专题4 微专题16 空间几何体的表面积和体积-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

所以cos ar= a2. a3 k=1 a2 a3 a n+1 =Q+1 an 由(1)可知，当x∈(0,1]时，f(x) x<0,即f(x)<x, 所以当a1=1,0<a3=f(a1)< a1=1, 当0<am≤1时，有0<ar1<am≤1， 又由(2)知x∈(0,1]时，cosx≤ 2 ，所以 a+=cos a≤ 2 x2+2 +2 所以 1 2十a ,故an≤ a+1 =+ 2 2 a n1 所以 ∑at ≤（层-2）+（ 2)+(层-2)+ +( 2 2 -2 a n-1 所以 ∑a4·Πcos a≤2-2a+1 跟踪训练3 解：(1)由题意可得 1b=2a, 4 4 解得 a2=3, =1 62=12, 所以双曲线C的方程为？ =1. (2)过点P(xmyn),Qn1的直线方程 为x十y=xn十ym, 联立直线与双曲线方程可得3x2+ 2(xm+yn)x-(x。+y)2-12=0, 设Qm-1(tQya)， 因为点P,(xmyn)在双曲线C上，所 以4.x7-y员=12， 则xQ·xm= -x-2xny-y-12 3 --2xny-4x -5x- 3 3 2 所以xQ 三一 3x,- 3y.'ya 8 5 3 3 故Q（ 5 +小 28 (3)证明：由题意知直线P1Q。-1的斜 率为1，设xm1=xQ十t,ym1=yQ十 t,t≠0， 因为点P(x1y)在双曲线 C 上，所以4x1一y1=12,则4x1 y1=4(xQ+t)2-(y0+t)2= 4xa+8txq+412-ya-2lyq-12= 12+81xQ-21yQ十32=12，化简可得 81x0-21y0+312=0,t≠0，故t= 8 2 、5 2 所以xm- 3 -8 - 5 3 (8 2 41 20 3 9 8 5 yo-1 3 3 3o 8-3 5 3y)=8 9+ 9., 82 所以2z-y=号，+9. 40 80 41 1 9y.=9 (2-y), 故{2xn一yn}是等比数列. 专题四 立体几何 与空间向量 微专题16空间几何体的 表面积和体积 》热点分类·考向探究《 例1(1)A如图，设截面圆的圆心为C, 截面圆的半径CD=1,底面圆半径 OB=3,PC=2. D A长6B 因为OB∥CD,所以PC CD PO BO 2 P0=3→P0=6,所以PB= 1 √/PO2+OB2=W36+9=3√5， PD=√5，所以圆台的侧面积为π(3X 35一1×√5)=8V5π.故选A. (2)C如图，若水的裁面为等腰直角 三角形，设腰长为acm, 15 cm 8 cm a2-400 则 10 =40,可得a=45> 8,不符合题意， 如图，若水的截面为直角梯形，设上底 长为bcm, 15cm 8 cm ×(26+8)×8=400 则1 10 =40,可得 b=1,符合题意，所以此时水与水瓶接 触部分的面积S=2×40+1×10+9× 10十8×10=260(cm2).故选C. 跟踪训练1(I)CS徐“=SE六检拉上成西十 SE六枝拉树面十S国拉朝西一S拉上底面=6X ×30+6×302+2x×10×30-元× 3 102=(1350W3+5400+500π)cm2 故选C, (2)B如图，设圆 锥的底面半径为r, 母线长为l,由VA 与圆锥底面所成的 角为行知1=2 “”1 又πl=2元，所以 A r=1,l=2.设VA,VB所成的角为0， 3 由cos0=号，得sin0=行，所以 △V1B的西积S=2Psn0=号× 22× 5 =5,故选B 48 例2B如图所示，由正四棱台可知 AB=4,C1D1=2,BB1=2,四边形 BDD1B1为等腰梯形，分别取上、下底 面的中心O1,O,连接O1O,则OO1⊥ 平面ABCD,过B,作B1E⊥BD,垂足为 E,B1E∥OO1,且BD=42,B1D1= 2√2，BB1=2,所以高h=OO1 BE=2-(22） =2,所 以该正四棱台的体积V=】 (4+16+8)= 28√2 故选B. 3 B 例3B因为PA⊥AC,AB⊥AC,PA, AB在平面PAB内且相交于点A,故 AC⊥平面PAB.在△PAB中，PA= AB=2,∠PBA=若，故∠PAB 红，故S△=2X2×2×sim 2π V3,故VP-ABC=VC-PAB ×2× 5= 23 3 .故选B. 例4D 如图，设A1B∩AB:=E, A1C∩DB1=E1,连接EE1, A B 四棱锥A,-ABCD与四棱锥B,-ABCD 的重叠部分为五面体ABEE1CD,又该 正方体的体积为16√2，即AB3= 16√2，解得AB=2√2，易得EE1= BC=E,所以AE= 1 2AB:-2, 得S△ABE= AEBE=2.又该五 体由一个三棱柱和一个四棱锥组成， 如图， B 故该五面体ABEE,CD的体积 VAE,m=2X2+号X22X2× 3 =2厄+ 10w2 故选D. 3 跟踪训练2(1)C 设圆锥的底面圆半 径为r,由侧面积是2π，得πr·2=2π， 解得r=1,圆锥的高h=√/2-1= 参考答案299 √3，则圆柱的高为2√3，所以该储存仓 的体积V= 3πX12X3+xX12× 1 23= 75 3 π.故选C (2)C 设，点P到平面ABC的距离为 h.因为B=2E,所以B=2B， 3 2 所以，点E到平面ABC的距离为 . 3 因为B方=2D心，所以B市=号B元，所 BD 2 以 S△ABD S△ABC BC A· 3 故VA-BDE=VE-ABD VpAB=4.故选C (3)C如图，把 几何体补全为 长方体，则 AE-AH- 24 B =1, AA1=√5，所以 该几何体的体 积为VADA,C1巴1一4VAAE=2X 2×5-4×3×2×1X1X3= 10√3 故选C 3 》真题演练·重温高老《 1.B 设圆柱和圆锥的底面半径均为r, 因为它们的高均为√3，且侧面积相等， 所以2πrX5=πr√(3)2+r2,解得 r2=9,所以圆锥的体积V= 1 √3=3√3π.故选B. 2.C 如图，因为 AD,BE,CF两 两平行，且两两 之间距 离为1，则 该五面 体可以分 A 成一个侧棱长为 1的三棱柱和一 B 个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱 的体积等于棱长均为1的直三棱柱的 体积，四棱锥的高为 3 ，底面是上底 2 为1、下底为2、高为1的梯形，故该五 面体的体积V= 1 ×1X 3 ×1+ √3 故选C. 3 2 2 3.A如图，取AB的 中点D,连接PD, CD,因为 △ABC是 边长为2的等边三角 形，PA=PB=2, 所以PD AB, D CD⊥ AB,所以B PD-CD =√5.又PC=√6，所以 PD2+CD2=PC2,所以PD⊥CD.又 AB∩CD=D,AB,CDC平面ABC, 所以PD⊥平面ABC,所以VpAC= 5PD=号×x2X× 1 3 √5=1.故选A. 300 2对闪讲与练·高三二轮数学 4 解析：两圆台的上、下底面积对应相 等，则两圆台的体积之比为高之比，根 据母线与半径的关系可得甲与乙的体 积之比为 W4(r2-r1)2-(r2-r1) /9(r2-r1)2-(r2-r1) 3 6 √⑧ 4 微专题17空间中线、 面的位置关系 》热点分类·考向探究《 例1(1)BCD对于A,若a⊥Y,3⊥Y, 则a∥3或a与B相交，故A错误；对于 B,由n∥a,设nCB,a∩B=l,则l∥ n,又lCa,m⊥&，所以m⊥，所以 m⊥n,故B正确；对于C,因为m⊥a, n⊥B,则m,n的方向向量m,n分别为 a,3的法向量，因为&⊥B,所以m n,所以m⊥n,故C正确；对于D,由 m∥a,设mCy,a∩y=l,则l∥m, 又l庄3，m∥B,所以l∥B,又lCa, a∩3=n,所以n∥l,所以m∥n,故 D正确.故选BCD. (2)BCD对于A,设正方形ABCD的 边长为2，由正四棱锥的性质可得 PO⊥平面ABCD,故PO=AA'=1, 因为A'A⊥平面ABCD,故A'O在底 面的射影为AO,又AO不与AB垂直， 故A'O不与AB垂直，故A不正确：对 于B,由PO∥AA'且PO=AA',得四 边形POA'A是平行四边形，所以 A'O∥AP,又A'O丈平面APD, APC平面APD,所以A'O∥平面 APD,故B正确；对于C,连接A'C(图 略)，因为PO∥CC'∥AA',O∈平面 CCA'A,故POC平面CC'A'A,平面 AA'P即为平面CC'A'A,因为A'A 平面ABCD,BDC平面ABCD,所以 A'A⊥BD,又因为BD⊥AC,A'A∩ AC=A,所以BD⊥平面CC'A'A,又 BDC平面BDP,所以平面BDP⊥平 面CC'A'A,即平面AA'P⊥平面 BDP,故C正确；对于D,由C可知CC 与A'P都在平面CC'A'A中且不平行， 故CC'与A'P为相交直线，故D正确」 故选BCD. 跟踪训练1(1)BC对于A,若m∥a, m∥3，则a,B可能相交，A选项错误； 对于B,若m⊥a,m⊥B,则a∥B,B选 项正确；对于C,若Y∥a,Y∥3，则 a∥B,C选项正确；对于D,若Y⊥a, y上3，则a,3可能相交，D选项错误。 故选BC (2)AC 以点D为坐标原点，DA, DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系， Z↑D C A y Ak-- B 不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0, 0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0), E(1,0,2),F(2,1,0),C1(0,2,2).对于A, EF,BC既不平行，也不相交，故EF与 BC异面，A正确：对于B,EF=(1 1,一2)，易知平面CDD1C1的一个法 向量为m=(1,0,0),则EF·m=1≠ 0,故EF与平面CDD1C1不平行，B错 误；对于C,AC=(-2,2,0),所以EF· AC=一2+2=0，故EF⊥AC,C正 确：对于D,DB=(2,2,0),所以EF· DB=2十2=4，所以EF,BD不垂直， 故BD与平面EFC,不垂直，D错误.故 选AC. 例2证明：(1)如图，设BC交BC1于点 O,连接DO, 在正三棱柱ABC-A1BC1中，BB:∥ CC1且BB,=CC,所以四边形 BB,C1C是平行四边形，则O为B,C 的中点. 因为D为AC的中点，所以OD为 △AB1C的中位线，AB1∥OD. 因为AB,庄平面C1BD,ODC平面 C1BD,所以AB1∥平面C1BD. A B B (2)如图，连接AC1,在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1∥CC1且AA1= CC1,AC=AA1,AA1⊥AC,所以四 边形ACC1A:是正方形，所以 AC C. 因为 E分别是AC,CC1的中点，所 以DE是△ACC,的中位线， 所以AC1∥DE.又因为AC,⊥A,C, 所以DE⊥AC. 因为CC,⊥平面ABC,BDC平面 ABC,所以BD⊥CC1· 在正三角形ABC中，D为AC的中点， 所以BD⊥AC. 因为CC1∩AC=C,CC1,ACC平面 ACC1A1,所以BD⊥平面ACC1A1· 因为A,CC平面ACC1A1,所以 A,C⊥BD. 因为DE⊥A1C,BD∩DE=D,BD, DEC平面BDE,所以A,C⊥平 面BDE. 因为A,CC平面A,B,C,所以平面 AB,C⊥平面BDE. 跟踪训练2证明：(1)因为AB 2CD=8,点E是线段AB的中点，所以 AE= AB=4,所以AE=CD. 2 又AE∥CD,所以四边形AECD是平 行四边形，所以CE∥AD. 又CE中平面ADD1A,,ADC平面 ADD1A1,所以CE∥平面ADD,A1, 同理，CC1∥DD1,CC1丈平面 ADD1A1,DD1C平面ADD1A1,所以 CC1∥平面ADD1A:. 又CE∩CC1=C,CE,CC1C平面 CC1E,所以平面CC,E ∥平 面ADD1A1. (2)如图，作CF⊥EB,垂足为F. D B-W> 专题四 立体几何与空间向量 五年高考真题分布(2021一2025) 线线平行(2025·全国一卷9) (2025·全国二卷17： 线面平行 2023·全国乙卷理.19： 平行 2022·新高考Ⅱ卷·20) 面面平行 (2022·全国乙卷理·7) (2024北京卷·8： 2022.全国乙卷理.9) 几何体的高 点 (2022·全国甲卷理18： 2021·新高考I卷·20： 线线垂直 (2021·新高考1卷·3) 圆锥的母线长 空间 2021·新高考Ⅱ卷·10： 2021·全国甲卷理.19) 几何 (2023.全国甲卷文·16) 球的半径的 体的 范围 结构 位置关系 垂直 线面垂直 (2025·全国一卷.9) 正方体内含 2023·新课标I卷·12) (2025·全国一卷.17： 空间几何体 面面垂直 2022·全国乙卷理·18) 空 几何 (2024·新课标Ⅱ卷·7： (2024·新课标I卷·5： 柱体、锥体 几 法求 2024·全国甲卷理.19： 2023·新课标Ⅱ卷.9) 空间 几何 角和 2023·全国乙卷理.9： 体 的 距离 2022·新高考1卷9) 四棱锥的某一 体的 (2023·全国甲卷理·11) 表面 侧面的面积 构 积或 体 侧面 表 面 异面直线 (2025·全国一卷17 (2022·新高考Ⅱ卷.7) 球 积 积和 2022·新高考I卷.9： 与 所成角 2021·全国乙卷理5) 积 (2021·浙江卷·4) 柱体 (2023·全国乙卷理.9： 空间 量 2023·全国甲卷理.18： (2023·全国乙卷理·8：2022·新高考I卷·8： 几何 线面角 锥体 2022·全国乙卷理18： 2022·新高考Ⅱ卷·11：2022·全国甲卷理·9) 体的 求空 2022·全国甲卷理.18) 体积 间角 (2024·全国甲卷理·14：2023·新课标I卷·14： 2023·新课标Ⅱ卷14：2021·新高考Ⅱ卷5) 台体 空 (2025·全国二卷17： 2024·新课标1卷17： 向 2024·全国甲卷理.19： 2023·新课标Ⅱ卷·20： (2022·新高考I卷·8：2022·新高考Ⅱ卷·7) 球的外 接问题 及其 二面角 2023·新课标I卷·18： 球的 用 2022·新高考1卷.19： 切、 2022·新高考Ⅱ卷·20 (2025·全国二卷·14) 接问 2021·全国甲卷理·19： 球的外切问题 题 2021·新高考Ⅱ卷·19) 球的切 问题 (2023·全国甲卷理·15) 球与正方体的 求空间点面距离 (2022·新高考1卷·19) 棱相切 立体几何中的翻折问题 (2024·新课标Ⅱ卷·17) 076 2对勾讲与练·高三二轮数学 微专题16 空间几何体的表面积和体积 >考情分析 空间几何体的表面积和体积是高考考查的重点内容，常以选择题、填空题为主，要求考生要有较强的空间 想象能力和计算能力，难度为中低档. 主干整合》核心提炼 1.柱体、锥体、台体和球的表面积公式 2.柱体、锥体、台体和球的体积公式 (1)若圆柱的底面半径为r,母线长为1， (1)V柱体=Sh(S为底面面积，h为高). 则S侧=2元rl,S表=2元r(r十1)， (2)V维体= (2)若圆锥的底面半径为r,母线长为1， 3Sh(S为底面面积，h为高). 则S侧=元rl,S表=元r(r十l). 1 (3)V台#=3(SL+Sr+√SESF)h(SE5r (3)若圆台的上、下底面半径分别为r',r, 则S侧=元(r+r')l,S表=π(r2+r2+r'1十rl) 分别为上、下底面面积，h为高). (4)V=号xR(R为球的半径)】 4 (4)若球的半径为R,则它的表面积S=4πR 热点分类》考向探究 4反思感悟---------- 考向1几何体的侧面积、表面积 求几何体的表面积的方法 [例1(1)(2025·广东深圳三模)底面半径为3的 1.求几何体的表面积问题的基本思路是将立体 圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面 几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化， 半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为 这是解决立体几何表面积问题的主要出发点. 2.求不规则几何体的表面积时，通常将所给几 何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台 A.85π B.9√5π 体的表面积，再通过求和或作差得到不规则几何体 C.35π D.16元 的表面积 (2)(2025·黑龙江佳木斯三模)一个长方体水 瓶的长、宽、高分别为10cm,8cm,15cm,内部 跟踪训练①(1)如图，某柱桩的 装有400毫升水.将水瓶倾斜，使其一条长边 底座由一个正六棱柱中间挖 掉一个圆柱构成.已知该正六 (10cm)置于水平地面，高边(15cm)所在直线 棱柱每个侧面都是边长为30 与水平地面成45度角，则此时水与水瓶接触部 cm的正方形，所挖掉的圆柱的底面半径为10 分的面积为 ( cm.为了延长底座的使用时长，需将底座地面 A.180cm2 B.220cm2 之上的部分（除与地面直接接触的底面之外的 C.260 cm2 D.300 cm2 表面)涂上防氧化层，则涂层的总面积为 心听课记录 A.(2700√3+5400+500π)cm B.(2700√3+5400+400π)cm C.(1350√3+5400+500π)cm2 D.(1350√3+5400+400π)cm (2)(2025·河南安阳三模)已知圆锥的顶点为 V,母线VA,VB所成角的余弦值为，VA与圆 第一部分专题四立体几何与空间向量 077 锥底面所成的角为5：若圆锥的侧面积为2x。 心听课记录 则△VAB的面积为 ( A号 B C.8/3 16 D.5 考向2几何体的体积 角度1公式法求体积 [例2(2025·广东揭阳二模)已知在正四棱台 4反思感悟…… 求空间几何体体积的常用方法 ABCD-ABCD1中，AB1=AA,=2AB= 公式法 直接根据相关的体积公式计算 2,则正四棱台ABCD-A1B1C,D1的体积为 根据体积公式计算，通过转换空间几何 ( 等体积法 体的底面和高使得体积计算更容易，或 56 . B. 8√2 C.56 D.28√2 是求出一些体积比 3 把不能直接计算体积的空间几何体进 心听课记录 割补法 行适当分割或补形，转化为易计算体积 的空间几何体 跟踪训练2(1)(2025·河北秦皇岛 二模)如图，某工厂储存原料的储 存仓是由圆柱和圆锥构成的，若圆 柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的 角度2等体积法求体积 母线长是2，侧面积是2π，则该储存 [例3(2025·山东聊城模拟)如图， 仓的体积为 三棱锥P-ABC中，∠PAC= ∠CAB=∠PBA=吾，PA A 3元 B43 3π 2 AC=AB=2,则三棱锥P-ABC C. 3 D.23π 的体积为 ( 23 (2)(2025·内蒙古赤峰三模)在体积为9的三 B 3 C. 0. 棱锥P-ABC中，BD=2DC,BE=2EP,则三棱 锥A-BDE的体积为 () 听课记录 A.6 B.5 C.4 D.3 (3)(2025·重庆南岸区二 模)如图，该几何体为“四角 反棱台”，它是由两个相互平 行的正方形经过旋转、连接 而成，且上底面正方形的四 A 角度3割补法求体积 个顶点在下底面的射影为下底面正方形各边的 [例4(2025·天津和平区二模)已知正方体 中点.若下底面正方形的边长为2，“四角反棱 ABCD-A1BC,D1的体积为162，则四棱锥 台”的高为√3，则该几何体的体积为() A1ABCD与四棱锥B1-ABCD重叠部分的体 积是 ( A25+青丙 A.√2 B.2√2 C8② D10② C.103 D.20 3 3 3 078 2对勾讲与练·高三二轮数学 真题演练》重温高考 1.(2024·新课标I卷)已知圆柱和圆锥的底面 B1 半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√3，则 6 4+2 圆锥的体积为 n-日 A.2√3πB.3√3πC.6W3π D.9√5π 2.(2024·天津卷)在如图所示的五面体中，棱 3.(2023·全国甲卷文)在三棱锥P-ABC中， AD,BE,CF互相平行，且两两之间的距离均 △ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB= 为1.若AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的 2,PC=√6，则该棱锥的体积为 () 体积为 () A.1 B.3 C.2 D.3 4.(2024·全国甲卷理)已知圆台甲、乙的上底面 半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台甲、乙的 母线长分别为2(r2-r1),3(r2-r1),则圆台甲 与乙的体积之比为 温馨提示》请完成课时作业16 微专题17空间中线、面的位置关系 》考情分析 1.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，属基 础题 2.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第(1)问. 主干整合》核心提炼 1.直线、平面平行的判定及其性质 3.用向量证明空间中的平行关系 (1)线面平行的判定定理：a￠a,bCa,a∥ (1)设直线11和l2的方向向量分别为v1和2， b→a∥a. 则11∥l2或l1与L2重合台v1∥v2. (2)线面平行的性质定理：a∥a,aCB,a∩ (2)设直线1的方向向量为v,在平面a内有两 B=b→a∥b. 个不共线向量v1和v2,则l∥a或lCa台存在 (3)面面平行的判定定理：aCβ，bC3,a∩ 两个实数xy,使v=xv1十yv2 b=P,a∥a,b∥a→a∥B. (3)设直线L的方向向量为v,平面a的法向量 (4)面面平行的性质定理：a∥3，a∩Y=a, 为u,则l∥a或lCa台v⊥u台v·u=0 B∩y=b→a∥b. (4)设平面a和B的法向量分别为u1,u2,则 2.直线、平面垂直的判定及其性质 a∥B或a与B重合台u1∥u2: (1)线面垂直的判定定理：mCa,nCa,m∩ 4.用向量证明空间中的垂直关系 n=P,l⊥m,l⊥n→l⊥a. (1)设直线11和12的方向向量分别为v1和v2, (2)线面垂直的性质定理：a⊥a,b⊥a→ 则l1⊥l2台v1⊥v2台v1·v2=0. a∥b. (2)设直线L的方向向量为v,平面a的法向量 (3)面面垂直的判定定理：aC3,a上a→ 为u,则l⊥a台v∥u. a⊥β. (3)设平面a和3的法向量分别为u1和u2,则 (4)面面垂直的性质定理：a⊥B,a∩β=l,aC a⊥β台u1⊥u2白9u1·u2=0. a,a⊥l→a⊥B. 第一部分专题四立体几何与空间向量 079