专题2 微专题11 解三角形-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

微专题11 解三角形 》考情分析 正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查与三角形有关的边、角、面积、周长等的 计算. 主干整合》核心提炼 1.正弦定理 且a,b,c边上的高分别为h。,hb,h 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, inC-7acsn月-snA. 则a sinA-sinB=sinC=2R(R为△ABC的 b 1 1 1 (2)S= 外接圆半径). ah。=zh,=2chcr 变形：a=2 R sin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C, 4.解三角形实际问题的步骤 snA=示snB=0inC=Ra:c b 理解题意，分析已知与未知，画出示意 分析 图 sinA:sinB:sinC等. 根据已知条件与求解目标，把已知量与 2.余弦定理 建模 求解量尽量集中在有关的三角形中，建 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, 立一个解三角形的模型 则a2=b2十c2-2 bccos A. 利用正、余弦定理解三角形，求得数学 变形：b2十c2-a2=2 bccos A,cosA= 求解 模型的解 b2+c2-a2 2bc 检验上述所求出的解是否具有实际意 检验 3.三角形的面积公式 义，从而得出实际问题的解 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, 热点分类》考向探究 考向1利用正弦定理、余弦定理求三角形的 边和角 例1(2025·山东日照一模)在△ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c,且√3 csin A= 2aws9 (1)求角C; (2)若D为边AC上一点，且BD=BC= AB=1,求AD的值. 3 乙听课记录 042 2对勾讲与练·高三二轮数学 4反思感悟…… 1.利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的 余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平 方时，一般用余弦定理. 2.涉及边a,b,c的齐次式时，常用正弦定理转 化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形. 跟踪训练①(2025·湖南郴州三模)在△ABC 中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 a cos B+bcos A=5c cos B. (1)求cosB的值； (2)若a=5b=7.B而-BC.A正-}丽求 4反思感悟 与三角形面积有关的问题，要充分挖掘题目中 DE的长 的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意 方程思想在解题中的应用. 跟踪训练②(2025·黑龙江佳木斯一模)记 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已 知b=1,a2=c2+c十1. (1)求A; (2)若B-牙，求△ABC的面积。 考向2与三角形面积有关的问题 例2(2025·广东茂名一模)已知a,b,c分别为 △ABC三个内角A,B,C的对边，且2 cos C= acos C+ccos A. (1)求C; (2)若c=√3，且△ABC的面积为33，求a,b. 心听课记录 考向3解三角形的实际应用问题 例3(2025·上海浦东新区二 模)如图，要测量某建筑物的高 度OP,从地面点A处测得建 筑物顶部P的仰角为30°，从地 面点B处测得建筑物顶部P的 第一部分专题二三角函数与平面向量 043 仰角为45°，已知A,B相距100米，∠AOB= 跟踪训练3(2025·安徽黄山二模)如图1，为了 60°，则该建筑物的高度OP约为 米 测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向 (保留一位小数) 飞行进行测量，A,B,M,N在同一个铅垂平面 。听课记录 内，其平面图形如图2所示.已知∠ABM= 30°，∠BAN=45°，∠MAN=60°，∠MBN= 90°，AB=2√5km,则MN= AB 反思感悟，… 图1 图2 解三角形的实际应用问题的要点 1.从实际问题中抽象出已知的角度、距离、高度 A.5(5-1)km B.5√2km 等条件，作为某个三角形的元素. C.5(√3+1)km D.10 km 2.利用正、余弦定理解三角形，得到实际问题 的解. 真题演练》重温高考 1.(2025·全国二卷)在△ABC中，BC=2,AC= (1)求B; 1十√3，AB=6,则A= ( (2)若△ABC的面积为3+√3，求c. A.45° B.60° C.120° D.135° 2.(2024·全国甲卷理)记△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知B=60°，b2=9ac ac, 则sinA+sinC= A号 B.√2 e 3.(多选)(2025·全国一卷)已知△ABC的面积 0s02sinC2. in c-子则 A.sin C=sin2A+sin2B B.AB=2 C.sin A+sin B=6 2 D.AC2+BC2=3 4.(2024·新课标I卷)记△ABC的内角A,B, C的对边分别为a,b,c.已知sinC=√2cosB, a2+b2-c2=√2ab. 温馨提示》请完成课时作业① 044 2对勾讲与练·高三二轮数学》真题演练·重温高考《 1.B 令x一π= 3 ,k∈Z,即x 2 3 ，k∈Z,所以y=2tan 2 x 的图象的对称中心是点 (+经0)∈故a=+经 k∈Z,又a>0,则当k=0时a的值 最小，最小值为开.故选B. 3 2.C函数f(x)=sin wx十cos wx= V巨sin(ox十于）(w>0),设函数 f(x)的最小正周期为T,由f(x十 π)=f(x)可得kT=π(k∈N"),所 以T=2红=天(k∈N),即w 2π 2k(k∈ N").又函数f(x)在 「0x 上存在零点，且当 x C 4 ]所以+≥x,即≥3所以 w的最小值为4.故选C 3.A设f(x)的最小正周期为T,根据 12+9=+2k元， 题意有 3w+9 =mx k∈乙)，由正弦函数的对称性可知 3 12 (2n+1)T（n∈N),即 4 2nπ十r(n∈N),.w=4n+2(n 2w N.又fx)在[登，]上单羽莲 增，则了≥-()心8 ≥ →0<w≤2，.w 三 则 2 2, 9 三 +2kπ， 3 (m,k∈Z),.9 2π m 3 (-x,x),.k=0,m=1,此时9= 子f)=n(:+）当∈ 时2x+吾∈[] 由 正弦函数的单调性可知f(x)mm sin3 故选A. 2 4.C 因为函教y=2sin(3x-5）的 最小正周期T= ,所以函数y目 2sin(3x-行）在[0,2x]上的图象恰 好是三个周期的图象，所以作出函数 y=2sin(3x-6）与y=sinx在[0， 2π]上的图象如图所示， y 由图可知，这两个图象共有6个交点 故选C. 2 解桥：不坊令。>0，设A(e,), B(,号），由1AB=音可得 x=，由mx=号可知= 1 2k元或x=5+26元，k∈乙，由题图可 6 知tg-a十9)-晋-君 要，即0(x-x1)=2,所以w=4. 3 3 因为f(爱)=m(管+)=0，培合 图泉可得 +9=2kπ，k∈Z,即 8+2kx,k∈Z,所以f(x）= φ=一 sin(红-8+2)=sin(1红 8π 3 37 所以)=m(-受）=s血 4π 6,解：(1)由题意知f(0)=cos9=2' 又0≤9<π，所以9= (2)由1)知f(x)=co(2x+等）， 所以g)=fx)+f(-石) cos)+c0s 2.cos 2x- 1 2sin 2x cos 2x √3 3 2cos 2. gn2z=ae:+）, 所以函数g(x)的值域为[-√3，W3]. 令2k元≤2x+日≤元+2km,k∈7， 解得一音十x≤x≤沿十rk∈五. .5π 令x+2k元≤2x十天≤2x+2kx,k∈ 6 解得登+x≤x<+论∈乙 所以函数g(x)的单调递减区间为 递增区间为 12 k∈Z. 微专题11 解三角形 》热点分类·考向探究《 例1解：(1)依题意，√3 csin A=2a· cos? ，由正弦定理可得5snC· C sin A2sin Acos 因为0<A<π，所以sinA≠0，所以 3sin C=2cos:C 即√3sinC-cosC=1, 所以2sin(c-）=1.即sin(c 因为0<C<,所以-天<C- 6 6 所以c-=即C= (2)因为BD=BC,C= 元 所以△BCD为等边三角形， 则∠ADB= 2x 3 又BD=1,AB=√3，cos∠ADB= AD+BD-AB 1 2AD·BD 21 所以AD+AD-2=0,解得AD=1 或AD=一2（舍去），故AD=1. 跟踪训练1解：(1)依题意可得 sin Acos B+sin Bcos A =5sin Ccos B, sin(A +B)=5sin Ccos B. 因为A+B=π-C,所以sin(A+ B)=sin C,sin C 5sin Ccos B, 因为0<C<π，所以sinC>0, 所以cosB= 5 1 (2)由题意得 °+c2-7 10c 解得c=6(负值舍去). 因为B市=BC,A正=上E弦所以 BD X5=1,BE= 5 ×6=5, 6 所以由余弦定理可得 DE 5+12X5×1X53 =26. 例2解：(1)因为2 bcos C=acos C+ ccos A, 由正弦定理可得2 sin Bcos C=sinA: cos C+sin Ccos A sin(A+C)= sin B, 又B∈(0，π)，所以sinB>0,所以 cos C= 1 2 因为C∈(0，π)，所以C= 3 (2)因为c=√I3,C=开且△ABC的 3 面积为3√3，所以a2+b2-2 ab cos C= c且Sa=2a6sinC=35, 1 即 a2+b2 -ab=13解得 a=4, ab=12, 6=3 或 a=3, b=4. 参考答案 283 跟踪训练2 解：(1)a2=c2+c十 1,..cos A= 6+c2-a2_b2-c-1 2bc 2bc 又b=1,.cosA= -c 1 2c 2 A∈(0，π)，A= 2 3 (2)由正弦定理得a= bsin A sin B 2 C=π一A一B= 12 sin C sin(3 sin 4 3 2 cos sin 4 3 4 2 2 √2 √6-√② 2 2 4 ∴.△ABC的面积S= 之-ab≤in C= 1√6 3-3 4 8 例366.4 解析：在Rt△AOP中，已知从地面点A 处测得建筑物顶部P的仰角为30°， 即∠PAO=30°.因为tan∠PAO= OP OA 所以OA 、 OP tan30° =OP.在Rt△BOP 中，从地面点B处测得建筑物顶部P的 仰角为45°，即∠PBO =45°.因为 OP tan∠PBO= OB ,且tan45°=1，所以 OB=OP.在△AOB中，AB=100米， ∠AOB=60°，根据余弦定理得AB2= OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB,将 OA=√5OP,OB=OP代入可得100= (√3OP)+OP-23OP·OP·cos60°， 即10000=(4-√3)OP2,可得OP= 10000 10000(4+√3) ,则OP= 13 10000(4+√5) ≈66.4（米）. 13 跟踪训练3C 由已知得∠BAM= 105°，∠ABM=30°，则∠AMB=45°， AB 而AB=25km,所以s/AMB AM ,则AM= sin∠ABM ABsin∠ABM sin∠AMB √瓦 2 10(km). 由∠ABN =120°. ∠BAN=45°，得∠ANB 15°， 而AB 2√5km, sin15°= 1-c0s30 8-43 -6-呃 2 16 4 AB AN 所以 则 sin∠ANB sin∠ABN ABsin∠ABN 25× 2 AN= sin∠ANB √6-√2 4 (310+30)km,则MN= √/AM+AV2-2AM.AV.cos∠MAN 2842因勾讲与练·高三二轮数学 √10+30(W3+1)2-√10×(3√/10+√30)= √100+503=5（√3+1）km.故 选C. 》真题演练·重温高考《 1.A cos A =AB+AC:-BC* 2AB·AC (6)2+(1+√3)2-2 √2 2X6X(1+√3) 2，又 0°<A<180°，所以A=45°.故选A. 2.C由正弦定理得号sin Asin c sinB,因为B=60°，所以sinA· smC=音smB=子由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2- c=号c,所以a+e=ac,所以 9 13. sin'A sin'C 4 sin Asin C,所以 (sin A sin C)2=sin'A sin'C+ 2sin Asin C= 升in Ainc=子又 21 sinA>0,sinC>0,所以sinA+ sin C= 2,故选C 3.ABC cos 2A +cos 2B+2sin C=2, 由二倍角公式，得1一2sinA+1一 2sinB+2sinC=2,整理可得， sinC=sinA+sinB,A正确.由诱导 公式，得sin(A+B)=sin(x一C)= sinC,所以sin Acos B+sinB· cosA=sinA+sin'B,即sinA(sinA一 cosB)+sinB(sinB一cosA)=0,若 Bsin A cos B,sin B- cosA,可知等式成立：若A十B<2, 即A<三-B,由请学公式和正殡画 数的单调性可知，sinA<cosB,同理 sin B<cos A,sin A >0,sin B> 0,于是sinA(sinA一cosB)+ sinB(sinB一cosA)<0,与条件不 符，则A十B<受不成立：若A十B> 至由oAos Bsin C=}>0,可得 0<A<2,0<B<,类似可推导 出sinA(sinA-cosB)+sinB· (inB-osA)>0,则A+B>受不 成立，综上可知，A十B=受，即C=受， cos A cos Bsin C=cos A cos B= 子由A十B=,得cosB=血A,故 sin AcosA=子，则sn2A=合，月理 Sn2B三7，注意到A,B是锐角，则 2A,2B∈(0，π)，不妨设A<B,则 2A= 2B=即A=B 受由两角和，差的正孩公式可知 n5r=5-E+6+2_ sm是+sm设 4 √6 ,C正确.由两角和的正切公式可 2 得，an径三2+5，设BC=1,则 AC=(2+√3)t,AB=(W2+√6)t, 故SA= 2+x=,则 =返-(2)，湖 5-1,于是AB=W2+6)1=区， 2 B正确.AC2十BC2=AB2=2,D错 误.故选ABC 4.解：(1)a2+b2-c2=√2ab, ∴.cosC=9 2+6-c2 √2 2ab 2 又0<C<C=x, 4 ∴2eos B=sinC=E ,∴.c0sB= 2 又0<B<B = 3 (2)由(1)得A=π-B-C= 12,由 5 正弦定理 a sin A √2+√6 4 宣-1生点△A8C的西 2 2 积S= 1 2 4 3+√3，解得c=2√2 微专题12平面向量 》热点分类·考向探究《 例1(1)A如图，AC=D元-DA,B市= BAAD=-号D元-DA,A龙=D元 D耐=成-D成 B D E 因为AC=ABD+uA正，所以DC D=A(2心-Di)+(2D心 D1)整理得D心-D-（-之十 合r)心-Q+Di,张据平面向量 基本定理可得入十：=1.故选A. (2)A如图，因为B,G,F三点共线， 所以可设AG=xAB+(1-x)AF,所 以AG=a+1工b. 3 A E B 因为C,G,E三点共线，所以可设 AG=AE+(1-y)AC.又因为AB= a,AD=b,所以AC=AB+AD=a+