精品解析：甘肃省兰州市第五中学2023-2024学年八年级下学期数学期中考试试卷

2023-2024第五中八下期中考试试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 解： A、不是轴对称图形，是中心对称图形； B、是轴对称图形，也是中心对称图形； C、是轴对称图形，不是中心对称图形； D、不是轴对称图形，是中心对称图形． 故选B． “点睛”本题考查了中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．也考查了轴对称图形． 2. △ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a，b，c，则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】满足两个较小边的平方和等于较大边的平方的为直角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，根据此可判断出直角三角形． 【详解】解：A、62+82=102，是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∠C=180°÷（1+1+3）×3=105°．不是直角三角形，故本选项符合题意； C、，是直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理．解题的关键是灵活利用勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理． 3. 下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义、整式的乘法运算，熟记因式分解的定义是解题关键．根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，逐项判断即可得． 【详解】解：A、，，则此项不符题意； B、是整式的乘法运算，不是因式分解，则此项不符题意； C、等式右边等于，即等式的两边相等，且等式右边是整式积的形式，是因式分解，则此项符合题意； D、等式左右两边都是单项式，不是多项式，不符合题意因式分解定义，则此项不符题意； 故选：C． 4. 把不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解： ， ∴在数轴上表示为： ∴选项符合题意． 5. 已知，下列不等式变形不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A．根据不等式性质，不等式两边都加2可得，原变形正确，故此选项不符合题意； B．根据不等式性质，不等式两边都乘以3可得，原变形正确，故此选项不符合题意； C．根据不等式性质，不等式两边都除以可得，原变形不正确，故此选项符合题意； D．根据不等式性质，不等式两边都乘以2可得，再在不等号两边同时减1得，原变形正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 6. 将点P向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解答本题的关键是熟练掌握平移中点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移特征即可判断结果． 【详解】解：将点P向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点，则点P的坐标是，即， 故选：D． 7. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A. 每一个内角都小于 B. 每一个内角都大于 C. 有一个内角大于 D. 有一个内角小于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反证法的解题步骤，反证法证明命题时，首先要假设原结论不成立，即假设结论的反面成立，明确这一规则即可解答． 【详解】解：∵反证法证明命题，第一步需假设命题结论的反面成立. 原命题的结论为“三角形中至少有一个内角大于或等于”， 该结论的反面是“三角形中每一个内角都小于”， ∴应假设这个三角形中每一个内角都小于． 8. 如图，将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上．已知，，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：B 9. 如图所示，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，根据作图过程可得是的垂直平分线，可得，然后根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：，， ， 根据作图过程可知：是的垂直平分线， ， ， ． 故选：C． 10. 如图，，平分，P为上任意一点，交于点E，于点F，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质是解答的关键．过P作于H，根据角平分线的性质得到，，根据平行线的性质和三角形的外角性质求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过P作于H， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， 故选：C． 11. 如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的整数解，解不等式组应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组恰有2个整数解，即可确定整数解，然后得到关于a的不等式求解即可． 【详解】解：解不等式组得：， ∵恰好有2个整数解， ∴整数解是2，1， ∴． 故选：D． 12. 如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去若点的坐标为，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出的各边，计算出的长度是解题的关键．计算出的各边，根据旋转的性质，求出，，，得出规律，求出，再根据一次函数图象上的点求出点的纵坐标即可． 【详解】解：轴，点， ，则点的纵坐标为，代入， 得：，得：，即， ，，， 由旋转可知： ， ， ， ， ， ， 设，则， 解得：或（舍去）， 则，即点的纵坐标为， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. “与4的和是正数”，用不等式表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式．根据正数大于0列出不等式即可． 【详解】解：根据题意得：用不等式表示为． 故答案为： 14. 若是关于x的一元一次不等式，则n的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ， 解得：， 故答案为：． 15. 等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．设另一个角是，表示出这个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【详解】解：设另一个角是，表示出这个角是， ①是顶角，是底角时，， 解得， 所以，底角为； ②是底角，是顶角时，， 解得， 所以，底角是； ③与都是底角时，， 解得， 所以，底角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案为：或或． 16. 如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N，若， ，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共12小题，共72分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】； 表示在数轴上为： 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 18. 将下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）提公因式即可； （2）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 19. 在中，，，点D为内一点，连接、． （1）把绕点C逆时针旋转得到了，旋转中心是点 ，旋转角是 ° （2）延长交于F，交于M，求证：． 【答案】（1）C；90 （2） 证明： 由逆时针旋转得到了可知，， 在中，， 在中，， 而 ， 即． 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转及性质，垂直定义，三角形的内角和定理等知识，正确理解相关的概念及性质是解决本题的关键． （1）根据图形旋转的定义求出结果即可； （2）由旋转的性质可得，对顶角，再根据三角形内角和定理推出，结论即可得证． 【小问1详解】 解：由逆时针旋转得到了可知：点是的旋转中心，旋转角为． 【小问2详解】 略 20. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； （2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求空白部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案； （2）根据长方形的周长是即可得出的值；由图可得空白部分的面积是，故我们可以根据求出的的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积． 【小问1详解】 解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据长方形的周长为，可得： ， ， ， ， 空白部分的面积为， ∵阴影部分的面积为， 且阴影部分的面积表示为， 故， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：空白部分的面积为． 21. 在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： （1）因式分解：； （2）已知，求式子的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，巧妙的运用分组分解因式解答问题． （1）分组后，可先利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）分组后，再次提公因式后代入数值计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 当时， 原式 22. 已知：如图，中，于，交的延长线于．从①；②；③中，选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，并写出成立的证明过程． 你选择的补充条件是 结论是 （填序号） 证明： 【答案】 选择的补充条件是①②（或①③或②③）结论是③（或②或①）； 证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和等边对等角性质，角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．选择的补充条件是①②结论是③，根据平行线的性质和等边对等角得到，然后利用角平分线的性质定理求解即可． 【详解】略 23. 如图，点E在的外部，点D在边上，交于点，若，，． （1）求证：； （2）若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵（对顶角相等）， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 解：是等边三角形．理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及等边三角形的判定等知识． （1）根据三角形内角和定理得到，再根据，判定，即可得到． （2）根据等腰三角形的性质以及全等三角形的性质，可得，进而得出，可得是等边三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，函数和的图象相交于点． （1）求a，m的值； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）先把点代入，可得，再把点代入，即可求解； （2）求出和，即可求出答案； （3）结合，观察图象的位置关系即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴． ∵函数的图象经过点， ∴，解得． 【小问2详解】 由（1）得到直线的解析式为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 结合，观察图象得： 当时，函数的图象位于的图象的下方，即， 当时，函数的图象与的图象相交于点，即， ∴的解集为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出； （2）与关于原点O成中心对称，画出； （3）若点P在x轴上，当的值最小时，画出点P的位置，并直接写出的最小值． 【答案】（1） 解：如图，为所求作的三角形； （2） 解：如图，为所求作的三角形； （3）点P的位置即为所求 的最小值为． 【解析】 【分析】本题考查了利用中心对称作图，利用平移变换作图，两点间距离公式，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．另外要求掌握对称中心的定义． （1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点的位置，然后顺次连接即可； （3）作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，根据两点见解距离公式求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵点和点B关于x轴对称， ∴点的坐标为， ∴的最小值为． 26. 为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛，设置A，B两种奖品．校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）． 方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品． 方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折． 设校学生会计划购买个A种奖品，且是5的倍数，选择方案一的总费用为元，选择方案二的总费用为元． （1）请分别写出与之间的函数关系式． （2）校学生会选择哪种方案支付的费用较少？ 【答案】（1）， （2）当校学生会购买少于150个A种奖品时，选择方案二支付的费用较少；当校学生会购买150个A种奖品时，选择两种方案支付的费用一样；当校学生会购买多于150个且少于300个A种奖品时，选择方案一支付的费用较少 【解析】 【分析】（1）根据总费用，两种奖品费用之和列出、关于的函数解析式； （2）根据（1）中解析式分三种情况讨论：，，分别求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，． 【小问2详解】 解：由，得． 解得； 由，得． 解得； 由，得． 解得． 答：当校学生会购买少于150个A种奖品时，选择方案二支付的费用较少；当校学生会购买150个A种奖品时，选择两种方案支付的费用一样；当校学生会购买多于150个且少于300个A种奖品时，选择方案一支付的费用较少． 【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出函数解析式． 27. 我们用表示不大于a的最大整数，例如：，，；用表示大于a的最小整数，例如：，，，解决下列问题： （1） ； ； （2），则x的取值范围是 ；若，则y的取值范围是 ； （3）已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围． 【答案】（1），5 （2）； （3）， 【解析】 【分析】本题考查新定义，解二元一次方程组及不等式，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）根据和的意义进行求解即可； （2）根据和的意义，对相应的数进行分析即可； （3）利用加减消元法求出相应的，的值，再分析，的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵是不大于的最大整数， ∴， ∵是大于的最小整数， ∴； 【小问2详解】 解：∵表示大于x的最小整数是，，， ∴， ∵表示不大于的最大整数是4，，， ∴； 【小问3详解】 解：解方程组得， 表示不大于y的最大整数是． ∵，， ∴． 表示大于x的最小整数是． ∵，， ∴． 28. 【问题提出】 （1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种花卉，已知，恰好平分，，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴，， ， ∵点F是的中点， ∴， ，，， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：分别延长与的延长线交于点G． ∵， ∴，， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）的长为 【解析】 【分析】（1）由，可得，，由F是的中点，可得，进而可证，由全等的性质即可得证； （2）由和E为边的中点，可证，再由等腰三角形性质和判定，即可得证； （3）由，，得，再由点E是的中点，可证，由全等三角形的性质可得，由平分，结合等腰三角形的判定，可证，由等腰三角形三线合一可得，由，，可得，进而可证，最后可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过C作交的延长线于点M，延长交于点N，连接， ∵点E是的中点，， ∴， ∵，， ∴，，， ，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定，理清角度关系和线段的关系，作出正确的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024第五中八下期中考试试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）. A. B. C. D. 2. △ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a，b，c，则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）（　　　） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 4. 把不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，下列不等式变形不正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 将点P向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A. 每一个内角都小于 B. 每一个内角都大于 C. 有一个内角大于 D. 有一个内角小于 8. 如图，将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上．已知，，则长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，平分，P为上任意一点，交于点E，于点F，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 11. 如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去若点的坐标为，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. “与4的和是正数”，用不等式表示为_____________． 14. 若是关于x的一元一次不等式，则n的值为______． 15. 等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是______． 16. 如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N，若， ，则的长为______． 三、解答题（本大题共12小题，共72分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来． 18. 将下列各式因式分解： （1）； （2）． 19. 在中，，，点D为内一点，连接、． （1）把绕点C逆时针旋转得到了，旋转中心是点 ，旋转角是 ° （2）延长交于F，交于M，求证：． 20. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； （2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求空白部分的面积． 21. 在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： （1）因式分解：； （2）已知，求式子的值． 22. 已知：如图，中，于，交的延长线于．从①；②；③中，选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，并写出成立的证明过程． 你选择的补充条件是 结论是 （填序号） 证明： 23. 如图，点E在的外部，点D在边上，交于点，若，，． （1）求证：； （2）若，判断的形状，并说明理由． 24. 如图，函数和的图象相交于点． （1）求a，m的值； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出； （2）与关于原点O成中心对称，画出； （3）若点P在x轴上，当的值最小时，画出点P的位置，并直接写出的最小值． 26. 为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛，设置A，B两种奖品．校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）． 方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品． 方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折． 设校学生会计划购买个A种奖品，且是5的倍数，选择方案一的总费用为元，选择方案二的总费用为元． （1）请分别写出与之间的函数关系式． （2）校学生会选择哪种方案支付的费用较少？ 27. 我们用表示不大于a的最大整数，例如：，，；用表示大于a的最小整数，例如：，，，解决下列问题： （1） ； ； （2），则x的取值范围是 ；若，则y的取值范围是 ； （3）已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围． 28. 【问题提出】 （1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种花卉，已知，恰好平分，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $