专题05 线面、面面平行与垂直归纳（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第四册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05线面、面面平行与垂直归纳 目录 典例详解 类型一、线面关系辨析 类型二、证明线面平行 类型三、证明面面平行 类型四、由线面平行确定存在性问题 类型五、由面面平行确定存在性问题 类型六、由平行关系确定动点轨迹 类型七、证明线面垂直 类型八、证明面面垂直 类型九、由垂直关系确定存在性问题 压轴专练 典例详解 类型一、线面关系辨机 1、常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转 化的 线线平行 性质定理 判定定理 平行 性质定理 判定定理 判定定理 线面平行 面面平行 性质 2、线、面垂直位置关系的相互转化 1/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 平面几何的定理 线垂直 线面垂直的判定定理 线面垂直的性质 面面垂直的性质定理 线面垂直 而面垂直的判定定理面面垂直 3、 平行关系与垂直关系的相互转化 如果一条直线垂直于两个 线面垂直的性质定理 平行平面中的一个平面，那 么该直线也垂直于另一个 平面 线线平行 线面平行卡 面面平行 如果两平行直线中的一条垂直于一个 垂直于同一直线 平面，那么另一条也垂直于这个平面 的两个平面平行 例1.(25-26高一下·北京顺义期中)已知m,n是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，则下列命题正 确的是() A.若mlln,nca,则m/la B.若a上B,m⊥B,n⊥m,则n⊥a C.若mc,ncB,al∥B,则mn D.若m⊥a,n⊥B,m⊥n,则a⊥B 变式1-1.(25-26高一下·全国课后作业)已知a,b,c为三条不同的直线，0，B为两个不同的平面，下 列四个命题中不正确的是() A.a⊥a,b/1B,且a11B→a⊥b B.a⊥b,a⊥a→b11a C.a⊥a,b⊥a,a/1c→b/1c D.a⊥a,b⊥a→a//b 变式1-2.(25-26高一上·湖南湘潭期中)（多选）已知1，m,n是三条不同的直线，a,B是两个不同的 平面，则下列命题不正确的是() A.若m/1a,n/1B,/1B,则m∥n B.若a11a,b1/a,acB,bcB,则B1Ia C.若111a,1cB,a∩B=m,则l∥m D.若mca,nco,IcB,且m/Iβ，n/l,则a/B 2/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式1-3.(25-26高一下·山西晋中阶段检测)已知三条互不相同的直线1，m,n和三个互不相同的平面a, B,y,现给出下列三个命题： (I)若1与m为异面直线，1ca,mcB,则a11B; (2)若a11B,1ca,mcB,则111m; (3)若a∩B=1,y∩B=m,ya=n,111y,则m/1n. 其中真命题的个数为() A.3 B.2 C.1 D.0 类型二、证明线面平行 1、 可以通过构造中位线来在平面上找这条与已知直线平行的直线。这类题中，通常会有中点的出现。 2、可以通过构造平行四边形与平面上交线，则这条交线与已知直线平行。这类题中，通常会从平行线着 手。 3、根据直线与平面平行的性质有，过直线的平面与平行平面的交线，直线与交线是平行的，从而找到与 直线平行的直线。 4、要证线面平行时，我们的月标可以从两方面出发，若能从平面里找到与己知直线平行的直线，则可以 通过线线平行证明线面平行，若这条直线不太好找，则可以通过已知直线构造一个与己知平面平行的平 面。方法为从已知直线出发，构造两条与已知平面平行的直线，从而构造一个平行平面。 例2.(25-26高一下·北京平谷期中)如图，正方体ABCD-AB,C,D,的棱长为4，E为BB,中点， B C D B D C (1)求三棱锥A-EA,D,的体积： (2)求证：BC/1平面AD,E 变式2-1.(2026高三全国专题练习)如图，在四棱台ABCD-A,B,C,D,中，上、下底面均为正方形， AA,⊥底面ABCD,AB=2,，AB,=1,AA=2,点E为棱CC的中点 3/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D B E 求证：AC,/I平面BDE; 变式2-2.(25-26高一下·山东济宁期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，且 ADIIBC,AD=2BC,且E为PD的中点. B (I)求证：CEI∥平面PAB; (2)设平面PAB与平面PCD的交线为I,试判断直线I与平面ACE的位置关系，并证明. 变式2-3.(25-26高一下·黑龙江哈尔滨期中)如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，O是底面ABCD的中心， 点E是CC的中点 D B A y B (I)求证：OEI1平面ABCD; (2)求异面直线AD,与OE所成角的余弦值 类型三、证明面面平行 1、核心判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 4/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (若ac,bc%,anb=P,且aB,blF,则a‖B) ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个 平面平行。（条件略严格，需注意对应关系》 2、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若‖Y,B‖Y,则《‖B) 3、垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 4、 向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量平行 例3.(25-26高一下·北京朝阳阶段检测)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，点G,E,F,P分别为棱 AB,D,C,B,C,AA的中点，点M是棱AD上的一点，且DM=3A,M. D E M B D Q (1)求证：D,G//平面DBFE; (2)已知点N是棱AB,上的一点，且B,N=3AN,求证：平面PMN/1平面DBFE. 变式3-1.(25-26高一下·广东珠海期中)如图，在正方体ABCD-A,BCD中，M,N,E,F分别是棱 AB,A,D1,B,C1,CD1的中点， D F N ‘B E A D B (1)求证：平面AMN/平面DBEF; (2)已知正方体的棱长为2，求平面AMN与平面DBEF把正方体分成的三部分的体积之比， 变式3-2.(25-26高一下·山西·阶段检测)如图，在矩形BCEF中，A,D分别为BF,CE上的点，AD∥EF, 将矩形ADEF沿AD折起，使点E落在E的位置，F落在F的位置，得到四边形ADE,E,己知E,E不在平 面ABCD上. 5/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E (1)证明：B,C,E,F四点共面； (2)证明：平面ABF∥平面CDE. 变式3-3.(25-26高一下山西运城期中)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，E为棱DD,的中点，F为棱 BB,的中点 M D E B D C B (I)连接C,F并延长，交平面ABCD于点P,求证：C,B,P三点共线； ②点M在棱M的延长线上，且AM=)4,求证：平面MBn/平面EFC. 类型四、由线面平行确定存在性问题 将“存在动点使平行关系成立”转化为： 1、轨迹是直线，找交点 2、 平行具有传递性，过定点作已知平行线面 例4.(25-26高一下·福建龙岩期中)如图，在正方体ABCD-A,B,CD中，E,F,P分别为棱DC,BC, AA的中点. 6/19 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E A P D (I)求证：D,B,F,E四点共面 (2)设平面A,BD∩平面AB,C,D,=I,求证：BD1. S)棱A0上是否存在一点M,使PM∥平面DBFE?若存在，求0的 的值；若不存在，请说明理由. 变式4-1.(25-26高一下·江苏无锡期中)如图，在正方体ABCD-A'B'CD'中，M,N分别是AB,BC的中 点 D A B D C M (1)求证：MN/平面ACC'A'; (2)若在棱DD'上有一点P,满足BD'/平面PMN,请你求出 P的值 PD 变式4-2.(25-26高一下·陕西铜川期中)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形， 侧面PAD为正三角形，M为线段PD上一点，N为BC的中点. M分 D B N (I)当M为PD的中点时，求证：MN/平面PAB. ②当PB11平面AMN时，求PM的值，并说明理由。 MD 变式4-3.(25-26高一下·山东济南期中)如图1，设半圆的半径为2，点B,C三等分半圆，P,M,N分 7/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 别是OA,OB,OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题 M 图1 图2 (I)求在圆锥中的线段MN的长； (2)求四面体ACMN的体积； ③)若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E,使得DE∥平面ABC?若存在，求OE的值，并证明你 EB 的结论；若不存在，说明理由 类型五、由面面平行确定存在性问题 1、 利用面面平行的性质：若两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面。存在性问题常转化为线 面平行或线线平行。 2、过己知点作平面的平行平面，利用平行平面的传递性确定点的位置。 3、根据已知平行关系，通过比例线段、相似三角形等确定分点位置。 4、先假设存在，推出必要条件，再验证充分性。 例5.(25-26高一下福建泉州期中)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，点G,E,F,P分别为棱 ABDC,BC,4M的中点，点M是棱A0上的-点，且MD-4D D E M N A D: G B (I)求证：D,G1/平面DBFE: ②凌A8上是否存在一点N使平面PMN11平面DBFE?若存在，求， 的值；若不存在，请说明理由 AB 8/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式5-1.(25-26高一下·福建厦门期中)如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，点G,E,F,P分别为棱 3 AB,D,C,B,C,A4的中点，点AM是棱AD上的一点，且MD=AD, D M B D G B (I)求证：EF11BD; (2)求证：D,G∥平面DBFE; (③)棱48上是否存在一点N使平面PMV∥平面DBFE?若存在，求4 一的值；若不存在，请说明理由。 B 变式5-2.(2425高一下·湖北武汉·期末)如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，E,F分别为线段AC,AC上 的点，AE=1AC,A,F=2AC,1∈(0,1 A A 4 B C (I)求证：EF∥平面BCCB, (②)在线段BC,上是否存在一点G,使平面EFG∥平面ABB,A,?请说明理由 (3)若四棱锥A-BCC,B,的体积为1，求三棱柱ABC-A,B,C的体积 变式5-3.（2025高三·全国·专题练习)如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，D,E,F分别是AB,AB,AA,的 中点 B (I)求证：平面ADC∥平面BEC,; 9/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)求证：在BB,上存在一点P,使得平面EC,P∥平面DCF. 类型六、由平行关系确定动点轨迹 过已知直线上一点作平面的平行平面，该平面与动点所在的平面的交线即为动点轨迹 例6.(25-26高一下·福建厦门期中)如图，棱长为1的正方体ABCD-A'B'CD'中，E,F分别为AD,AB 的中点，点G在上底面A'B'C'D'(含边界)上运动，若满足BC/平面EFG,则点G的轨迹长度为 D G A F B 变式6-1.(25-26高一下·重庆渝北期中)（多选）在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，点P是棱BC的 中点，点Q在正方形AA,B,B内部（不含边界）运动，若PQ∥平面ACC,A,则() B 9. :A P C A.点Q的轨迹经过线段AB,的中点 B.点Q的轨迹长度为√2 C.直线PQ与直线AC为异面直线 D.三楼锥Q-4C的休积为定位子 变式6-2.(25-26高三·上海·二轮复习)在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中，P是棱BC的中点，点Q满 足CD-;CC,点F在侧面BB,CC内，且4F1/平面APO,则点F的轨迹长度为 变式6-3.(25-26高三上·四川自贡期末)在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，棱BB,CC,的中点分 10/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 别为E,F,且点G在侧面ABB,A,内，若FG∥平面A,C,E,则点G的轨迹长度为() A.√2 B.2 C.5 D.2√2 类型七、证明线面垂直 1、 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 2、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 4、在建系中使用，证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线与平面内两个不共线的向量都垂 直。 例7.(25-26高一下·全国·课堂例题)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD/1BC, AB⊥BC,AB=BC=1,AD=2,PA⊥平面ABCD,PA=2 P B 求证：CD⊥平面PAC 变式7-1.(25-26高一下·广东惠州期中)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD, AP=AB=AD=2,E是侧棱PB的中点. D B (I)求证：BC⊥平面PAB. (②)求异面直线AE与PD所成的角、 11/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式7-2.(25-26高一下·浙江杭州·期中)在正六棱柱ABCDEF-AB,CD,EE中，AB=1,AA=V3,O为下 底面ABCDEF的中心，M为侧棱DD的中点. F B (I)求证：MO/1平面ABDE; (2)证明：B,D⊥平面ABDE, 变式7-3.(25-26高三北京·二轮复习)如图，PB是圆柱OO的母线，四边形ABCD是底面内接正方形.点 E,F是棱BC,CD上的动点(E,F不与端点重合)，且CE=DF证明：AE⊥平面PBF O B 类型八、证明面面垂直 1、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 2、如果两个平面相交所成的二面角是直二面角（平面角为90°），则这两个平面垂直。 3、如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。（实际上这是核心定理的 推论，但需注意“任意一条”的条件较强) 4、如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 例8.(25-26高一下北京·期中)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，E,F分别为DD,CC的中点. 12/19 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A B E 夕 (I)求证：BD,/1平面ACE; (2)求证：平面BFD,I1平面ACE; (3)求证：平面BDD,⊥平面ACE 变式8-1.(2026高三·全国专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，∠APB=∠ADC=90°，AP=2, BP=2V3,AD=4,BC=CD=4V3,PC=2V5,，求证：平面PAB⊥平面ABCD; 变式8-2.(2026高三全国专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1CD,ADI1BC, ∠4DC=∠PAB=90，Bc=D-号4D. (I)在平面PAD内找一点M,使得直线CM/1平面PAB,并说明理由： (2)证明：平面PAB⊥平面PBD. 变式8-3.(25-26高三北京二轮复习)在ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=6,D,E分别是AC, AB上的点，满足DE II BC,且CD=2.将ADE沿DE折起到△A,DE的位置，使A,C⊥CD,如图所示.求证： 平面ACB⊥平面BCDE 13/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型九、由垂直关系确定存在性问题 一、垂直的唯一性： 过一点有且只有一条直线与己知平面垂直 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直（当直线不垂直于已知平面时） 二、 线面垂直类问题 动点在面上使线面垂直：在平面上找两条相交直线与己知直线垂直 动点在线上使线面垂直：使直线垂直于平面内两条相交直线 三、面面垂直类问题 动点在面上使面面垂直：在目标平面上找一条直线垂直于另一平面，该直线需经过动点（常转化为线面 垂直问题) 动点在线上使面面垂直：在直线上取点，使该点与另一平面能确定垂线，通常有无数解（需其他条件约 束) 例9.(25-26高二上·北京·期中)如图，直三棱柱ABC-A,B,C,中，点D为棱AC的中点， AC=BC=CC1=2,AC⊥BC1. B B (I)求证：AB∥平面CBD: (②)判断是否存在经过BC的平面满足AB,⊥a,并说明理由， 变式9-1.(25-26高二上·广西贵港开学考试)在四棱台ABCD-AB,C,D,中，AA,⊥底面ABCD,底面 14/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ABCD是正方形，E为侧棱DD的中点，AD=8,A,D,=4,A4=4V3, A B B (I)证明：AE⊥平面CDD,C. (②)求二面角E-AC-D的正切值 ③)在线段DC上是否有在点H,使得平面BHD1平面ABC?如果存在，求D,只的值，如果不存在，请说 Hc 明理由. 变式9-2.(2025高一·全国.专题练习)如图，在几何体ABCDE中，EA⊥平面ABC,EA∥DC,AB⊥AC ,EA=AB=AC=2DC,M是线段BD上的动点. D M B (I)当M是线段BD的中点时，求证：BC⊥平面MEA. (②)是否存在点M,使得平面MEA⊥平面EBD?若存在，求DM MB 的值；若不存在，请说明理由. 变式9-3.(2025高一，全国，专题练习)如图，在正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形ABCD的中心， tan∠PAC= 6,E为线段PB的中点，问：在棱AD上是否存在一点F,使EF⊥侧面P8C?若存在，试确 定点F的位置；若不存在，说明理由 15/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 压轴专练 1.(25-26高一下·河北邢台·期中)如图，正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为4，E,F分别是CC,AD上 的点，且CE=1,A,F=2 D F E D 3 (I)求直线A,B与EF所成角的余弦值 (②)设G是线段EF上的动点（含端点）· ()判断三棱锥G-ABD的体积是否为定值若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值 (m)当CG1平面ABD时，求%的值 2.(25-26高一下·河北沧州期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PAD和。BAD均为正三角形， AD⊥DC,AD//BC,AB=2,M为PC上一点，设平面PAD与平面PBC的交线为I. D (1)证明1/面ABCD; ②当PA1/平面DMB时，面DAM与PB交于Q,求4Q的值， VP-ABCD 3.(25-26高一下·广东深圳·期中)如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，点E,F,M分别是棱 AA,AB,BC的中点，P为线段BD上一动点，AB=4. 16/19 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D A B A E D2 D (I)若平面EFP交平面DCC,D,于直线1，求证：I/AB; (2)当直线B,D⊥EP时，求三棱锥A,-EFP的体积； (3)是否存在一点P,使得直线PC//平面EFM？若存在，求出此时线段DP与B,D的比值；若不存在，请 说明理由 4.(25-26高三上·河南新乡·期末)如图，已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，FA⊥底 面ABCD,∠ABC=60°，DE∥AF,且FA=3DE=3. (1)求三棱锥A-EFC的体积； (②)己知点M在侧面ABF及其边界上运动，若ME∥平面BCF,求点M的轨迹长度. 5.(25-26高二上·上海长宁.期末)在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD中，E、F、G分别是棱AB、 BC、CC,的中点，点P是正方体表面上的任意一点，且直线DP与平面EFG无交点，则点P的轨迹长度是 () A.22; B.2√2+4： C.42; D.6W2. 6.(2026重庆沙坪坝·模拟预测)已知正方体ABCD-A,B,C,D,棱长为2，点M满足C,M=MC,点Q在正 方体的表面上运动，且AQ⊥B,M,则Q的轨迹长度为() A.4+45 B.4V5 C.4+2√5 D.4N2 7.(25-26高一下·北京顺义·期中)如图，已知正方形ABCD所在平面和平行四边形DBPQ所在平面互相垂 直，平面PBA⊥平面ABCD,M是线段PO上的一点，且DM∥平面ACP,求证： 17/19 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P D (I)平面ADQI∥平面BCP; (2)M是线段PQ的中点； (3)PB⊥平面ABCD 8.(25-26高一下·北京朝阳·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形， PA=AB=2,AD=2V5;点E在线段PD上，且PE=1. (1)设平面PBC∩平面PAD=1,证明：BC/1; (2)证明：AE⊥PC; (3)线段CA上是否存在点M,使得EM/I平面PBC?若存在，请证明，并求出AM的长；若不存在，请说明 理由. 9.(2026高一，全国.专题练习)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D中，点E是棱BC的中点， 点F是棱CD上的动点，则点F为时D,E⊥平面AB,F. A D C B D F 10.(24-25高一下河北月考)如图1，在矩形ABCD中，AB=1,BC=√2，M是线段AD上的一动点 (0<AM≤√2)，如图2，将△ABM沿着BM折起，使点A到达点P的位置，满足点P生平面BCDM 18/19 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M D D E 图1 图2 0N是线段PC上的点，若当BC=2WD时，DN∥平面PBM,求的值： (2)若点P在平面BCDM内的射影E落在线段BC上. ①是否存在点M,使得BP⊥平面PCM？若存在，求PM的长；若不存在，请说明理由； ②当三棱锥E-PBM的体积最大时，求点E到平面PCD的距离. 19/19 专题05 线面、面面平行与垂直归纳 目录 典例详解 类型一、线面关系辨析 类型二、证明线面平行 类型三、证明面面平行 类型四、由线面平行确定存在性问题 类型五、由面面平行确定存在性问题 类型六、由平行关系确定动点轨迹 类型七、证明线面垂直 类型八、证明面面垂直 类型九、由垂直关系确定存在性问题 压轴专练 类型一、线面关系辨析 1、常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转 化的 2、线、面垂直位置关系的相互转化 3、平行关系与垂直关系的相互转化 例1．（25-26高一下·北京顺义·期中）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若，则或，故A错误， 对于B, 若，若是的交线，此时，故B错误， 对于C, 如图：正方体中，若平面，平面，平面平面，但不平行，故C错误， 对于D, 若，则,D正确. 变式1-1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题中不正确的是（ ） A．，，且 B．， C．，， D．， 【答案】B 【详解】对于A项，由，可得，又，则，故A项正确； 对于B项，由，可得或，故B项错误； 对于C项，由，可得，因，故得，即C项正确； 对于D项，由线面垂直的性质易得结论正确. 变式1-2．（25-26高一上·湖南湘潭·期中）（多选）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 【答案】ABD 【详解】对A：与两个平行平面分别平行的两条直线的位置关系不能确定，故A错误； 对B：根据条件，要想确定，还需要直线，相交这个条件，故B错误； 对C：根据线面平行的性质定理，可得C正确； 对D：如图， 可以满足所有条件，但，故D错误. 变式1-3．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题： (1)若与m为异面直线，，则； (2)若，，则； (3)若，，，，则． 其中真命题的个数为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】结合反例可判断（1）（2），利用线面平行的性质可证明（3）. 【详解】对于（1），如图，正方体中，与为异面直线， 平面，平面， 但是平面与平面不平行，（1）不正确； 对于（2），如图，正方体中，平面与平面平行，但是直线与直线不平行，（2）不正确； 对于（3），因为，，且，所以，同理可得，所以，（3）正确. 类型二、证明线面平行 1、可以通过构造中位线来在平面上找这条与已知直线平行的直线。这类题中，通常会有中点的出现。 2、可以通过构造平行四边形与平面上交线，则这条交线与已知直线平行。这类题中，通常会从平行线着手。 3、根据直线与平面平行的性质有，过直线的平面与平行平面的交线，直线与交线是平行的，从而找到与直线平行的直线。 4、要证线面平行时，我们的目标可以从两方面出发，若能从平面里找到与已知直线平行的直线，则可以通过线线平行证明线面平行，若这条直线不太好找，则可以通过已知直线构造一个与已知平面平行的平面。方法为从已知直线出发，构造两条与已知平面平行的直线，从而构造一个平行平面。 例2．（25-26高一下·北京平谷·期中）如图，正方体的棱长为4，为中点， (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等体积法计算即可. （2）由四边形为平行四边形证得，根据线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）正方体中，平面平面， 所以棱长即为点到平面的距离. 所以. （2）证明：正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. 变式2-1．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.    求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】要证明线面平行，需要通过证明线线平行得到线面平行，即证明. 【详解】证明：连接交于点，如图所示：    由是正方形得为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 于是，又因为平面，平面， 所以平面. 变式2-2．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，证明见解析 【分析】（1）取线段中点，利用中位线及已知平行关系构造平行四边形，从而证得，进而推出线面平行； （2）由已证的线面平行及线在另一平面内，得两平面交线与该线平行，从而该交线平行于目标平面. 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，． 又因为为的中点，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面 （2）直线与平面平行，证明如下： 因为平面，平面，平面平面，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 变式2-3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在正方体中，是底面的中心，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由中位线的定义可得，由线面平行的判定定理即可得证； （2）结合（1）可知或其补角即为所求，在中，设值求解即可. 【详解】（1）连接，， 在中， ，分别为，的中点，    又平面，平面， 平面. （2）由（1）知， 或其补角即为所求， 在中，设， 则，， 所以. 类型三、证明面面平行 1、核心判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 （若 ，且 ，则 ） ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。（条件略严格，需注意对应关系） 2、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若 ，则 ） 3、垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 4、向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量平行 例3．（25-26高一下·北京朝阳·阶段检测）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 变式3-1．（25-26高一下·广东珠海·期中）如图，在正方体中，分别是棱的中点，. (1)求证：平面平面； (2)已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，证得平面和平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面. （2）求得正方体体积为，利用锥体和台体的体积公式，分别求得三棱锥的体积为和三棱台的体积为，得到夹在平面与平面之间的几何体的体积，即可求解. 【详解】（1）证明：连接，因为分别是棱的中点， 所以， 因为平面，平面DBEF，所以平面； 连接，则，且， 可得四边形为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面， 所以平面平面. （2）解：由正方体的棱长为2，可得正方体体积为, 三棱锥的体积为, 三棱台的体积为 则夹在平面与平面之间的几何体的体积为, 所以平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比为：. 变式3-2．（25-26高一下·山西·阶段检测）如图，在矩形中，分别为上的点，，将矩形沿折起，使点落在的位置，落在的位置，得到四边形，已知不在平面上． (1)证明：四点共面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由结合基本事实证明即可； （2）由面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）由得， 由两平行直线确定一个平面，可知四点共面． （2）由平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面平面． 变式3-3．（25-26高一下·山西运城·期中）如图，在正方体中，为棱的中点，为棱的中点. (1)连接并延长，交平面于点，求证：三点共线； (2)点在棱的延长线上，且，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）点直线，直线平面，所以点平面. 又因为点平面，所以点为平面与平面的公共点， 又因为平面平面，故点在直线上. 故三点共线. （2）取的中点，连接， 因为为棱的中点，所以， 又因为，所以. 又，所以四边形为平行四边形， 所以. 因为， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 又因为平面平面，所以平面. 因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面. 又因为平面，平面， 所以平面平面. 类型四、由线面平行确定存在性问题 将“存在动点使平行关系成立”转化为： 1、轨迹是直线，找交点 2、平行具有传递性，过定点作已知平行线/面 例4．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）应用平行四边形得出，进而得出线线平行即可证明； （2）应用线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理证明； （3）先证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； 【详解】（1）证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． （2）证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （3）存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 变式4-1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体中，M，N分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线面平行，则需要证明线线平行即可得到线面平行. （2）在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点，根据线面平行的判定证明即可. 【详解】（1）因为分别是，的中点，所以. 因为平面，而不在平面内， 所以平面. （2）设交于点，在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点. 连接，在中，因为， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面，符合题意，此时. 变式4-2．（25-26高一下·陕西铜川·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面 (2)当平面 ，求的值，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）取中点为，连接 ，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论； （2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断的位置. 【详解】（1）取中点为，连接 ， 在中，为的中点，为中点， ， 在平行四边形中，为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 面面， 平面； （2）连接 ，相交于，连接， 面，面面 面， ，， 即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点. 变式4-3．（25-26高一下·山东济南·期中）如图1，设半圆的半径为2，点三等分半圆，，，分别是，，的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图2中完成下列各题. (1)求在圆锥中的线段的长； (2)求四面体的体积； (3)若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)在线段OB上存在点E，且=3，证明见解析 【分析】 （1）将此半圆以为母线卷成一个圆锥后，点、为圆锥的底面圆周的三等分点，为等边三角形，通过外接圆半径计算边长，再由计算中位线的长度； （2）将此半圆以为母线卷成一个圆锥后，母线长为原半圆半径，底面圆周长为原半圆弧长，计算出半径后可以计算出圆锥高，体积即可求解； （3）通过中位线、平行四边形来构造出线面平行，从而找到点. 【详解】（1）在图中，设圆锥的底面圆半径为， 则，解得， 因为在图1中，点、三等分半圆， 所以在图中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以为等边三角形，所以，所以， 又因为点、分别是、的中点， 所以； （2）， 圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体的体积为； （3）在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC， 理由如下：如图，取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF， 所以， 取CB的四等分点G，使，连接GE， 因为，所以，， 所以，， 所以四边形DFGE是平行四边形，所以 又平面ABC，平面ABC，所以平面 类型五、由面面平行确定存在性问题 1、利用面面平行的性质：若两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面。存在性问题常转化为线面平行或线线平行。 2、过已知点作平面的平行平面，利用平行平面的传递性确定点的位置。 3、根据已知平行关系，通过比例线段、相似三角形等确定分点位置。 4、先假设存在，推出必要条件，再验证充分性。 例5．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且. (1)求证：平面； (2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）法一：连接，首先证明四边形是平行四边形，再根据已知及线面平行的判定即可证；法二：连接分别交于点，连接，利用等比例的性质得，再根据线面平行的判定即可证； （2）根据给定条件证明平面，法一：取中点P，连接，根据已知证明，再由线面平行、面面平行的判定证明结论，即可得；法二：延长交于，延长交于，连接，利用相似关系、平行四边形的性质及线面平行的判定证明平面，最后由面面平行的判定证明结论，即可得； 【详解】（1）法一：连接，在正方体中，分别是中点， 且，则四边形是平行四边形， ∴，平面平面，所以平面， 法二：连接分别交于点，连接， 如图在正方体中，且， 所以，则，同理得， 所以，则，而平面平面， 所以平面； （2）存在，且，理由如下： 因为，所以， ，而 ， 由平面平面， 所以平面， 法一：取中点P，连接，如图 ，是中点， 是的中位线，则， ∵F为中点，则且， ∴四边形是平行四边形， ， 综上，，平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 法二：延长交于，延长交于，连接，如图： 为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，又，即， ∴四边形为平行四边形， 平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 所以时，平面平面. 变式5-1．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点M是棱上的一点，且. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接，利用正方体的结构特征及平行公理推理得证. （2）连接分别交于点，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可. （3）根据题意可得,即有，由此结合面面平行的判定证明即可． 【详解】（1）在正方体中，连接，由点分别为棱的中点， 得，由且，得四边形为平行四边形， 则，所以. （2）连接分别交于点，连接， 在正方体中，且， 则，即，同理， 因此，则，又平面，平面， 所以平面； （3）存在，，理由如下： 由，得，则，又， 于是，又平面，平面， 则平面，延长交于，延长交于，连接，      由为中点，得，因此， 由分别为的中点，得， 则，， 于是，又，即，则四边形为平行四边形，， 又平面，平面，则平面， 又平面，则平面平面， 所以当时，平面平面. 变式5-2．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，.    (1)求证：平面. (2)在线段上是否存在一点，使平面平面?请说明理由. (3)若四棱锥的体积为1，求三棱柱的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）由证明.又由，从而得到，即可求证. （2）假设存在点，使，再利用线面平行证明平面，同理证明平面，则可证明平面平面，从而证明假设成立. （3）利用体积转化法可得，从而可得，即可求解. 【详解】（1）证明：因为，分别为线段上的点,, 所以.又因为，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）取的点，，连接，.则. 因为平面，平面，所以平面， 同理可得，平面，又因为，，平面， 所以平面平面， 故在线段上存在一点，使平面平面.    （3）由题意可得，则得, 所以. 故三棱柱的体积为. 变式5-3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：在上存在一点P，使得平面平面DCF． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接DE，由线面平行的判定定理分别证明平面，平面，再由面面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点P，连接，，，由面面平行的判定定理，即可证明. 【详解】（1）连接DE，由题意知，，， 即四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面． 同理，四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又，DC，平面， 所以平面平面． （2）如图，取的中点P，连接，，， 由（1）知，又分别是的中点，可得， 因为分别为的中点，所以，则， 又， 平面，平面， 所以平面平面DCF．故结论得证． 类型六、由平行关系确定动点轨迹 过已知直线上一点作平面的平行平面，该平面与动点所在的平面的交线即为动点轨迹 例6．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为____________. 【答案】 【分析】取的中点分别为，证明平面即可确定轨迹并求出其长度. 【详解】取的中点分别为，连接， 由分别为的中点，得，同理得， 由，得四边形是平行四边形，则，， 同理，，因此点共面， 而，面，面，则平面， 又平面，于是点在平面内，又点在上底面（含边界）， 因此点在面与面的交线上，点的轨迹为线段， 所以点的轨迹长度为. 变式6-1．（25-26高一下·重庆渝北·期中）（多选）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，则， 且平面，平面，所以平面. 又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 变式6-2．（25-26高三·上海·二轮复习）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点满足，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为_________． 【答案】/ 【分析】利用面面平行判定定理可证明平面平面，即可得平面，所以即为点的轨迹，求出的长即可. 【详解】如图，取上靠近的三等分点，的中点，连接，， 则在正方形中，可得. 又平面，平面，所以平面. 又因为分别是的中点，所以，且， 可知四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 因为平面，， 所以平面平面. 又点在侧面内，且平面， 所以即为点的轨迹，. 故答案为： 变式6-3．（25-26高三上·四川自贡·期末）在棱长为2的正方体中，棱，的中点分别为，，且点在侧面内，若平面，则点的轨迹长度为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先取的中点，证明线面平行得出面面平行即可得出平面，再根据轨迹应用勾股定理计算求解. 【详解】取的中点，连接， 因为，所以是平行四边形， 所以平面，不在平面内，所以平面， 同理可得平面， 平面， 所以平面平面， 则当点在线段上时，平面， 所以点的轨迹长度为.    故选：C. 类型七、证明线面垂直 1、如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 2、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 4、在建系中使用，证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线与平面内两个不共线的向量都垂直。 例7．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. 求证：平面 【答案】证明见解析 【详解】取的中点F，连接，如图所示， 由底面是直角梯形，，，， 结合勾股定理计算可得：， ，，，∴四边形是正方形， 则，再由勾股定理可得：，又因为， 则由，所以， 又因为平面，平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面. 变式7-1．（25-26高一下·广东惠州·期中）如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． (1)求证：平面． (2)求异面直线与所成的角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用四棱锥的几何形状，结合已知条件，运用线面垂直判定定理证明结论； （2）连接交于点，连接，利用几何法得出即为异面直线与所成的角，再利用勾股定理求出的各边边长，进而求出角． 【详解】（1）四棱锥的底面是正方形，， 底面，底面，， ，平面， 平面． （2）连接交于点，连接， 在中，分别是中点，则， 因此异面直线与所成的角即为或其补角， ，， ， ，故是等边三角形， ， 异面直线与所成的角为． 变式7-2．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由是底面正六边形的中心，是的中点，通过构造中位线，找到平面内与平行的直线，利用线面平行的判定定理进行证明； （2）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面的两条相交线。 【详解】（1）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，是的中点； 是的中点，为的中位线，则； 平面，平面，平面. （2）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，； ,，，即; 六棱柱是正六棱柱，底面； 底面，； ，平面； 平面，； 底面是正六边形，，，； 底面，底面，； ，； ，，，，四边形为正方形； ，为正方形的对角线，； ，，平面，平面，且， 平面. 变式7-3．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形.点是棱上的动点（不与端点重合），且.证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】在正方形中，由，得，， 则，，因此， 由是圆柱的母线，得平面，而平面，则， 又平面，所以平面. 类型八、证明面面垂直 1、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 2、如果两个平面相交所成的二面角是直二面角（平面角为90°），则这两个平面垂直。 3、如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。（实际上这是核心定理的推论，但需注意“任意一条”的条件较强） 4、如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 例8．（25-26高一下·北京·期中）如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）连接交于点，可得，由线面平行的判定定理可证； （2）易证平面，结合（1）利用面面平行的判定定理可证； （3）由题易证平面，利用面面垂直的判定定理得证. 【详解】（1）如图，连接交于点，连接， 因为是正方形，所以是的中点，又是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为分别是的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. 又平面，且平面，， 所以平面平面. （3）因为平面，平面，所以， 又，平面，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 变式8-1．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，，，，求证：平面平面ABCD； 【答案】证明见解析 【详解】 连接AC，因为，，，所以， 则，而，， 所以，则，所以， 在中，，且， 所以，则， 又，且平面，平面， 所以平面，又平面ABCD， 所以平面平面ABCD. 变式8-2．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，， ． (1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)棱AD的中点，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）先由线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAB，最后利用面面垂直的判定定理证明面面垂直. 【详解】（1）取棱的中点（平面），点即为所求的一个点. 理由如下： 因为，，所以， 且. 所以四边形是平行四边形，从而. 又平面，平面， 所以平面. （2）由已知，，，平面， 因为，，所以直线与相交， 所以平面. 平面，从而. 因为，， 所以，且. 所以四边形是平行四边形. 所以，所以. 又，平面，所以平面. 又平面， 所以平面⊥平面. 变式8-3．（25-26高三·北京·二轮复习）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用线面垂直判定性质、面面垂直的判定推理得证. 【详解】在中，由，得，而，则， 将沿折起到的位置，始终有， 又平面，则平面， 又平面，则， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 类型九、由垂直关系确定存在性问题 一、垂直的唯一性： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直（当直线不垂直于已知平面时） 二、 线面垂直类问题 动点在面上使线面垂直：在平面上找两条相交直线与已知直线垂直 动点在线上使线面垂直：使直线垂直于平面内两条相交直线 三、 面面垂直类问题 动点在面上使面面垂直：在目标平面上找一条直线垂直于另一平面，该直线需经过动点（常转化为线面垂直问题） 动点在线上使面面垂直：在直线上取点，使该点与另一平面能确定垂线，通常有无数解（需其他条件约束） 例9．（25-26高二上·北京·期中）如图，直三棱柱中，点为棱的中点， ．    (1)求证：平面； (2)判断是否存在经过的平面满足，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)不存在，理由见详解. 【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）假设存在经过的平面满足，推导出，与矛盾，进而可得出结论. 【详解】（1）证明：连接交于点，连接，    在三棱柱中，四边形为平行四边形， 因为，则为的中点， 又因为为的中点，故， 因为平面，平面，因此平面. （2）解：假设存在经过的平面满足，因为平面，则， 因为平面，平面，， ，、平面，平面， 平面，， 事实上，，，故为等腰直角三角形，且，矛盾. 因此，不存在经过的平面满足. 变式9-1．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）在四棱台中，底面，底面是正方形，E为侧棱的中点，，，．    (1)证明：平面． (2)求二面角的正切值． (3)在线段上是否存在点H，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)存在，，理由见解析. 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证； （2）作出二面角的平面角，在中求值； （3）当时满足条件，由正弦定理求出即得比值. 【详解】（1）因为底面，所以底面，平面， 所以，所以， 又，是中点，所以. 因为底面，平面，所以， 又底面是正方形，所以，，平面， 所以平面，平面，所以， 又，平面，所以平面. （2）因为底面，平面，所以平面⊥底面， 过点作，因为平面平面 所以平面，过作，连接，则， 所以是二面角的平面角.    因为是中点，所以， 设，则，所以， 所以，即二面角的正切值是. （3）对线段上的点，因为平面，平面， 所以，则当时，满足条件. 如图，在四边形中，过作，垂足为，交于， 则， 设，则 因为，所以，所以， 又，所以 所以，又， 所以，此时时，，，平面， 所以平面，平面，所以平面⊥平面.    变式9-2．（2025高一·全国·专题练习）如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合，可得，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点，可证明平面平面，即此时平面平面，再计算的值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 变式9-3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正四棱锥中，为底面正方形的中心，，为线段的中点，问：在棱上是否存在一点，使侧面？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】存在，为上靠近点的四等分点 【分析】取的中点，连结并延长交于点，根据条件得到，取的中点，有，利用线面垂直的判定和面面垂直的判断，可得平面平面，再利用面面垂直的性质，得平面，再取的中点，利用，即可求解. 【详解】取的中点，连结并延长交于点，设，． 因为是正四棱锥，为底面正方形的中心，则平面， 又，得，得到， 又，所以， 又，故为等边三角形， 取的中点，连结，则． 又因为，，，平面， 所以平面，又平面，故平面平面， 而平面，平面平面，，所以平面． 取的中点，因为，且，故四边形为平行四边形， 所以，从而平面，所以存在一点，使侧面，且为上靠近点的四等分点． 1．（25-26高一下·河北邢台·期中）如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，. (1)求直线与所成角的余弦值. (2)设是线段上的动点（含端点）. （i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值. （ii）当平面时，求的值. 【答案】(1) (2)（i）不是，体积最小值为；（ii） 【分析】（1）根据给定条件，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦值. （2）（i）利用反证法证明不平行于平面即可判断，再求出线段上到平面距离最小值即可；（ii）根据给定条件，确定点的位置，再利用等体积法求解. 【详解】（1）在棱长为4的正方体，过点作交于，连接， 由正方体的对角面是矩形，得，则， 即为直线与所成的角或其补角， 由，，得，，，， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）（i）三棱锥的体积不是定值. 假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等， 又平面，于是平面，由（1）知，且平面， 则平面，而平面，则平面平面， 又平面，因此平面，取中点，连接，显然为的中点， 则，又与平面交于点，于是与平面相交，两者矛盾， 即假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值， 由图知，线段在平面的同侧，且在线段的所有点中，到平面的距离最小， 则当与重合时，三棱锥的体积最小， 且， 所以三棱锥体积的最小值为 （ii）连接，由正方体的对角面是矩形， 得，且平面，则平面，同理平面， 而平面，因此平面平面， 此时线段平面，满足平面， 设，到平面的距离分别为，，则. 是边长为的等边三角形，则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以. 2．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； (2)当平面时，面与交于，求的值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明线线平行，从而证明线面平行； （2）通过相似三角形从而确定动点的位置，进而根据体积之间的比例进行求解； 【详解】（1）， 平面， 平面，面， 面，面面，， 面，面，面. （2）如下图所示，连接交于点，连接，作 交 于 ， 设， 平面，平面， 平面平面，， 在梯形 中，， ， ，， ，即， 可得 ，故. 3．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图所示，在正方体中，点分别是棱的中点，P为线段上一动点，. (1)若平面交平面于直线l，求证：； (2)当直线时，求三棱锥的体积； (3)是否存在一点P，使得直线平面？若存在，求出此时线段与的比值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）利用面面平行的性质，结合正方体的结构特征推理得证. （2）根据给定条件，确定点的位置，再利用等体积法计算得解. （3）作出几何图形，再借助线面平行的性质确定点并求出比值. 【详解】（1）在正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面，则， 由分别为的中点，则，所以. （2）连接，由为中点，，得， 而，因此为中点， 点到平面的距离等于点平面的距离的一半， 即， 于是， 所以三棱锥的体积为. （3）如图，令直线交的延长线分别于， 直线交的延长线分别于， 连接交分别于，连接并延长交的延长线于， 则平面即为平面，由点分别是棱的中点， 得，则，又， 于是四边形是平行四边形，设， 平面平面，平面，要平面， 当且仅当，此时，，， 所以在上存在点P，使得直线平面，此时. 4．（25-26高三上·河南新乡·期末）如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，，且． (1)求三棱锥的体积； (2)已知点在侧面及其边界上运动，若平面，求点的轨迹长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等体积法即可求出三棱锥的体积. （2）分别取靠近点的三等分点，连接， 由题意可证得线线平行，由面面平行的判定定理即可证得平面与平面平行，再由面面平行的性质定理即可证得线面平行.进而求得动点轨迹长度； 【详解】（1）由题意可知为等边三角形， 因为底面，平面，故， 又平面平面，所以平面平面ADEF， 如图，过点作于点，所以平面 因为为等边三角形，所以，则点到平面的距离， 过点作于点，所以， 所以． （2）取靠近点的三等分点，连接， 因为，且，则，所以． 又平面，平面，所以平面． 因为，，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以，又平面，平面， 所以平面，且，平面， 所以平面平面， 由题意知在线段上时，平面． 所以点的轨迹长度为． 5．（25-26高二上·上海长宁·期末）在棱长为2的正方体中，、、分别是棱、、的中点，点是正方体表面上的任意一点，且直线与平面无交点，则点的轨迹长度是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】利用面面平行判定定理结合已知条件求出的轨迹，再求出点的轨迹长度． 【详解】 、、分别是棱、、的中点， ，平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又平面， 平面平面， 直线与平面无交点，等价于平面， 平面，且平面平面， 平面时，平面， 是正方体表面的点， 轨迹为平面与正方体表面的交线，即的三边， 正方体边长为2， ，，， 点的轨迹长度为，故D正确． 故选：D． 6．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正方体棱长为2，点满足，点在正方体的表面上运动，且，则的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理结合条件可得点的轨迹，进而求得轨迹的长度． 【详解】设，分别是，的中点，连接，，， 则，即四点共面， 在正方体中，得是的中点， 显然，，， 所以，故， 所以， 即，所以， 又平面，平面，所以， 又，且平面，平面， 所以平面， 因为点在正方体的表面上运动，且，所以点的轨迹是矩形， 由题可得，， 所以点的轨迹长度为． 7．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)是线段的中点； (3)平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据题意可证平面，平面，进而可证面面平行； （2）根据线面平行的性质定理可得，进而分析长度共线即可； （3）根据面面垂直的性质定理可得平面，平面，进而可得，，即可得线面垂直. 【详解】（1）因为为正方形，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面， 且，平面，所以平面平面. （2）设，连接， 因为平面，平面，平面平面，则， 平行四边形中，， 又因为，则为平行四边形，则， 且为中点，则， 即，所以是线段的中点. （3）因为为正方形，则，， 且平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 且，平面，所以平面. 8．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)点M为线段上靠近C的四等分点， 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直. （3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长. 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. （2）因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. （3）如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 9．（2026高一·全国·专题练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面. 【答案】的中点 【分析】连接，证明当点是的中点时，平面. 【详解】如图，连接，则， 因为平面，又平面，所以. 又，平面. 所以平面，又平面，所以. 于是若平面，平面，则， 平面，又平面，所以. 又，平面，所以平面， 平面，所以，所以，， 所以， 因为是正方形，是的中点， 所以当且仅当是的中点时，， 即当点是的中点时，平面. 10．（24-25高一下·河北·月考）如图1，在矩形中，是线段上的一动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面. (1)是线段上的点，若当时，平面，求的值； (2)若点在平面内的射影落在线段上. ①是否存在点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由； ②当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离. 【答案】(1)； (2)①存在，此时；. 【分析】（1）如图作，可得平面平面，从而可得四边形为平行四边形，然后由可得答案； （2）①假设存在点，使得平面，则可得平面，据此可确定点M位置；②设，由题可得，然后由基本不等式可得时，体积最大，然后由等体积法可得点到平面的距离. 【详解】（1）如图作，因平面，平面， 则平面.又平面，， 则平面平面.结合平面平面， 平面平面，则，又由题可得， 则四边形为平行四边形，从而，又， 则； （2）①假设存在点，使得平面. 因平面，则.因为点在平面内的射影， 则平面，又平面，则. 因，平面，则平面. 因平面，则.因，则. 即M与D点重合时，满足题意，此时； ②设，因为点在平面内的射影，则平面， 又平面，则，则为直角三角形，PB为斜边，则. 则， 其中，， 则， 当且仅当，即时取等号.则此时，. 从而可得，，. 则为等腰直角三角形，. 设点到平面的距离为， 则， 则. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $