专题03 一次函数（5常考1易错4压轴60题，期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 以“5常考+1易错+4压轴”构建一次函数专项训练体系，覆盖从概念到综合应用的完整逻辑链，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念|7题|正比例关系判断、定义域求解|从函数定义到性质理解的基础构建| |图像性质|9题|象限判断、增减性分析|几何直观与符号意识的结合应用| |解析式|5题|平行直线、交点坐标|方程思想解决函数表达问题| |不等式|3题|图像解不等式|函数与不等式的转化推理| |应用题|7题|工程、行程等实际场景|模型意识与数据观念的综合运用| |易错平移|4题|平移规律辨析|强化空间观念与细节把控| |几何综合|3题|与矩形、对称结合|函数与几何的推理能力融合| |动态最值|7题|面积、路径最值|动态问题中的推理意识培养| |动点函数|3题|动点轨迹表达|运动变化中的抽象能力训练| |存在性|3题|等腰三角形、菱形存在性|开放问题中的创新意识提升|

专题03 一次函数（5常考1易错4压轴） 题型1 函数（一次函数）的概念（常考） 题型6 一次函数图象平移（易错） 题型2 一次函数图像与性质（常考） 题型7 一次函数与几何综合（压轴） 题型3 求一次函数解析式（常考） 题型8 一次函数动态最值问题（压轴） 题型4一次函数与不等式（常考） 题型9 一次函数动点函数问题（压轴） 题型5 一次函数实际应用题（常考） 题型10 存在性问题（压轴） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 函数（一次函数）的概念（常考）（共7小题） 1．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）下面各组变量的关系中，成正比例关系的是（    ） A．圆的周长与它的半径 B．人的身高与年龄 C．正方形的面积与它的边长 D．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 2．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）下列四个函数中属于一次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海·期末）函数的定义域是 __________． 4．（24-25八年级下·上海虹口·期末）已知一次函数，如果，那么的值是___________． 5．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）若函数，当自变量取值增加2的时候，函数值减少3，那么的值是________． 6．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如果函数(其中是常数)是一次函数，那么的取值范围是_________． 7．（24-25八年级上·上海·期末）小明在探究事物的变化过程时发现，在某个变化过程中也可能有三个变量，参考本学期学习函数的经验，小明将这三个变量设为、和，如果在变量和的允许取值范围内，变量随着和的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，小明就将变量叫做变量和的二元函数，例如，小明认为、两数的积，就是和的二元函数．同样为了继续研究二元函数，小明把语句“是和的二元函数”用记号来表示．现在，小明在研究过程中发现了一个二元函数，满足特征，，那么____． 题型2 一次函数图像与性质（常考）（共9小题） 8．（24-25八年级上·上海崇明·期末）若正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·上海静安·期末）经过点且平行于的直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知一次函数，如果y随x的增大而减小，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·上海青浦·期末）对于某个一次函数（），根据下面两位同学的对话得出的结论，正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·上海·期末）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（   ） ①函数图象经过点：②图象经过第二象限；③当时，y随x的增大而增大． A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）已知一次函数，如果随的增大而增大，那么它的图像不经过第________象限． 14．（24-25八年级下·上海崇明·期末）已知一次函数与轴交于正半轴，则函数值随的增大而___________． 15．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如果、是一次函数图象上不同的两点，那么______0（填“＞”、“＜”或“＝”）． 16．（23-24八年级上·上海·期末）正比例函数的图像经过，且，则k的范围是________． 题型3 求一次函数解析式（常考）（共5小题） 17．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）平面直角坐标系中，直线经过点，且与直线平行，求直线l的解析式，以及与x轴的交点坐标． 18．（24-25八年级下·上海·月考）一次函数图像与x轴交点为，与y轴交点为，其中、是关于x的方程的两个根，且，A、B两点间的距离为，求m的值和一次函数解析式． 19．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与点． (1)求此一次函数的解析式，并在坐标系中画出它的图象； (2)若设点为此一次函数图象与轴的交点，求的面积． 20．（24-25八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数的图像经过点和点． (1)求一次函数的解析式； (2)在x轴上有一点P，且，求点P的坐标． 21．（24-25八年级下·上海·月考）已知一条直线经过点，点，将这条直线向左平移与轴负半轴、轴负半轴分别交于点、点，使． (1)求以直线为图象的解析式； (2)过顶点的直线将的面积平分，请直接写出直线的解析式． 题型4一次函数与不等式（常考）（共3小题） 22．（24-25八年级下·上海松江·期末）如果一次函数的图像与轴交于点，那么时，的取值范围是___________． 23．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，直线过点与，那么关于的不等式的解集是___________． 24．（24-25八年级上·上海·期末）如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，则不等式的解集是_____________． 题型5 一次函数实际应用题（常考）（共7小题） 25．（24-25八年级下·上海崇明·期末）某乡镇准备开展河道修建整治工程，预计修建的河道总长为9千米．根据工程预算，当修建天数满足时，平均每天的修建费（万元）与修建天数（天）之间的关系如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)由于相关部门加强了建设力量，预计现在每天修建量可以提升，那么可以提前15天完成任务，求现在平均每天的修建费． 26．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）2025年1月1日元旦举行了迎新年东方明珠登高活动，塔底的处到景观台的处有一条长为260米的登高路，运动爱好者小李同学沿此路从走到，停留后再原路返回，其间小李同学离开处的路程米与离开处的时间分之间的函数关系如图中折线所示． (1)求上塔时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)已知小李下塔的时间共26分钟，其中前18分钟（段）内的平均速度与后8分钟内（段）的平均速度之比为，求点的纵坐标． 27．（24-25八年级上·上海普陀·期末）居住同一小区的甲、乙两位好友，某日他们相约去A广场游玩．甲认为开小轿车快，乙认为城市路况复杂，开电动自行车灵活，可能更快．于是他们决定同时出发，采用各自的方式前往广场，假设两种通行方式的路程一样，乙全程匀速前行，并约定先到者拍照发给对方．已知甲相距广场的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系，如图所示；表1记录了乙相距小区的距离（千米）与所用时间（小时）之间的部分数据． 表1 时间（时） 0.1 0.3 距离（千米） 2 6 9 根据提供的信息，回答下列问题： (1)由表1可知，关于的函数解析式为_____；的值为_____； (2)由图可知，的值为_____；在的时段内，甲的速度为_____千米/时； (3)先到达A广场并拍照的人是____，且比另一位早到_____分钟． 28．（23-24八年级下·上海·期末）小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知小杰先出发分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离（米）与小杰出发的时间（分）之间的关系如图中折线 所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)求小明的步行速度； (3)求小明比小杰早几分钟到达终点? 29．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题： (1)像这样规格的饭碗整齐地叠放在桌面上时，求一摞饭碗的高度与饭碗数（个）之间的函数解析式； (2)把图中这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？ (3)如果一摞饭碗的高度超过时容易发生侧翻，请问一摞最多能放多少个碗？ 30．（24-25八年级下·上海·期末）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不必写x的取值范围）； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 31．（24-25八年级下·上海宝山·期末）为提高控制精度从而减少误差导致的输液不良事件，医疗输液器（图1）中的流量调节器从滚轮式改进为带刻度的旋钮式（图2）．小明发现，在相同档位下，不同粘度的液体流速存在着差异．于是他对此展开实验研究．（实验假设：对于旋钮式输液器设定的任意一个档位，同种液体的输液速度保持恒定．） (1)小明用旋钮式输液器设定了每小时120毫升的档位测试液体A的流速，输液袋内初始药液量为250毫升，得到输液袋剩余药液量y（毫升）和时间x（分钟）之间的关系如图3所示： ①求y关于x的函数解析式（不写定义域）； ②判断液体A的实际流速是否与设定流速（120毫升/小时）一致？若一致，请说明理由；若不一致，假设液体A的实际流速与设定流速成正比，则想要达到每小时120毫升的流速，应该把旋钮式输液器的流速设定为多少毫升/小时？ (2)小明用相同档位测试液体B和液体C的实际流速．实验发现：液体B的流速比液体C每小时快60毫升，因此输250毫升液体C所需时间是输200毫升液体B所需时间的2倍，求用该档位输液时液体B和液体C的实际流速． 题型6 一次函数图象平移（易错）（共4小题） 32．（24-25八年级下·上海长宁·期末）将直线沿轴向上平移4个单位后，所得直线的截距为_______． 33．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）将直线沿y轴方向向下平移3个单位，平移后的直线表达式是______． 34．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如果直线经过平移后得到直线，直线经过点,则直线的表达式是___________． 35．（24-25八年级上·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是_____． 题型7 一次函数与几何综合（压轴）（共3小题） 36．（25-26八年级上·上海·期末）如图在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为，点C的坐标为，直线轴．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)在轴上有一点，使的面积为8，求点的坐标． 37．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）已知在平面直角坐标系中，直线经过第一象限内的点和点，以线段为对角线作矩形轴，反比例函数的图像经过点． (1)求点的坐标（用含的代数式表示）； (2)如果点关于直线的对称点恰好落在轴上，求的值． 38．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，为两函数图象的交点，且点的横坐标为． (1)求点坐标及一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型8 一次函数动态最值问题（压轴）（共7小题） 39．（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像经过点，正比例函数的图像交于点． (1)求一次函数解析式； (2)若将直线进行平移，使平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为15，求平移后的直线解析式． 40．（24-25八年级下·上海静安·期末）在平面直角坐标系中，已知直线分别交x轴、y轴于A、B两点（如图所示），直线交x轴于点C． (1)点A、B的坐标，并求出直线位于x轴上方所有点的横坐标的取值范围； (2)现将直线平移，使其经过点B，交x轴于点D，如果，求a的值． 41．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，已知在平面直角坐标系中，是矩形，，，点是边边上一动点，连结，将四边形沿所在直线翻折，落在的位置，点A、的对应点分别为点、，边与边的交点为点． (1)当坐标为时，求点坐标和直线的解析式； (2)过作交于，若，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域． 42．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，已知直线经过定点P．    (1)求点P的坐标； (2)一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点B、C（如图），如果直线将的面积平分，求k的值； (3)在（2）的条件下，将直线向上平移2个单位后得到直线l，点A是直线l上的点，如果，求点A的坐标． 43．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知，一次函数的图像与轴相交于点，与轴相交于点，点在轴的正半轴上，． (1)求一次函数的解析式及点与点的坐标； (2)如果四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标； (3)将直线绕着点逆时针旋转45°后与轴交于点，求点坐标． 44．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． (1)如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． (2)将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 45．（2023八年级下·上海·专题练习）函数的图像与轴、轴分别交于、两点，以线段为边在第一象限内作等边． (1)求点的坐标； (2)将沿着直线翻折，点落在点处，求直线的解析式； (3)在轴上是否存在，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 题型9 一次函数动点函数问题（压轴）（共3小题） 46．（24-25八年级下·上海浦东新·期中）解决以下问题： (1)借助网格，用无刻度直尺作； (2)如图，直线与x轴、y轴分别交于点C和点B，点A在x轴负半轴，且． ①P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； ②在①的条件下，Q为直线上的一个动点，连接，若，求Q点的坐标． 47．（24-25八年级下·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)如果点是正半轴上一点，四边形是菱形，请直接写出点和点的坐标（不需要说明理由）； (3)由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”．如果点是直线上的一个动点，纵坐标为，，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求的取值范围． 48．（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内，点A、C分别在直线和上． (1)如果点A的横坐标为8，点C的纵坐标为6，求点D的坐标； (2)如果点A在直线上运动，且点C始终在直线上运动，设点A的横坐标为m，正方形的边长为a ①请用含m、a的代数式表示点C的坐标，并求出a与m的数量关系； ②求点B所在直线的正比例函数解析式； 题型10 存在性问题（压轴）（共3小题） 49．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，点A坐标为，点B在双曲线的图象上． (1)当面积为12时，求点B的坐标； (2)点C在y轴负半轴，点D在线段的延长线上，当四边形为矩形时，求直线解析式． 50．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）在平面直角坐标系中，已知直线经过点，动点P的坐标为． (1)当直线l经过点P时，求点P的坐标； (2)过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，垂足为点M．当以O、A、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求m的值． 51．（24-25八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，点C在x轴的正半轴上，且 (1)求直线的表达式； (2)点D在第一象限且在直线上，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，分别在线段、上取点M、N，在x轴上取点P，且满足轴，是等腰直角三角形．求点M的坐标． 52．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． (1)填空：线段的长分别是__________，__________，__________； (2)折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ①求点D的坐标； ②若经过点D的双曲线与线段交于点F，那么在坐标平面内是否存在点P，使得四边形是以为底的等腰梯形？如存在，请直接写出符合条件的点P坐标；如不存在，请说明理由． 53．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线平行，且截距为分别与轴、轴交于点和点． (1)求直线的解析式和点的坐标： (2)如果点是线段上的点，且的面积为6，求点的坐标； (3)在（2）条件下，点是直线上的点，在坐标平面内是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 54．（24-25八年级下·上海普陀·期末）如图，已知点，点，点在轴负半轴上，，点为直线上一点． (1)直线的表达式为___________；直线与轴的夹角等于___________度； (2)点为平面内任一点，如果以点A、、、为顶点的四边形是正方形，直接写出点的坐标是___________； (3)直线与轴交于点，当的面积是面积的2倍时，求出点的坐标． 55．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点． (1)求的值及直线的表达式； (2)已知点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，与直线交于点，设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②以为对角线作菱形，当点在直线上且菱形的面积为8时，求的值． 56．（23-24八年级下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， (1)求点A和点B的坐标； (2)点P是直线上的一个动点，且点P在第一象限，当的面积是10时，求点P的坐标； (3)交y轴于点C，D是平面内一点，使得四边形是直角梯形，且，求点D的坐标． 47．（23-24八年级下·上海崇明·期末）在平面直角坐标系中（如图），直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上． (1)求点A和点B的坐标； (2)当点C的横坐标是时，如果在y轴上存在点P，使得，求点P的坐标； (3)当点C的横坐标是m时，在平面直角坐标系中存在点Q，使得以O、C、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．（用含m的代数式表示） 58．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点． (1)求b和k的值： (2)如果直线绕点B逆时针旋转交x轴于点D，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，设点E是y轴上的一点，当四边形是梯形时，求点E的坐标． 59．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，，交y轴于点C，点在点C上方，连接． (1)求直线的解析式； (2)当的面积是2时，求n的值； (3)在（2）的条件下，以点B、C、D、E为顶点组成的四边形为平行四边形，直接写出点E的坐标． 60．（24-25八年级下·上海金山·期中）已知直线的图像与轴，轴分别交于，两点，以为边在第二象限作等边三角形． (1)求直线的解析式； (2)求点的坐标； (3)点，在直线上是否存在一点使得三角形为等腰三角形？若存在直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． $专题03 一次函数（5常考1易错4压轴） 题型1 函数（一次函数）的概念（常考） 题型6 一次函数图象平移（易错） 题型2 一次函数图像与性质（常考） 题型7 一次函数与几何综合（压轴） 题型3 求一次函数解析式（常考） 题型8 一次函数动态最值问题（压轴） 题型4一次函数与不等式（常考） 题型9 一次函数动点函数问题（压轴） 题型5 一次函数实际应用题（常考） 题型10 存在性问题（压轴） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 函数（一次函数）的概念（常考）（共7小题） 1．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）下面各组变量的关系中，成正比例关系的是（    ） A．圆的周长与它的半径 B．人的身高与年龄 C．正方形的面积与它的边长 D．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 【答案】A 【详解】解：A、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意； B、人的身高与年龄不成正比例关系，故此选项不符合题意； C、正方形的面积与它的边长的平方成正比例关系，故此选项不符合题意； D、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）下列四个函数中属于一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是一次函数，故不符合题意； B、是一次函数，故符合题意； C、不是一次函数，故不符合题意； D、不是一次函数，故不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·上海·期末）函数的定义域是 __________． 【答案】且 【详解】解：∵函数， ∴且， 解得：x且， 故答案为：x且． 4．（24-25八年级下·上海虹口·期末）已知一次函数，如果，那么的值是___________． 【答案】1 【详解】解∶根据题意，得， ∴， 故答案为∶1． 5．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）若函数，当自变量取值增加2的时候，函数值减少3，那么的值是________． 【答案】 【详解】解：根据题意，当时，；当时，， 根据题意，得， 解得， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如果函数(其中是常数)是一次函数，那么的取值范围是_________． 【答案】 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴ 解得：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海·期末）小明在探究事物的变化过程时发现，在某个变化过程中也可能有三个变量，参考本学期学习函数的经验，小明将这三个变量设为、和，如果在变量和的允许取值范围内，变量随着和的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，小明就将变量叫做变量和的二元函数，例如，小明认为、两数的积，就是和的二元函数．同样为了继续研究二元函数，小明把语句“是和的二元函数”用记号来表示．现在，小明在研究过程中发现了一个二元函数，满足特征，，那么____． 【答案】 【详解】解：， ， ，令 ，， ， 即 ； ，令 ， ， ，代入得， 解得． 故答案为：． 题型2 一次函数图像与性质（常考）（共9小题） 8．（24-25八年级上·上海崇明·期末）若正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二，四象限， ∴， ∴． 故选：C． 9．（24-25八年级下·上海静安·期末）经过点且平行于的直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：∵经过点且平行于的直线， ∴设直线解析式为． 代入点得：， 解得， ∴直线解析式为． ∵，， ∴y随x的增大而减小，直线与y轴交于负半轴， ∴直线经过第二、第三、第四象限，不经过第一象限． 故选：A． 10．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知一次函数，如果y随x的增大而减小，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，随的增大而减小． ∴， ∴， ∴的取值范围是． 故选：A． 11．（24-25八年级下·上海青浦·期末）对于某个一次函数（），根据下面两位同学的对话得出的结论，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、∵一次函数的图象不经过第一象限， ∴，原选项错误，不符合题意； 、∵一次函数的图象不经过第一象限，函数图象经过点， ∴图象经过第二、三、四象限， ∴， ∵， ∴，原选项错误，不符合题意； 、∵函数图象经过点， ∴， ∴， ∴，原选项正确，符合题意； 、∵函数图象经过点， ∴， ∴，原选项错误，不符合题意； 故选：． 12．（24-25八年级上·上海·期末）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（   ） ①函数图象经过点：②图象经过第二象限；③当时，y随x的增大而增大． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、在中，一次项系数小于0，则y随x的增大而减小，不符合③，不符合题意； B、在中，一次项系数大于0，常数项小于0，则该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，不符合题意； C、中，y不随着x的变化而变化，不符合③，不符合题意； D、在中，，则该函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，当时，，则该函数图象经过点，故该函数满足①②③，符合题意； 故选：D． 13．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）已知一次函数，如果随的增大而增大，那么它的图像不经过第________象限． 【答案】二 【详解】解析：一次函数且随的增大而增大， 它的图像经过一、三、四象限， 不经过第二象限， 故答案为：二． 14．（24-25八年级下·上海崇明·期末）已知一次函数与轴交于正半轴，则函数值随的增大而___________． 【答案】增大 【详解】解：当时，， 即直线与y轴的交点为． ∵一次函数与y轴交于正半轴， ∴， ∴， ∴一次函数的函数值y随着x的增大而增大． 故答案为：增大． 15．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如果、是一次函数图象上不同的两点，那么______0（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】< 【详解】， ∴一次函数中y随x的增大而减小， ∴若，则，若，则，故与始终异号，故． 故答案为：< 16．（23-24八年级上·上海·期末）正比例函数的图像经过，且，则k的范围是________． 【答案】 【详解】解：∵正比例函数的图像经过，且， ∴， ∴， 故答案为：． 题型3 求一次函数解析式（常考）（共5小题） 17．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）平面直角坐标系中，直线经过点，且与直线平行，求直线l的解析式，以及与x轴的交点坐标． 【答案】直线l的解析式为；与x轴的交点坐标为 【详解】解：∵直线l经过点，且与直线平行， ∴设直线l的解析式为， ∴， ∴， ∴直线l的解析式为， 当时，， 解得：， 故与x轴的交点坐标为． 18．（24-25八年级下·上海·月考）一次函数图像与x轴交点为，与y轴交点为，其中、是关于x的方程的两个根，且，A、B两点间的距离为，求m的值和一次函数解析式． 【答案】，一次函数解析式为：或． 【详解】解：∵、是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵一次函数图像与x轴交点为，与y轴交点为，A、B两点间的距离为， ∴， ∴， ∴， ， 解得：， 当时，方程为， 解得：，， ∵， ∴，， ∴，， 设一次函数解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴此时一次函数解析式为； 当时，方程为， 解得：，， ∵， ∴，， ∴，， 设一次函数解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴此时一次函数解析式为； 综上分析可知：，一次函数解析式为或． 19．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与点． (1)求此一次函数的解析式，并在坐标系中画出它的图象； (2)若设点为此一次函数图象与轴的交点，求的面积． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 将，代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； 经过，两点作直线，如图所示： （2）解：令，则， 解得， ， ， ， ， 在中，的面积为． 20．（24-25八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数的图像经过点和点． (1)求一次函数的解析式； (2)在x轴上有一点P，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：将和代入， 得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设点P的坐标为，由勾股定理得，，， ∵， ∴在中，， ∴， 解得， ∴点P的坐标为， 21．（24-25八年级下·上海·月考）已知一条直线经过点，点，将这条直线向左平移与轴负半轴、轴负半轴分别交于点、点，使． (1)求以直线为图象的解析式； (2)过顶点的直线将的面积平分，请直接写出直线的解析式． 【答案】(1)直线为图象的解析式； (2)直线的解析式为或或． 【详解】（1）解：设直线解析式为，且过点，点， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵， ∴， ∵点， ∴点， ∵将这条直线向左平移与轴负半轴、轴负半轴分别交于点、点， 设直线为图象的解析式为， ∴，解得：， ∴直线为图象的解析式； （2）解：如图，设中点为，中点为，中点为， ∴，，， ∵点，点，点， ∴，，， ∴设直线即直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 同理：直线解析式为，直线解析式为， 综上可知：直线的解析式为或或． 题型4一次函数与不等式（常考）（共3小题） 22．（24-25八年级下·上海松江·期末）如果一次函数的图像与轴交于点，那么时，的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵一次函数的图像与轴交于点，那么时， ∴的取值范围是， 故答案为：． 23．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，直线过点与，那么关于的不等式的解集是___________． 【答案】 【详解】解：直线过点与， ∴当时，， 故答案为： ． 24．（24-25八年级上·上海·期末）如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，则不等式的解集是_____________． 【答案】 【详解】解：∵直线与直线交点的横坐标是4， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 题型5 一次函数实际应用题（常考）（共7小题） 25．（24-25八年级下·上海崇明·期末）某乡镇准备开展河道修建整治工程，预计修建的河道总长为9千米．根据工程预算，当修建天数满足时，平均每天的修建费（万元）与修建天数（天）之间的关系如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)由于相关部门加强了建设力量，预计现在每天修建量可以提升，那么可以提前15天完成任务，求现在平均每天的修建费． 【答案】(1)y关于x的函数关系式为 (2)现计划平均每天的修建费为万元． 【详解】（1）解：设y关于x的函数关系式为， 根据题意，得， 解得：， ∴y关于x的函数关系式为； （2）解： 设现计划修建的时间为m天，则原计划修建的时间为天． 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， ∴， ∴， 答：现计划平均每天的修建费为万元． 26．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）2025年1月1日元旦举行了迎新年东方明珠登高活动，塔底的处到景观台的处有一条长为260米的登高路，运动爱好者小李同学沿此路从走到，停留后再原路返回，其间小李同学离开处的路程米与离开处的时间分之间的函数关系如图中折线所示． (1)求上塔时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)已知小李下塔的时间共26分钟，其中前18分钟（段）内的平均速度与后8分钟内（段）的平均速度之比为，求点的纵坐标． 【答案】(1) (2)点的纵坐标为104 【详解】（1）解：设上山时关于的函数解析式为， 根据已知可得：， 解得：． 故上山时关于的函数解析式为． （2）解：设下山前18分钟内的平均速度为，后8分钟内的平均速度为， 由已知得：， 解得：． 故（米． 答：点的纵坐标为104． 27．（24-25八年级上·上海普陀·期末）居住同一小区的甲、乙两位好友，某日他们相约去A广场游玩．甲认为开小轿车快，乙认为城市路况复杂，开电动自行车灵活，可能更快．于是他们决定同时出发，采用各自的方式前往广场，假设两种通行方式的路程一样，乙全程匀速前行，并约定先到者拍照发给对方．已知甲相距广场的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系，如图所示；表1记录了乙相距小区的距离（千米）与所用时间（小时）之间的部分数据． 表1 时间（时） 0.1 0.3 距离（千米） 2 6 9 根据提供的信息，回答下列问题： (1)由表1可知，关于的函数解析式为_____；的值为_____； (2)由图可知，的值为_____；在的时段内，甲的速度为_____千米/时； (3)先到达A广场并拍照的人是____，且比另一位早到_____分钟． 【答案】(1)；0.45 (2)3；10 (3)乙；6 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 将代入，得：， 解得， ， 当时，， ， 故答案为：；0.45． （2）解：当时，设， 将和代入，得：， 解得， ， 当时，， 的值为3； 在的时段内，甲的速度为， 故答案为：3；10． （3）解：令， 得， 即乙到达A广场所用时间为； 甲到达A广场所用时间为：， 先到达A广场并拍照的人是乙，比甲早：， 故答案为：乙；6． 28．（23-24八年级下·上海·期末）小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知小杰先出发分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离（米）与小杰出发的时间（分）之间的关系如图中折线 所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)求小明的步行速度； (3)求小明比小杰早几分钟到达终点? 【答案】(1) (2)小明的步行速度为米/分 (3)小明比小杰早分钟到达终点 【详解】（1）设线段的表达式为： ， 把，代入得： ，解得：， 即线段的表达式为： ， （2）由线段可知：小杰的速度为：(米/分)， 小明的步行速度为：(米/分)， 答：小明的步行速度为米/分， （3）在处小杰、小明相遇时，与出发点的距离为：米)， 与终点的距离为：(米)， 相遇后，到达终点小杰所用的时间为：(分)， 相遇后，到达终点小明所用的时间为：(分)， (分)， 答：小明比小杰早分钟到达终点． 29．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题： (1)像这样规格的饭碗整齐地叠放在桌面上时，求一摞饭碗的高度与饭碗数（个）之间的函数解析式； (2)把图中这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？ (3)如果一摞饭碗的高度超过时容易发生侧翻，请问一摞最多能放多少个碗？ 【答案】(1) (2) (3)13个 【详解】（1）解：设函数解析式为， 根据题意得：当时，；当时，， ∴，解得：， ∴该函数解析式为； （2）解：当时，， 即这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是； （3）解：当时，， 解得：， ∵x为正整数， ∴x取13， ∴一摞最多能放13个碗． 30．（24-25八年级下·上海·期末）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不必写x的取值范围）； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【答案】(1) (2)①25辆；②为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为， 由题意得，， ∴， ∴y关于x的函数解析式为； （2）解：①在中，当时，则，解得， ∴该时刻高架路上每百米车的数量为25辆； ②当时，解得， 分钟， 答：为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 31．（24-25八年级下·上海宝山·期末）为提高控制精度从而减少误差导致的输液不良事件，医疗输液器（图1）中的流量调节器从滚轮式改进为带刻度的旋钮式（图2）．小明发现，在相同档位下，不同粘度的液体流速存在着差异．于是他对此展开实验研究．（实验假设：对于旋钮式输液器设定的任意一个档位，同种液体的输液速度保持恒定．） (1)小明用旋钮式输液器设定了每小时120毫升的档位测试液体A的流速，输液袋内初始药液量为250毫升，得到输液袋剩余药液量y（毫升）和时间x（分钟）之间的关系如图3所示： ①求y关于x的函数解析式（不写定义域）； ②判断液体A的实际流速是否与设定流速（120毫升/小时）一致？若一致，请说明理由；若不一致，假设液体A的实际流速与设定流速成正比，则想要达到每小时120毫升的流速，应该把旋钮式输液器的流速设定为多少毫升/小时？ (2)小明用相同档位测试液体B和液体C的实际流速．实验发现：液体B的流速比液体C每小时快60毫升，因此输250毫升液体C所需时间是输200毫升液体B所需时间的2倍，求用该档位输液时液体B和液体C的实际流速． 【答案】(1)①②不一致，160 (2)该档位输液时液体B的流速为，液体C的实际流速为 【详解】（1）解：①假设函数解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴函数解析式为； ②不一致，理由如下： 当函数值为0时， ， 解得， ， ， ， 所以，液体A的实际流速是否与设定流速不一致， 假设液体A的实际流速为，设定流速为，， 将代入上式得，， 解得， ∴ 当时，代入得， ， ， 所以，应该把旋钮式输液器的流速设定为160毫升/小时； （2）解：假设液体C的实际流速为，则液体B的实际流速为， 根据题意得， 解方程得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， 此时，， 所以，该档位输液时液体B的流速为，液体C的实际流速为． 题型6 一次函数图象平移（易错）（共4小题） 32．（24-25八年级下·上海长宁·期末）将直线沿轴向上平移4个单位后，所得直线的截距为_______． 【答案】 【详解】解：将直线沿轴向上平移个单位后得到的直线解析式为：， ∴当时，， ∴所得直线的截距为； 故答案为：． 33．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）将直线沿y轴方向向下平移3个单位，平移后的直线表达式是______． 【答案】 【详解】解：将直线沿y轴方向向下平移3个单位，平移后的直线表达式是． 故答案为：． 34．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如果直线经过平移后得到直线，直线经过点,则直线的表达式是___________． 【答案】 【详解】解：直线经过平移后得到直线l，设直线l的关系式为， ∵直线l经过点， ∴， 解得， 所以直线l的关系式为． 故答案为：． 35．（24-25八年级上·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴经过点， 点向左平移个单位，再向上平移个单位后得到， 由题意，也在直线上， ∴， 解得：； 故答案为：． 题型7 一次函数与几何综合（压轴）（共3小题） 36．（25-26八年级上·上海·期末）如图在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为，点C的坐标为，直线轴．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)在轴上有一点，使的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：与关于原点对称， ， 过点， ， ， ， ∵点C的坐标为，直线轴， 当时，， ， ， ． （2）解：过点作轴，垂足为，则是在边上的高，， ∴， ， ， ∴在轴上存在两个点满足条件， 即：或． 37．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）已知在平面直角坐标系中，直线经过第一象限内的点和点，以线段为对角线作矩形轴，反比例函数的图像经过点． (1)求点的坐标（用含的代数式表示）； (2)如果点关于直线的对称点恰好落在轴上，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）轴， ． 反比例函数图像经过点 ． 矩形， ， 轴． ． 直线经过点 ． ． ∵直线经过点 ． ； （2）如图，连接，， 点关于直线的对称点恰好落在轴上， 垂直平分． ， ． 轴． 轴． ， ， ． ． 延长与轴交于点，则， ． 在中， （舍），． 的值是． 38．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，为两函数图象的交点，且点的横坐标为． (1)求点坐标及一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)的面积为； (3)存在一点，使得，点的坐标为或或或． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 设， 把，代入，得， 解得， ； （2）解：一次函数的图象与轴交于点， ， ， ； （3）解：存在，理由如下： ， ， ①当点在轴上时，， ， ， ，， 点的坐标为或， ②当点在轴上时，如图， 设直线与轴交于点， ， ， ， ， ，， 点的坐标为或， 综上，在坐标轴上，存在一点，使得，点的坐标为或或或． 题型8 一次函数动态最值问题（压轴）（共7小题） 39．（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像经过点，正比例函数的图像交于点． (1)求一次函数解析式； (2)若将直线进行平移，使平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为15，求平移后的直线解析式． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：把代入得， ∴交点坐标为， 设直线的解析式为：，把和代入得： ， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）设平移后的直线解析式， 则与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴与坐标轴围成的三角形面积为， 解得：， ∴平移后的直线解析式为或． 40．（24-25八年级下·上海静安·期末）在平面直角坐标系中，已知直线分别交x轴、y轴于A、B两点（如图所示），直线交x轴于点C． (1)点A、B的坐标，并求出直线位于x轴上方所有点的横坐标的取值范围； (2)现将直线平移，使其经过点B，交x轴于点D，如果，求a的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：直线分别交x轴、y轴于A、B两点， 当时，；当时，，解得， ， 直线交x轴于点C， 当时，，解得， ， 直线位于x轴上方所有点的横坐标的取值范围． （2）解：将直线平移，经过点，交x轴于点D，且， ， ， 直线由直线平移而得到， 两直线平行， 设， 把代入，得， ． 41．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，已知在平面直角坐标系中，是矩形，，，点是边边上一动点，连结，将四边形沿所在直线翻折，落在的位置，点A、的对应点分别为点、，边与边的交点为点． (1)当坐标为时，求点坐标和直线的解析式； (2)过作交于，若，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域． 【答案】(1)，直线为： (2) 【详解】（1）解：设， 四边形是矩形， ， ， 由折叠得：， ， ， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， ∴， ， 设直线为：，则 ， 解得：， 直线为：． （2）解：，， 由对称性可知：，， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 当与重叠时，与重合，此时， ∴． 42．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，已知直线经过定点P．    (1)求点P的坐标； (2)一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点B、C（如图），如果直线将的面积平分，求k的值； (3)在（2）的条件下，将直线向上平移2个单位后得到直线l，点A是直线l上的点，如果，求点A的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：把代入，得， ∴直线经过定点． （2）解：令，则， ∴， ∴， 令，则，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线与直线相交于，如图， ∵直线将的面积平分， ∴ ∴， 解得：， 把代入，得， ∴， 解得：． （3）解：由（2）知：， 直线向上平移2个单位后得到直线l， 则直线l解析式为， 如图，过点A作于E， ∵，， ∴ ∴点A的纵坐标为2， 把代入，得， 解得：， ∴点A的坐标为． 43．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知，一次函数的图像与轴相交于点，与轴相交于点，点在轴的正半轴上，． (1)求一次函数的解析式及点与点的坐标； (2)如果四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标； (3)将直线绕着点逆时针旋转45°后与轴交于点，求点坐标． 【答案】(1)；； (2)或 (3) 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， 则一次函数的解析式是：． 在中，令，则．则点的坐标是：； ， ， 的坐标是：； （2）解：当且时，作于点，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ， ． ∴点的坐标是：． 当且时，如图所示： ∵，的解析式为，， ∴直线的解析式为：， 设点， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴此时点D的坐标为； 综上分析可知：点D的坐标为或； （3）解：过点A作，交于点E，过点E作轴于点F，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点P的坐标为． 44．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． (1)如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． (2)将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)正确，直线过定点 【详解】（1）解：①将点代入，则， ， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， ②如图， 四边形是等腰梯形，且， 点在平行于直线过点B的直线上，且， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点， 由图形可得， ， ， 解得：或， 当时，，此时，， ， 四边形是平行四边形， ， 则四边形不是梯形，故舍去， 当，， 同理：，， ，与不平行， 四边形是等腰梯形， 故，则； （2）解：根据题意：直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， 如图，过点作轴的垂线，垂足分别为， 则，， ， 由旋转的旋转得：，， ， ， ， ， ， 点落在与直线平行的直线上， 设直线的解析式为：，则， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 直线过定点． 45．（2023八年级下·上海·专题练习）函数的图像与轴、轴分别交于、两点，以线段为边在第一象限内作等边． (1)求点的坐标； (2)将沿着直线翻折，点落在点处，求直线的解析式； (3)在轴上是否存在，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：在中，令可解得，令可得， ∴， ∴， 取的中点，连接，则， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴轴， ∴； （2）解：∵将沿着直线翻折，点C落在点D处， ∴， ∴点D在y轴上，且， ∴， ∴可设直线解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线解析式为； （3）解：假设存在E点，使为等腰三角形，其坐标为， ∵， ∴，，且， 若为等腰三角形，则有和三种情况， ①当时，则有，即，解得，此时E点坐标为； ②当时，则有，即，解得或，此时E点坐标为或； ③当时，则有，即，解得（与A点重合，舍去）或，此时E点坐标为； 综上可知存在满足条件的E点，其坐标为或或或． 题型9 一次函数动点函数问题（压轴）（共3小题） 46．（24-25八年级下·上海浦东新·期中）解决以下问题： (1)借助网格，用无刻度直尺作； (2)如图，直线与x轴、y轴分别交于点C和点B，点A在x轴负半轴，且． ①P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； ②在①的条件下，Q为直线上的一个动点，连接，若，求Q点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)①；②或． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图易得， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入，得， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴； ②以为直角顶点，在直线的下方构造等腰直角三角形，如图，过点作轴，作于点，作于点，则，， ∴，， ∴点在射线上，， ∴， 由①知：， ∴， ∴，即， 同①法可得：直线的解析式为， 联立，解得， ∴； 以为直角顶点，在直线的上方构造等腰直角三角形，如图，作轴，轴， 同法可得，直线的解析式为， 联立，解得， ∴； 综上：或． 47．（24-25八年级下·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)如果点是正半轴上一点，四边形是菱形，请直接写出点和点的坐标（不需要说明理由）； (3)由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”．如果点是直线上的一个动点，纵坐标为，，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求的取值范围． 【答案】(1)直线的表达式为； (2)点，点； (3)当或时，四边形是凹四边形． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点，点； （3）解：如图，当在线段（不含点）上时，四边形是凹四边形， 设直线解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为； 当时，， ∴当时，四边形是凹四边形； 如图，当在线段延长线上时，四边形是凹四边形， 由（）得直线的表达式为， 当时，， ∴当时，四边形是凹四边形； 综上可得：当或时，四边形是凹四边形． 48．（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内，点A、C分别在直线和上． (1)如果点A的横坐标为8，点C的纵坐标为6，求点D的坐标； (2)如果点A在直线上运动，且点C始终在直线上运动，设点A的横坐标为m，正方形的边长为a ①请用含m、a的代数式表示点C的坐标，并求出a与m的数量关系； ②求点B所在直线的正比例函数解析式； 【答案】(1) (2)①，；② 【详解】（1）解：将代入得，， 将代入，则， ∴， ∵正方形的各边都平行于坐标轴， ∴，， ∴； （2）解：①∵点A在直线上运动，设点A的横坐标为m， ∴， ∵正方形的边长为a，正方形的各边都平行于坐标轴， ∴，， ∴，， ∴， ∵点C始终在直线上运动， ∴， ∴； ②∵正方形的边长为a，正方形的各边都平行于坐标轴， ∴，， ∴， 设点B所在直线的正比例函数解析式为， 则， ∵正方形的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内， ∴， 解得， ∴点B所在直线的正比例函数解析式为． 题型10 存在性问题（压轴）（共3小题） 49．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，点A坐标为，点B在双曲线的图象上． (1)当面积为12时，求点B的坐标； (2)点C在y轴负半轴，点D在线段的延长线上，当四边形为矩形时，求直线解析式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设点B的横坐标为m，根据题意得：， 解得， 当时，， ∴； （2）解：如图所示，四边形为矩形， 由矩形性质可知：， 设，则， 由勾股定理可得， 解得（已舍去负值）， ∴， 设直线的解析式为 ， 则， 解得． ∴直线的解析式为． 50．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）在平面直角坐标系中，已知直线经过点，动点P的坐标为． (1)当直线l经过点P时，求点P的坐标； (2)过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，垂足为点M．当以O、A、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求m的值． 【答案】(1)P的坐标为 (2)或6 【详解】（1）解：将点将代入解析式得：， 解得：k， ∴直线l的表达式为：； 将点代入解析式得：， 解得：， ∴P的坐标为； （2）解：如图： ∵轴， ∴， ∴ ∵点Q在直线l上， ∴将代入， 则 解得：， ∴ 当以O、A、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时， 则， ∴ 解得：或． 51．（24-25八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，点C在x轴的正半轴上，且 (1)求直线的表达式； (2)点D在第一象限且在直线上，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，分别在线段、上取点M、N，在x轴上取点P，且满足轴，是等腰直角三角形．求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点、， ∴，解得， ∴直线的表达式为。 （2）解：解：由（1）可知，，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴，即， 解得，，即点的纵坐标为6， ∵点是一次函数的图象在轴上方的一点， ∴，解得， ∴点的坐标为． （3）解：存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或，理由如下： 已知，， 设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵点在线段上，轴， ∴设，则点N的纵坐标为， 把代入函数，得 ，解得：， ∴， ∴。 分三种情况讨论： ①如图所示，，，即是等腰直角三角形， ∴点，则，且， ∴由得，， 解得，， ∴； ②如图所示，，，即是等腰直角三角形， ∴，则，且， ∴由得，， 解得，， ∴； ③如图所示，，，即是等腰直角三角形，过点作于点， ∴是的中点，且， 又∵，， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或． 52．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． (1)填空：线段的长分别是__________，__________，__________； (2)折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ①求点D的坐标； ②若经过点D的双曲线与线段交于点F，那么在坐标平面内是否存在点P，使得四边形是以为底的等腰梯形？如存在，请直接写出符合条件的点P坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点D的坐标为②存在， 【详解】（1）解：∵与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴令时，则，解得，即， 令时，则，即， ∵过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 则， 故答案为：； （2）解：由（1）得，， ∵折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ∴， 设， 则，， 在中，， 即， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． ②存在，过程如下： 经过点D的双曲线与线段交于点F，且点D的坐标为． ∴， ∴， ∴， 点F的纵坐标等于点B的纵坐标，即， 把代入， 得， ∴， ∴点F的坐标为， ∵四边形是以为底的等腰梯形， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， ∵，且点在x轴的正半轴上， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得 ， ∴， ∴直线的解析式为， 即直线与直线重合， 设， ∵，且点D的坐标为． ∴， ∵点F的坐标为，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴或， 当时，则， ∵， 此时四边形为平行四边形，不符合题意，故舍去， 当时，则不平行， 即， 此时四边形为等腰梯形，符合题意， ∴， ∴． 53．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线平行，且截距为分别与轴、轴交于点和点． (1)求直线的解析式和点的坐标： (2)如果点是线段上的点，且的面积为6，求点的坐标； (3)在（2）条件下，点是直线上的点，在坐标平面内是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；点坐标为 (2)点 (3)或或或 【详解】（1）解：∵直线与直线平行，且截距为分别与轴、轴交于点和点． ∴， ∴； 令则， 解得， ∴点坐标为 （2）解：依题意，设点坐标为, 的面积为6, , ∴， ∴， 即或， 或， 点是线段上的点， , 点； （3）解：存在，过程如下： 在（2）条件下，点是直线上的点， ∴设 ∵以、为顶点的四边形是菱形，且，， ∴当为对角线时， 则 整理得 ∴ 即点的坐标为 ∵四边形是菱形 ∴ 即， ∴， ∴， 整理得， ， ∴点的坐标为； ∵以、为顶点的四边形是菱形，且，， ∴当为对角线时， 则 ， 整理得， ∴， 即点的坐标为， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴， ∴， 整理得， ∴（舍去） ∴ 此时； ∴当为对角线时， 则 ， 整理得， ∴， 即点的坐标为， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴ ∴ 整理得， ∴， ∴， 当时，则，， 即， 当时，则， 即； 综上：或或或 54．（24-25八年级下·上海普陀·期末）如图，已知点，点，点在轴负半轴上，，点为直线上一点． (1)直线的表达式为___________；直线与轴的夹角等于___________度； (2)点为平面内任一点，如果以点A、、、为顶点的四边形是正方形，直接写出点的坐标是___________； (3)直线与轴交于点，当的面积是面积的2倍时，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或； (3)或 【详解】（1）解：∵点，点， ，， ∵， ， ， ∵点C在y轴负半轴上， ∴， 设直线的解析式是， ，解得， ∴直线的解析式为； ∵， ∴直线与轴的夹角等于45． （2）解：①当是正方形的边时，对应的正方形为， ∵点，点， ， ，； ②当是正方形的对角线时，对应的矩形为， ∵是正方形对角线， 线段和线段互相垂直平分， 点P、Q的横坐标为，，． 综上所述，Q点的坐标为或； （3）解：如图：当点M在y轴的正半轴时，此时点P在第三象限． 设，， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴，即A为的中点， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 如图：当点M在y轴的负半轴时，此时点P在第三象限． ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， ，解得：， ∴， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 55．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点． (1)求的值及直线的表达式； (2)已知点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，与直线交于点，设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②以为对角线作菱形，当点在直线上且菱形的面积为8时，求的值． 【答案】(1) (2)①或；② 【详解】（1）解：将点代入得：， 则， 将代入得：，解得：， 因此，直线的表达式为：． （2）解：①根据题意可得，， 则， 若， 则，即或， 解得：或． ②如图，根据题意可得轴， ∵以为对角线作菱形， ∴， ∴轴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 化简得：， 解得：， 解得：方程无解， 综上，． 56．（23-24八年级下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， (1)求点A和点B的坐标； (2)点P是直线上的一个动点，且点P在第一象限，当的面积是10时，求点P的坐标； (3)交y轴于点C，D是平面内一点，使得四边形是直角梯形，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， ∴当时，；当时，， ∴； （2）∵直线，当时，；当时，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）设点， ， ， 解得：， ∴， 当时，如图所示： ∴直线的解析式为， 设点， ∵， ∴， 解得：, ， ∴或； 当时，过点A作轴，过点D作，如图所示： ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D纵坐标为：， ∴； 综上可得：或或． 47．（23-24八年级下·上海崇明·期末）在平面直角坐标系中（如图），直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上． (1)求点A和点B的坐标； (2)当点C的横坐标是时，如果在y轴上存在点P，使得，求点P的坐标； (3)当点C的横坐标是m时，在平面直角坐标系中存在点Q，使得以O、C、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．（用含m的代数式表示） 【答案】(1) (2)点或 (3)或或 【详解】（1）解：对于，当时，， 令，则， 即点的坐标分别为：； （2）设点， 则， 解得：或8， 即点或； （3）设点，点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， 则点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或或． 58．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点． (1)求b和k的值： (2)如果直线绕点B逆时针旋转交x轴于点D，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，设点E是y轴上的一点，当四边形是梯形时，求点E的坐标． 【答案】(1)，6 (2) (3)或 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与x轴交于点， ∴把点代入一次函数，得： ∴ ∴一次函数的解析式为：， 把点代入，得：， 解得， ∴， 把代入，得， （2）解：过点作交于点G，过点A作y轴的平行线交过点B与x轴的平行线于点F，交过点G与x轴的平行线于点E，如图， ∵，故为等腰直角三角形， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点G的坐标为， 设直线的表达式为， 把代入得，， 解得， 故直线的表达式为； （3）解：∵是梯形， ∴当时，如图， ∵，点在轴上， ∴； 当时，如图， 对于，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 综上，点的坐标为或 59．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，，交y轴于点C，点在点C上方，连接． (1)求直线的解析式； (2)当的面积是2时，求n的值； (3)在（2）的条件下，以点B、C、D、E为顶点组成的四边形为平行四边形，直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或或 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 把点，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为：． （2）解：对于，当时， ∴， ， ∵ ∴， ∴， ； （3）解：如图， 当时，，，则； 当时，同理可求； 当时，则, ∵，，， ∴点向点的平移方式与点向点的平移方式一样， ∵点向点的平移方式为向左平移2个单位，向上平移2个单位， ∴点向左平移2个单位，向上平移2个单位得到 综上，点的坐标为或或． 60．（24-25八年级下·上海金山·期中）已知直线的图像与轴，轴分别交于，两点，以为边在第二象限作等边三角形． (1)求直线的解析式； (2)求点的坐标； (3)点，在直线上是否存在一点使得三角形为等腰三角形？若存在直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【详解】（1）解：∵直线的图像与轴，轴分别交于，两点， ∴，解得 ∴直线的解析式为； （2）解：由，得，，， ∵是等边三角形， ∴， 过点B作于点G，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∴点C坐标为； （3）解：存在．由题意，设， ∵， ∴， ， ， 当时，即， 则， 解得：或 ∴点P的坐标为或； 当时，即， 则， 解得：， ∴点P的坐标为； 当时，即， 则， 解得：或（与点A重合，舍去）， ∴点P的坐标为； 综上，满足条件的点P的坐标为或或或． $