9 微专题(5) 离心率的范围问题-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

微专题(五)　离心率的范围问题 圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁． 　利用圆锥曲线的定义求离心率的范围 　(1)( 2025·三亚模拟)已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，若过原点的直线与椭圆交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A.　　　　B. C. D. 【解析】　设椭圆左、右焦点分别为F1，F，连接F1A，F1B， 由椭圆及直线的对称性知，四边形AFBF1 为平行四边形， 且∠AFB＝120°，∠FAF1＝60°， 在△AFF1中， |FF1|2＝|AF|2＋|AF1|2－2|AF|·|AF1|cos∠FAF1 ＝(|AF|＋|AF1|)2－3|AF|·|AF1|， ∴(|AF|＋|AF1|)2－|FF1|2＝3|AF|·|AF1| ≤3()2， 当且仅当|AF|＝|AF1|时等号成立， 可得(|AF|＋|AF1|)2≤|FF1|2， 即a2≤4c2，则e＝≥， 又∵椭圆的离心率e∈(0,1)， ∴椭圆的离心率e∈. 【答案】　C (2)( 2025·咸宁模拟)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝24，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则3e1e2的取值范围是(　　) A．(，＋∞) B．(1，＋∞) C．(，＋∞) D．(，＋∞) 【解析】　设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2， |PF1|＝r1，|PF2|＝r2， ∵△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，点P在第一象限， ∴|PF2|＝|F1F2|，|PF1|>|PF2|， |PF2|＋|F1F2|>|PF1|， 即r1＝24，r2＝2c，且r1>r2,2r2>r1， ∴2c<24,4c>24，解得6<c<12. 在双曲线中，|PF1|－|PF2|＝2a2， ∴e2＝＝＝ ＝＝； 在椭圆中，|PF1|＋|PF2|＝2a1， ∴e1＝＝＝ ＝＝， ∴e1e2＝·＝， ∵6<c<12， ∴36<c2<144，则1<<4， ∴0<－1<3， 可得>， ∴3e1e2的取值范围为(1，＋∞)． 【答案】　B 【规律方法】　此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围． [跟踪训练] 1．(2025·亳州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C与直线y＝x有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则双曲线离心率的取值范围为　(，2)　. 解析：双曲线C与直线y＝x有交点， 则>1，＝>1， 解得e＝>， 双曲线上存在不是顶点的P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则P点在双曲线右支上， 设PF1与y轴交于点Q， 由对称性得|QF1|＝|QF2|， 所以∠QF1F2＝∠QF2F1， 所以∠PF2Q＝∠PF2F1－∠QF2F1 ＝2∠PF1F2＝∠PQF2， 所以|PQ|＝|PF2|， 所以|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PQ|＝|QF1|＝2a， 由|QF1|>|OF1|得2a>c， 所以e＝<2， 又在△PF1F2中， ∠PF1F2＋∠PF2F1＝4∠PF1F2<180°， ∠PF1F2<45°， 所以＝cos∠PF1F2>， 即e＝>， 综上，<e<2. 　利用圆锥曲线的性质求离心率的范围 　(1)( 2025·张掖模拟)若椭圆E：x2＋＝1(0<m<1)上存在点P，满足|OP|＝m(O为坐标原点)，则E的离心率的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【解析】　设椭圆E的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c， 由题意知a＝1，b＝，c＝m， 椭圆E上存在点P满足|OP|＝m，等价于以O为原点，以c为半径的圆与椭圆有交点，得c≥b， 所以c2≥b2＝a2－c2， 解得≥， 所以e＝≥.又0<e<1， 所以E的离心率的取值范围为. 【答案】　D (2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P，使＝，则该双曲线的离心率的取值范围为(　　) A．(1,1＋) B．(1,1＋) C．(1,1＋ ] D．(1,1＋ ] 【解析】　若点P是双曲线的顶点，＝无意义，故点P不是双曲线的顶点，在△PF1F2中，由正弦定理得＝， 又＝，∴＝，即|PF1|＝·|PF2|，∴P在双曲线的右支上， 由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a， ∴|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝， 由双曲线的几何性质，知|PF2|>c－a，∴>c－a，即c2－2ac－a2<0， ∴e2－2e－1<0，解得－＋1<e<＋1，又e>1， ∴双曲线离心率的取值范围是(1,1＋)． 【答案】　A 【规律方法】　利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解． [跟踪训练] 2．设M是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，P是C上的一个动点．当P运动到下顶点时，|PM|取得最大值，则C的离心率的取值范围是(　B　) A. B. C. D. 解析：设P(x0，y0)，M(0，b)， 因为＋＝1，a2＝b2＋c2， 所以|PM|2＝x＋(y0－b)2 ＝a2＋(y0－b)2 ＝－2＋＋a2＋b2，－b≤y0≤b， 由题意知，当y0＝－b时，|PM|2取得最大值， 所以－≤－b，可得a2≥2c2， 即e2≤，则0<e≤. 　利用几何图形的性质求离心率的范围 　　(1)( 2025·榆林模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线一条渐近线于P，Q两点，若cos∠PAQ≥－，则该双曲线离心率的取值范围是(　　) A．(1， ] B. C. D. 【解析】　以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2， 双曲线C的一条渐近线方程为y＝x， 由 解得(不妨设)P(a，b)，Q(－a，－b)，A(－a,0)， 所以＝(2a，b)，＝(0，－b)， 所以cos∠PAQ＝ ＝ ＝－≥－， 整理得25b2≤36a2＋9b2，即4b2≤9a2，≤， 所以双曲线的离心率1<e＝＝＝≤. 【答案】　B (2)( 2025·无锡模拟)已知点P在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，P到两渐近线的距离分别为d1，d2，若d1d2≤|OP|2恒成立，则C的离心率的最大值为(　　) A. B. C．2 D. 【解析】　双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0， 设双曲线上的点P(x0，y0)， 所以－＝1，即b2x－a2y＝a2b2， 则P(x0，y0)到两条渐近线bx±ay＝0的距离分别为d1＝， d2＝， 所以d1d2＝＝， 又|OP|2＝x＋y＝a2＋y＋y ＝a2＋(＋1)y，y0∈R， 所以|OP|2≥a2， 因为d1d2≤|OP|2恒成立， 所以≤a2， 整理得b2≤a2，即≤1， 所以离心率e＝＝＝≤， 则C的离心率的最大值为. 【答案】　A 【规律方法】　利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系． [跟踪训练] 3．(2025·成都模拟)已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且∠F1PF2＝，设∠PF1F2＝θ，当双曲线C的离心率范围为(，)时，θ的取值范围为(　B　) A. B. C. D. 解析：在△F1PF2中，由e＝＝ ＝ ＝ ＝ ＝·. 因为e∈(，)，所以cos(＋θ)∈(，)，所以＋θ∈(，)， 所以θ的取值范围为(，)． 学科网（北京）股份有限公司 $