠ADE＝90°，∠C＋∠CDF＝90°， ∴ ∠ADE＝∠CDF． ∵ ∠ADE＋∠CDF＝60°， ∴ ∠ADE＝∠CDF＝30°， ∴ ∠A＝60°，∴ ∠ADC＝120°，∴ ∠EDF＝60°． 【归纳】求角的度数时，要充分利用平行四边形的对角相等、邻角互补等特点解决问题． 【例3】如图，▱ABCD中，点M，N分别在边BC，AD上，且AM∥CN，对角线BD分别交AM，CN于点E，F．求证BE＝DF． 【答案】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD，AB＝CD，∴ ∠ABE＝∠CDF． ∵ AM∥CN，∴ ∠AEB＝∠NFE． 又 ∠NFE＝∠CFD，∴ ∠AEB＝∠CFD， 在△AEB和△CFD中， ∴ △AEB≌△CFD（AAS）， ∴ BE＝DF． 【归纳】平行（四边形）、全等（三角形）不分家： 利用平行四边形的性质可得等角和等边，进而由等角和等边的关系证明相关三角形全等，再由全等三角形的性质得到相应角（边）相等，这是平行四边形中证明等量关系的常用方法和思路． 【例4】在▱ABCD中，∠A＝45°，BC＝2，则AB与CD之间的距离为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】如图，作DE⊥AB，垂足为E，则∠AED＝90°． ∵ ∠A＝45°，∴ ∠ADE＝45°，∴ AE＝DE． ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD＝BC＝2． 又 AE2＋DE2＝AD2， ∴ 2DE2＝22，∴ DE＝， ∴ AB与CD之间的距离为． 【例5】如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，BC边上的点，且∠ABE＝∠CDF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）连接CE，若CE平分∠DCB，DF⊥BC，DF＝4，DE＝5，求△BCE的面积． 【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形， ∴ AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠DCF，AB＝CD． ∵ ∠ABE＝∠CDF， ∴ △ABE≌△CDF（ASA）． ∴ AE＝CF． ∴ AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF． 又 DE∥BF， ∴ 四边形BEDF是平行四边形． （2）解：∵ 四边形BEDF是平行四边形， ∴ BF＝DE＝5，DE∥BC，∴ ∠DEC＝∠ECB． ∵ CE平分∠DCB，∴ ∠DCE＝∠ECB， ∴ ∠DEC＝∠DCE，∴ DE＝CD． ∵ DF⊥BC，DF＝4，DE＝5， 在Rt△DFC中，CF＝＝＝3． ∴ BC＝BF＋CF＝5＋3＝8， ∴ S△BCE＝BC·DF＝×8×4＝16． 【设计意图】通过知识梳理和例题分析，帮助学生巩固对平行四边形性质与判定的理解，提升运用性质和判定解决几何问题的能力． 【要点三】三角形的中位线及其定理 1．定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线． 2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【例1】如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（ ） A．15 B．18 　 C．21 　　 D．26　 【答案】A 【解析】∵ ▱ABCD的周长为36， ∴ 2(BC＋CD)＝36，则BC＋CD＝18． ∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝12， ∴ OD＝OB＝BD＝6． 又 点E是CD的中点，DE＝CD， ∴ OE是△BCD的中位线， ∴ OE＝BC． ∴ △DOE的周长＝OD＋OE＋DE＝BD＋(BC＋CD)＝6＋9＝15． 【归纳】平行四边形的对角线交点是两条对角线的公共中点，以此为端点很容易构造三角形的中位线，解决有关的线段计算问题．关键是需要根据平行四边形的性质及三角形的中位线定理进行线段的有序转换． 【例2】如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF． （1）求证：EF∥BC； （2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积． 【答案】（1）证明：∵ DC＝AC，CF平分∠ACB， ∴ 点F是AD的中点． 又 点E是AB的中点， ∴ EF是△ABD的中位线， ∴ EF∥BC． （2）解：∵ EF是△ABD的中位线， ∴ EF∥BC，EF∶BD＝1∶2， 如图，连接DE，则S△DEF∶S△DEB＝1∶2， 又 四边形BDFE的面积为6， ∴ S△DEF＝×6＝2． 又 点F是AD的中点， ∴ S△AEF＝S△DEF＝2， ∴ S△ABD＝2＋6＝8． 【设计意图】通过知识梳理与例题分析，让学生能熟练利用三角形的中位线定理进行相关证明与计算，提升运算能力和应用意识． 课堂小结 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 完成教材86～88页复习题21第2，3，8，9题． 学科网（北京）股份有限公司 $