5 微专题(3) 三角函数中ω，φ的范围问题-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

微专题(三)　三角函数中ω，φ的范围问题 三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上. 　三角函数的最值(值域)与ω，φ的 取值范围 　　(1)若函数f(x)＝sin(ωx－)(ω>0)在上的值域是，则ω的取值范围是(　　) A．(0，)　　　　　　 B. C. D. 【解析】　因为ω>0，所以当x∈时， ωx－∈. 又因为函数f(x)＝sin(ω>0)在上的值域是， 所以≤－≤， 解得≤ω≤3. 【答案】　B (2)(多选)( 2025·湖北省八市联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋cos(ωx－)(ω>0)，将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，若g(x)在(0，)上恰有一个最值点，则ω的取值可能是(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 【解析】　f(x)＝sin(ωx＋)＋cos(ωx－)＝sin(ωx＋)＋cos(ωx＋－)＝2sin(ωx＋)． 由题意，可得g(x)＝2sin(2ωx＋)， 由x∈(0，)， 可得2ωx＋∈(，＋)． 因为g(x)在(0，)上恰有一个最值点， 所以<＋≤，解得1<ω≤7， 由选项可知B，C，D满足． 【答案】　BCD 【规律方法】　求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围． [跟踪训练] 1．(1)( 2025·株洲模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1(ω>0，|φ|≤)，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，若f(x)>2对∀x∈(，)恒成立，则φ的取值范围是(　D　) A．(，) B. C．(，) D. (2)( 2025·贵阳模拟)将函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个周期后所得的图象在(0，)内有5个极值点，则ω的取值范围是　　. 解析：(1)因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1(ω>0，|φ|≤)，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数周期T＝π，ω＝2，由f(x)>2知sin(2x＋φ)>， 又当x∈(，)时，2x＋φ∈(＋φ，＋φ)， 且|φ|≤， 所以 解得≤φ≤. (2)函数f(x)的最小正周期T＝， 将函数f(x)的图象向右平移后的解析式为 f (x－)＝sin＝sin(ωx－)， 由x∈(0，)，可得ωx－∈(－，－)， 要使得平移后的图象有5个极值点，则函数图象有5个最值点，则需<－≤， 解得<ω≤. 　单调性与ω，φ的取值范围 　　(1)( 2025·南通模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋)(ω>0)，若f(x)在区间(，π)上单调递增，则ω的取值范围是______________． 【解析】　令－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z， 故f(x)的单调递增区间为，k∈Z， 又f(x)在(，π)上单调递增， ∵ 解得－＋4k≤ω≤2k＋，k∈Z， 又ω>0，故0<ω≤. 【答案】　 (2)( 2025·柳州模拟)若直线x＝是曲线y＝sin(ωx－)(ω>0)的一条对称轴，且函数y＝sin(ωx－)在区间上不单调，则ω的最小值为(　　) A．9 B．7 C．11 D．3 【解析】　因为直线x＝是曲线 y＝sin(ωx－)(ω>0)的一条对称轴， 则ω－＝kπ＋，k∈Z， 即ω＝4k＋3，k∈Z，由－≤ωx－≤， 得－≤x≤， 则函数y＝sin(ωx－)在上单调递增， 而函数y＝sin(ωx－)在区间上不单调， 则<，解得ω>9，所以ω的最小值为11. 【答案】　C 规律方法　若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解． [跟踪训练] 2．已知f(x)＝sin(2x－φ)(0<φ<)在上单调递增，且f(x)在(0，)上有最小值，那么φ的取值范围是(　B　) A. B. C. D. 解析：由x∈， 可得2x－φ∈， 又由0<φ<，且f(x)在上单调递增， 可得－φ≤，所以≤φ＜. 当x∈(0，)时，2x－φ∈(－φ，－φ)， 由f(x)在(0，)上有最小值， 可得－φ>， 所以φ<.综上，≤φ<. 　零点与ω，φ的取值范围 　　(1)(2024·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 【解析】　因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1有3个根，令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]，结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π， 故2≤ω<3. 【答案】　[2,3) (2)将函数f(x)＝cos x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在(0，)上没有零点，则ω的取值范围是________． 【解析】　将函数f(x)＝cos x的图象先向右平移个单位长度，得到y＝cos(x－)的图象，再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝cos(ωx－)(ω>0)，周期T＝， 因为函数g(x)在(0，)上没有零点，所以－0≤，得T≥π，即≥π，得0<ω≤2，令g(x)＝0，则ωx－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，令k＝0，得x＝，所以≥，得ω≤，又0<ω≤2，所以0<ω≤. 【答案】　 【规律方法】　已知函数的零点、极值点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式，直接求函数的零点、极值点即可，注意函数的极值点即为三角函数的最大值、最小值点． [跟踪训练] 3．(多选)( 2025·郴州模拟)将函数g(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是(　CD　) A．f(x)的图象关于点(，0)对称 B．f(x)在(0,2π)上有且只有5个极值点 C．f(x)在(0，)上单调递增 D．ω的取值范围是 解析：由题意知f(x)＝g(x＋)＝sin(ωx＋)， 在[0,2π]上，令t＝ωx＋∈， 所以y＝sin t在上有5个零点， 则5π≤2ωπ＋<6π，解得≤ω<，D正确； 在(0,2π)上，t∈(，2ωπ＋)，由上分析知，极值点个数可能为5或6个，B错误； f()＝sin(ω＋)且ω＋∈， 故f ()不为0，A错误； 在(0，)上，t∈(，ω＋)， 则ω＋∈， 故y＝sin t在(，ω＋)上单调递增，即f(x)在(0，)上单调递增，C正确． 学科网（北京）股份有限公司 $