精品解析：重庆市璧山区高新初级中学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

2025-2026年八年级（下）期中数学试卷 （分值：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、中被开方数含有开的尽方的因数4，不是最简二次根式，不符合题意； D、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法、有理数的乘方、零次幂及二次根式的性质，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据二次根式的运算及零次幂进行排除选项． 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算正确，故符合题意； 故选D． 3. 下列四组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，6，7 C. 7，24，25 D. 9，12，15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股数的定义：在一组（三个正整数）数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，根据勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意； B、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意； C、由可知，7，24，25不是勾股数，符合题意； D、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在数轴上，点表示实数3，垂直数轴于点，连接，以为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用勾股定理计算出的长，然后再由题意可得，从而可得点C表示的数．本题考查作图、实数与数轴、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵数轴上点A对应的数为3， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵原点O为圆心，以为半径画弧，交数轴于点C， ∴， ∴点C表示的数为． 故选：C． 5. 下列命题中，真命题有（ ） ①两条对角线相等的四边形是矩形；②两条对角线互相垂直的四边形是菱形；③两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；④两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题的判定，以及各特殊四边形的判定和性质，难度适中． 分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：①对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故错误； ②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误； ③两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确； ④两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故正确． 故答案为B． 6. 估计的值在（ ） A. 4到5之间 B. 5到6之间 C. 6到7之间 D. 7到8之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、无理数的估算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据二次根式的混合运算法则化简，然后再运用“夹逼法”估算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：A． 7. 如图，的对角线、相交于点，的角平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，，可得，根据平分，可得，从而可得，可得，进一步可得的长，再根据三角形中位线定理可得，即可求出的长． 【详解】解：在平行四边形中，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 8. 如图，在四边形中，，，连接，M为的中点，连接．若的面积为，则的长为（ ） A. 12 B. C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由直角三角形斜边中线性质可得，利用外角性质推出，通过作高构造含角的直角三角形，利用面积公式建立方程求解，进而求得． 【详解】解：∵，为的中点， ，， ， ，， ，， ， ， ， 过点作于，如图 ，， ，， 设，则， 在中，， ∴， ， ， ， 解得（负值舍去）， ． 9. 甲乙两人骑自行车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. 甲的速度为8米/秒 D. 当甲出发55秒或65秒时，甲、乙相距50米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断C；然后根据甲的速度可以计算出的值，即可判断A；根据乙的速度，可以计算出的值，可以判断B；根据甲和乙相遇前和相遇后相距米，可以计算出甲出发的时间，即可判断D． 【详解】解：由图可得，甲的速度为： (米/秒) ，故C错误，符合题意； ∴乙的速度为：(米/秒)， 故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； 设当甲、乙相距米时， 甲出发了秒， 两人相遇前：，解得 ； 两人相遇后： ，解得 ， 故D正确，不符合题意； 故选： C． 10. 如图，在中，，，D，E为上的两点，，F为外一点，且，．有下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可判定③，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④． 【详解】解：①∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确， ②连接， 由①中证明， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，故②正确， ③如图，设与的交点为G， ∵，， ∴，， ∴，故③不正确， ④∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，故④正确． ∴其中正确的结论有个． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式的分母不能为零，理解相关知识是解答关键． 根据二次根式有意义的条件，分式的分母不能为零列出不等式组来求解． 【详解】解：要使式子有意义， 则， 解得且． 故答案为：且． 12. 顺次连接菱形的四边中点所得的图形为_______． 【答案】矩形 【解析】 【分析】本题考查中点四边形，掌握三角形的中位线定理，菱形的性质，矩形的判定，是解题的关键．结合顺次连结菱形各边中点所得的新四边形的两组对边分别平行于菱形的两条对角线，菱形的两条对角线是互相垂直的，则新四边形的两组对边分别平行，邻边垂直，即可作答． 【详解】解：依题意，顺次连结菱形各边中点所得的新四边形的两组对边分别平行于菱形的两条对角线，菱形的两条对角线是互相垂直的， 则新四边形的两组对边分别平行，邻边垂直， ∴顺次连接菱形的四边中点所得的图形为为矩形； 故答案为：矩形 13. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是____． 【答案】10 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式与多边形外角和恒为，结合题目给出的倍数关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意可得， 解得． 14. 如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，连接，点和点E关于直线对称，点G在边上，连接．将沿折叠，点C恰好落在线段上的点处，连接，则______ 【答案】## 【解析】 【分析】连接求出，则，设，则，由勾股定理可得，，解得，得到，得到，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接 在矩形中，，，， ∵点A和点E关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ∴， 解得， ∴， ∵将沿折叠，点C恰好落在线段上的点H处， ∴， ∴， ∴． 15. 已知四边形为菱形，为上任意一点，点为上任意一点，，．则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于，设、交于点，根据菱形的性质得出当点、、在同一条直线上，且时，的值最小，利用菱形的性质求出，，利用菱形的面积公式求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于，设、交于点， ∵四边形为菱形，为上任意一点，，， ∴垂直平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴当点、、在同一条直线上，且时，的值最小，此时，点与重合， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值是． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最大是_________；若四位自然数是“方佳数”，将“方佳数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被33整除，则满足条件的的最小值_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、一元一次方程的应用等知识点，理解新定义、正确推理计算是解题关键． 根据“方佳数”的定义可得，即，再确定的最大值及的值即可解答；设这个四位数，则，再结合“方佳数”的定义，得出， 再由能被整除可知 是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到的最小值． 【详解】解： 是“方佳数”， 即 ， ∴当 时，有最大值， ∴这个数最小是； 设这个四位数则 ， ∵四位数是“方佳数”， ， ， 能被整除， 是整数， 是整数且 ∴满足条件的的值为， ， ∵要求的最小值，则， ∴满足条件的的最小值是， 故答案为： ；． 三、解答题（本题共9小题，第17题、第18题各8分，其余每小题10分，共86分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘法，分母有理化进行计算，再计算加减即可； （2）先根据平方差公式，二次根式的乘法进行计算，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 学习了平行四边形的知识后，实践小组进行了以下研究：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，这两条角平分线与另一组对边所围成的四边形是一个平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： （1）如图，用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点．（不写做法，保留作图痕迹） （2）已知：四边形是平行四边形，连接，平分，平分． 求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ，①__________， ． 平分，平分， ，． ②__________， ③__________ ，， 四边形是平行四边形． 实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，请你模仿题中表述，补全以下结论：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则④__________． 【答案】（1）作图见解析 （2），，，四边形是菱形 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的作图、平行四边形的判定和性质、菱形的判定方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的作图步骤作图即可； （2）根据平行四边形的性质，得到两组对边分别平行，利用内错角及角平分线，得出，进而证明四边形是平行四边形；通过角平分线及平行四边形的性质，可证，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形． 实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则四边形是菱形．理由如下： 由上可知，四边形是平行四边形， 又平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 故答案为：，，，四边形是菱形． 19. 如图，B是中边上一点，．请求出的长． 【答案】的长是15 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用等知识点，灵活运用勾股定理及其逆定理成为解题的关键． 先根据勾股定理逆定理证明，可得，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴是直角三角形，且， ∴． ∵， ∴在中，由勾股定理，得． ∴的长是15． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作于点E，延长BC至F，使．连接DF． （1）求证：四边形ADFE为矩形； （2）连接OF，若，，，求OF的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证△ABE≌△DCF（SAS），得AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，再证AE∥DF，得四边形ADFE是平行四边形，即可得出结论； （2）由矩形的性质得到EF=AD=3，进而求得BE=CF=1，BF=4，再由直角三角形的性质得AB=2BE=2，然后由勾股定理可求得BD的长度，最后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【小问1详解】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC且AB=DC， ∴∠ABE=∠DCF， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°， ∴AE∥DF， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∵∠DFC=90°， ∴平行四边形ADFE是矩形； 【小问2详解】 由（1）知：四边形ADFE是矩形， ∴EF=AD=3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=3，CD=AB，OB=OD， ∴BE=CF=BC-EC=1， ∴BF=BC+CF=4， 在Rt△ABE中，∠ABE=60°， ∴∠BAE=90°-∠ABE=30°， ∴AB=2BE=2， ∴DF=AE= ， ∴BD= ∵∠DFB=90°，OB=OD， ∴OF= BD= ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 21. 阅读下列材料，并回答问题．； ； ； ； … （1）填空：__________；比较大小：__________；（填“”或“”） （2）观察上述算式，仿照上述方法计算（是正整数）； （3）计算：（提示：）． 【答案】（1）； （2） （3）44 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键． （1）根据材料计算方法即可得到第一个填空答案；根据材料计算方法可知，，结合即可得到答案； （2）仿照材料方法计算即可； （3）仿照材料方法计算可求得，原式，进一步计算即可． 【小问1详解】 解：， 根据材料可知，，， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 22. 如图，在四边形中，，过点作交的延长线于点，且，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理解直角三角形，含30度角的三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）证明，得到，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明结论； （2）根据菱形的性质及三角形内角和定理得出，再由含30度角的直角三角形的性质确定，利用勾股定理得出．再由等角对等边确定，结合图形即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23. 为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方千米处，点D在点C的正西方千米处，点D在点A的北偏东方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西方向．（参考数据： （1）求AD的长度．（结果精确到1千米） （2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 【答案】（1）AD的长度约为千米 （2）小明应该选择路线①，理由见解析 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据题意可得四边形是矩形，进而得出，然后解直角三角形即可； （2）分别求出线路①和线路②的总路程，比较即可． 【小问1详解】 解：过点作于点， 由题意可得：四边形是矩形， ∴千米， ∵点D在点A的北偏东方向， ∴， ∴千米， 答：AD的长度约为千米； 【小问2详解】 由题意可得：，， ∴路线①的路程为：（千米）， ∵，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由题意可得， ∴， ∴，， 所以路线②的路程为：千米， ∴路线①的路程路线②的路程， 故小明应该选择路线①． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义，掌握特殊角三角函数值是解本题的关键． 24. 如图1，正方形中，分别为上的点，与交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点为的中点，交于点，连接．求证： 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）证明，得出，进而得到，由此得证； （2）过点作交于点，可证出，得，解直角三角形即可得证； 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：过点作交于点， ∴， ∴ ∵，为的中点，， ∴， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ，， ， ， ， ． 25. 已知，等腰中，，，的边经过点，点是线段上一动点，连接． （1）如图1，若点是的中点，，，求的长； （2）如图2，连接，当时，求证：； （3）如图3，等腰中，，连接，若，，当点在运动过程中，请直接写出周长的最小值． 【答案】（1） （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，设，则，根据等腰直角三角形的性质可得，，在中，由勾股定理列式可解得，易得，再证明四边形为矩形，进而可得，，在中，由勾股定理可解得，即可获得答案； （2）延长，交于点，分别证明，，结合全等三角形的性质，即可证明结论； （3）过点作，交的延长线于点，过作交于点，证明，可得，即点在直线上运动，作点关于的对称点，交于点，连接，交于点，连接，当点在同一直线上时，周长取最小值，且，过点作于点，求得，的值，即可获得答案． 【小问1详解】 解：如下图，过点作于点，过点作于点， ∵等腰中，，， 设，则， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∴在中，可有， 即，整理可得， 解得或（舍去）， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，可有， 即，整理可得， 解得， ∴； 【小问2详解】 延长，交于点，如下图， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如下图，过点作，交的延长线于点，过作交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 如图，作点关于的对称点，交于点，连接，交于点，连接， 当点在同一直线上时， 则，此时周长取最小值， 过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴，即， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，综合性强，难度较大，正确作出辅助线，熟练运用相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年八年级（下）期中数学试卷 （分值：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，6，7 C. 7，24，25 D. 9，12，15 4. 如图，在数轴上，点表示实数3，垂直数轴于点，连接，以为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，真命题有（ ） ①两条对角线相等的四边形是矩形；②两条对角线互相垂直的四边形是菱形；③两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；④两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 估计的值在（ ） A. 4到5之间 B. 5到6之间 C. 6到7之间 D. 7到8之间 7. 如图，的对角线、相交于点，的角平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在四边形中，，，连接，M为的中点，连接．若的面积为，则的长为（ ） A. 12 B. C. D. 16 9. 甲乙两人骑自行车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. 甲的速度为8米/秒 D. 当甲出发55秒或65秒时，甲、乙相距50米 10. 如图，在中，，，D，E为上的两点，，F为外一点，且，．有下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 顺次连接菱形的四边中点所得的图形为_______． 13. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是____． 14. 如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，连接，点和点E关于直线对称，点G在边上，连接．将沿折叠，点C恰好落在线段上的点处，连接，则______ 15. 已知四边形为菱形，为上任意一点，点为上任意一点，，．则的最小值是_________． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最大是_________；若四位自然数是“方佳数”，将“方佳数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被33整除，则满足条件的的最小值_________． 三、解答题（本题共9小题，第17题、第18题各8分，其余每小题10分，共86分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 学习了平行四边形的知识后，实践小组进行了以下研究：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，这两条角平分线与另一组对边所围成的四边形是一个平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： （1）如图，用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点．（不写做法，保留作图痕迹） （2）已知：四边形是平行四边形，连接，平分，平分． 求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ，①__________， ． 平分，平分， ，． ②__________， ③__________ ，， 四边形是平行四边形． 实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，请你模仿题中表述，补全以下结论：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则④__________． 19. 如图，B是中边上一点，．请求出的长． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作于点E，延长BC至F，使．连接DF． （1）求证：四边形ADFE为矩形； （2）连接OF，若，，，求OF的长． 21. 阅读下列材料，并回答问题．； ； ； ； … （1）填空：__________；比较大小：__________；（填“”或“”） （2）观察上述算式，仿照上述方法计算（是正整数）； （3）计算：（提示：）． 22. 如图，在四边形中，，过点作交的延长线于点，且，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，，求的长． 23. 为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方千米处，点D在点C的正西方千米处，点D在点A的北偏东方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西方向．（参考数据： （1）求AD的长度．（结果精确到1千米） （2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 24. 如图1，正方形中，分别为上的点，与交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点为的中点，交于点，连接．求证： 25. 已知，等腰中，，，的边经过点，点是线段上一动点，连接． （1）如图1，若点是的中点，，，求的长； （2）如图2，连接，当时，求证：； （3）如图3，等腰中，，连接，若，，当点在运动过程中，请直接写出周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $