第13章 立体几何初步（高效培优单元自测·强化卷）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 高中数学立体几何初步单元强化卷，适配单元复习，涵盖空间点线面关系、几何体表面积体积等核心知识，通过基础到综合的梯度设计，提升空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|空间符号表示（1）、圆柱侧面积（2）、直观图面积（3）|基础概念辨析，强化几何直观| |多项选择|3/18|线面关系判断（9）、正三棱台性质（10）|多角度考查空间想象，培养推理意识| |填空|3/15|点到平面距离（12）、异面直线所成角（13）、翻折外接球（14）|聚焦空间度量计算，提升运算能力| |解答题|5/77|四棱锥体积与线面平行（15）、面面垂直证明（16）、翻折截面与体积比（19）|综合应用空间关系与度量，突出创新探究，发展理性精神|

第13章 立体几何初步（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.用符号表示“点不在直线上，在平面内”，正确是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2.圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，则此圆柱的侧面积为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 3.如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4.如图所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，P为棱的中点，则点P到直线的距离为（ ） A． B． C．4 D．5 5.正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6.已知正四棱台，，分别是棱，的中点，平面将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（ ） A． B． C． D． 7.在正方体中中，为的中点，则平面截正方体所得的平面图形为（ ） A. 三角形 B. 等腰梯形 C. 直角梯形 D. 五边形 8.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为一个棱长为1的正八面体，则其内切球的表面积为（  ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知m，n是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法错误是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，则 10. 已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. 棱台的侧面积为 B. 棱台的高为 C. 棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D. 棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为 11.在棱长为2的正方体中，是上的动点（包含两端点），则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使与平面相交 B. C. 与平面所成角的正弦最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.在棱长为的正方体中，点到平面的距离为____________ 13.在三棱锥中，，则异面直线PB与AC所成角的正切值是__________ 14.矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面． 16.如图，在直三棱柱中，、分别为棱、的中点，且 （1）求证：平面平面； （2）求证：平面. 17. 如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 18.如图，在四面体中，已知，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成的角； （3）求二面角的正切值. 19.如图①，在中，分别为的中点，以为折痕，将折起，使点到达点的位置，且，如图②. （1）设平面平面，证明：平面； （2）是棱的中点，过三点作该四棱锥的截面，与交于点，求； （3）是棱上一点（不含端点），过三点作该四棱锥的截面与平面所成的锐二面角的正切值为，求该截面将四棱锥分成上､下两部分的体积之比. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 立体几何初步（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.用符号表示“点不在直线上，在平面内”，正确是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】根据点、线、面位置关系的符号表示可得出结论. 【解析】用符号表示“点不在直线上，在平面内”为“，”. 故选：B. 2.圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，则此圆柱的侧面积为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】D 【分析】圆柱的轴截面是以底面直径和圆柱的高为邻边的长方形，故圆柱的底面直径和高均为2，由此可求得底面圆的周长，乘以高即为此圆柱的侧面积. 【解析】由题意可知圆柱的底面直径和高均为2，所以圆柱的底面周长为， 故圆柱的侧面积为. 故选：D. 3.如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据已知求出直观图的面积，进而根据直观图与原图的关系，即可得出答案. 【解析】由已知可得，在中，有且，， 所以有， 所以， 所以，的面积为. 根据直观图与原图的关系可知， 的面积为. 故选：D. 4.如图所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，P为棱的中点，则点P到直线的距离为（ ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据直三棱柱条件，可判断为等腰三角形，进而可求出点P到直线的距离 【解析】因为是等腰直角三角形，且， 又因为P为棱的中点， 所以， 所以，， 所以为等腰三角形. 设P到直线的距离为h， 因为， 可知． 故选：A． 5.正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用线面角的定义找到直线与平面所成的角为，找到角即可求出余弦值. 【解析】连接，如图所示， 为正方体，易得平面， 为直线与平面所成的角， 令，由正方体知识可得， . 故选：D. 6.已知正四棱台，，分别是棱，的中点，平面将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面∥平面，可知几何体是三棱台，通过棱台体积计算公式即得. 【解析】如图，连接，不妨设，棱台的高设为， 所以． 因为，分别是棱，的中点，则，． 又因为平面∥平面，可知几何体是三棱台， 则． 所以分割之后较大部分的体积为， 所以较小部分与较大部分的体积之比为． 故选：C． 7.在正方体中中，为的中点，则平面截正方体所得的平面图形为（ ） A. 三角形 B. 等腰梯形 C. 直角梯形 D. 五边形 【答案】B 【分析】应用平面的基本性质画出截面图形，结合正方体的结构特征判断截面的形状. 【解析】延长交直线于，连接交于，连接，即即为所求截面， 由题设有，即为的中点，则且， 又，，则为平行四边形， 所以且，故且，又， 所以为等腰梯形. 故选：B 8.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为一个棱长为1的正八面体，则其内切球的表面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等体积法求出内切球的半径即可进一步求解. 【解析】如图， 正八面体的棱长为1，点为中点（显然根据对称性可知点也是内切球球心），显然平面， 因为直线平面，所以， 在正方形中，， 所以， 正八面体的表面积为， 设内切球半径为， 由等体积法有，， 解得，内切球的表面积为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知m，n是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法错误是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，则 【答案】ACD 【分析】利用空间中的线面、面面关系来这个判断即可. 【解析】解：对于A，若，则或m与n异面，故A错误； 对于B，若，过m作平面，则，又，则，可得，故B正确； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，若，且，则与相交，可能垂直，也可能不垂直，故D错误． 故选：ACD． 10. 已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. 棱台的侧面积为 B. 棱台的高为 C. 棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D. 棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为 【答案】AC 【分析】由题意作正三棱台，在平面中由点向作垂线，垂足为，取线段的中点，连接，在平面中由点向作垂线，垂足为，连接，从而得到侧面的高与棱台的高，从而求得． 【解析】由题意作右图正三棱台，在平面中由点向作垂线，垂足为， 取线段的中点，连接，在平面中由点向作垂线，垂足为，连接， 在等腰梯形中，，，， 则，， 故棱台的侧面积为，故正确， 又三棱台为正三棱台， 所以为棱台的高，在中，，， 在△中，，故错误， 棱台的侧棱与底面所成角为，，故正确， 棱台的侧面与底面所成锐二面角为，，故错误， 故选：AC． 11.在棱长为2的正方体中，是上的动点（包含两端点），则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使与平面相交 B. C. 与平面所成角的正弦最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【分析】证明平面平面，即可得平面判断A；应用线面垂直的性质和判断证明平面判断B；根据线面角的定义及平面，到平面的距离，可得与平面所成角的正弦值为，确定最小值判断C；将平面与平面沿展开为同一平面，应用平面两点间线段最短判断D. 【解析】由正方体知，则为平行四边形，故， 由平面，平面，则平面， 同理可得平面，且都在平面内， 所以平面平面，平面，则平面，A错； 由平面，平面，则，又， 由且都在平面内，则平面，平面， 所以，同理可证，而且都在平面内， 所以平面，平面，则，B对； 由上平面，而到平面的距离， 而，则到平面的距离， 所以与平面所成角的正弦值为， 要使正弦值最大，只需最小，当时，有最小， 所以最小正弦值为，C对； 将平面与平面沿展开为同一平面，如下图示， 当且仅当共线时，最小， 而，，故，D对 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.在棱长为的正方体中，点到平面的距离为____________ 【答案】 【分析】作出辅助线，得到线面垂直，点到平面的距离为的长，最后根据正方体的性质即可得解. 【解析】如图所示，连接，交于点， 因为四边形为正方形， 所以，即， 又因为平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为的长， 因为正方体棱长为2， 所以， 所以点到平面的距离为. 故答案为： 13.在三棱锥中，，则异面直线PB与AC所成角的正切值是__________ 【答案】 【分析】设的中点，的中点，的中点，连结，，，可得，，进而得到（或其补角）为与所成角，进而结合余弦定理及同角三角函数的基本关系求解即可. 【解析】如图，设的中点，的中点，的中点，连结，，， 所以，，且，， 则（或其补角）为异面直线与所成角， 由于，， 所以在等边中，， 同理在等边中，，故， 所以为等边三角形，故， 所以在中，，，， 由余弦定理可得：， 则， 则， 由于异面直线的夹角范围为， 所以异面直线与所成角为的补角， 则异面直线与所成角的正切值为. 故答案为： 14.矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为________. 【答案】 【分析】根据矩形的性质，结合已知条件，得出外接球的球心位置以及半径，根据球的体积公式，计算即可得出答案. 【解析】 设中点为， 根据矩形的性质，可知， 所以，点即为四面体外接球的球心. 又， 所以，四面体外接球的半径， 所以该四面体外接球的体积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面． 【答案】(1); (2)证明见解析 【分析】（1）根据三棱锥体积公式计算即可； （2）根据线面垂直的判断定理证明即可. 【解析】（1）因为平面， 所以三棱锥的高为， 因为底面为矩形，为的中点， 所以， 所以； （2）因为平面，平面， 所以， 因为底面为矩形，为的中点， 所以， 因为， 所以， 因为，平面， 所以平面. 16.如图，在直三棱柱中，、分别为棱、的中点，且 （1）求证：平面平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）本题首先可以根据为棱的中点得出，然后根据三棱柱是直三棱柱得出，最后根据线面垂直的判定以及面面垂直的判定即可证得结论； （2）本题可作的中点，连接和，然后根据、为棱、的中点得出四边形是平行四边形以及，最后根据线面平行的判定即可得出结果. 【解析】（1）因为为棱的中点，，所以， 因为三棱柱是直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为、平面，，所以平面， 因平面，所以平面平面. （2）如图，作的中点，连接和， 因为、为棱、的中点，所以，且， 因为为棱的中点，，， 所以，，四边形是平行四边形，， 因为平面，平面，所以平面. 17. 如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2)192；(3). 【分析】（1）利用线面垂直的判定及性质，结合圆锥的结构特征推理得证. （2）利用锥体的体积公式求解即可. （3）证明平面，再利用等体积法求出距离. 【解析】（1）在圆锥中，正方形内接于圆O，则，， 而平面，平面，则，又平面， 因此平面，而平面，所以. （2）由（1）得，由，得， 正方形的面积，而平面， 所以四棱锥的体积为. （3）由正方形，得，而平面，平面， 则平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， 在中，，则边上的高， 的面积，由（2）得， 又，因此， 所以直线到平面的距离为. 18.如图，在四面体中，已知，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成的角； （3）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【分析】（1）取的中点，连接，借助等腰三角形证得，利用线面垂直的判定定理得平面，，再利用线面垂直性质定理证明即可. （2）利用勾股定理得，利用线面垂直的判定定理得平面，利用线面角的定义得即为所求，在直角三角形中求解即可. （3）取的中点，连接，利用面面角的定义得是二面角的平面角，在三角形中求解正切值即可. 【解析】（1）取的中点，连接，因为，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）因为，，所以， 又，所以为等腰直角三角形，且， 又，，平面，所以平面， 所以直线与平面所成的角为，在中，， 所以，所以直线与平面所成的角为； （3）取的中点，连接，则，且， 因为，所以，同理， 所以，又，所以， 所以是二面角的平面角， 在中，， 即二面角的正切值为. 19.如图①，在中，分别为的中点，以为折痕，将折起，使点到达点的位置，且，如图②. （1）设平面平面，证明：平面； （2）是棱的中点，过三点作该四棱锥的截面，与交于点，求； （3）是棱上一点（不含端点），过三点作该四棱锥的截面与平面所成的锐二面角的正切值为，求该截面将四棱锥分成上､下两部分的体积之比. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【分析】（1）延长交于点，连接，确定得到平面，得到证明. （2）延长交于点，连接并延长交于点，连接，平面即为所求截面，根据相似即中位线的性质得到比例关系. （3）过作，确定，得到平面，得到，勾股定理计算得到，，为的中点，得到是的重心，计算，，得到答案. 【解析】（1）在图②中延长交于点，连接， 因为分别为的中点，所以， 所以分别是以为斜边的直角三角形， 即， 又平面平面，所以平面， 又平面平面，所以平面. （2）在图②中延长交于点，连接并延长交于点，连接， 所以平面即为所求截面， 取为的中点，连接，则， ，故，故. （3）过作，因为，所以为的中点，所以， 连接，因为，所以， 又平面平面，所以平面， 连接，则是截面与平面所成二面角的平面角， 即， 在直角中，，所以， 在中，由余弦定理可得： ， 所以在直角中，，所以， 所以，所以， 因为，因为，即为的中点， 又是的中点，所以是的重心，所以， ，故， 又， 故， 所以. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $