7 微专题(4) 数列的递推关系-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

微专题(四)　数列的递推关系 数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用. 　构造辅助数列 　　(1)(多选)已知数列{an}，下列结论正确的是(　　) A．若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则a20＝211 B．若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则an＝2n－1－3 C．若a1＝1，an＋1＝，则an＝ D．若a1＝2,2(n＋1)an－nan＋1＝0，则an＝n·2n 【解析】　A项，an＋1－an＝n＋1，∴a20＝(a20－a19)＋(a19－a18)＋…＋(a2－a1)＋a1＝20＋19＋18＋…＋2＋2＝211，故A正确；B项，∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，∴{an＋3}是以a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，故an＝2n＋1－3，故B错误；C项，∵an＋1＝， ∴＝＝＋3， ∴－＝3，∴是以＝1为首项，3为公差的等差数列，∴＝1＋(n－1)×3＝3n－2， ∴an＝，故C正确；D项，2(n＋1)an－nan＋1＝0， ∴＝， ∴是以＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴＝2·2n－1＝2n， ∴an＝n·2n，故D正确． 【答案】　ACD (2)( 2025·吕梁模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，则S100等于(　　) A．2100－3　　　　 B．2100－2 C．2101－3 D．2101－2 【解析】　由an＋1＋an＝3×2n得， an＋1－2n＋1＝－(an－2n)． 又a1－21＝－1， 所以{an－2n}是首项为－1，公比为－1的等比数列，所以an－2n＝(－1)n， 即an＝2n＋(－1)n， 所以S100＝21＋22＋…＋299＋2100＋(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)99＋(－1)100 ＝＋0＝2101－2. 【答案】　D 【规律方法】　(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式． (2)形如＝f(n)的数列，常令n分别为1,2,3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式． (3)形如an＋1＝(p，q≠0)的数列，取倒数可得＝＋，即－＝，构造等差数列求通项公式． (4)若数列{an}满足an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，构造an＋1＋λ＝p(an＋λ)． (5)若数列{an}满足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0,1)，构造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)]． [跟踪训练] 1．(1)已知数列{an}满足a2＝，a1＝1，且a－a＝2an－2an－1＋1(n≥2)，则a－2a2 022的值为(　B　) A．2 021 B．2 022 C．2 023 D．2 024 (2)(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2an·an＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是(　AB　) A.为等比数列 B．{an}的通项公式为an＝ C．{an}为递增数列 D.的前n项和Tn＝3n－n 解析：(1)由a－a＝2an－2an－1＋1(n≥2)得，当n≥2时，(a－2an)－(a－2an－1)＝1，且由a2＝，a1＝1，得a－2a1＝1，所以{a－2an}构成以1为首项，1为公差的等差数列，所以a－2an＝n，所以a－2a2 022＝2 022. (2)因为an－3an＋1＝2an·an＋1，所以＋1＝3(＋1)，又＋1＝2≠0， 所以是以2为首项，3为公比的等比数列，所以＋1＝2×3n－1，即an＝，所以{an}为递减数列，的前n项和Tn＝(2×30－1)＋(2×31－1)＋…＋(2×3n－1－1)＝2(30＋31＋…＋3n－1)－n＝2×－n＝3n－n－1. 　利用an与Sn的关系 　　已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝3，且当n≥2时，Sn，，Sn－1成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足bn＝1－，若b2·b3·…·bn＝，求正整数n的值． 【解】　(1)方法一　由题意知当n≥2时， Sn＋Sn－1＝nan，∴Sn＋Sn－1＝n(Sn－Sn－1)， 整理得Sn＝Sn－1， 由S1＝a1＝3， ∴Sn＝××××…×××3＝(n2＋n)， 经检验S1＝3也符合Sn＝(n2＋n)． ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝3n. a1＝3也满足an＝3n， ∴数列{an}的通项公式为an＝3n. 方法二　由题意知当n≥2时，Sn＋Sn－1＝nan， ∴当n≥3时，Sn－1＋Sn－2＝(n－1)an－1， 两式相减得an＋an－1＝nan－(n－1)an－1(n≥3)，即(n－1)an＝nan－1， ∴＝(n≥3)，∴当n≥3时，为常数列， 又由S2＋S1＝2a2得a2＝6， 同理可得a3＝9， ∴＝＝＝3， ∴＝＝3，即an＝3n， ∴数列{an}的通项公式为an＝3n. (2)由(1)得bn＝1－＝1－ ＝＝×， ∴b2·b3·…·bn＝××××××…××＝. 由＝，得n＝88. 【规律方法】　在处理Sn，an的式子时，一般情况下，如果要证明f(an)为等差(等比)数列，就消去Sn，如果要证明f(Sn)为等差(等比)数列，就消去an；但有些题目要求求{an}的通项公式，表面上看应该消去Sn，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an(n≥2)． [跟踪训练] 2．(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn(n∈N*)，则an＝__(n＋1)·2n－1__. (2)已知数列{an}满足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝2n＋3(n∈N*)，数列{2anan＋1}的前n项和为Sn，则Sn＝　8－　. 解析：(1)因为an＋1＝Sn， 则Sn＝， 当n≥2时，Sn－1＝， 因此an＝－， 化简整理得＝2·， 而a1＝2，a2＝3S1＝3a1＝6， 有＝2·， 即当n∈N*时，＝2·， 因此数列是以＝1为首项，2为公比的等比数列，则＝2n－1， 即an＝(n＋1)·2n－1. (2)因为a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝2n＋3(n∈N*)， 所以a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＝2n＋1(n≥2)， 两式相减，可得(2n－1)an＝2， 即an＝(n≥2)， 又当n＝1时，a1＝5，不满足an＝， 所以an＝ 所以当n≥2时，2anan＋1＝ ＝4， 当n＝1时，2a1a2＝， 所以Sn＝＋ 4＝＋4 ＝8－. 学科网（北京）股份有限公司 $