专题6 教考衔接5 圆锥曲线的第三定义和垂径定理-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

教考衔接51 圆锥曲线的第三定义和垂径定理 》考情分析 圆锥曲线的第三定义和垂径定理是高考的热点问题，体现了高考试题与教材习题的紧密联系，一般以小题 的形式命题，难度中等或偏上· 热点分类》考向探究 考向1圆锥曲线的第三定义 于点M,且它们的斜率之积是号，试求点M的 [教材母题1]（人教A版选择性必修第一册 轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的 P108例3)如图，设A,B 形状 两点的坐标分别为（一5， 0),(5,0).直线AM,BM 听课记录 相交于点M,且它们的斜 率之积是一 求点M的轨迹方程， 听课记录 儿链接真题](2022·全国甲卷理)椭圆C:。 十 =1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均 y2 [教材母题2]（人教A版选择性必修第一册 在C上，且关于y轴对称.若直线AP,AQ的 P121探究)如图，点A,B y M 斜率之积为日则C的离心率为 () 的坐标分别是(-5,0)， (5,0),直线AM,BM相交AOB元 2 c 1 0.3 136 2对勾讲与练·高三二轮数学 心听课记录 心听课记录 反思感悟-………… 1.圆锥曲线的第三定义 平面内动点到两定点A,(a,0),A2(-a,0)[或 A,(0,a),A2(0,-a门]的斜率乘积等于常数e2-1 的点的轨迹为椭圆或双曲线（去除不符合条件的 点).其中两定点为椭圆或双曲线的顶点.当常数大 于-1小于0时为橘圆，此时。2-1=一 于0时为双曲线，此时e-1-。 a当常数大 2.圆锥曲线第三定义的推广 平面内到两个关于原点对称的点A(m,n), B(-m,一n)的斜率乘积等于常数e2一1的点的轨 迹为椭圆或双曲线（去除不符合条件的点）.当常数 大于-1小于0时为椭圆，此时e2一1=_6 大于0时为双曲线，此时e一1= a:当常数 a 眼踪训丝0已知椭圆C:若+片-1a>6≥0 [链接真题](2022·新高考Ⅱ卷)已知直线1与 的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过 椭图写+苦=1在第一象限交于A,B两点以 原点的直线1与椭圆相交于M,N两点，记直线 与x轴、y轴分别交于M,N两点，且 PM,PN的斜率分别为kpM,kPN,当pM· |MA=|NB|,|MN|=23,则l的方程为 kpN=一 时，则椭圆方程为 4 ( 心听课记录 A后苦 =1 C.x2 41 D.4+y三 考向2垂径定理 [教材母题]（人教B版选择性必修第一册P179 、y2 4反思感悟… 复习题B组T23)设椭圆的方程为，十2一 1.椭圆的垂径定理 1(a>b>0),斜率为1的直线不经过坐标原 点O,而且与椭圆相交于A,B两点，M为线段 AB的中点.直线AB与OM能否垂直？证明 图1 图2 图3 你的结论 第一部分专题六平面解析几何 137 )如图1，在椭圆C:大 +2=1(a>b>0) ①如图1或图2，在双曲线C:名-局 中，E为弦AB的中点，则k·k=-公 a 1(a>0,b>0)中，E为弦AB的中点，则koF 2）如图2，在椭圆C:a?大 6=1(a>b>0) kAB= a 中，直线1与椭圆相切于E点，则kO·,= b 2)如图3，直线1与双曲线C:=1(a (3)如图3，直线1过坐标原点0，交椭圆C: a2+ 0,b>0)相切于E点，则k0r·k,= =1(>b>0)于A,B两点，E是椭圆上异于A, y b (3)如图4，直线1过坐标原点O,交双曲线C: B两点的动点，则kE·kAB= =1(a>0,b>0)于A,B两点，E是双曲线 y 2.双曲线的垂径定理 上异于A,B点的动点，则ke·k=名 关米米 (4)如图5，直线1交双曲线两渐近线于A,B两 点.E为线段AB的中点，则kr·大- 跟踪训练②已知直线1的斜率为1，且与双曲线 x 2 一y2=1在第一象限相切于点A,则点A的 坐标为 温馨提示》请完成教考衔接练⑤ 培优课11离心率的最值与范围问题 》考情分析 椭圆、双曲线离心率的最值与范围问题是高考的热点题型，解决方法一般有代数法与几何性质法，此类问 题综合性较强，难度较大. 热点分类》考向探究 考向1利用定义求离心率的最值（范围） 。听课记录 [例1(2025·湖北黄石二模)已知双曲线C: a =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F, y F2,过点F2的直线1与双曲线C的右支交于A, B两点，若|AF1十|BF,|=3|F,F2,则双 曲线C的离心率的取值范围是 ( 反思感悟， A.(1,3+√6] B.1,3+5 解决此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定 2 义，有时结合余弦定理或勾股定理，构造关于a,b,c 的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心 3+√5 ,3+5 D. 3+ 率自身的范围. 2 2 ,3十6 138 2对勾讲与练·高三二轮数学-8(2+k) y1+y2= 3k2+4 8(2+2k-k°) yiy:= 3k2+4 且x1y十xy1= 一24k 3k2+4 y=y1, 联立 3 十 y= -2.可得(警 y),H(3y+6-x1y1). 可求得此时HN:y一y= y1一V2 (x一x2), 3y1十6一x1-x 将(0，一2)代入整理得2(x1+x2) 6(y1+y2)+x1y2+x2y1-3y1y2 12=0, 所以24k+12k2+96+48k-24k一48 48k+24k2一36k2-48=0, 显然成立 综上，可得直线HV过定点(0，一2). 3.解：(1)因为|MF一|MF:|=2< |F1Fg|=2√I7. 所以C是以点F1,F:为左、右焦点的双 曲线的右支 设C的方程为 6 =1(a>0,b 0),则2a=2,c=√17，可得a=1,b= 17-a2=4, 所以C的方程为x一安 =1(x≥1). (②)设点T(分)，若过点T的直线的 斜率不存在，此时该直线与曲线C无公 共点，所以过点T的直线的斜率存在. 不妨设直线AB的方程为y一t= (c-）即y=6x+1-、 =k+-名 联立 消去y并整 - =1 16 理可得(k一16)x2+k1(2t一k1)x+ (-2）广°+16=0. 设点A(x1y1),B(x2y2), 由根与系数的关系可得x1十x2= ki-2kt -,)广+16 k号-16 k -16 所以|TA|·|TBI= (1+k) ,--=+ (t2+12)(1+》 k-16 设直线PQ的斜率为k,,同理可得 I TP I-I TQI= (t2+12)(1+k) k:-16 因为ITAI·|TB|=|TPI·|TQI, 所以 (t2+12)(1+k) k-16 (t+12)(1+k2) ，整理可得k?=k, k-16 即(k1一k2)(k1十：)=0，显然k1一 k2≠0，故k1十k2=0. 330红网勾讲与练·高三二轮数学 因此，直线AB与直线PQ的斜率之和 为0. 教考衔接5圆锥曲线的 第三定义和垂径定理 》热点分类·考向探究《 考向1圆锥曲线的第三定义 教材母题1解：设点M的坐标为(x,y), 因为点A的坐标是（一5,0）， y 所以直线AM的斜率kAM=r十5 （x≠一5). 同理，直线BM的斜率M=x一5 V (x≠5). 由已知， 有+5义x5 。（z≠士5)，化简，得点M的轨遗 方程为 y 25+ =1(x≠士5). 100 9 教材母题2解：设点M的坐标为(x,y), 因为点A的坐标是（一5,0），所以直线 AM的斜率kAM=十5 (x≠一5)，同 理，直线BM的斜率w=之G:子 5).由已知， 有·之 y 号（红≠士5），化简：得点M的轨迹方 程为之 y 25 100 =1(x≠±5).所以点M 的轨迹是除去(-5,0)，(5,0)两点的 双曲线. 链接真题A方法一 已知A(一a, 0),设P(xoy),则Q(-xoyo), yo yo m=十a≠a)ka=a yo (r,≠a),故kAp·ka0=十a a-zo 。=0.为 =1，即= b(a2-x6) ②，②代 a ,b2 1 入①整理得行=有，所以病心率e二 1- = a a ?散选A 方法二设椭圆C的右顶点为B,离 心率为e,由于点P,Q均在C上且关于 y轴对称，所以直线BP,AQ也关于y 轴对称，即kAP·kBP=kAP· kAQ=一 4 =e2一1，所以e2= 是即 e= S.故遮A 2 1 跟踪训练1DkPM·kPN=一 4 63 满用C后+若=10>63 0)的长轴长为4，即a=2,则b=1, 所以所求精圆方程为十少=1，故 选D 考向2垂径定理 教材母题解：不能.证明如下：斜率为 1的直线不经过原点O,而且与椭圆相 交于A,B两点， ∴.可以设直线AB的方程为y=x十 m,m≠0. 联立 a 石=1消去y得6x十 y=x a2(x+m) -a2b2=0, .(a2+b2)x2+2ma2x+m2a2 a"b =0. ,直线AB与椭圆相交于A,B两点， .△=(2ma2)2-4(a2+b2)(m2a2 ab2)=4(a‘b2+ab-m2a2b2)= 4a2b(a2+b2-m2)>0. 2 2ma 且EA 22 m -a2b2 a2+b2 ,M为线段AB的中点， ..TM= CA十xB ma 2 2 a2+b2 ma? .yM=xM十m= a2+b9 +m= mb2 a2+b2 ma mb2 假设直线OM与AB能垂直. 直线AB的斜率为1，.直线OM的 斜率为一1， a*+62 .a=b. 2 在椭圆方程士1(a>6>0〕 中，a>b, ∴.假设不正确，在椭圆中直线AB与 OM不能垂直. 链接真题x十W2y一2√2=0 解析：设A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB的中点为E,则kB·e三一之 设直线1的方程为y=kx十m,k<0, m>0M(g0）N0,m,因为 IMA|=|NB|,所以E为MN的中 点，所以E(器受），所以 ,所以一k·k三二名，解得6 √2 因为|MN|=2√3，所以 √+m=2,所以+m= 12.所以3m2=12,m>0,解得m=2. 所以直线1的方程为y= 2x+2, 即x+√2y-2√2=0. 跟踪训练2(2,1) 解析：方法一（常规解法） 因为直线 的斜率为1，所以设1：y=x十m,联立 y=x十m, 分-y=1.得x+4mx+2m+ 2三0.因为直线1与双曲线相切，所以 △=0，即16m一4(2m2+2)=0,解得 =士1. 当m =1时， =a 1, 一y1,解得 三一 当 y=x一1， m=一1时， -y2=1, 解得 2 工=2又切点A在第一象限，故点A y=1. 的坐标为(2,1) 方法二（垂径定理法） 设切，点坐标为 A(x。yo),由垂径定理得koA·:= = .又点A(xo,y0)在双曲 To 2 线上，且位于第一象限，所以 2 一y 1,y0>0,解得yo=1,则x。=2,故点 A的坐标为(2,1). 培优课11 离心率的 最值与范围问题 》热点分类·考向探究《 例1B由题意知|AF,|一|AF2|= 2a,|BF1|-|BF2|=2a,两式相加 AF+BF-(AF2+ I BF2)=4a.AF:+BF2= IABI,所以AF,+|BF1 AB I=4a.AF+BF= 3|F1F2|=6c,所以|ABI=6c 4a,当AB⊥x轴时|AB|最小，此 时1AB1=26,所以26≤6c-4a.又 2b2 b=c2-a2,所以2(c-a) ≤6c 4a,整理得2c2一6ac+2a2≤0.又离心 率e=C,所以两边同除以a2得2e2 6e+2≤0，解得 3-5 2 又双曲线的离心率e>1,所以双曲线 的高心率的取位花因是(1,3 故选B. 跟踪训练1 (1)D 因为|PF:|= 3 PF2,PF-PF2=2a, 以|PF2|=a.又|PF:I≥c-a,所 以a≥c一a,所以离心率e=≤2. 又双曲线的离心率大于1，所以1 e2.故选D. (2)C设椭圆的长轴长为2a1,双曲线 的实轴长为2ag,椭圆和双曲线的半焦 距均为c.在椭圆中满足4c2= |PF1I2+|PF2I2-PF1I· IPF2=(I PF PF2) 3|PF1I·|PF2|=4ai-3|PF1I· |PF,|,在双曲线中满足4c2= IPF,2+|PF2I2-|PF,I· IPF2= PF PF2)+ |PF1·lPFg|=4a +PFI· IPF:,消去IPF,·|PF2I,得 4c2=4a-3(4c2-4a),整理得a+ 3a:=4c,则+三=4，所以3 e 1 侵+) 4 且仅当e=弓心=号时等号成立， 1 故选C, 例2D设C的右焦点坐标为(c,0),长 轴是过C的右焦点的最长弦，当直线( 不垂直于y轴时，设直线（的方程为 (x =ty+c, =ty十c,由x2 (612+a2)y2+262cty-b=0, A(x1y1),B(x2y2),y1+y2 = -2b'ct -b 6+ay1y:=6+a 则|AB|=√/1+t· √y1+y2)-4yy=V+tF· 1-26'ct 46 b't'+a b2t2+a2 2ab(t+1) 2ab' 26 ,当 62t2+a b2十2十1 a 且仅当1=0时取等号，依题意，？≥ 解得%≤时C的离心率 2b2 a 停小D a∈ 跟踪训练2（1)A依题意，点A(一a, 0),直线1的方程为y=飞(x十a),圆 (x-c)+y°=(c-a)的圆心为(c, 0),半径为c一a,由直线1与圆(zx c)2+y2=(c一a)2相切，得 Ik(c+a) ·=c一a,设双曲线的离心 √+1 率为e, 则+=+ e-1 c-a k 2 因此1+ 1 e-√1+∈E2], 即E-1≤。二<1解得85e≤3十 2√2，所以C的离心率的取值范围是 [3,3+2√2].故选A. (2)D如图，因为F1,F,为椭圆C1: 2 a十全=1(4一b0)与双的线C 公共的左、右焦点，△MF,F,是以线段 MF1为底边的等腰三角形，且 IMF1|=2, 、M 则|MF:|=|F1F:I=2c(c>0),由 「347 椭圆C1的离心率e∈ L89,即 IFF2 2c e- I MF MF:= 2+2c [层]期[]南点 M在第一象限，得双曲线C的离心率 IFF2 2c I MF|-MF2 2-2c ∈[子这n 例3C由题可得圆半径为2a,因为 |PAI+|AF1≤3|F1F:I恒成立， 所以3|F1F:I≥(|PA十 |AF1|)mx· 由椭圆的定义，可得 I PA AF I=IPA |+2a |AF:I,如图，当P,FA三点共线 时，|PA |+2a-|AF21最大，为 |PF,+2a,又对于圆上一点P,当 P,O,F,三点共线时|PFg|最大，又 |OF。I=c,则IPF:1+2a≤ |PO|+|OF2|+2a=4a+c,即 (|PA|+|AF,I)mx=4a+c,取最值 时，P,O,F2,A四点共线，则4a十c 3FF2=6c,即4a≤5c,所以5 <1,即C的离心率e∈[1)故 选C. 正oA 跟踪训练3 (1)A 如图，因为使 △PF1F2为直角三角形的点P有8 个，所以在△OBF:中，必有 ∠OBF:>45°，即IOF2|>|OB|,所 以c>b→c2>b2,即c2>a2-c2→ 子>子可得离心华。> 2. 又椭圆 的离心率e<1,所以e∈（停，故 选A. B P (2)C 如图，设P(x,y),由|PB= 2|PA|,得√(x-1)2+y2= 2√(e+）+y,化简得x十 1)2十y2=1,即点P的轨迹是以，点 (一1,0)为圆心，1为半径的圆，则该圆 与椭圆C有3个交点， /(x+1) +y2=1, 由{x =1 消去y得(4一 4 b2)x2 +8x +4b2=0,即(x+ 2(+5)=0兰成-2是方程 的一个解，，点（一2,0）是圆与椭圆的1 2b2 个公共点，因此一 4-62 必为方程的另 一个解，则一2< b2-4 <0,解得 参考答案 331