微专题06 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型（专项训练）数学湘教版九年级下册

微专题04 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型 题型一 二次函数中平行四边形的存在性问题 二次函数中平行四边形存在性问题 核心：利用平行四边形的“对边平行且相等”或“对角线互相平分”性质，分类讨论顶点位置，结合坐标运算列方程求解，关键是“定动点、分情况、用性质”。 一、解题核心步骤（4步核心） 1. 定已知点，设动点：明确抛物线上的定点（如A、B、C），设第四个动点P（抛物线上： P(x, ax²+bx+c) ），用单个变量x表示坐标； 2. 分类讨论顶点组合：平行四边形中，任意两点可作为对角线端点，按“哪两点为对角线”分3类（设三点为A、B、C，即①AC为对角线；②AB为对角线；③BC为对角线）； 3. 用性质列方程：核心用“对角线互相平分”（中点坐标相等，初中最易用）： - 若对角线为AC、BP，则AC中点坐标 = BP中点坐标（中点公式：两点(x₁,y₁)、(x₂,y₂)的中点为(\frac{x₁+x₂}{2}, \frac{y₁+y₂}{2})）； - 也可用品“对边平行且相等”（坐标差相等：如AB平行且等于CP，则 x_B - x_A = x_P - x_C ， y_B - y_A = y_P - y_C ）； 4. 验证有效解：解方程得P点坐标，验证是否在抛物线上、是否与已知点重合、是否符合限定区间。 二、关键技巧（降难度、避漏解） 1. 优先用“中点公式”：无需考虑斜率，计算更简单，避免漏解（尤其非水平/竖直的平行四边形）； 2. 固定分类逻辑：按“对角线组合”分类，确保3类情况不重复、不遗漏（如A、B、C三点，对角线只能是AC、AB、BC三类）； 3. 先算定点坐标：提前求出已知三点的坐标及中点，后续直接代入方程，减少重复计算； 4. 特殊情况速解：若有边平行于坐标轴，可利用“横坐标差相等”或“纵坐标差相等”快速列方程（如AB水平，则CP也水平，即 y_P = y_C ）。 三、易错提醒 - 漏分对角线情况：只考虑某一种对角线组合，导致漏解； - 中点公式用错：混淆对角线端点，如误将“AC为对角线”算成“AB为对角线”； - 动点与定点重合：求出的P点不能是A、B、C中的任意一点，需验证排除； - 忽略定义域：P点的x坐标需符合题目限定范围（如“x≥-1”），且三点不共线。 高新区期 1．（2025·河北唐山·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及求函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的图象与性质， 用交点式确定函数表达式，然后分两种情况分析：当为平行四边形一条边时，当是四边形的对角线时，利用中点坐标及平行四边形的性质，分别求解即可； 【详解】解：根据题意得：； 故二次函数表达式为：； 当时，， ∴， ①当为平行四边形一条边时，如图1， 则， 故点P的横坐标为4，代入二次函数解析式中得纵坐标为3， 所以点坐标为， 当点在对称轴左侧时，即点的位置，点、、、为顶点的四边形为平行四边形， 故点或； ②当是四边形的对角线时，如图2， 中点坐标为， 设点的横坐标为，点的横坐标为2，其中点坐标为：， 即：，解得：， 故点； 综上：点或或； 故选：C 2．（2023·四川达州·模拟预测）已知点、的坐标分别为、，抛物线的顶点在线段上，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），若四边形为平行四边形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，熟练掌握二次函数的性质．根据点、的坐标分别为、，得出轴，，根据二次函数性质得出抛物线的开口向下，，根据四边形为平行四边形，得出，从而得出，求出，代入中，即可得出答案． 【详解】解：∵点、的坐标分别为、， ∴轴，， ∵抛物线的顶点在线段上，抛物线与轴交于、两点（在的左侧）， ∴抛物线的开口向下，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 令， ∴， ∵在的左侧， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点A，直线AB与抛物线在第一象限交于点，若以A，O，B，N为顶点的四边形是平行四边形，则点N的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】令，得，可得，设，利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可． 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形性质等，解题的关键是运用方程思想、数形结合思想和分类讨论思想解题． 【详解】解：在中， 令，得， 解得：，， ， 设， 分三种情况： ①以为对角线，此时中点与中点重合，如图， 、，， 的中点为，中点为， ， 解得， ， ②以为对角线，此时中点与中点重合，如图， 同理可得， 解得， ， ③以为对角线，此时中点与中点重合，如图， 同理可得， 解得， ， 综上所述，点N的坐标为或或 故答案为：或或 4．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质． 根据二次函数的性质求出，，设，根据平行四边形的性可知，即，即可求出点P的坐标． 【详解】解：当时，，则， 当时，， 解得：， ∴， 设， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即或． 故答案为：或． 5．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点，设点D的横坐标为m． （1）连接则的最大面积为 ； （2）当时，在平面内存在点M，使以为顶点的四边形为平行四边形，请写出点M的坐标 ． 【答案】 或或 【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线和直线解析式，设，，则，故，进而求解即可； （2）分别以、、为平行四边形对角线进行求解即可． 【详解】解：，， ， 将，代入得， ， 解得， ， 当时，，即； 设直线解析式为， ，解得， ， 设，， ， ， ，开口向下， 当时，的最大值为， 故答案为：； （2）， ， 设， 当为平行四边形的对角线时， ，解得， ； 当为平行四边形的对角线时， ，解得， ， 当为平行四边形的对角线时， ，解得， ， 故答案为：或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象与性质，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键． 6．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数与平行四边形的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据抛物线与轴交于两点，则，，即可得出； （2）理解题意，结合点为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，运用中点公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴对称轴， ∴， ∴把代入， ∴， 即抛物线的表达式为； （2）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵、，，且点为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 7．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点在第二、四象限的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或 【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意设点A的坐标为，点B的坐标为，得出相应的方程组求解确定点A的坐标为，点B的坐标为，由待定系数法即可确定函数解析式； （2）设，分两种情况分析：当为对角线时，当为对角线时，由平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， 当时，， 设点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， 联立①②：解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 将点A代入函数解析式得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴当为对角线时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； ∴当为对角线时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 综上可得：点的坐标为或． 8．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)连接，若点为轴上一点，如果直线与直线的夹角为，求线段的长度； (3)点是线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求当四边形为平行四边形时点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角函数值、平行四边形的性质、线段长度的表示方法． （1）由待定系数法即可求解； （2）分点D在点B上方、下方两种情况，由运用三角函数求出的值，即可求出的长度； （3）先求出线段所在直线的函数解析式，设点，则点，由，即可求解． 【详解】（1）解∶由，则当时，． 即点B坐标为，故． ， ，． ∴点A、B、C的坐标分别为、、． 将A、C两点坐标代入， 解得 此抛物线的表达式为； （2）解：， ． 如图，当点D在点B上方时， 依题意得， ． ． ． 当点D在点B下方时， ， ， ． ． 综上所述，线段的长度为或； （3）解：如图所示 设所在直线的函数解析式为 、， 代入解析式得 解得 ∴线段所在直线的函数解析式为， 设点，则点， 则． 当四边形为平行四边形时， 则． 即， 解得， 则点P的坐标为或 题型二 二次函数中矩形的存在性问题 二次函数中矩形存在性问题 核心：矩形是“平行四边形+对角线相等（或有一个直角）”，解题需先利用平行四边形的性质定动点，再用矩形的特殊性质验证，本质是“平行四边形存在性”的进阶应用。 一、解题核心步骤（5步搞定） 1. 定已知点，设动点：明确抛物线上的定点（如A、B、C），设第四个动点P（抛物线上： P(x, ax²+bx+c) ），用单个变量x表示坐标； 2. 按平行四边形分类：先按“对角线组合”分3类（①AC为对角线；②AB为对角线；③BC为对角线），每类均按平行四边形“对角线互相平分”列方程，初步求出P点候选坐标； 3. 用矩形性质筛选：满足以下任一条件即可判定为矩形（初中优先前两种，计算更简）： - 对角线相等：平行四边形的两条对角线长度相等（如AC=BP，用线段平方相等简化计算）； - 有一个直角：任意相邻两边垂直（如AB⊥BC，用勾股定理：AB²+BC²=AC²）； - 三个角为直角：无需额外验证，满足上述任一条件即可； 4. 解方程求坐标：结合平行四边形的中点方程和矩形的特殊条件，求解x的值，代入抛物线得P点坐标； 5. 验证有效解：排除与A、B、C重合的点，验证是否在限定区间内、三点不共线。 二、关键技巧（降难度、避漏解） 1. 先平行后矩形：先找出所有能构成平行四边形的P点，再筛选出矩形，避免直接分类遗漏； 2. 优先用“对角线相等”：平行四边形中，对角线相等必为矩形，无需算垂直，计算更简单（如AC为对角线时，先求平行四边形的P点，再验证BD=AC）； 3. 特殊情况速解：若已知两点连线垂直于坐标轴（如AB水平、BC竖直），则直接判定∠B为直角，后续只需按平行四边形找P点，再验证对角线相等； 4. 提前算定长和中点：先算出已知三点的坐标、中点及线段平方（如AB²、AC²），后续直接代入，减少重复计算。 三、易错提醒 - 跳过平行四边形直接分类：容易遗漏部分P点，导致漏解； - 混淆对角线组合：分类时需明确哪两点是平行四边形的对角线，避免中点公式用错； - 忽略“平行四边形”前提：仅满足对角线相等或直角不够，需先保证四点构成平行四边形； - 计算失误：线段平方和中点坐标计算时，符号和公式应用需细心，尤其负数坐标。 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可 （2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上，，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 2．（2025·江苏·二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线解析式． （1）①令，求出抛物线与轴的交点坐标； ②根据抛物线解析式确定出对称轴，和轴交点坐标； （2）先设出点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点的坐标，再用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：①令，则， 或， ，， ， 故答案为：； ②二次函数， ，对称轴， ， 平分， 点关于轴的对称点，在直线上， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， 点是抛物线和直线的交点， ． （2）解：设， ，． 以、、、为顶点的四边形是矩形， ①以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去，或， ， ②以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去或 ， ③以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ，此方程无解， 即：存在，或． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，连接，将绕点C顺时针旋转得到．点P从点B出发沿方向以的速度匀速运动，同时点Q以同样的速度从点E出发沿方向匀速运动．设点P运动时间为ts，（） (1)当　　　　s时，． (2)当时，设四边形的面积为求S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时S最小． (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，当时， (3)存在， 【分析】1) 求出， 由旋转可知，，由，得到，证明，得到，即可求出答案； （2）延长交于点M，利用矩形的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质即可求出S与t之间的函数关系式，再根据二次函数的性质即可求出最小值； （3）由平行线分线段成比例定理列出比例式即可求出答案． 【详解】（1）解：延长交于点Q， 在矩形中，， ∴， ∵ ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为： （2）延长交于点M， 由题意知： 在中，， 即       开口向上，对称轴为直线 当时，； （3） 即 解得                               当时，． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、二次函数的最值、勾股定理、解直角三角形、旋转的性质、矩形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 4．（2025·江苏无锡·二模）已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，交轴于点为抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求点的坐标； (3)若点是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)点Q的横坐标是或4或或． 【分析】（1）先根据对称轴公式，可得，再将点B的坐标代入抛物线的解析式中可得，即可解答； （2）分两种情况：①点P在的下方时，先利用待定系数法可得的解析式，联立抛物线和直线的解析式，解方程可得点P的坐标；②点P在的上方时，证明，可得，即可解答； （3）设点P的坐标为，分三种情况：①如图3，过点P作轴于F，则，②如图4，过点P作轴于G，则，③如图5，，即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将点代入中得：， ∴， ∴这个二次函数的表达式为：； （2）解：分两种情况： ①点P在的下方时，如图1， 当时，， ∴，， 设的解析式为：， ∴， ∴， ∴的解析式为：， ∴， 解得：（舍），， ∴点P的坐标为； ②点P在的上方时，如图2，设直线交x轴于E， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， 同理，的解析式为：， ∴， ∴，即， ∴，， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 分三种情况： ①如图3，过点P作轴于F，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴点P的横坐标为， ∵，， ∴由平移得点Q的横坐标为； ②如图4，过点P作轴于G，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或1， ∴点P的横坐标为1， ∵，， ∴由平移得点Q的横坐标为4； ③如图5，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍），，， ∵，， ∴点Q的横坐标是或； 综上，点Q的横坐标是或4或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，利用待定系数法求函数的解析式，三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 5．（24-25九年级下·湖北荆州·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点，，． (1)判断点是否在轴上，并说明理由； (2)求抛物线的函数表达式； (3)在轴的上方是否存在点，，使以点，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点在轴上，理由见解析； (2)； (3)当点的坐标为时，点的坐标为或，当点的坐标为时，点的坐标为或． 【分析】（）连接，四边形是矩形，，，通过，求出，则，即与旋转角相同来得出在轴上的结论； （）过点作轴于，由旋转的性质可得，，，，分别求出，，，然后代入解析式即可求解； （）由矩形的面积为，则以点，，，为顶点的平行四边形的面积为，根据题意，设点的坐标为，则点的坐标为，由于点在抛物线上，则，然后解出方程即可求解． 【详解】（1）解：点在轴上，理由如下： 连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴点在轴上； （2）解：过点作轴于， 由旋转的性质可得，，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴将，，，代入得， ，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （3）解：∵矩形的面积为， ∴以点，，，为顶点的平行四边形的面积为， ∵， ∴边上的高为， 根据题意，设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得，， 当点的坐标为时，点的坐标为或， 当点的坐标为时，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，旋转的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，解一元二次方程，解直角三角形等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键． 题型三 二次函数中菱形的存在性问题 二次函数中菱形存在性问题 核心：菱形是“平行四边形+邻边相等（或对角线垂直）”，解题需先按平行四边形定动点范围，再用菱形的特殊性质筛选，本质是“平行四边形存在性”的进阶应用。 一、解题核心步骤（5步闭环） 1. 定已知点，设动点：明确抛物线上的定点（如A、B、C），设第四个动点P（抛物线上： P(x, ax²+bx+c) ），用单个变量x表示坐标，减少未知数； 2. 按平行四边形分类：按“对角线组合”分3类（①AC为对角线；②AB为对角线；③BC为对角线），每类用“对角线互相平分”（中点坐标相等）列方程，求出所有能构成平行四边形的P点候选坐标； 3. 用菱形性质筛选：满足以下任一条件即可判定为菱形（初中优先前两种，计算更简）： - 邻边相等：平行四边形中任意一组邻边相等（如AB=BC、PA=AB，用线段平方相等简化计算）； - 对角线垂直：平行四边形的两条对角线互相垂直（斜率乘积为-1，或用勾股定理逆定理：对角线平方和=四边平方和的一半）； - 四条边相等：无需额外验证，满足上述任一条件即可； 4. 解方程求坐标：结合平行四边形的中点方程和菱形的特殊条件，求解x的值，代入抛物线得P点坐标； 5. 验证有效解：排除与A、B、C重合的点，验证是否在限定区间内、三点不共线，确保构成菱形。 二、关键技巧（降难度、避漏解） 1. 先平行后菱形：先找出所有平行四边形的P点，再筛选菱形，避免直接分类遗漏； 2. 优先用“邻边相等”：针对 1．（2024·辽宁阜新·二模）如图，抛物线交x轴于A，B两点，A点在B点右侧，交y轴于点C，若点P是抛物线上一动点，过点P作轴交直线于Q点，y轴上是否存在点E，使以为顶点的四边形是菱形，则点E的坐标为 ．    【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数与四边形的综合问题，分类讨论①当为菱形的对角线时、②当为菱形的边时两种情况即可求解． 【详解】解：令，解得：； 令，则； ∴ ∴ ①当为菱形的对角线时，垂直平分，如图，    ∴ ∴ 设解析式为： 则 ∴ ∴解析式是， 因为 ∴， ∴ 此时菱形是正方形． ∴． 设，则， ， ∴，解得（不合题意舍去）或， 此时， ∴E． ②当为菱形的边时， 或． 解得：，舍去 ∴或 ∴或 ∴E或E 综上所述，符合条件的点E有三个，坐标为： 或或 故答案为：或或 2．（23-24九年级上·广东·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于，A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1) (2)存在，P点的坐标为 (3)P点的坐标为，四边形面积的最大值为． 【分析】对于（1），根据待定系数法，可得函数解析式； 对于（2），根据菱形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，可得答案； 对于（3），根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标． 【详解】（1）解：将B、C两点的坐标代入得， 解得． 所以二次函数的表达式为； （2）解：如图， 存在点P，使四边形为菱形． 设P点坐标为， 交于E 若四边形是菱形，则有． 连接则于E． ， ， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴P点的坐标为； （3）解：如图1， ， 过点P作y轴的平行线与交于点Q，与交于点F，设， 将点代入关系式，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 则Q点的坐标为． ∴． ， 当时，四边形的面积最大 此时P点的坐标为，四边形面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形，菱形的性质和判定，求一次函数关系式，求二次函数的最大值，理解用坐标差表示线段长是解题的关键. 3．（24-25九年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点是平面内任意一点，是否存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是分类讨论． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，得到，过点作轴于点，根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形，理由如下： ， 令，则， 解得：，， 点，点． ， 如图，当四边形为菱形时，，过点作轴于点， 四边形为菱形， ， ， ， ， 同理，如图，当四边形为菱形时，，， ． 同理，如图，当四边形为菱形时，，， ， 当四边形为菱形时，设交于点，则， ， ； 综上所述，点的坐标为或或或． 4．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为9，此时点P的坐标为； (3)或或或 【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，设点P的坐标为，再由四边形面积，结合二次函数的性质解答，即可求解； （3）设点F的坐标为，分两种情况： 当为边，为对角线时，；当为边，为对角线时，，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点， ∴， 当时，， ∴点， ∴， 如图，连接， 设点P的坐标为， ∴四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为9， 此时点P的坐标为； （3）解：∵点， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 5．（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，过点作的垂线，垂足为． (1)求该二次函数的解析式． (2)求线段的最大值． (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是平面内的一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式． （2）设，，利用两点间的距离公式得到，利用配方法求得最值．可证明为等腰直角三角形，则最大时，最大，求解即得到答案． （3）由题意，以、、、为顶点的四边形是菱形，即为等腰三角形，分三种情况讨论：①，②，③，借助于方程求得点的坐标，进而求得坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过，， ， 解得， 此二次函数表达式为； （2）设直线为，因其经过，， ， 解得，， 直线的表达式为， 设，， ， ， ， ∴的最大值为， ，， 为等腰直角三角形， ， 轴， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 随增大而增大， 当的最大值为时， ； （3）答：存在以、、、为顶点的四边形是菱形； 解：若以、、、为顶点的四边形是菱形，即为等腰三角形， 二次函数的对称轴为，，， 在中由勾股定理可得，． 设，则，． 分三种情况讨论： 若， 则，解得， ； 此时四边形为菱形， ∵菱形对角线互相平分，由中点公式知： ， 即， 若，，得， ，； 此时四边形为菱形， 同理求得或， 若，，得或， ，． 、、三点共线， 舍去． 此时四边形为菱形， 此时 的坐标为：，，，． 题型四 二次函数中正方形的存在性问题 二次函数中正方形的存在性问题 核心：正方形是“菱形+矩形”的叠加，需同时满足“平行四边形+邻边相等+对角线相等（或有一个直角）”，解题思路是“先定平行四边形→筛菱形/矩形→验证正方形”，本质是菱形、矩形存在性的综合应用。 一、解题核心步骤（5步精准求解） 1. 定已知点，设动点：明确抛物线上的定点（如A、B、C），设第四个动点P（抛物线上： P(x, ax²+bx+c) ），用单个变量x表示坐标，减少未知数； 2. 按平行四边形分类：按“对角线组合”分3类（①AC为对角线；②AB为对角线；③BC为对角线），用“对角线互相平分”（中点坐标相等）列方程，求出所有平行四边形的P点候选坐标； 3. 双重筛选：先筛菱形（邻边相等），再筛矩形（对角线相等或有直角），同时满足即为正方形； - 第一步（菱形条件）：平行四边形中任一组邻边相等（如AB=AD，用线段平方相等计算）； - 第二步（矩形条件）：同一平行四边形中对角线相等（如AC=BD）或邻边垂直（勾股定理：AB²+AD²=BD²）； 4. 解方程求坐标：结合中点方程、邻边相等、对角线相等三个条件列方程组，求解x后代入抛物线得P点坐标； 5. 验证有效解：排除与A、B、C重合的点，验证是否在限定区间内、四点不共线，确保构成正方形。 二、关键技巧（降难度、避漏解） 1. 先特殊后一般：优先考虑已知边为正方形的边或对角线（如AB为边时，可通过“垂直且相等”快速找P点）； 2. 简化判定条件：正方形只需满足“平行四边形+邻边相等+对角线相等”，无需额外验证直角（菱形+矩形的性质已包含直角）； 3. 利用坐标特征速算：若AB为水平线段（ y_A=y_B ），则AD需竖直且AB=AD（如A(x₁,y₁)，D(x₁,y₁±AB长度)），快速锁定候选点； 4. 提前算定长/中点：先算出已知三点的坐标、线段平方（如AB²）、中点坐标，后续直接代入，减少重复计算。 三、易错提醒 - 漏缺双重条件：只满足菱形或只满足矩形，未同时验证，导致误判； - 分类不全：未按“对角线组合”全覆盖3类平行四边形，导致漏解； - 忽略坐标验证：求出的P点需在抛物线上，且不与已知点重合、四点不共线； - 计算失误：线段平方、中点坐标、方程组求解时，符号和公式应用需细心，尤其涉及垂直关系时。 1．（2024·陕西·一模）如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在这样的点C，使得四边形是正方形，点C的坐标为或 【分析】（1）将二次函数化为顶点式，然后求出点A的坐标；把代入抛物线的解析式，求出，得出点B的坐标即可； （2）分两种情况进行讨论，当在x轴下方时，当M在x轴上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，， ． （2）解：存在，理由如下： 由题意四边形是正方形，则是以点A为直角顶点的等婹直角三角形． 设， ①当在x轴下方时，如图1，过点C作轴于E，此时是等腰直角三角形， ， ， （舍去），， 此时． ②当M在x轴上方时，如图2，过点C作轴于F， 同理可得：， ， ，（舍去）， 此时． 综上所述，存在这样的点C，使得四边形是正方形，此时点C的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，正方形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 2．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为； (3)， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（2024·陕西汉中·二模）如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在的坐标为或时，使得四边形是正方形 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质、二次函数综合问题． （1）利用将、代入，利用待定系数法即可求解； （2）由题意，设，四边形是正方形，可知，得则，分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，将、代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）存在的坐标为或时，使得四边形是正方形，理由如下： 由题意，设， ∵，四边形是正方形，轴，则， ∴， 则， 即：， 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 综上，存在的坐标为或时，使得四边形是正方形． 4．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，已知拋物线与轴交于点与轴交于点．    (1)求的值及该抛物线的对称轴； (2)若点在直线上，点是平面内一点．是否存在点，使得以点为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，二次函数对称轴为直线 (2)或 【分析】（1）将点A的坐标代入到二次函数的解析式即可求出c的值，然后将二次函数的解析式化成顶点式的即可确定二次函数对称轴； （2）分AB是正方形的边、AB是正方形的对角线两种情况，通过画图，利用正方形性质即可解答． 【详解】（1）解：把代入二次函数得： ∴，解得：； ∴二次函数的解析式为：， ∴二次函数对称轴为直线． （2）解：存在，理由如下： 令y=0，即，解得或， ∴点B的坐标为， ∵， ∴； ①当是正方形的对角线时，此时，对应的矩形为， ∵是正方形对角线， ∴线段和线段互相垂直平分， ∴点E在抛物线对称轴上，且到x轴的距离为， ∴点E的坐标为； ②当AB是正方形的边时，此时，对应的正方形为，    ∵， ， ∴， ∴， ∵B的坐标为, ∴， ∴点的坐标为； 故点E的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查的是二次函数的性质、正方形的性质等知识点，掌握正方形存在性问题需要分类求解是解答本题的关键． 5．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)探究在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交y轴于点G，M是线段上动点，轴与抛物线段交于点N．轴于F，轴于H，当四边形是正方形时，求点M的坐标 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式解析式为，将代入计算即可； （2）先求出，过点P作轴的垂线，交于点Q，求出直线的解析式为，设，则，求出，再根据建立方程求解即可； （3）求出直线的解析式为，设，，根据题意得到，，求出，由四边形是正方形，建立方程组，转化为，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：设抛物线的解析式解析式为，将代入得： ， 解得：， 则抛物线的解析式解析式为； （2）解：将代入，则， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点Q， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴轴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，解得：或， 则或， ∴点P的坐标为或； 当时，方程无解； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴与抛物线段交于点N，轴于F，轴于H， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， 则， ∴． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、一次函数解析式，正方形的性质性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题04二次函数中的特殊四边形存在性问题 的四类综合题型 题型1二次函数中平行四边形的存在性问题 二次函数中特殊四边 题型2二次函数中矩形的存在性问题 形存在性的四类综合 题型 题型3二次函数中菱形的存在性问题 题型4二次函数中正方形的存在性问题 /00 德点量玻 题型一二次函数中平行四边形的存在性问题 啸方法 方 二次函数中平行四边形存在性问题 高新区期 核心：利用平行四边形的“对边平行且相等”或“对角线互相平分”性质，分类讨论顶点位置，结合坐标运 算列方程求解，关键是“定动点、分情况、用性质”。 一、解题核心步骤(4步核心) 1,定已知点，设动点：明确抛物线上的定点（如A、B、C),设第四个动点P(抛物线上：P(x, ax2+bx+c)),，用单个变量x表示坐标： 2.分类讨论顶点组合：平行四边形中，任意两点可作为对角线端点，按“哪两点为对角线”分3类（设三 点为A、B、C,即①AC为对角线；②AB为对角线：③BC为对角线)； 3.用性质列方程：核心用“对角线互相平分”（中点坐标相等，初中最易用）： 若对角线为AC、BP,则AC中点坐标=BP中点坐标（中点公式：两点(x,y)、(x2,y2)的中点为C frac{x1+x2}{2},frac{y1+y2}{2): -也可用品“对边平行且相等”（坐标差相等：如AB平行且等于CP,则xB-xA=xP-xC,y_B yA=y P-yC); 4.验证有效解：解方程得P点坐标，验证是否在抛物线上、是否与已知点重合、是否符合限定区间。 二、关键技巧（降难度、避漏解） 1.优先用“中点公式”：无需考虑斜率，计算更简单，避免漏解（尤其非水平/竖直的平行四边形）： 2.固定分类逻辑：按“对角线组合”分类，确保3类情况不重复、不遗漏（如A、B、C三点，对角线只能 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是AC、AB、BC三类)； 3.先算定点坐标：提前求出已知三点的坐标及中点，后续直接代入方程，减少重复计算： 4.特殊情况速解：若有边平行于坐标轴，可利用“横坐标差相等”或“纵坐标差相等”快速列方程（如AB 水平，则CP也水平，即yP=y_C)。 三、易错提醒 -漏分对角线情况：只考虑某一种对角线组合，导致漏解； 中点公式用错：混淆对角线端点，如误将“AC为对角线算成“AB为对角线”； 动点与定点重合：求出的P点不能是A、B、C中的任意一点，需验证排除： -忽略定义域：P点的x坐标需符合题目限定范围（如x之1”），且三点不共线。 1.(2025河北唐山二模)如图，已知二次函数’=r+r+c的图象与轴交于点41,0)、B3,0 ,与 轴交于点C.若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形 为平行四边形，则满足条件的点P的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.（2023-四川达州模拟预测)已知点4、8的坐标分别为23引、(L,3引，抛物线”=+c+c的顶点 在线段AB上，抛物线与x轴交于C、D两点(C在D的左侧)，若四边形ACDB为平行四边形，则a的 值为() 5 A.-2 B. 3 C.-3 D.-1 3.(25-26九年级上·天津阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=2 x2+2x经过x轴上的点 A,直线AB与抛物线在第一象限交于 B2,6),若以4，O,B,N为顶点的四边形是平行四边形，则点 N的坐标是， 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(2526九年级上山东德州阶段练习)如图，已知二次函数=(x+2图象与x轴交于点A,与y轴交 于点B,在对称轴上存在一点P,使以P,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标_ A 5.(2526九年级上安徽：阶段练习)已知抛物线y=r+br+3的图象与x轴相交于点A和 B1,0,与 y轴交于点C,连接AC,有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E,交x轴 于点F,AB=4,设点D的横坐标为m. B 备用图 (1)连接AE,CE则△ACE的最大面积为一： (2)当m=-2时，在平面内存在点M,使以 B,C,D,M 为顶点的四边形为平行四边形，请写出点M的坐 标一 6。(25-26九年级上甘肃陇南期中)如图，抛物线=t+r+C与轴销交于-3,0，B0)两点，与》 轴交于点C. 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的表达式： (2)在平面内是否存在点Q,使得以点A,B,C,Q为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满 足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由. 7.(25-26九年级上江苏阶段练习)如图，抛物线'=+2ar+3交 3交轴于A,B两点，交'轴于点C, 且AB=4. B (I)直接写出抛物线的解析式： (2)点D在第二、四象限的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点E,使以A,C,D,E为顶点的四 边形是平行四边形？若存在，求点E的坐标：若不存在，请说明理由， 8。(2025内蒙古模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线)=r+r-5a≠0交x轴于A,C两 点，交y轴于点B,5OA=OB=OC. 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求此抛物线的解析式： (2)连接BC,若点D为'轴上一点，如果直线CB与直线CD的夹角为l5°，求线段BD的长度： ⊙)点P是线段BC上一点，过点作'轴的平行线交抛物线于点”，求当四边形 OBOP 为平行四边形时点 P的坐标。 题型二二次函数中矩形的存在性问题 螺方法 二次函数中矩形存在性问题 核心：矩形是“平行四边形+对角线相等（或有一个直角）”，解题需先利用平行四边形的性质定动点， 再用矩形的特殊性质验证，本质是“平行四边形存在性"的进阶应用。 一、解题核心步骤(5步搞定) 1.定已知点，设动点：明确抛物线上的定点（如A、B、C),设第四个动点P(抛物线上：P(x ax2+bx+c)),用单个变量x表示坐标； 2.按平行四边形分类：先按"对角线组合"分3类（①AC为对角线；②AB为对角线；③BC为对角 线)，每类均按平行四边形“对角线互相平分"列方程，初步求出P点候选坐标 3.用矩形性质筛选：满足以下任一条件即可判定为矩形（初中优先前两种，计算更简）： 对角线相等：平行四边形的两条对角线长度相等（如AC=BP,用线段平方相等简化计算）； -有一个直角：任意相邻两边垂直（如AB⊥BC,用勾股定理：AB2+BC2=AC?): 三个角为直角：无需额外验证，满足上述任一条件即可； 4.解方程求坐标：结合平行四边形的中点方程和矩形的特殊条件，求解×的值，代入抛物线得P点坐 标； 5.验证有效解：排除与A、B、C重合的点，验证是否在限定区间内、三点不共线。 二、关键技巧（降难度、避漏解） 1,先平行后矩形：先找出所有能构成平行四边形的P点，再筛选出矩形，避免直接分类遗漏； 2.优先用“对角线相等"：平行四边形中，对角线相等必为矩形，无需算垂直，计算更简单（如AC为对 角线时，先求平行四边形的P点，再验证BD=AC); 3.特殊情况速解：若已知两点连线垂直于坐标轴（如AB水平、BC竖直），则直接判定∠B为直角，后 续只需按平行四边形找P点，再验证对角线相等； 4.提前算定长和中点：先算出已知三点的坐标、中点及线段平方（如AB?、AC?)，后续直接代入，减 少重复计算。 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、 易错提醒 跳过平行四边形直接分类：容易遗漏部分P点，导致漏解； 混淆对角线组合：分类时需明确哪两点是平行四边形的对角线，避免中点公式用错， 忽略“平行四边形”前提：仅满足对角线相等或直角不够，需先保证四点构成平行四边形， -计算失误：线段平方和中点坐标计算时，符号和公式应用需细心，尤其负数坐标。 1. （2025陕西皮阳装拟预测》如图，抛物线a+r+a≠0的图象经过40，B30 两点，与少 轴交于点C(0,6),M是抛物线的顶点. ()求抛物线的表达式和顶点M的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为Q，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点P,使以A, P,,M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离：若不存在，请 说明理由， 2.（2025江苏二模)如图，已知二次函数'=m-2mr-3m是常数，m>0)的图象与x轴分别相交于 点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C,对称轴为直线.点C关于I的对称点为D,连接AD. 点E为该函数图象上一点，AB平分∠DAE, (I)①线段AB的长为 ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在I上.探索：是否存在点M.使得以A、E、M、N为顶点的四边形是 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由. ABCD AB =6cm,AD =8cm, 3.(2025山东青岛·模拟预测)如图，在矩形 中， 连接BD,将△BCD 绕点C 顺时针旋转9O°得到△ECF.点P从点B出发沿BD方向以lcm/s的速度匀速运动，同时点Q以同样的速 度从点E出发沿EF方向匀速运动.设点P运动时间为s,(0<t<I0) t= PQ⊥EF (1)当 s时， 2)当2<1<10时，设四边形BPOF的面积为cm,求S与1之间的函数关系式：并求出当1为何值时S最 小 PQ∥BF (3)是否存在某一时刻t,使 ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。 4.(2025江苏无锡二模)已知二次函数y=r+2x+C的图象与*轴分别交于点A和点B-1,0,与》轴 交于点C,对称轴为直线x=1,交x轴于点D,P为抛物线上一动点. y (I)求这个二次函数的表达式： (2)当∠PCA=∠ACD时，求点P的坐标； Q A,C,P,O (3)若点是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点，使得以 为顶点的四边形是矩形？若存 在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由. 5.(24-25九年级下·湖北荆州阶段练习)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 负半轴上，边OC在'轴的正半辅上，且4B=V5,4C=3,矩形80C绕点0按顺时针方向旋转60°后 得到矩形EFOD.点A的对应点为点E,点B的对应点为点F,点C的对应点为点D,抛物线 y=ax2+bx+ 过点A,E,D (1)判断点E是否在y轴上，并说明理由： (2)求抛物线的函数表达式： (3)在x轴的上方是否存在点P,Q,使以点O,B,P,Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积 的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，,Q的坐标；若不存在，请说明理由。 题型三二次函数中菱形的存在性问题 ©啸方法 二次函数中菱形存在性问题 核心：菱形是“平行四边形+邻边相等（或对角线垂直）”，解题需先按平行四边形定动点范围，再用菱 形的特殊性质筛选，本质是“平行四边形存在性"的进阶应用。 一、 解题核心步骤(5步闭环) 1.定已知点，设动点：明确抛物线上的定点（如A、B、C),设第四个动点P(抛物线上：P(X, ax2+bx+c))，用单个变量x表示坐标，减少未知数； 2.按平行四边形分类：按“对角线组合"分3类（①AC为对角线；②AB为对角线；③BC为对角线）， 每类用“对角线互相平分”（中点坐标相等）列方程，求出所有能构成平行四边形的P点候选坐标； 3.用菱形性质筛选：满足以下任一条件即可判定为菱形（初中优先前两种，计算更简）： 邻边相等：平行四边形中任意一组邻边相等（如AB=BC、PA=AB,用线段平方相等简化计算）； -对角线垂直：平行四边形的两条对角线互相垂直（斜率乘积为-1，或用勾股定理逆定理：对角线平方 和=四边平方和的一半)； -四条边相等：无需额外验证，满足上述任一条件即可； 4.解方程求坐标：结合平行四边形的中点方程和菱形的特殊条件，求解x的值，代入抛物线得P点坐 标 5.验证有效解：排除与A、B、C重合的点，验证是否在限定区间内、三点不共线，确保构成菱形。 二、关键技巧（降难度、避漏解） 1.先平行后菱形：先找出所有平行四边形的P点，再筛选菱形，避免直接分类遗漏 2.优先用“邻边相等”：针对 =-x2+2x+3 （2024辽宁阜新·二模)如图，抛物线 交x轴于A,B两点，A点在B点右侧，交y轴于点 8/14 ©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 POLx AC C,若点P是抛物线上一动点，过点P作 轴交直线于Q点，y轴上是否存在点E,使以 P,2,E,C 为顶点的四边形是菱形，则点E的坐标为一· P 2.（23-24九年级上广东期末)如图，在平面直角坐标系中，三次函数”=一+hr+C的图象与x轴交于 C(0,3) (3,0) A、B两点，与y轴交于 ，A点在原点的左侧，B点的坐标为·点P是抛物线上一个动点，且在 直线BC的上方. B (1)求这个二次函数的表达式. (2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C,那么是否存在点P,使四边形POP'C为菱 形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由. (3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面 积. 3.（24-25九年级下甘肃陇南阶段练习)已知抛物线4：y=ar-2ar-3aa≠0与×轴交于A,8两点 (点4在点B的左边)，与'轴交于点C0,3到 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 3 4329 1234 -4 (1)求抛物线L的表达式： 2若将抛物线沿轴向右平移得到抛物线工，平移后点C的对应点为点”，点”是平面内任意一点，是 L' 否存在以A、B、Q、P四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理 由. 4.(24-25九年级上重庆永川阶段练习)如图，抛物线y=+br-2与x轴交于A-0,B(4,0两点， 与y轴交于点C,对称轴为直线1. 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，求四边形ACPB面积的最大值及此时P点的坐标： (3)点F是直线1上一点，点G是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B,C,F,G为顶点的菱形？若 存在，请求出点F的坐标：若不存在，请说明理由 5.(24-25九年级上广东韶关阶段练习)如图，已知二次函数”=r+br+3 的图象经过点 4-,0,C(3,0),与'轴交于点B,点P是直线C上方的抛物线上一动点，过点P作2∥y轴，交直 线BC于点Q,过点P作BC的垂线，垂足为H. 10/14