精品解析：甘肃武威第十六中学2025-2026学年第二学期八年级数学期中素养评价

2025-2026学年第二学期八年级数学期中素养评价 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 1，2，3 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理，验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项：，， ，能构成直角三角形，符合题意； B选项：，，， 不能构成直角三角形，不符合题意； C选项：三边长为，，， ，，， 不能构成直角三角形，不符合题意； D选项：，，， 不能构成直角三角形，不符合题意． 2. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：可知：， 所以， 解得， 故选：B． 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过二次根式的运算法则计算各选项等式左右两边的值，比较后即可判断等式是否成立． 【详解】解：、∵左边：，右边：，， ∴等式不成立，不符合题意； 、∵左边：，右边：，左边右边， ∴等式成立，符合题意； 、∵左边：，右边：，， ∴等式不成立，不符合题意； 、∵左边：，右边：，， ∴等式不成立，不符合题意． 4. 已知，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】先由得出，再两边平方可得，进而得出，整体代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 5. 如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵图中两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为， ∴阴影部分的面积． 6. 如图，等腰中，，，将沿其底边平移得到，与相交于点，，则平移前后两三角形重叠部分的周长为（） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于点N．由等腰得到，从而，，证明得到，再由等腰三角形的“三线合一”得到，即可求解． 【详解】解：过点D作于点N． ∵在等腰中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由平移可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，五边形是正五边形，且．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作，交于点F，则．根据正多边形内角和公式求出，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图，作，交于点F． ， ， 五边形是正五边形， ， ， ， ． ， ． 8. 如图，在中，对角线，交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，得，，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 9. 如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，故①正确；求得，根据垂直的定义得到，故②正确；延长交的延长线于H，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到，故③正确；假设，根据，可得，结合，，可得，即有，进而可得，则有，显然，即假设不成立，即可判断④错误． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， 在与中， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ， 如图，延长交的延长线于， ， ， 点是的中点， ， ，，， ， ， ， 是斜边的中线， ， ， ，， ．故③正确； ∵ ∴， 若成立， ， ， ，， ， ， 在中，有， ， ， 显然， 假设不成立， ，故④错误， 故正确的有①②③． 10. 在中，连接，过点A作交于点E．若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据于点，可求出，再求出，进而根据平行四边形的性质求出的度数． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 二、填空题 11. 计算的结果是____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用二次根式的性质变形，再根据绝对值的性质化简即可得到结果． 【详解】解：． 12. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数为非负数． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：． 13. 若，则代数式的值是_______． 【答案】2026 【解析】 【分析】先利用完全平方公式对所求代数式配方，再代入已知条件计算，简化运算过程． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴原式． 14. 如图，，过作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；又过作且，得⋯⋯依此继续，得________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出，找出规律，进而求出的长． 【详解】解：由题意得，，， 由勾股定理得， 以此类推，， ． 15. 如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 【答案】2.4 【解析】 【分析】根据题意可知梯子、墙面与地面构成直角三角形，已知斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理即可求出另一条直角边的长度． 【详解】解：由题意可知，梯子、墙面与地面构成直角三角形，且斜边长为 ，一条直角边长为 ， 根据勾股定理，得梯子顶端到地面的距离为：． 故答案为：2.4． 16. 现有四块正方形纸片，其面积分别是4，6，8，10，从中选取三块按图所示的方式组成图案．若要使所围成的三角形是直角三角形，则要选取的三块纸片的面积分别是_____． 【答案】4，6，10 【解析】 【分析】根据勾股定理，直角三角形中两直角边的平方等于斜边的平方，即2个小正方形的面积等于大正方形的面积，据此分析判断即可 【详解】解：∵要使围成的三角形是直角三角形， ∴2个小正方形的面积等于大正方形的面积， ∵， 即选取的三块纸片的面积分别是4，6，10． 17. 如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，由矩形性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 18. 如图，在正方形中，，以A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，连接，以A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点G，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，，则可求出的长，进而得到的长，证明四边形是矩形， 得到，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在中，由勾股定理得， 由作图方法可得； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 三、解答题（共66分） 19. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 20. 已知x、y为实数，且，求的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴， ∵， ∴原式． 21. 已知实数a，b，c满足．若以，，为边长，能否构成三角形？若能，请求出该三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】能构成三角形，三角形面积为 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系及勾股定理的逆定理，能根据题意判断出三角形是直角三角形是解题的关键． 直接根据非负数的性质求出，，的值即可；根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：、、满足， ，，， ，，； 三边能构成三角形，理由如下： ，，， ，，， ， 、、为边能构成三角形，此三角形是直角三角形， 三角形的面积． 22. 对于任意的正数m，n，定义运算“”： （1）计算的结果； （2）计算的结果． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据公式直接代入计算即可； （2）根据公式直接代入计算 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 ，， ． 23. 如图：在菱形中，，过点作于点，交于点，点为的中点，若，求的长． 【答案】的长为． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、含角的直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识．由菱形的性质得，，再证，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，得，然后证，即可解决问题． 【详解】解：四边形为菱形， ∴，， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 即的长为． 24. 如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． （1）若，，则图阴影部分的面积是______； （2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （）由题意得：，图中是梯形，求出面积，根据，得出，从而有，再根据阴影部分面积为即可求解. 【小问1详解】 解：阴影部分的面积是； 【小问2详解】 解：由题意得：，图中是梯形， ∵，，高， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 两式相加得：， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分面积为． 25. 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简． （2）化简． （3）化简：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干中方法进行分母有理化即可； （2）根据题干中方法进行分母有理化即可； （3）根据题干中方法进行分母有理化，再进行二次根式的加减法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 26. 如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且． （1）求的度数； （2）若直线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的80米（包含80米），求被监控到的道路长度为多少？ 【答案】（1） （2）被监控到的道路长度为米 【解析】 【分析】（1）根据题目易得，，由勾股定理求出的长度,然后由勾股定理的逆定理即可求解； （2）过D作，由轴对称的性质，得到,最后可根据勾股定理求解． 本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，正确利用勾股定理是解题关键． 【小问1详解】 解：连接， ，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过D作，然后作点A关于的对称点F，连接，如图 ∴，， 由（1）：， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 在中，有， ∴， ∴， ∴被监控到的道路长度为米． 27. 数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： 【操作探究】 （1）如图1，为等边三角形，将绕点A旋转得到，连接，F是的中点，连接，图1中与的数量关系是 ；图1中的角有 个． 【迁移探究】 （2）如图2，将等边绕点A逆时针旋转，得到，连接，F是的中点，连接，探究与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，求线段的长． 【答案】（1）；4 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形、等腰直角三角形的性质，图形旋转的性质以及直角三角形的相关性质，解题的关键是利用旋转前后图形的全等性和特殊性，结合中点、角度关系推导线段关系． （1）由等边三角形旋转的性质，得，F是中点，故是的中位线，因此．通过角度计算，得出均为，共4个． （2）根据等边三角形旋转的性质，得，，则是等腰直角三角形．F是中点，故为等腰直角三角形，由勾股定理得，又因，所以． （3）在等腰直角中，由，得．结合 ，算出 ，因F是中点且，故． 【详解】解：（1）∵为等边三角形，将绕点A旋转，得到， ∴，且点在同一条直线上． ∵F是的中点，则是的中位线， ∴．且， ∵ 则， 又 ∴， ∴，， 由知，， ∴图1中的角有4个． 故答案为：；4． （2），理由如下： 如图所示： 等边绕点逆时针旋转，得到， ，，， ， ， 为中点，，则， 是等腰直角三角形， ， ； （3）如图所示： ∵则 ∵ ∴，则， ，， ； 的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级数学期中素养评价 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 1，2，3 2. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 7 5. 如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，等腰中，，，将沿其底边平移得到，与相交于点，，则平移前后两三角形重叠部分的周长为（） A. B. C. D. 5 7. 如图，五边形是正五边形，且．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，对角线，交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ①②③ 10. 在中，连接，过点A作交于点E．若且，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 计算的结果是____． 12. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 13. 若，则代数式的值是_______． 14. 如图，，过作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；又过作且，得⋯⋯依此继续，得________． 15. 如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 16. 现有四块正方形纸片，其面积分别是4，6，8，10，从中选取三块按图所示的方式组成图案．若要使所围成的三角形是直角三角形，则要选取的三块纸片的面积分别是_____． 17. 如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求________ ． 18. 如图，在正方形中，，以A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，连接，以A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点G，则的长为______． 三、解答题（共66分） 19. 计算 （1）； （2） 20. 已知x、y为实数，且，求的值． 21. 已知实数a，b，c满足．若以，，为边长，能否构成三角形？若能，请求出该三角形的面积；若不能，请说明理由． 22. 对于任意的正数m，n，定义运算“”： （1）计算的结果； （2）计算的结果． 23. 如图：在菱形中，，过点作于点，交于点，点为的中点，若，求的长． 24. 如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． （1）若，，则图阴影部分的面积是______； （2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是______． 25. 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简． （2）化简． （3）化简：． 26. 如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且． （1）求的度数； （2）若直线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的80米（包含80米），求被监控到的道路长度为多少？ 27. 数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： 【操作探究】 （1）如图1，为等边三角形，将绕点A旋转得到，连接，F是的中点，连接，图1中与的数量关系是 ；图1中的角有 个． 【迁移探究】 （2）如图2，将等边绕点A逆时针旋转，得到，连接，F是的中点，连接，探究与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $