河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期卓越班5月阶段性考试数学试题

**基本信息** 聚焦函数、数列、导数等核心知识，融入无人快递车投放、创业贷款等真实情境，通过统计回归、导数极值证明等综合题，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|函数单调性、等比数列、实际还款计算|基础概念与简单应用结合，如第4题创业贷款考查数列实际应用| |多选题|3题/15分|导数应用、数列前n项和|选项分层设计，如第11题函数零点与切线综合判断| |填空题|3题/15分|数列最值、不等式有解问题|注重抽象思维，如第14题函数零点与代数式取值范围| |解答题|5题/50分|统计列联表与回归模型、数列证明与求和、导数极值证明|突出综合应用，如第15题无人快递车投放结合统计与回归模型选择，第18题导数极值点讨论与证明，体现数据观念与推理能力|

卓越班阶段性考试三数学参考答案 1.B2.B 3.B4.A 5.D数列呈周期性，1,2,0,1,1,2,0,1，…，周期为4， 6.Dy=x2的导数y'=2x,y=e2+a的导数为y'=2e2x+a, 设与曲线y=e2x+a相切的切点为m,n),y=x2相切的切点为s,t), 则有公共切线斜率为25=2c2m0=-”，又t=,1=e2m*0,即有 s-m 2即as=a号亚有m0m s-m 则有e2m+a=s,即为a=lns-s-1s>0),恰好存在两条公切线，即s有两解， 令川=r--1川x>01,则了到=1=生，自恰好存在两张公切 线可得y=a与y=f(x)有两个交点，可得a的范围是a<-2,故选：D. 7.C令g(x)=xf(x)-x,依题意，g'(x)=f'(x)+f(x)-1>0 :函数g(x)在R上单调递增.对x∈R,不等efe-af(ax)>e-ax 恒成立，→ef(e）-e>af(ax)-ax,即g(e）>gax),e>ax. 参变分离：当x=0时；当x>0时，得.a<e;当x<0时，得a≥0综上，a 的取值范围是[0，e). 8.B由点B(x2,y2)在曲线y=e-2+a上，知点B(y2,x2)在其反函数 y=lnx-@+2上，相当于y=ex-2+a上的点Ax,y)到曲线 y=ln(x-a+2上点B(y2,x)的距离，da=d=Vx-y2)}2+(x2-y) 利用反函数性质可得y=e-2+a与y=ln(x-a+2关于y=x对称， 第1页，共2页 当AB,与y=x垂直时，d4B=d4B取得最小值为2，因此A, B,两点到y=x的距离都为1.过点B作切线平行于直线y=,斜率为1， 由y=n(x-a+2,得y'=1=1,可得x=a+1,所以 x-a y=lna+1-a+2=2,即B,a+1,2),点B,到y=x的距离 d-la+-2-1,解得a=1±V2当a=1-2时， y=ln(x-a+2=lnx-1+V2)+2与y=x相交，不合题意； 当a=1+V2时，y=ln(x-a+2=n(x-1-2)+2与y=x不相交，符合 题意.综上，a=1+√2， 9.BD 10.BCD 11.ACD 9 n2 n2 12. 8 2,c1c,=+-2m-n2+2n+1 2n+1 2n+1 当n=l,2时cn1-Cn>0,当n≥3时，Cn+1-Cn<0，,则C最大，则 n 9 a, 13.3o血f到sg(,得三+2r≤2m-.显然x>0: 所以2m≥ 0+2x+nr=e23--(-2r-lnx在(0，+o有解， 令1=-2x-lnx,则t∈R,所以2m≥1，则m≥】，即m的取值范围为 答案第1页，共2页 14.（5,3+©函数y=f(x和y=a有四个不同的交点，如图所示： y=f(x) y-a 由图知，1<a≤e, X1-1x20 x3 x4 设x,2为方程e+=a的两根，即x2+2x+1-lna=0的两根， 所以xx,=1-na,设x,x4为方程x+4-3=a的两根，即 x2-（3+a)x+4=0的两根，所以x3+x4=3+a,所以 xx2+x3+x=1-Ina+3+a=4+a-Ina, 令ga)=4+a-lna,ae1,el,ga)=1-1-a-l>0,所以ga)在(1，e上 aa 单调递增，所以g（a)=4+a-lna,a∈(1，e的值域为5,3+e, 即xx2+x3+x4的取值范围为(5,3+e. n(ad-be)2 15.(1)(a(c+d)(a+e)(b+d) 200×(12×52-108×28)2 160×40×80×120 -孕=18.75>6.635，有99%的把握认为故障与维保有关. (2)y关于x的回归方程为)=2·10.4x。 16.()a,-是以号为首项，以为公比的等比数列. a-1=r=寸所a1 第1页，共2页 2)由1)知0n=1-2m,b2三，—=3”y 3n+1 则 飞1g1g 3 weN1>0,工-对 又数列{1 }单调递减，则数列{T}单调递增，则 3+1-1 32 9 Tn≥T= (3-1)32-1)16 所以≤T< 9 3 16 4 17.(1)数列{an}的通项公式为an=n,数列{bn}的通项公式为b,=2”. 1 2》3a,-l03a4-+(-1oe4,3m-13n+2+-lm. 111 1 又因为3n-1)(3m+2-33n-13+2)” 1} 所以{3n-13n+2） 的前n项和 1）-11=m 3n-13n+269n+66n+4 答案第1页，共2页 记《-1)”n的前n项和为Gn, 当n为偶数时，G.=(-1+2到+-3+4到++(-n+1m川=： 当n为奇数时，G,=G,1+(-1°n=” n+1 -n= 2 2 ”+ n （n为偶数)， 综上：Tn= 2 6n+4 n+1, n 2 （n为奇数). 6n+4 18.(1)曲线y=f(x在1，f(1)处的切线方程为y=-1. (2)(i)fx)=x+a-3nx,求导 fx)=1-0-3_x2-3x-a x2 x x2 因为∫(x)有两个极值点，所以x2-3x-a=0在(0，+o)上有两个不相等的根， △=9+4a>0, 又x+x2=3,则只需要 <a<0, xx2=-a>0, 解得、9 9 所以实数a的取值范围为 <a<0 4 (ii)因为x,<x2,且X是方程x2-3x-a=0的根， 所以0-- 则x1f(x1)=x1(x1+是-3Inx1)=X+a-3x1lhx1=2x子-3x1-3x1hx1' 则g(x)=4x-3Inx-6, 3 令h(x)=g'(x),则(x)=4-是，令h'(x)=0,解得x=, 4 第1页，共2页 因为在0， 上单调递增，且h()=0, 所以函g0上单减。在 4'2 上单调递增， 又g(e-2)=4e-2>0,g()=-3-3lm<0,g(号)=-31n2<0, 所以妇，∈(e2)使得函数g(x)在(0，o)上单调递增，在 X02 上单调递减， 且4x0-31nx-6=0, 故函数gx)的最大值为 g(xo)=2x6-3x-3xlnx0=2x6-3x-x(4x-6)=-2x8+3x0=-2(x0-星)+号<号， 9 即xf()8得证 19.(1)当a=0时，f(x)在(0，+∞)单调递增，在(-o,0)单调递减； 当-1<a<0时，f(x)在 -1+V1-a2-1-v1-a 上单调递增，在 a 上单调递减； 当a≤-1时，f(x)在R上单调递减 (2)由(1)知当a=-1时，f(x)在(-oo,+o∞)上单调递减 当x>0时，f(x<f(0),.ln(1+x2)-x<0,即In(1+x2)<x. ++-宁字++动 *2西-传，-1 答案第1页，共2页 +)+-+小e 第1页，共2页 2026年春期高二卓越班阶段性考试三数学试卷 一、单选题 1.已知函数 在区间(1，2)上单调递减，则a的取值范围是( ) A. (-∞,1]　B. (-∞,-4]　　C. (-4,1]　　D. [-4,1) 2.已知数列{an}为等比数列，a3，a11是方程 的两个实数根，则 A. ±2 B.2 C. 4 D. ±4 3.等差数列{an}的前n项和为 Sn，已知 则数列 的前20项和为( ) A. B. C. D. 4.2025届毕业生小张向银行贷款200000元用于自主创业，并跟银行约定按照“等额本金还款法”分10年进行还贷，贷款的年利率为5%，则小张第3年的还款金额为( ) A. 2.8万元 B. 2.7万元 C. 2.6万元 D. 2.5万元 5.数列{an}中,则数列{an}的前2026项和 A. 4052 B. 4054 C. 2026 D. 2027 6.已知曲线 与 恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围( ) A. (-2,+∞) B. [-2,+∞) c. (-∞,-2] D. (-∞,-2) 7.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为，不等式x+f(x)>1恒成立，若对∀x∈R，不等式( 恒成立，则a的取值范围为( ) A . (-∞,e) B. (e,+∞) C. [0,e) D. 8.已知点A(x₁,y₁), B(x₂,y₂),定义 为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线 上，且dAB的最小值为2，则实数a的值为( ) A. B. C. D. 二、多选题 9.下列命题正确的有( ) A.已知函数f(x)在R上可导,若,则 B.已知函数f(x)= ln(2x+1), 若 则 C. D.设函数f(x)的导函数为,且 ，则 10.已知数列{an},{bn}的前n项和分别为 Sn, Tn,且满足 则下列结论正确的是( ) A. B. S₅+T₅ = 8 C. 是等差数列 D. 11.已知函数 下列说法正确的是( ) A. f(x)有3个零点 B. f(x)的图象关于点(1,12)对称 C. f(x)既有极大值又有极小值 D.经过点(2，0)且与f(x)的图象相切的直线有3条 三、填空题 12.已知数列{an}满足 则的最大值为 . 13.已知函数 若关于x的不等式f(x)≤xg(x)有解，则 m的取值范围是 . 14.设函数 若y=f(x) a有四个不同的零点，从小到大依次为x1, x2, x3, x4,则 的取值范围为 . 四、解答题 15.某车企计划在A 市优化无人快递车的投放量，为测试运行稳定性，并确定投放规模，进行如下调查. (1)为了测试无人快递车的运行稳定性，随机抽取了200辆进行运行测试，得到部分数据，请完成2×2列联表，并回答：有99%的把握认为无人快递车故障与是否维保有关吗? 维保 未维保 合计 故障 12 40 未故障 合计 120 200 (2)对过去的投放量x (单位：百辆)与服务次数y (单位：万次)的数据进行了统计，得到如下表格： x 1 2 3 4 5 6 7 y 5 13 32 79 200 501 1259 拟用函数模型y=a+bx或 对两个变量的关系进行拟合.请问哪个模型更适宜作为投放量x与服务次数y的回归方程模型(给出判断即可，不必说明理由)?并求出y关于x的回归方程. 参考数据： 16.已知数列 的前n项和为 Sn，且 (1)证明 是等比数列，并求 的通项公式； (2)已知 求数列 的前n项和 Tn，并证明： 17.已知{an}是等差数列，其前n项和为 是等比数列，已知 是a4和b4的等比中项。 (1)求 和 的通项公式； (2)求数列 的前n项和 Tn. 18.已知函数 (1)当a= 2时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程; (2)若f(x)有两个极值点 (i)求实数a的取值范围；(ii)证明： 19.已知函数 (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明: 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $