精品解析：甘肃兰州市兰州十九中教育集团2025-2026学年第二学期期中考试八年级 数学

兰州十九中教育集团2025-2026学年第二学期期中考试 八年级数学 注意事项： 1．全卷共120分，考试时间120分钟． 2．考生务必将答案直接填写在答题卡的相应位置上，在试卷上作答无效． 3．考试结束，只上交答题卡． 一、单选题（共11小题，每小题3分，满分33分） 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果两个角是直角，那么它们相等 B. 若，则 C. 两直线平行，内错角相等 D. 全等三角形的对应角相等 4. 下列各数中，能使不等式2x+1＜3成立的是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 6. 如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点G，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 用反证法证明“直角三角形两个较小的内角之和等于”时，第一步应假设直角三角形（ ） A. 两个较小的内角之和小于 B. 两个较小的内角之和大于 C. 两个较小的内角之和等于 D. 两个较小的内角之和不等于 8. 如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的角平分线上，则的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 某校举行知识竞赛，共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x道题，可得式子为（ ） A. B. C. D. 10. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式．规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示． 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A. 只有甲 B. 甲和乙 C. 乙和丙 D. 丙和丁 11. 如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连接分别与，交于点，点，连接，，下列结论：①若，则是等边三角形；②的周长等于线段的长；③平分；④．正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分） 12. 已知关于的不等式的解集为，则的值是______． 13. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的一元一次不等式的解集是________．（结果用不等式表示） 14. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接．若，则的度数为 _______． 15. 关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是________． 三、解答题（共11小题，满分75分，解答时写出必要的文字说明、过程或演算步骤） 16. 解不等式：，并将其解集在数轴上表示出来． 17. 解不等式组． 18. 如图，是等腰三角形，，点是上一点，过点作交于点，交的延长线于点．求证：是等腰三角形； 19. 已知关于的二元一次方程组，若方程组的解满足不小于．求的取值范围． 20. 如图，，，，． （1）求的度数； （2）判断的形状，并说明理由． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，、． （1）画出将向下平移6个单位长度得到； （2）画出关于原点O成中心对称的； （3）若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心的坐标是 ． 22. 为培养学生的阅读习惯，提高学生的阅读兴趣和能力，陕西某中学把一批图书分给八年级（1）班的学生阅读．如果每人分本，还剩本；如果前面每人分本，那么最后一名学生得到的图书少于本（但至少分得本）．问八年级（1）班最多有多少名学生． 23. 为了更好改善河流的水质，治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量，如下表所示：经调查，购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 240 200 （1）求a，b的值； （2）治污公司要求每月处理污水量不低于2060吨，经预算购买污水处理设备的资金不能超过106万元，若设购买A型设备x台，则该治污公司有哪几种购买方案？请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案，并说明理由． 24. 如图，中，、的平分线、交于点，过点作、的垂线，垂足分别为，． （1）求证：点在的平分线上； （2）用等式表示、、的数量关系，并说明理由． 25. 我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． （1）不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”） 不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”）． （2）若关于的不等式不是的“同根不等式”，求的取值范围； （3）若，关于的不等式与不等式互为“同根不等式”．直接写出的取值范围． 26. 综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； （2）类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； （3）延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州十九中教育集团2025-2026学年第二学期期中考试 八年级数学 注意事项： 1．全卷共120分，考试时间120分钟． 2．考生务必将答案直接填写在答题卡的相应位置上，在试卷上作答无效． 3．考试结束，只上交答题卡． 一、单选题（共11小题，每小题3分，满分33分） 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项图案不是轴对称图形也不是中心对称图形； B与C选项图案是轴对称图形不是中心对称图形； D选项图案既是轴对称图形又是中心对称图形． 2. 若，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴不等式两边同时减2，不等号方向不变，可得，故A正确． B、∵， ∴不等式两边同时加2，不等号方向不变，可得，故B正确． C、∵， ∴不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，故C正确． D、∵， ∴不等式两边同时除以，是正数，不等号方向不变，可得，与选项式子不符，故D错误． 3. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果两个角是直角，那么它们相等 B. 若，则 C. 两直线平行，内错角相等 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【详解】解：A、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； B、若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； D、全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 4. 下列各数中，能使不等式2x+1＜3成立的是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，找出在不等式解集中的解即可． 【详解】解：解不等式2x+1＜3可得， 选项中只有0满足， 故选：A． 【点睛】本题考查不等式的解，解决本题的关键是利用不等式的基本性质求不等式的解集． 5. 如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 【详解】解：将绕点旋转，得到， ， 当旋转方向为顺时针时，旋转角度为； 当旋转方向为逆时针时，旋转角度为． 故选：A． 6. 如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点G，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正多边形的内角公式，求出正五边形的内角度数，得到和的度数，再借助等边三角形的内角为，四边形的内角和为，计算即可． 【详解】解：由正多边形的内角公式，可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴． 7. 用反证法证明“直角三角形两个较小的内角之和等于”时，第一步应假设直角三角形（ ） A. 两个较小的内角之和小于 B. 两个较小的内角之和大于 C. 两个较小的内角之和等于 D. 两个较小的内角之和不等于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“直角三角形两个较小的内角之和等于”时，第一步应假设直角三角形两个较小的内角之和不等于， 故选： D． 8. 如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的角平分线上，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长度，根据角平分线和线段平行的性质，证明，则的周长可转换为，将长度代入即可求解． 【详解】解：在中，， ，    由平移可知， ，    ∴， 又∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∵，． ∴的周长为． 9. 某校举行知识竞赛，共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x道题，可得式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，理清等量关系、正确的列出不等式是解题的关键． 设答对x道题，根据总得分不少于80分列出一元一次不等式即可． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题共道， 由题意可得：． 故选D． 10. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式．规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示． 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A. 只有甲 B. 甲和乙 C. 乙和丙 D. 丙和丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的定义，解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为．通过“去分母，移项、合并同类项，化系数为”解不等式即可． 【详解】解：， 去分母，得， 故步骤甲错误． 去括号，得 ； 故步骤乙错误． 移项，合并同类项，得． 化系数为，得． 而丙和丁自己负责的一步没有错误； 故选：B． 11. 如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连接分别与，交于点，点，连接，，下列结论：①若，则是等边三角形；②的周长等于线段的长；③平分；④．正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等边三角形的判定与性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可． 【详解】解：∵点关于、的对称点分别是点、点， ，，，． ，． 是等边三角形，故①正确． 由轴对称可知，，， ，故②正确． 由轴对称可知，，， ，． ， ． ． 平分，故③正确． ，， ． ， ． ，故④正确． 二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分） 12. 已知关于的不等式的解集为，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据题意，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， ∴； 故答案为：2 13. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的一元一次不等式的解集是________．（结果用不等式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 观察图象得到，当时，一次函数的图象不在一次函数的图象的上方，即可得出答案． 【详解】如图所示，当时，一次函数的图象不在一次函数的图象的上方， 关于x的一元一次不等式的解集是 故答案为：． 14. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接．若，则的度数为 _______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理．根据垂直平分线得到，从而得到，由角平分线得到，得到，根据三角形内角和定理，结合，得到，再根据角的和差求解即可得到答案． 【详解】解：∵的平分线与的垂直平分线交于点P，， ，， ， ， ∴， ∴， 故答案为：12． 15. 关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 不等式组恰有3个整数解， 这3个整数解是0，1，2， ， 解得， 故答案为：． 三、解答题（共11小题，满分75分，解答时写出必要的文字说明、过程或演算步骤） 16. 解不等式：，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：去括号得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：， 将其解集在数轴上表示出来如图所示： 17. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 18. 如图，是等腰三角形，，点是上一点，过点作交于点，交的延长线于点．求证：是等腰三角形； 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等．由，可知，再由和余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论． 【详解】证明：， ， 又， ， ，， ， 又， ， ． 19. 已知关于的二元一次方程组，若方程组的解满足不小于．求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】先解二元一次方程组得到，再将值代入不等式得到关于的不等式，求一元一次不等式解集即可． 【详解】解：关于的二元一次方程组， 由①②得，解得， 由①②得，解得， 方程组的解满足不小于， ， 解得． 20. 如图，，，，． （1）求的度数； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）等边三角形，见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，等边三角形的判定方法． （1）由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理即可求出； （2）由垂直的定义得到，由直角三角形三角形的性质求出，得到，判定是等边三角形． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：是等边三角形，理由如下： ，， ， 由（1）知， ， ， ， 是等边三角形． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，、． （1）画出将向下平移6个单位长度得到； （2）画出关于原点O成中心对称的； （3）若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心的坐标是 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，旋转的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别将点A、B、C向下平移6个单位长度，得到对应点，然后顺次连接即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可确定的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据旋转的性质可知，连接，交点即为旋转中心点M，可知坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 如图，旋转中心为点M，可知旋转中心的坐标为， 故答案为：． 22. 为培养学生的阅读习惯，提高学生的阅读兴趣和能力，陕西某中学把一批图书分给八年级（1）班的学生阅读．如果每人分本，还剩本；如果前面每人分本，那么最后一名学生得到的图书少于本（但至少分得本）．问八年级（1）班最多有多少名学生． 【答案】八年级（1）班最多有名学生 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．设八年级（1）班有名学生，则这批图书有本，根据如果每人分本，还剩本；如果前面每人分本，那么最后一名学生得到的图书少于本（但至少分得本），列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：设八年级（1）班有名学生，则这批图书有本， 由题意得： 解得：4， ∴八年级（1）班最少有名学生，最多有名学生， 答：八年级（1）班最多有名学生． 23. 为了更好改善河流的水质，治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量，如下表所示：经调查，购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 240 200 （1）求a，b的值； （2）治污公司要求每月处理污水量不低于2060吨，经预算购买污水处理设备的资金不能超过106万元，若设购买A型设备x台，则该治污公司有哪几种购买方案？请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）的值为12，的值为10 （2）共两种方案：A型号为2台，B型号为8台，或A型号为3台，B型号为7台；该公司最省钱的一种购买方案为：购买A型设备2台，B型设备8台 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用． （1）根据题意购买型设备的单价是万元，购买型设备的单价是万元，再根据“购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元”，可列方程组求解． （2）设购买型号设备台，则购买型号设备台，根据“治污公司要求每月处理污水量不低于2060吨，经预算购买污水处理设备的资金不能超过106万元”，进而得出不等式组求正整数解即可． 【小问1详解】 解：购买型设备的单价是万元，购买设备的单价是万元， 由题意得， 解得：． 故的值为12，的值为10； 【小问2详解】 解：设购买型号设备台，则购买型号设备台， 由题意得， 解得：， ∵为正整数， ∴或， 故所有购买方案为：当时，A型号为2台，B型号为8台，此时费用为（万元）； 当时，A型号为3台，B型号为7台，此时费用为（万元）； 所以，为了节约资金，该公司最省钱的一种购买方案为：购买A型设备2台，B型设备8台． 24. 如图，中，、的平分线、交于点，过点作、的垂线，垂足分别为，． （1）求证：点在的平分线上； （2）用等式表示、、的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和逆定理，全等三角形的判定与性质． （1）作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可判断结论正确； （2）由全等三角形的性质得出，，即可得出． 【小问1详解】 证明：作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上； 【小问2详解】 解：，理由如下， 在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ． 25. 我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． （1）不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”） 不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”）． （2）若关于的不等式不是的“同根不等式”，求的取值范围； （3）若，关于的不等式与不等式互为“同根不等式”．直接写出的取值范围． 【答案】（1）不是，是 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题根据新定义“同根不等式”，即两个一元一次不等式有公共整数解，分别解不等式，再结合定义判断是否满足条件，求解参数范围． （1）直接解不等式判断是否有公共整数解即可； （2）根据没有公共整数解列不等式求范围； （3）分大于和小于两种情况讨论，得到的取值范围． 【小问1详解】 解：解不等式得 解不等式得 两个不等式没有公共解，因此没有公共整数解， 故不是的“同根不等式” 解不等式得 解不等式得 两个不等式的公共解为，存在无数个公共整数解， 故是的“同根不等式” 【小问2详解】 解不等式得 解不等式得 不是的“同根不等式” 两个不等式没有公共整数解， 解得 【小问3详解】 解不等式，整理得 解不等式，整理得 ①当时，不等式化简为 要使两个不等式有公共整数解，需满足 解得，符合条件； ②当时，不等式化简为 ， 两个不等式的公共解为， 因此所有都符合条件 综上，的取值范围是或 26. 综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； （2）类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； （3）延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）旋转的性质得到，，进而得到，证明，即可得出结论； （2）同法（1）即可得证； （3）延长至点，使，连接，作，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，证明，得到，进而得到点的运动轨迹，根据垂线段最短结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 成立，理由如下： ∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：延长至点，使，连接，作，则：， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，的长最短，为的长， ∵， ∴； 故的最小值为4． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，垂线段最短，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $