专题03 空间几何体的截面、轨迹、外接球与内切球问题（8大题型专项训练）数学人教B版必修第四册

**基本信息** 以“模型建构-问题突破”为主线，系统整合空间几何体截面、轨迹及外接/内切球八大核心题型，通过补形法、垂面模型等方法提炼，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |截面问题|多题|交线作图法、最值转化|从基本截面到复杂多面体截面，培养空间想象| |轨迹问题|多题|轨迹方程法、几何约束分析|结合线面关系，构建空间轨迹模型| |墙角模型|多题|长方体补形法|利用长方体体对角线求外接球直径| |三组对棱长相等模型|多题|四面体补形法|转化为长方体面对角线问题| |直棱柱等外接球|多题|轴截面法、球心定位|结合柱体结构特征确定球心位置| |正棱锥等外接球|多题|高与半径关系|利用棱锥高、底面外接圆半径求球半径| |垂面模型|多题|面面垂直性质|通过垂直关系简化外接球计算| |内切球问题|多题|体积分割法|利用等体积法求内切球半径|

专题 03 空间几何体的截面、轨迹、外接球与内切球问题（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、截面问题（难点） 1 题型二、轨迹问题（难点） 6 题型三、墙角模型（长方体/正方体补形法） 19 题型四、三组对棱长相等模型（四面体补形法） 24 题型五、直棱柱、圆柱、棱台、圆台的外接球模型（常考点） 30 题型六、正棱锥、圆锥的外接球模型 34 题型七、垂面模型（含线面/面面垂直的外接球）（重点） 37 题型八、内切球问题 43 B综合攻坚・能力跃升 题型一、截面问题（难点） 1．（多选）如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则截面四边形的周长的最小值为（   ） A． B．5 C． D．10 3．在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知平行六面体的所有棱长均为2，为的中点，且平面，若直线与底面的夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，正方体的棱长为4，P为正方形的中心，Q为棱的中点，则过点A、P、Q的截面周长为（   ） A． B． C． D．74 6．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______． 7．在棱长为6的正方体中，点分别为的中点，，点在棱上，若，则平面截正方体，所得截面多边形的周长_________． 题型二、轨迹问题（难点） 1．已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 2．如图，长方体的长、宽、高分别为，且分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当最小时，以为球心，的长为半径的球面与上底面的公共点的轨迹长度为（   ） A．2 B． C． D． 3．已知正方体的棱长为，点是正方形内（含边界）的一个动点，且满足，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 4．在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为（   ）    A．4 B． C． D． 5．如图，在长方体中，，点E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 6．已知正方体棱长为2，点满足，点在正方体的表面上运动，且，则的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 7．如图正方体的棱长为，，分别是棱，中点，点为底面内（包括边 界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（     ） A． B． C． D． 8．（多选）在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为________． 10．如图，在正方体中，是空间一动点，若点到直线的距离相等，则动点的轨迹是______. 11．在长方体中，，，，长方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为______. 12．如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 则点的轨迹长为． 故答案为：． 13．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点满足，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为_________． 题型三、墙角模型（长方体/正方体补形法） 1．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.”这里所谓的“鳖臑”（biē nào），就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥是一个“鳖臑”，平面且，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 3．（多选）我国古代数学名著《九章算术商功》中记载了一些特殊几何体，如长方、堑堵、阳马、鳖臑等．并对这些几何体作了详细记载．如图长方体，按平面斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，余下的三棱锥称为鳖臑，已知长方体中中，，，按以上操作得到鳖臑，则关于该鳖臑下列说法正确的是（    ） A．三棱锥由三个直角三角形和一个锐角三角形组成的四面体 B．三棱锥由四个直角三角形组成的四面体 C．该鳖臑的最长棱长 D．该鳖臑的体积为4 4．古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为______. 5．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知鳖臑中，平面，，，，，分别为线段，，的中点，则平面截鳖臑外接球所得截面的面积为______. 6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则该鳖臑的体积为________． 7．《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑（qiàn）堵（dǔ）.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖（biē）臑（nào）.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云•中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得，”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑. (1)在下右图（图一）画出阳马和鳖臑（不写过程，并用字母表示出来），求阳马和鳖臑的体积比； (2)若，： ①在右图（图二）中，求三棱锥的高. ②求三棱锥外接球的体积.    题型四、三组对棱长相等模型（四面体补形法） 1．已知三棱锥中三组相对的棱长分别相等，长度分别为，，，其中 ，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为________. 2．在四面体中，三组对棱的棱长分别相等且依次为，，5，则此四面体的外接球的半径______． 3．四面体每组对棱的棱长均相等，分别为，则该四面体的体积为_______. 4．求一个棱长为的正四面体的体积，通常采用如下的解法：构造一个棱长为1的正方体，此正方体称为该四面体的“生成正方体”（如图（1）），则四面体的体积.仿照此解题思路，对一个已知四面体，可构造它的“生成长方体”.“生成长方体”由该四面体和四个三棱锥组成，每个三棱锥的底面积等于“生成长方体”的底面积的一半，且高相等.一对棱长都相等的四面体称为等腰四面体，已知一个等腰四面体的对棱长分别为，，5（如图（2）），则该四面体的体积为______. 5．（多选）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则下列结论正确的是（    ） A．四面体ABCD每组对棱相互垂直 B．四面体ABCD每个面的面积相等 C．从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°且小于180° D．连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分 6．（多选）一般地，我们把三组对棱分别相等的四面体叫做等面四面体．下列结论正确的是（    ） A．若一个四面体的四个面的周长都相等，则该四面体是等面四面体 B．等面四面体的一组对棱中点的连线与这组对棱都垂直 C．三组对棱长度分别为，，的等面四面体外接球的表面积为 D．过等面四面体任一顶点的三个面且以该点为顶点的三个角之和为 7．如图，已知四面体的对棱长相等，且为的中点，，求四面体的体积. 题型五、直棱柱、圆柱、棱台、圆台的外接球模型（常考点） 1．在直三棱柱中，，则该三棱柱外接球表面积的最小值为______. 2．我校开设通用技术选修课程，在学习完通用技术的必修模块——技术与设计后，老师要求学生使用硬纸片制作一个表面积为的圆柱（硬纸片的厚度不计），记该圆柱的底面半径为，则当圆柱的外接球表面积取得最小值时，_____. 3．已知正四棱台， ，则该正四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知正四棱台中，棱台体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 5．圆台的上、下底面半径分别为、，且，母线，圆台的表面积为，若球为圆台的外接球，且球心在圆台内部，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 题型六、正棱锥、圆锥的外接球模型 1．如图，在四面体中，，分别为，的中点，且，，，则该四面体的外接球表面积为（   ）    A． B． C． D． 2．正四面体的棱长为，过棱作平面与棱平行，则平面截该正四面体的外接球所得截面的面积为__________. 3．已知三棱锥为正三棱锥，，若为正三棱锥的外接球球面上的一个动点，为内切圆上的一个动点，则的最大值为_____. 4．在四面体中，，，异面直线与所成的角为，异面直线与所成的角为，若，且，则四面体的外接球表面积的最小值为______． 5．已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 题型七、垂面模型（含线面/面面垂直的外接球）（重点） 1．已知球是三棱锥的外接球，，，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，若，则三棱锥外接球半径的最小值为（   ）    A． B． C． D． 3．在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 4．在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球表面积最小值为（   ） A． B． C． D． 5．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是边长为的正三角形，则四棱锥的外接球体积的最小值为_____.    6．如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 7．在Rt中，，是的中点，把沿翻折到，使得二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积是______． 题型八、内切球问题 1．已知上底面半径为1，下底面半径为2的圆台存在内切球（与上､下底面及侧面都相切的球），则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．若球O是轴截面为正三角形的圆锥的内切球，则圆锥的表面积与球O的表面积的比值为（   ） A． B．3 C． D． 3．已知球O是棱长为2的正方体的内切球，则球O与三棱锥的公共部分的体积为（   ） A． B． C． D． 4．在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 5．已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知正四面体的棱长为4，球为其内切球，球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 8．已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面PAB为正三角形且垂直于底面ABCD，M为四棱锥内切球表面上的一点，则点M到直线CD距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，曲面直三棱柱中，，，且直线AB，AC分别与圆弧BC相切于点B，C，若该曲面直三棱柱存在内切球，则该曲面直三棱柱的体积为（   ）    A． B． C． D． 10．（多选）已知某科学实验室为保障脑机接口实验的精密仪器安全存储，设计了一款圆台形密封智能存储舱（舱壁厚度忽略不计），内部装有两个实心金属球，其中一个金属球恰好与圆台的上､下底面及所有母线都相切（即内切球），存储舱上底面直径，下底面直径，且 ，则下列说法正确的是（    ） A．存储舱的高为 B．存储舱的表面积为 C．存储舱的体积为 D．舱中另一个球半径最大时，它的表面积为 11．若一个半径为1的实心球O放置于一个正方体形盒子内，且与该正方体内切，若在该盒子内再放入一个球，则球的表面积的最大值是______． 12．如图，三棱锥中，，，已知平面 平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则______． 13．如图所示，正四面体的棱长为，球是内切球，球是与正四面体的三个面和球都相切的一个小球，求球的体积． 1．下列多面体，一定有外接球的是（   ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 2．已知一圆柱有内切球，该球为一底面半径为，高为3的圆锥的外接球，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 3．已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使二面角的大小为，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）在棱长为1的正方体中，为正方体内（含表面）的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则（   ） A．的最小值为 B．点的轨迹形成图形的面积为 C．点的轨迹与正方体表面交线的长度为 D．当点在侧面上时，的最小值为1 5．（多选）如图，在棱长为1的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放置两个小球，两球相切，且各自与对角的三个面均相切，设过两球公切点的公切平面为，则下列结论正确的是（    ）      A．平面截正方体所得截面不可能为五边形 B．平面截正方体所得截面面积的最大值是 C．两球半径之和为定值 D．两球体积之和的最大值是 6．（多选）如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面内（不含边界）一点与棱把木料锯成两块，为此需要先在面内作出交线，下列关于交线与截面形状的说法正确的是（    ） A．截面形状是梯形 B．截面形状可能为等腰梯形 C．直线与直线相交 D．直线与直线相交 7．（多选）已知圆台的上、下底面的面积分别为和，则下列结论正确的是（   ） A．若圆台存在内切球，则内切球的体积为 B．若圆台的母线与下底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为 C．若圆台的外接球的体积为，则圆台的表面积为 D．若圆台的外接球的体积为，则圆台的体积为或 8．（多选）如图所示，轴截面为正三角形的圆锥，底面圆半径为是底面的两条直径，母线与该圆锥内切球分别切于点.则下列说法正确的是（    ） A． B．圆锥与球的交线的轨迹长为 C．若，则 D．平面截球的截面面积的最小值为 9．已知棱锥的底面为正六边形，其顶点在底面的射影为底面中心，若该棱锥的外接球球心在其内切球球面上，则外接球和内切球的半径比为___________ 10．已知一个棱长为的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计），则此容器外接球（正四面体容器各顶点都在球面上）的体积为_____；如果一个半径为1的小球在该容器内可向各个方向自由运动，则小球永远不可能接触到的容器内壁面积为_____． 11．如图，在正四面体 中，放置 1 大、4 中、4 小共 9 个球，其中，大球为正四面体 的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体 的体积为 ，则 9 个球的表面积之和为______. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 03 空间几何体的截面、轨迹、外接球与内切球问题（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、截面问题（难点） 1 题型二、轨迹问题（难点） 6 题型三、墙角模型（长方体/正方体补形法） 19 题型四、三组对棱长相等模型（四面体补形法） 24 题型五、直棱柱、圆柱、棱台、圆台的外接球模型（常考点） 30 题型六、正棱锥、圆锥的外接球模型 34 题型七、垂面模型（含线面/面面垂直的外接球）（重点） 37 题型八、内切球问题 43 B综合攻坚・能力跃升 题型一、截面问题（难点） 1．（多选）如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据三棱锥的结构特征判断即可. 【详解】对于A，过三棱锥的一条棱且过球心所得截面如选项A图所示； 对于B，棱长都相等的正三棱锥的棱和球心不可能在同一个面上，故B错误； 对于C，当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如选项C图所示； 对于D，棱长都相等的三棱锥的每个面和球心不可能在同一面上，故D错误； 故选：AC. 2．如图，四边形是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则截面四边形的周长的最小值为（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】D 【分析】先根据面面平行得到，，然后确定当，，三点共线时，最小，进而得出结果. 【详解】由题意，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 所以四边形为平行四边形，则周长， 沿将相邻两四边形展开， 当，，三点共线时，最小，最小值为5， 所以周长的最小值为10. 3．在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体的性质，以及面面相交的概念，判断截面为五边形时的情况，进而判断结果. 【详解】如图所示， 要使点所在的截面为五边形，则截面与棱相交， 因为是的中点，所以， 因为，， 所以，所以， 在长方体中，，所以， 所以， 同理可得，即， 因为，所以，即，所以， 即实数的取值范围是. 故选：B. 4．已知平行六面体的所有棱长均为2，为的中点，且平面，若直线与底面的夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面得到，由题中条件得到为的中点，从而得到三棱锥中和均为直角三角形，继而得到三棱锥的外接球是以为直径，为球心，利用三棱锥体积相等求解即可得到截面圆的半径，利用圆的面积求解即可. 【详解】平面，若直线与底面的夹角为，， ，， 为的中点，四边形是平行四边形，为的中点， ，，， ，，， 三棱锥中和均为直角三角形， 且平面平面， 三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径为， 设到平面的距离为，外接球被平面截得的截面半径为， ， ，， ，， 截面半径，则截面面积为. 5．如图，正方体的棱长为4，P为正方形的中心，Q为棱的中点，则过点A、P、Q的截面周长为（   ） A． B． C． D．74 【答案】C 【详解】如图所示， ，且点靠近点，，且点靠近点， 过点作，过点作， 则，所以， 在正方体中，平面∥平面，又因为平面， 所以∥平面， 由线面平行的性质定理可得：∥， 则平面为平行四边形，且平面过、、三点， 所以过点A、P、Q的截面为平面， 因为正方体棱长为4，所以，， 则截面四边形的周长为：. 6．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______． 【答案】 【分析】取的中点的中点的中点，连接，由面面平行的性质定理，即得截面多边形，分析可得多边形为正六边形，求出边长后计算面积即可. 【详解】 取的中点的中点的中点，连接， 则正六边形为对应的截面，又正六边形的边长为， 所以截面的面积为：. 故答案为：. 7．在棱长为6的正方体中，点分别为的中点，，点在棱上，若，则平面截正方体，所得截面多边形的周长_________． 【答案】 【分析】连接,设，找出平面与平面的交线，通过证明可知G、H为平面EFG截正方体所得的点，设平面，通过证明可知也为平面EFG截正方体所得的点，最终得到截面，通过简单的几何关系即可求解截面周长． 【详解】    如图，连接,设， 因为E、F分别为AB、BC的中点，所以，所以平面， 因为平面平面，连接GH，所以， 设平面，连接SO，则CG、OS、AH三者平行且相等， 在平面中，，，，， 所以，从而三点共线，即也在平面EFG内，连接，则截面多边形为， 易计算得，，，又根据对称性，截面多边形的周长为． 故答案为：． 题型二、轨迹问题（难点） 1．已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取圆锥的轴截面，分析可得接触点的轨迹为两个圆，进而结合图形关系、相似比求解即可. 【详解】取圆锥的轴截面，因为圆锥的底面半径为，母线长为， 所以轴截面为等边，半径为1的圆与此等边三角形的一条腰和底边相切， 如图，设切点为，圆心为， 由于球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则接触点的轨迹为两个圆，设其圆心为， 则，所以，，，， 由于，则，即，则， 所以该球与圆锥的接触点的轨迹长度为. 2．如图，长方体的长、宽、高分别为，且分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当最小时，以为球心，的长为半径的球面与上底面的公共点的轨迹长度为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由最小时，得到分别为的三等分点，得到以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线对应的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，结合扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意得，要使得最小，则要在同一个平面内，即平面内， 如图（1）所示，可得， 所以， 当最小时为， 此时，即分别为的三等分点， 因为，所以， 分别在取点，使得， 可得， 则以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线对应的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，如图（2）所示， 所以轨迹的长度为. 3．已知正方体的棱长为，点是正方形内（含边界）的一个动点，且满足，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求长度，再求轨迹长度. 【详解】连接，如下图所示： 因为平面，平面，所以. 由，，可得. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆位于正方形内的部分. 因为，所以点的轨迹长为. 4．在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为（   ）    A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质确定轨迹，进而求出其长度. 【详解】在棱长为4的正方体中，分别取的中点，连接， 连接，由，得四边形是平行四边形， 则，又，平面，平面， 因此平面，平面，又平面，， 则平面平面，而侧面，平面，于是平面， 则点在侧面上的轨迹为线段，又， 所以点在侧面上的轨迹长度为.    5．如图，在长方体中，，点E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用面面平行得到轨迹的长度求解即可. 【详解】取的中点，的中点，连接，，， 根据长方体的结构特征，易得，， 因为平面，平面， 故平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面，又平面，且面， 所以平面，即点在平面与平面的交线上， 因为，所以， 所以，所以动点的轨迹长度为.    6．已知正方体棱长为2，点满足，点在正方体的表面上运动，且，则的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理结合条件可得点的轨迹，进而求得轨迹的长度． 【详解】设，分别是，的中点，连接，，， 则，即四点共面， 在正方体中，得是的中点， 显然，，， 所以，故， 所以， 即，所以， 又平面，平面，所以， 又，且平面，平面， 所以平面， 因为点在正方体的表面上运动，且，所以点的轨迹是矩形， 由题可得，， 所以点的轨迹长度为． 7．如图正方体的棱长为，，分别是棱，中点，点为底面内（包括边 界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得平面，过点作平面，使平面平面，即可知点的轨迹为平面与平面的交线，即为. 【详解】 如图所示，取中点，连接，，， 点，分别为，中点， ， 又几何体为正方体， 则，， 四边形为平行四边形， ， 又，且，平面，，平面， 平面平面， 又直线与平面无公共点， 平面， 点平面， 点平面， 又点平面，且平面平面， 点 ， 即动点的轨迹为线段， 且， 故选：B. 8．（多选）在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先确定球的半径的范围，从而确定球面与正方体各面的交线，再用弧长公式计算总长度，逐一验证选项即可. 【详解】A选项：，则动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧， 则轨迹长度，故A正确； B选项：，则动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧， 则轨迹长度，故B正确； C选项：，则动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹长度相等，当在内运动时， 则，即，则， 所以在内的运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧， 则轨迹长度，故C错误； D选项：，且，动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹长度相等，当在内运动时，则，即，则， 如图所示，设轨迹与，分别交于点，，所以， ，则，同理，则， 所以在内的运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧， 则轨迹长度，故D正确. 9．如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为________． 【答案】 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上， 又正方体的棱长为2，所以，则， 故点轨迹长度为. 10．如图，在正方体中，是空间一动点，若点到直线的距离相等，则动点的轨迹是______. 【答案】直线 【分析】由对称性及地位等同性可得动点的轨迹. 【详解】因是正方体中两两互相异面垂直的棱所在直线， 由对称性及地位等同性知：轨迹是体对角线所在的直线． 11．在长方体中，，，，长方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【分析】由题设，在长方体表面确定P的轨迹，应用弧长公式计算轨迹长度. 【详解】因为，故在以为球心，半径为的球面上， 而点在长方体各面上，故在各面上的轨迹为圆弧， 如图，在矩形，因为，，故， 故，故， 同理，故， 因为，故，故，故， 故. 同理，，故，， 综上，点的轨迹长度为 12．如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 【答案】 【分析】先根据线面角条件得出点在以为顶点的圆锥侧面上，再结合点P在正方体表面上的限制，找出轨迹在正方体表面上的具体形状，最后分段计算轨迹长度并求和. 【详解】因为直线与平面所成的角为，所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆锥的侧面上， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以点的轨迹如图所示， 则点的轨迹长为． 故答案为：． 13．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点满足，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为_________． 【答案】/ 【分析】利用面面平行判定定理可证明平面平面，即可得平面，所以即为点的轨迹，求出的长即可. 【详解】如图，取上靠近的三等分点，的中点，连接，， 则在正方形中，可得. 又平面，平面，所以平面. 又因为分别是的中点，所以，且， 可知四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 因为平面，， 所以平面平面. 又点在侧面内，且平面， 所以即为点的轨迹，. 故答案为： 题型三、墙角模型（长方体/正方体补形法） 1．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将几何体补全为长方体，根据异面直线所成角的定义确定对应平面角，根据已知求该角的余弦值. 【详解】由题意，将补全为如下图所示的长方体，且， 所以异面直线PC与BD所成角，即为所成角， 由，则， 所以， 所以异面直线PC与BD所成角的余弦值为. 故选：C 2．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.”这里所谓的“鳖臑”（biē nào），就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥是一个“鳖臑”，平面且，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知证明两两垂直，得到三棱锥的外接球，也是以的长为三条相邻棱长的长方体外接球，即可求球体半径，进而求其表面积. 【详解】由平面，平面，则，又， 由且都在面内，故面，面， 所以，，又平面，则，即两两垂直， 所以三棱锥的外接球，也是以的长为三条相邻棱长的长方体外接球， 所以外接球半径为，故外接球的表面积为. 故选：B 3．（多选）我国古代数学名著《九章算术商功》中记载了一些特殊几何体，如长方、堑堵、阳马、鳖臑等．并对这些几何体作了详细记载．如图长方体，按平面斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，余下的三棱锥称为鳖臑，已知长方体中中，，，按以上操作得到鳖臑，则关于该鳖臑下列说法正确的是（    ） A．三棱锥由三个直角三角形和一个锐角三角形组成的四面体 B．三棱锥由四个直角三角形组成的四面体 C．该鳖臑的最长棱长 D．该鳖臑的体积为4 【答案】BCD 【分析】把三棱锥还原到长方体中，再逐项分析判断即可． 【详解】如图，把三棱锥还原到长方体中， 则，， 所以A错误，B正确； 该鳖臑的最长棱长就是长方体的体对角线，所以C正确． 该鳖臑的体积为，所以D正确． 故选：BCD． 4．古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为______. 【答案】 【分析】根据补形的方法求得外接球的体积. 【详解】由于平面，，平面，所以，， 由于四边形是矩形，所以，所以，，两两相互垂直， 所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为， 所以外接球的半径， 所以外接球的体积为. 5．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知鳖臑中，平面，，，，，分别为线段，，的中点，则平面截鳖臑外接球所得截面的面积为______. 【答案】 【分析】运用割补法，结合线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、球的性质进行求解即可. 【详解】可将鳖臑补形为正方体，如图，    则该鳖臑外接球与正方体外接球相同，球心为中点， 外接球半径为， 取中点，中点，可知平面即为平面， ，平面，平面， 得平面，同理平面，， 得平面平面， 又平面， 则到平面距离即为平面与平面之间的距离，连接分别交，于，，因为平面，所以，，，所以平面，即平面， 因此所求面面距离即为， 所以所求截面圆的半径为，则截面圆面积为. 故答案为： 6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则该鳖臑的体积为________． 【答案】 【分析】利用已知条件将三棱锥放入长方体中可求出三棱锥的高，再应用体积公式计算求解. 【详解】 如图，根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中， 则三棱锥 的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥 的外接球的半径为， 三棱锥 的外接球的表面积为，，， ，，解得， . 故答案为：. 7．《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑（qiàn）堵（dǔ）.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖（biē）臑（nào）.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云•中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得，”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑. (1)在下右图（图一）画出阳马和鳖臑（不写过程，并用字母表示出来），求阳马和鳖臑的体积比； (2)若，： ①在右图（图二）中，求三棱锥的高. ②求三棱锥外接球的体积.    【答案】(1)作图见解析，2； (2)①；② 【分析】（1）首先根据题意画出阳马和鳖臑，，再计算其体积比即可. （2）①根据即可得到三棱锥的高；②根据计算得到三棱锥外接球的半径为，再求外接球表面积即可. 【详解】（1）如图所示：阳马为四棱锥，鳖臑为三棱锥， 设，，，则，， 于是，所以阳马和鳖臑的体积比为2. （2）①，， 等腰的面积， 设三棱锥的高为，由，得， 解得，所以三棱锥的高为. ②依题意，三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥外接球的半径为，则 所以三棱锥外接球的体积. 题型四、三组对棱长相等模型（四面体补形法） 1．已知三棱锥中三组相对的棱长分别相等，长度分别为，，，其中 ，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为________. 【答案】 【分析】根据三棱锥的三组对棱分别相等，可得到三棱锥的顶点必是一个长方体的顶点，再由棱的长度可求得长方体同一个顶点发出的三条棱的长度，继而表示出外接球半径，借助于基本不等式即可求得. 【详解】由题设知，三棱锥的四个顶点是一个长方体的四个顶点，如图． 因三棱锥中三组相对应的棱长分别相等， 长度分别为，，， 故该长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为， 且三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 故外接球的直径长为长方体的体对角线长，设外接球半径为， 则三棱锥的外接球表面积为， 因 ，则，当且仅当时等号成立． 此时，，即时，. 2．在四面体中，三组对棱的棱长分别相等且依次为，，5，则此四面体的外接球的半径______． 【答案】 【分析】将四面体补形为为一个面对角线长分别为，，5的长方体，则长方体外接球即四面体外接球. 【详解】四面体中，三组对棱的棱长分别相等， 可将其补形为一个面对角线长分别为，，5的长方体． 设长方体长宽高为，由题有：， 即长方体体对角线长为，则长方体外接球半径，即四面体外接球半径为. 故答案为： 3．四面体每组对棱的棱长均相等，分别为，则该四面体的体积为_______. 【答案】/ 【分析】将其补充为一个三个面上对角线长度分别为的长方体，设长方体的长、宽、高分别为，求得，结合正方体的体积和三棱锥的体积，即可求解所求四面体的体积. 【详解】四面体每组对棱的棱长均相等，分别为，所以可将其补充为一个三个面上对角线长度分贝为的长方体，如图所示， 设长方体的长、宽、高分别为，可得，解得， 可得长方体的体积为， 其中一个三棱锥的体积为， 所以四面体体积为. 故答案为：. 4．求一个棱长为的正四面体的体积，通常采用如下的解法：构造一个棱长为1的正方体，此正方体称为该四面体的“生成正方体”（如图（1）），则四面体的体积.仿照此解题思路，对一个已知四面体，可构造它的“生成长方体”.“生成长方体”由该四面体和四个三棱锥组成，每个三棱锥的底面积等于“生成长方体”的底面积的一半，且高相等.一对棱长都相等的四面体称为等腰四面体，已知一个等腰四面体的对棱长分别为，，5（如图（2）），则该四面体的体积为______. 【答案】 【分析】由题可得四面体的体积等于“生成长方体”的体积为，再由题意求出长方体的长宽高，求得长方体的体积，进而得到四面体的体积. 【详解】由题意得，四面体的体积为， 所以四面体的体积等于“生成长方体”的体积， 设长方体的长、宽、高分别为，可得， 解得，即， 可得长方体的体积为， 所以该四面体的体积为. 故答案为：. 5．（多选）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则下列结论正确的是（    ） A．四面体ABCD每组对棱相互垂直 B．四面体ABCD每个面的面积相等 C．从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°且小于180° D．连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分 【答案】BD 【解析】对AD,将该四面体放入长方体中进行分析即可. 对B,利用全等判定即可. 对C,举出反例即可. 【详解】对A,易得四面体可放入一个长方体中,如图. 若四面体每组对棱相互垂直,不妨设,根据长方体的性质有,则长方体侧面矩形为正方形,这不一定成立,故A错误. 对B,因为该四面体每组对边均相等.故侧面的三角形三边分别相等,即侧面三角形为全等三角形.故每个面的面积相等.故B正确. 对C,若四面体为正四面体,则从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角均为,则和为,故C错误. 对D, 根据长方体的对称性可知, 四面体每组对棱中点的线段为长方体中连接每组对面中心的线段,故这三条线段相互垂直平分且交于长方体的中心.故D正确. 综上,BD正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查了对边相等的四面体的性质,一般放到长方体中去分析,属于中档题. 6．（多选）一般地，我们把三组对棱分别相等的四面体叫做等面四面体．下列结论正确的是（    ） A．若一个四面体的四个面的周长都相等，则该四面体是等面四面体 B．等面四面体的一组对棱中点的连线与这组对棱都垂直 C．三组对棱长度分别为，，的等面四面体外接球的表面积为 D．过等面四面体任一顶点的三个面且以该点为顶点的三个角之和为 【答案】ABD 【分析】对于选项A ，利用周长关系，化简可得答案； 对于选项B，作出图等面四面体中，设与的中点分别为，，可证明，从而证明，，判断B； 对于C，将等面四面体放到长方体中，即可求出外接球半径，从而得到外接球表面积； 对于D，将等面四面体展开，从而得到，即可说明答案. 【详解】选项A：四面体中，设，，，，，，且， 将，两边分别相加，得， 再由得，同理得，，所以四面体是等面四面体，所以A正确． 选项B：如图1，在等面四面体中，设与的中点分别为，， 连接，，则，所以，所以，同理可证，所以B正确． 选项C：将等面四面体放到长方体中，如图2， 所以等面四面体的外接球即长方体的外接球，不妨设，，， 则，，，得， ，，所以等面四面体外接球的半径， 所以等面四面体外接球的表面积为，所以C错误． 选项D：将等面四面体展开，如图3， 由等面四面体的定义可以证得，所以，， 所以，同理在其他顶点处也成立，所以D正确． 故选：ABD 【点睛】方法点睛：能放在长方体中求外接球半径的三棱锥模型： (1)墙面模型：共点的三条线两两垂直； (2)正四面体模型：棱长全等的三棱锥； (3)对棱相等的三棱锥 7．如图，已知四面体的对棱长相等，且为的中点，，求四面体的体积. 【答案】 【分析】先求出四面体的体积，再利用比例关系即可求解. 【详解】因为四面体的对棱长相等，且 所以可将其补成一个长方体，且四面体的棱为长方体的面对角线， 设长方体的长、宽、高分别为，则由题意得 ，所以， 所以解得， 所以 因为为的中点，， 所以, 所以； 所以. 题型五、直棱柱、圆柱、棱台、圆台的外接球模型（常考点） 1．在直三棱柱中，，则该三棱柱外接球表面积的最小值为______. 【答案】 【分析】由直三棱柱的结构特征及已知确定外接球球心，结合几何关系有，应用基本不等式求最小值，进而求外接球表面积的最小值. 【详解】由题意得，设该三棱柱外接球的球心为矩形的中心O，则其半径为， 所以 ， 当且仅当时等号成立，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为. 故答案为： 2．我校开设通用技术选修课程，在学习完通用技术的必修模块——技术与设计后，老师要求学生使用硬纸片制作一个表面积为的圆柱（硬纸片的厚度不计），记该圆柱的底面半径为，则当圆柱的外接球表面积取得最小值时，_____. 【答案】 【分析】利用几何关系列方程，结合基本不等式求解即可. 【详解】 设圆柱的高为， 则，故 设圆柱的外接球半径为，则， 故， 当且仅当，时，等号成立， 故当时，圆柱的外接球表面积取得最小值. 3．已知正四棱台， ，则该正四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正四棱台的体积可得正四棱台的高，再根据球的几何性质可得球的半径，进而可得球的表面积. 【详解】因为， 所以结合体积公式，可得正四棱台的高， 记上下底面的中心分别为，， 所以该正四棱台的外接球球心在直线上， 设，外接球半径为，则 则，解得，， 所以外接球表面积. 4．已知正四棱台中，棱台体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正棱台的体积可得正四棱台的高，再根据球的几何性质可得球的半径，进而可得球的表面积. 【详解】如图： 因为正四棱台上下底面均为正方形，上底面边长，对角线，外接圆半径. 下底面边长，对角线，外接圆半径. 设正四棱台的高为，则体积为，解得. 过正四棱台的对角面作截面，设外接球的球心为P，截面图如下： 设，则，所以， ，所以， 即，解得，所以外接球的半径为， 所以正四棱台的外接球的表面积. 5．圆台的上、下底面半径分别为、，且，母线，圆台的表面积为，若球为圆台的外接球，且球心在圆台内部，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，根据圆台的表面积公式和勾股定理求出球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解. 【详解】如图，设圆台的高为，上、下底面圆的圆心分别为，圆台外接球的半径为， 圆台的表面积为， 解得，，则. 由图可知， 有，即， 解得，则， 所以外接球的表面积为. 故选：C 6．已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 【答案】/ 【分析】先根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线，再结合勾股定理求出圆台的高，再设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，从而结合勾股定理列出方程组，求出，进而根据球的表面积公式即可求解． 【详解】由圆台的上底面半径为，下底面的半径为，其侧面积为， 设该圆台的母线为，高为， 则，解得， 则， 设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，（若球心在下底的上方，则为正值，反之为负值） 所以，解得， 所以该圆台的外接球表面积为．    题型六、正棱锥、圆锥的外接球模型 1．如图，在四面体中，，分别为，的中点，且，，，则该四面体的外接球表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件可得出，即可求出表面积． 【详解】连接，    因为线段的中点，，则， 又为线段的中点，，，则， 则， 则该四面体的外接球球心为，半径，表面积. 故选：D． 2．正四面体的棱长为，过棱作平面与棱平行，则平面截该正四面体的外接球所得截面的面积为__________. 【答案】 【分析】通过分析平面的位置，确定外接球球心到平面的距离，再计算出截面圆的半径求解. 【详解】正四面体的外接球半径为：， 对棱和互相垂直且距离为：， 平面过且平行于，故平面与的距离等于与的距离为， 球心在正四面体的中心，所以球心到平面的距离， 则截面圆的半径， 所以截面的面积为：. 3．已知三棱锥为正三棱锥，，若为正三棱锥的外接球球面上的一个动点，为内切圆上的一个动点，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】设球心为，在中，利用勾股定理计算可得，设出外接球，在中利用勾股定理计算可得；利用等面积法可计算出内切圆的半径，则可利用勾股定理求出，则可由得解. 【详解】如图，设球心为，外接球的半径为，的内切圆圆心为， 则、、三点共线，连接、， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得, 即，整理得， 设内切圆的半径为，则有， 故， 由是内切圆上一点，则， 在直角中，由勾股定理得， 即， 则， 当且仅当、、三点共线且在、之间时等号成立.    4．在四面体中，，，异面直线与所成的角为，异面直线与所成的角为，若，且，则四面体的外接球表面积的最小值为______． 【答案】 【分析】利用结构特征，将几何体补全为直棱柱，结合正弦定理、外接球与直棱柱的空间关系列方程求外接球半径，即可得. 【详解】由题意知CD为异面直线AD与BC的公垂线， 将四面体补形为直三棱柱，如图： 由已知可得，，由，故． 在中，，，． 在中，由正弦定理得底面外接圆直径，即． 设外接球的半径为，则 ，当且仅当时等号成立， 所以外接球表面积的最小值为． 5．已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，设圆锥外接球的半径为，则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积． 6．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为，则， 由题意得，，即，解得， ∴， 设该圆锥的外接球的半径为，显然球心位于圆锥高所在直线上， 由球的性质可知，， 解得，所以该圆锥的外接球的表面积为. 题型七、垂面模型（含线面/面面垂直的外接球）（重点） 1．已知球是三棱锥的外接球，，，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断出为直角三角形，从而确定斜边的中点就是其外接圆的圆心，进而确定使得三棱锥体积取得最大值的点的位置，利用锥体的体积公式求出的值，再根据球的性质求出球的半径为，即可求出球的体积. 【详解】 ，，由余弦定理可得： ， ，因，则有， 的外接圆的圆心是斜边的中点， 过且垂直于平面的直线一定过球心. 连接并延长与球相交的点即使得三棱锥的体积取得最大值的点. ，，， 三棱锥体积的最大值为， ，解得. 设球的半径为，，， ，即，解得， 球的体积为. 故选：D 2．如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，若，则三棱锥外接球半径的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，连接，，则，，先证明平面，可得三棱锥的外接球球心必在过的中心，且平行于的直线上，，设，结合勾股定理可得，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】如图，取中点，连接，，则，，    又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 所以三棱锥的外接球球心必在过的中心，且平行于的直线上，， 设，又， 所以，， 设三棱锥的外接球半径为， 则， 所以当时，，． 故选：D． 3．在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用面面垂直的性质证得面，面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图所示，    连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、， 则由题意知，，为正方形外接圆的圆心， 又因为面面，面面 ，面， 所以面， 同理面， 设等边的外接圆的圆心为， 过作的平行线交过且与平行的线于点O， 则面，面， 所以O为四棱锥外接球的球心，设球的半径为， 方法1：等边的外接圆半径为 ， 方法2：在等边中由正弦定理得，解得， 又因为， 所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：C. 4．在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球表面积最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设、的外心分别为、，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设这两垂线的交点为，求出、的长，利用勾股定理可得出，可得出长的最小值，再利用球体表面积公式可求得结果. 【详解】设、的外心分别为、， 则为的中点，为的中心， 过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设这两垂线的交点为， 则为四面体的外接球球心，如下图所示： 因为为等边三角形，则， 所以，易知， 因为为等腰直角三角形，且其底边长为，所以， 故球的半径为， 当且仅当点与点重合时，取最小值，即球的半径的最小值为， 所以四面体的外接球表面积最小值为. 故选：C 5．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是边长为的正三角形，则四棱锥的外接球体积的最小值为_____. 【答案】 【分析】利用外接球球心的特点并结合勾股定理得，从而得到半径的最小值，最后利用球的体积公式即可. 【详解】设底面正方形的中心为、外接球球心为，外接球半径为，则平面， 过作平面于，因为是边长为的正三角形， 则， 在中，． 设，则． 当时，最小为，体积的最小值为． 故答案为：.    6．如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 【答案】 【分析】取的中点E，由已知可得为二面角的平面角，利用余弦定理求出，利用勾股定理的逆定理可得为直角三角形，则得的中点O为三棱锥的外接球的球心，即可得到外接球的半径，进而求出表面积. 【详解】 如图，取的中点E，连接， 已知，，所以，， 又，所以，， 所以为二面角的平面角，其余弦值为， 在中，由余弦定理得 ， 即，则， 所以为直角三角形， 则的中点O为三棱锥的外接球的球心， 外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为. 7．在Rt中，，是的中点，把沿翻折到，使得二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积是______． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，结合二面角的定义及球面的性质确定球心，进而求出球半径及球的表面积. 【详解】在Rt中，，则，， 由是的中点，得，为正三角形，， 令的外接圆圆心分别为，连接并延长交于，连接， 则，是二面角的平面角，， ，在中，由正弦定理得， 是正三角形，，在中，由余弦定理得， 令三棱锥外接球球心为，连接，则平面，而平面， 则，同理，而平面， 于是平面，而平面，则平面与平面重合， 即点四点共面，且这四点共圆，其直径为，由正弦定理得， ，三棱锥外接球半径， 所以三棱锥外接球表面积. 故答案为： 题型八、内切球问题 1．已知上底面半径为1，下底面半径为2的圆台存在内切球（与上､下底面及侧面都相切的球），则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作圆台的轴截面，结合题意利用切线长定理求出圆台的母线长，代入表面积公式计算即得. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，其中点为圆台两底面的圆心，也是内切球与两底面的切点， 点为内切球与圆台侧面的一个切点，则， 于是圆台的母线长为， 故该圆台的表面积为. 2．若球O是轴截面为正三角形的圆锥的内切球，则圆锥的表面积与球O的表面积的比值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】设球半径为，圆锥的底面圆半径为，高为， 轴截面如图所示， ， 因为球是轴截面为正三角形的圆锥的内切球， 所以，， 所以， 所以圆锥的表面积与球的表面积之比为. 3．已知球O是棱长为2的正方体的内切球，则球O与三棱锥的公共部分的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可知棱长为2的正方体的内切球半径为1，球心在正方体的中心， 根据对称性可知三棱锥占整个正方体的， 则球O与三棱锥的公共部分的体积也为整个球的体积的，为. 4．在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为，设，内切球半径为，根据题意求出侧棱长以及，再根据切线的性质及等腰梯形和梯形的几何特点列方程组求出半径即可． 【详解】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为， 设，内切球半径为，因为，棱台的高为， ， ，同理， 内切球与平面相切，切点在上， ①， 在等腰梯形中，②， ， 在梯形中，③， 由②③得，代入得，则， 此棱台的表面积是： ． 5．已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过 “空间问题平面化（轴截面）”，利用几何性质与三角函数，将内切球参数转化为圆锥的高和底面半径，最终计算体积. 【详解】根据题意作图如下，点为内切球的圆心，点为圆锥底面圆的圆心，点为切点，由已知条件可知， 内切球的表面积为，即，而， 在中，，则圆锥的高， 在中，，则圆锥的底面半径， 所以圆锥的体积.    故选：B. 6．已知正四面体的棱长为4，球为其内切球，球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正四面体的结构特征求出内切球半径，然后根据相似关系求出球的半径，最后求出球的表面积. 【详解】因为正四面体的棱长为，所以底面正三角形的高为， 底面中心到底面顶点的距离为. 根据勾股定理可得正四面体的高为. 则正四面体的体积为. 设内切球半径为，则，解得. 设的半径为，根据相似关系可知， 即，解得. 所以球的表面积为. 故选：A. 7．如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及表面积即可. 【详解】如图所示，在正四面体中，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形 的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体的体积为，得 ，解得 ， 正四面体的高，内切球半径满足，代入： ，则. 正四面体顶点到大球球心的距离为， 顶点到小球球心（小球和三个面切，满足顶点到小球球心距离为），两球外切，球心距为， 因此：，整理得，得. 由总表面积为大球表面积加4个小球表面积可得： . 8．已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面PAB为正三角形且垂直于底面ABCD，M为四棱锥内切球表面上的一点，则点M到直线CD距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别为和的中点，平面截四棱锥的内切球所得的截面为大圆，求出圆的半径，利用圆心到直线距离求点M到直线距离的最小值. 【详解】如图，设四棱锥的内切球的半径为，取的中点为，的中点为，连接，，， 球O为四棱锥的内切球， 底面为矩形，侧面为正三角形且垂直于底面， 则平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆， 此圆为的内切圆，半径为r，与分别相切于点E，F， 平面平面，交线为 平面， 为正三角形，有，平面， 平面，， ，，则有，，， 则中，，解得. 所以，四棱锥内切球半径为2，连接. 平面，平面，， 又，平面，， 平面，平面，可得， 所以内切球表面上一点M到直线的距离的最小值即为线段的长减去球的半径， 所以， 又. 所以四棱锥内切球表面上的一点M到直线的距离的最小值为. 9．如图，曲面直三棱柱中，，，且直线AB，AC分别与圆弧BC相切于点B，C，若该曲面直三棱柱存在内切球，则该曲面直三棱柱的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该曲面直三棱柱内切球与底面ABC切于点O，半径为r，弧BC所在圆的圆心为，曲面直三棱柱的高为h，根据已知得出内切球的半径，求出棱柱的高，再利用，进而利用体积公式求解即可. 【详解】如图，设该曲面直三棱柱内切球与底面ABC切于点O，半径为r， 弧BC所在圆的圆心为，曲面直三棱柱的高为h， 因为，，则，， 因为，所以， 设内切球与圆弧BC所在曲面相切于点N， 则，则，，， 所以 ， 所以．    故选：C 10．（多选）已知某科学实验室为保障脑机接口实验的精密仪器安全存储，设计了一款圆台形密封智能存储舱（舱壁厚度忽略不计），内部装有两个实心金属球，其中一个金属球恰好与圆台的上､下底面及所有母线都相切（即内切球），存储舱上底面直径，下底面直径，且 ，则下列说法正确的是（    ） A．存储舱的高为 B．存储舱的表面积为 C．存储舱的体积为 D．舱中另一个球半径最大时，它的表面积为 【答案】BCD 【分析】对于A选项，研究轴截面，设内切圆半径为，利用等面积法求出腰长，即求出高；对于B选项,利用侧面积公式直接计算存储舱表面积即可；对于C选项，应用圆台体积公式计算；对于D选项，在轴截面ABCD中，通过相似三角形求得另一个球半径最大值，最后应用球的表面积公式计算判断. 【详解】对于选项A，如图所示， 由题，存储舱的轴截面是上底为6,下底为2的等腰梯形且有内切圆，如上图， 设内切圆半径为，则梯形两腰长为， 梯形面积公式可以用两种方式表示为 ， 故存储舱的高为，A错误； 对于选项B，侧面积公式为， 存储舱的表面积为，故B正确； 对于选项C，存储舱的体积为，故C正确； 对于选项D，当球与球、舱盖、舱壁均相切时，球的半径最大，设为， 如下图，在轴截面ABCD中，由， 则， 可求得它的表面积为，D选项正确； 11．若一个半径为1的实心球O放置于一个正方体形盒子内，且与该正方体内切，若在该盒子内再放入一个球，则球的表面积的最大值是______． 【答案】 【详解】设正方体为，又一个半径为1的实心球O与该正方体内切，所以正方体的棱长为， 当球与正方体的三个面相切且与球O相切时，球的半径能取得最大值 ， 设球的半径为，连接球心与球心，以及球心到与它相切的正方体的三个面的垂足，可构成一个以球心，球心和正方体顶点为顶点的直角三角形， 此时球心与球心的距离为，球心到正方体顶点的距离为，正方体棱长的一半为， 根据上述关系可列出方程：，解得， 所以球的表面积最大值为. 12．如图，三棱锥中，，，已知平面 平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则______． 【答案】 【详解】设点到平面的距离为，三棱锥的内切球的半径为，， 取中点，连接， ， ，， ， ， 三棱锥的内切球同时与平面相切，且， 平面平面， ， 由， 得， ， ，解得， ， 四点共球，直径为， ， ，故． 13．如图所示，正四面体的棱长为，球是内切球，球是与正四面体的三个面和球都相切的一个小球，求球的体积． 【答案】 【分析】记球与平面、切于点、，球与平面切于点，利用和即可得解. 【详解】如图所示，设球半径为，球的半径为，为中点， 球与平面、切于点、，球与平面切于点． 由题设得，，， 所以． 因为在中，， 所以，，得． 同理可证，，得． ． 1．下列多面体，一定有外接球的是（   ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 【答案】A 【分析】判断每个选项中的多面体是否一定能找到一个球，使得该多面体的所有顶点都在这个球面上. 【详解】任意的三棱锥一定有外接球，正确， 如果四棱锥的底面是一个非圆内接四边形，那么这个四棱锥就不一定存在外接球，错误， 三棱柱的外接球需要满足上下底面三角形的外心连线与侧棱垂直等条件，只有当三棱柱是直三棱柱且上下底面都有外接圆时，才可能有外接球，错误， 三棱台是由三棱锥截得，同样不是所有的三棱台都有外接球，错误. 故选：. 2．已知一圆柱有内切球，该球为一底面半径为，高为3的圆锥的外接球，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    作出轴截面图，显然球心在圆锥的高所在的直线上，记球半径为， 由勾股定理得，解得，可得圆柱的底面半径为， 高为，故其体积. 3．已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使二面角的大小为，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析翻折后的几何关系，确定外接球的球心和半径，结合截面性质和等体积法求解球心到截面的距离，进而计算截面面积. 【详解】如图所示，    设正方形对角线、交于原点，原正方形边长为， 因此对角线长，可得：. 翻折后，，的垂直关系不变， 因此二面角的平面角为，结合， 可得为等边三角形，. 由于翻折后四个顶点到的距离均为，因此就是三棱锥外接球的球心，外接球半径，. 结合图形和球的截面性质可得：（为截面圆半径，为球心到截面的距离）， 由：由平面，， 因此平面平面，交线为，是直角三角形（），. 因为是边长为2的等边三角形，到的距离为， 所以到平面的高为，则， 又在中，，，等腰三角形的高为， 所以， 由， 代入得：， 所以， 因此截面面积为：. 4．（多选）在棱长为1的正方体中，为正方体内（含表面）的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则（   ） A．的最小值为 B．点的轨迹形成图形的面积为 C．点的轨迹与正方体表面交线的长度为 D．当点在侧面上时，的最小值为1 【答案】ACD 【分析】对于A，由图通过折叠相关平面，使共面，据此可判断选项正误；对于B和C，由题设可得M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的，据此可判断选项正误；对于D，注意到，据此可判断选项正误． 【详解】对于A，由图注意到，将平面沿折叠至平面处，使共面， 则，当且仅当三点共线时取等号，故A正确； 对于B，注意到，则M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的， 则点M的轨迹所形成图形的面积为：，故B错误； 对于C，由B分析，点M的轨迹与正方体表面的交线长度为：，故C正确； 对于D，注意到，过N作平行线交于，则， 从而，当且仅当三点共线时取等号，故D正确. 5．（多选）如图，在棱长为1的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放置两个小球，两球相切，且各自与对角的三个面均相切，设过两球公切点的公切平面为，则下列结论正确的是（    ）      A．平面截正方体所得截面不可能为五边形 B．平面截正方体所得截面面积的最大值是 C．两球半径之和为定值 D．两球体积之和的最大值是 【答案】ACD 【分析】根据正方体及球的对称性，结合题意，可知两球的球心在正方体的体对角线上，两球的公切点在体对角线上，公切平面与体对角线垂直，由此可判断A；利用特殊截面，求其面积，可判断B；根据A的判断，结合正方体的性质，求出两球半径之和，判断C；用较大球的半径表示两球的体积之和，根据二次函数在给定区间上的最值，求得体积之和的最大值，判断D. 【详解】由题意知，两球球心到各自相切的三个面的距离相等，所以球心到三个面的距离分别等于对应球的半径， 因此两球的球心在正方体的体对角线上，两球的公切点在体对角线上. 因此公切平面与体对角线垂直，根据正方体的对称性可得， 平面截正方体所得截面不可能为五边形，所以A正确.    如图，当截面为时，因为为正三角形，所以其面积为， 所以B错误. 设两个球的半径为，且，则. 因为每个球都与一个顶点出发的三个面相切，此时可看作两个球分别棱长为的正方体的内切球， 所以两球球心到相应顶点的距离为对应正方体的体对角线的一半，即. 所以，所以，故C正确. 由，，得. 两球体积之和， 在上单调递增，所以当时，取得最大值，最大值为， 所以D正确. 6．（多选）如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面内（不含边界）一点与棱把木料锯成两块，为此需要先在面内作出交线，下列关于交线与截面形状的说法正确的是（    ） A．截面形状是梯形 B．截面形状可能为等腰梯形 C．直线与直线相交 D．直线与直线相交 【答案】ACD 【分析】把正四棱台还原成正四棱锥，再结合棱台、棱锥的结构特征逐项判断. 【详解】依题意，正四棱台的侧棱延长交于点， 直线分别与棱交于点，连接，平面即为平面， 对于CD，直线平面平面，直线与直线、直线都相交，CD正确； 对于AB，平面平面，平面平面，平面平面， 则，，因此截面是梯形，A正确； 在等腰中，在线段上（除端点外），则，而， 于是，即，梯形不是等腰梯形，B错误. 故选：ACD 7．（多选）已知圆台的上、下底面的面积分别为和，则下列结论正确的是（   ） A．若圆台存在内切球，则内切球的体积为 B．若圆台的母线与下底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为 C．若圆台的外接球的体积为，则圆台的表面积为 D．若圆台的外接球的体积为，则圆台的体积为或 【答案】AD 【分析】先做出圆台的轴截面，利用数形结合思想，根据各个选项所给条件逐一进行判断和运算即可. 【详解】取圆台的一个轴截面，则，如图（1）所示． 对于选项A，过点作的垂线，交于点，连接，则，所以内切球直径，内切球半径， 所以圆台的内切球体积，故选项A正确； 对于选项B，如图（2），在轴截面中，于点． 因为，所以． 设，则，所以． 所以圆台的外接球的表面积，故选项B错误； 对于选项C，因为，所以． 如图（3）所示，当外接球球心点在之间时，圆台的母线， 圆台的表面积． 当外接球的球心在的延长线上时，如图（4）所示，圆台的母线， 圆台的表面积，故选项C错误； 对于选项D，外接球半径，由选项C分析可知，圆台的高或1． 所以圆台的体积， 当时，；当时，，故选项D正确． 故选：AD 8．（多选）如图所示，轴截面为正三角形的圆锥，底面圆半径为是底面的两条直径，母线与该圆锥内切球分别切于点.则下列说法正确的是（    ） A． B．圆锥与球的交线的轨迹长为 C．若，则 D．平面截球的截面面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据圆锥轴截面是正三角形且底面半径为，可以计算圆锥的高、母线长，再利用轴截面的几何关系求内切球半径，进而可计算球和圆锥的体积比，可以判断选项A；先确定圆锥与球的交线是一个圆，通过分析球心到圆锥轴截面的距离、球半径，求出交线圆的半径，再计算其周长，可以判断选项B；根据题意可得，再结合三余弦定理，可以判断选项C；当球心到平面的距离最大时截面圆半径最小，进而得到最小面积，可以判断选项D. 【详解】对于A，画出圆锥的轴截面如图（1）所示.连接，则必过球心， 因为轴截面为正三角形且底面圆半径为， 所以， 所以， 故A正确； 对于B，如图（2），易知，圆锥与球的交线的轨迹为， 因为，所以在中， 可得，求得半径， 故轨迹长为错误； 对于C，根据三余弦定理可知， ， 故C正确； 对于D，当绕着旋转时，平面恒过定直线，若要使得平面截球的截面面积最小，只需球心到平面的距离达到最大， 如图（3）过作直线的垂线，垂足为到平面的最大距离为， 又因为在中，，所以截面半径的最小值为， 所以平面截球的截面面积的最小值为，故D正确. 9．已知棱锥的底面为正六边形，其顶点在底面的射影为底面中心，若该棱锥的外接球球心在其内切球球面上，则外接球和内切球的半径比为___________ 【答案】 【分析】应用正六棱锥的外接球及内切球关系计算求解. 【详解】设底面边长为a，高为h，外接球半径，内切球半径r， 因为正六棱锥及球的对称性，球心在正六棱锥的高上， 若球心在M处，则，则 ，所以，则， 设棱锥的斜高为，所以侧面积为， 棱锥的表面积为， 所以正六棱锥的体积等于， 所以内切球半径， 令，则，代入， 消去得出，即得， 化简得，所以， 则外接球和内切球的半径比； 若外接球球心在内切球与底面的交点O处，则外接球半径， 设棱锥的斜高为 ，所以侧面积为， 棱锥的表面积为， 所以正六棱锥的体积等于， 所以内切球半径， 则外接球和内切球的半径比. 综上， 10．已知一个棱长为的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计），则此容器外接球（正四面体容器各顶点都在球面上）的体积为_____；如果一个半径为1的小球在该容器内可向各个方向自由运动，则小球永远不可能接触到的容器内壁面积为_____． 【答案】 【详解】已知正四面体的棱长，设正四面体的高为， 设底面正三角形的中心到顶点的距离为，则， ， 正四面体的外接球球心在高上，且满足：， 外接球的体积：； 小球在一个角的情况如下图所示，作平面平面，与小球相切于点， 则小球球心为正四面体的中心，面，垂足为的中心， ， ，故， 此时小球与面的切点为，连接，则， 考虑小球与正四面体的面相切的情况， 则小球在面上最靠近边的切点轨迹仍为正三角形，即为，过作于， ，则， 小三角形边长， 小球与面不接触部分的面积为：， 小球永远不可能接触到的容器内壁面积为：． 11．如图，在正四面体 中，放置 1 大、4 中、4 小共 9 个球，其中，大球为正四面体 的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体 的体积为 ，则 9 个球的表面积之和为______. 【答案】 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及表面积即可. 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 由图知最大球内切于高的正四面体，最大球半径， 因此最大球的表面积为； 中等球内切于高的正四面体，中等球半径， 因此中等球的表面积为； 最小球内切于高的正四面体，最小球半径， 因此最小球的表面积为， 所以九个球的表面积为， 故答案为： 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $