专题2 微专题10 三角函数的图象和性质-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

真题演练》重温高考 1.(2025·全国二卷)已知0<a<元，c0s 5 则sina-) A.25+1 B.2√5-1 ( B C.3/2 D.2/3 e D.1-W3 5 10 10 4.(2025·北京卷)已知a3∈[0,2π]，且sin(a+ 2.(2024·新课标I卷)已知cos(a十3)=m, B)=sin(a-B),cos(a十B)≠cos(a-β)，写出 tan a tan B=2,cos(a-B)= ( 满足条件的一组α= ,3= A.-3m B. 5.(2024·新课标Ⅱ卷)已知a为第一象限角，3 3 C. 3 D.3m 为第三象限角，tana十tanB=4,tan a tan B= 3.(2024·全国甲卷理)已知cosa =3, cos a -sin a √2+1，则sin(a+β)= 温馨提》请完成课时作业⑨ 微专题10 三角函数的图象和性质 》考情分析 三角函数的图象和性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：(1)三角函数的图 象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式，主要以选择题、填空题的形式考查；(2)利用三角函数 的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或作为解答题其中一问考查. 主干整合》核心提炼 1.函数y=Asin(wx十9)(A>0,w>0)的性质 沿y轴平移：由y=f(x)变为y=f(x)十k时， ()单调性：由一变+2π≤ox十9≤艺十 “上加下减”，即>0，上移；k<0,下移 (2)沿x轴伸缩：若w>0,由y=f(x)变为y 2张πk∈D可得单调递增区间：由氵+2kx< f(ωx)时，所有点的纵坐标不变，横坐标变为 0r十9≤行+2张x(k∈Z)可得单调递诚 原来的。倍。 区间 沿y轴伸缩：若A>0,由y=f(x)变为y= (2)对称性：由wx+p=kπ(k∈Z)可得对称中 心的横坐标：由wr十9=x+2(∈Z)可得 Af(x)时，所有点的横坐标不变，纵坐标变为 原来的A倍. 对称轴方程. 3.三角函数的图象与解析式 (3)奇偶性：9=kπ(k∈Z)时，函数y= 已知图象求函数y=Asin(w.x+p)十B(A> Asin(ox十9)为奇函数：9=元十（∈Z刀 0,ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数 时，函数y=Asin(wx十p)为偶函数， 法.由图象的最高点、最低点求A,B;由函数 2.三角函数的图象变换 的周期确定w;确定9常根据“五点法”中的五 (1)沿x轴平移：由y=f(x)变为y=f(x+ 9)时，“左加右减”，即p>0,左移：9<0， 个点求解，一般把第一个零点作为突破口，可 右移 以从图象的升降找准第一个零点的位置. 038勾讲与练·高三二轮数学 热点分类》考向探究 考向1三角函数的图象变换 反思感悟， 在图象变换中务必分清是先平移，还是先伸缩， [例1(1)(2025·山西临汾三模)为了得到函数 变换只是对其中的自变量x而言的，如果x的系数 y=cos(- )的图象，只要把正弦曲线上所 3 不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长 度和方向」 有点 A向右平移答个单位长度 跟踪训练0)先将函数/)-sm红十)的 R向右平移号 个单位长度 图象向右平移？个最小正周期，再将所得图象 C.向左平移管个单位长度 上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不 变，得到函数g(x)的图象，则g(x)=() D.向左平移个单位长度 A.sin(2r B.sin() (2)(多选)为了得到函数f(x)=2sinx· cosx-2sin2x十1的图象，只要将函数y= C.sinl2x+3） Dsin(8x+） √2sinx图象上 ( (2)(2025·山西太原一模)将函数f(x)= A.所有点的横坐标缩短到原来的？，纵坐标不 sin(2x+0(←受<0<）的图象先向左平 变，再把得到的图象向左平移管个单位长度 移个单位长度，再向上平移1个单位长度后， B所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不 所得的图象经过点 任2则0= 变，再把得到的图象向左平移灭个单位长度 A.- 元 6 C.所有的点向左平移灭个单位长度，再把得到 4 C.- n 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的？， 考向2由函数的图象求函数的解析式 纵坐标不变 [例2(1)(2025·北京海淀 区一模)已知函数y= D.所有的点向左平移无个单位长度，再把得到 8 √3sin(w.x+p)(w>0) A 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2， 的部分图象如图所示. 若A,B,C,D四点在同 3 纵坐标不变 一个圆上，则w= 心听课记录 A.1 B号 C.π D.Z (2)(2025·安徽蚌埠二模)已知函数f(.x)= n(o:)在区何（受，】 上单调递减， 直线x= 2和r=2为函数f(x)的图象的 5 第一部分专题二 三角函数与平面向量 039 两条对称轴，则f() o引 B,司 A.1 B.-1 C.√3 D.-√3 「24 C.33 ng 心听课记录 (2)(多选)(2025·山东潍坊二模)已知函数y= f(x)=2sin(2x+ ），函数y=g红)的图象 由y=f(x)的图象向左平移买个单位长度得 到，则 () 4反思感悟… Ay-f)与y-8x)在[否，引上有相同 确定函数y=Asin(wx十9)十b(A>0,w>0) 解析式的步骤和方法 的单调性 1.求A,b.确定函数的最大值M和最小值m,则 B.气g(x)的图象关手直线x多+不径G A=M-m,b=M十m 2 2 2 2.求“.确定函数的最小正周期T,则。= Z)对称 T 3.求.常用方法如下：把图象上的一个已知点 C设)=r)gx)≠0，则y=x) 代入（此时要注意该点在单调递增区间上还是在单 调递减区间上)或把图象的最高点或最低点代入. 的图象的一个对称中心为点（臣0】 跟踪训练②(1)(2025·湖北襄阳二模)已知函数 D.当x∈[0,2x]时，直线y=f()与y= f(x)=2sin(wx十p)(w>0),如图，A,B是直 的图象有6个交点 线y=√2与曲线y=f(x)的两个交点，若 1AB1=f(0)=2.则f(） 听课记录 A.0 B.-2 C.1 D.2 (2)已知函数f(x)=sin(wx十p)(w>0, 19<)的图象经过》，（经-》两 4反思感悟， 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x) Asin(w.x十p)十b的形式，然后结合正弦函数y 点，若f(x)在区间（ 上单调递减，则 sinx的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种 是根据y=sinx的性质求出f(x)的性质，然后判断 ω= 各选项；另一种是由x的值或范围求得t=w.x十p的 考向3三角函数的性质 值或范围，然后由y=sint的性质判断各选项. [例3(1)(2025·内蒙古包头二模)已知f(x)= sinr+）o>o砂在[石，到 跟踪训练3(1)（多选）(2025·河南新乡三模)已 上单调递 增，则w的取值范围是 知函数f)=尽ne+）则() 040 2对勾讲与练·高三二轮数学 A.f(x)的值域是[-5,3] (2)(2025·北京平谷区一模)已知函数f(x)= B.f(π)=- √6 2sin wx- 2 )w>0,若f)在区间 Cf()在区间（受）上单调递增 (牙)上没有最值，则。的最大值为 ( Dfe+)是奇函数 c D.2 真题演练》重温高考 1.(2025·全国一卷)已知点(a,0)(a>0)是函数 y=f(x)的两个交点，若|AB=5,则 y =2tan(x - )的图象的一个对称中心.则a f(π)= 的最小值为 ( ) A日 c号 n誓 2.(2025·北京卷)设函数f(x)=sin wx+ cos wx(w>0),若f(x十π)=f(.x)恒成立， 6.(2025·全国二卷)已知函数f(x)=cos(2x+ 且f(x)在0,4 上存在零点，则w的最小 9)(0≤9<π)，f(0)=2 值为 ( (1)求9； A.8 B.6 C.4 D.3 (2)设函数s(x)=fx)+f女-)，求 3.(2025·天津卷)f(x)=sin(wx+9)(ω>0， g(x)的值域和单调区间. 一π<9<元)在 5开，不上单调递增，且 12'12 x=是为f(x)图象的一条对称轴，（后0）是 f(x)图象的一个对称中心，当x∈0,2 时， f(x)的最小值为 A.-3 2 B.-月 C.-1 D.0 4.(2024·新课标I卷)当x∈[0,2π]时，曲线 y=sinx与y=2sin(3x一石)的交点个数为 ( A.3 B.4 C.6 D.8 5.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)= sn(ar十g),如图，A,B是直线y=号与m线 温髻提示》请完成课时作业10 第一部分专题二三角函数与平面向量 041cos(a -B)=cos a cos B+sin asin B= √3+√2 4 ,所以c0s(2a一2B》= 2msa--1=2x(5+2） 2√6-3 故选D. 8 例3(1)D 因为角α的终边与圆O交于 点A(3,4),所以由任意角三角函数的 3 定义得cosa=5,sina=5,设旋转) 后的角为3，且旋转后的角的终边交圆 0于点B(号2吗），州南经意角三 √2 角画数的定义得c0sP= 10 ,sin B= 7√ ,得到sin=sin(g-a)= 7√2 10 10 -()×÷- 25V2 50 2 os0=osg-e）=(-得)x是 72 25W2_2 10 50 ,故0=45°+ k·360°，k∈Z,当k=1时，0=405°. 故选D (2)7x 4 解析： a<r·2 T<B<π，且 sin a 5 5,c0s= 3√10 ,+·C08Q= 10 2W5 ,sin 8= √/10 5 10 cos(a+)= cos a cos B-sin a sin B= 25 5 5 32 5 √ 10 2元<。+B<2m8 7元 跟踪训练3 (1) 3 解析：由于a,3为锐角，所以0<a十 B<元，所以cosa=√1-sina 7'sin(a+)=v1-cos(a+B) 1 5W3 14 ,所以cosB=cos[(a十B)-a]= cos(a +B)cos a+sin(a B)sin a B= 3 (2)空（答案不唯一） cos 2 解析：因为 cos(2 +) sin 2 sin(2 +) 宁（行+）+（分+） m(+）(行+） sin(a+) 6 =2,所以sina十 gne+】 )=sm(e+吾)：所以(e+)+ (a+）=(2+1)x∈z,解得 a=千十灰x(质∈)，当友=0时，a= 至，所以一个使等 cos 2 cos(2+) sin 2 =2成立的a的值 sm(+】 为 》真题演练·重温高考《 1.D cos a 2cos 2 -1=2× (停)-1=一为0<< 所以 ,<a<元，则sin& 专则sn(e-）=sin ecos牙 cos asin-牙= ×9-()× 巨_7巨，故选D. 2 10 2.A由cos(a+B)=m,得cos a cos B sin asin3=m①.由tan a tan3=2,得 sin asin=2@,由①@得 cos acos B cos a cos=一m'所以cos(a-B)= sin asin B =-2m, cos a cos B+sin asinB=-3m.故选A. 3,B根据题意有cOsa—s1m“=3,即 cos a 1-tan a 3,所以tana=1-3, 3 所以an(e+)=a"t 1-tan a 23 3 =23-1.故选B. √3 3 4受晋（答案不唯一） 解析：因为sin(a+B)=sin(a一3)， cos(a十B)≠cos(a一B),所以a+3, a一B的终边关于y轴对称，且不与y 轴重合，故&十B十a一B=π十2kπ， k∈Z且a十B≠父+nx,m∈Z,即 2 。=交十kx,k∈Z,且B≠mx,m∈ Z,故取a= 2 B= 6 可满足题设 要求. 2√2 3 解析：由题知tan(a十B)= tan a tan B 4 =-2√2， 1-tan a tan B 1-√2-1 即sin(a+B)=-2W2cos(a+B).又 sin(a+B)+cos(a+B)=1,可得 2v2 sina+)=±g,由2kr<Q< 2kπ+ 受质∈z,2mx十x<B< 3 2mx+ 2,m∈Z,得2(k+m)r十元< a+B<2(k+m)π+2π，k+m∈Z. 故sin(a+B)=- 2√2 3 微专题10三角函数的图象和性质 》热点分类·考向探究《 例1(1)D 因为y=sinx=cos(x 受)，所以将画数y=n上的图象向 左年移个单位长度得y=0(红 的图象.故选D (2)AC 由题意得f(x)=sin2x十 cos2x=Esim(2z+),将y= √2sinx图象上所有，点的横坐标缩短 到原来的2，纵坐标不变，再把得到的 图象向左平移”个单位长度，得到 8 f(x)的图象，故A正确，B错误；将 y=√2sinx图象上所有的，点向左平移 灭个单位长度，再把得到的图象上所 有点的横坐标缩短到原来的弓，级坐 标不变，得到f(x)的图象，故C正确， D错误.故选AC 跟踪训练1(1)A 函数f(x) sin(Az 的最小正周期为T= 2x= 受，将西数x)的国象向右平 移】个最小正周期，可得到函数y 2 4(x-）+]=sm(红 的图象，再将所得图象上所有点 的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不 变，得到函数g(x)的图象，故g(x)= sim(分·4x-）=sm(2z-3） 故选A, (2)C 函数f(x)=sin(2x+0)的图 象先向左平移行个单位长度，再向上 平移1个单位长度后，得到的图象对应 的新函最为gc)=sn[2(x十日）十 参考答案281 0]+1=sim(2x+ +0）+1 g(任）=sim(2x至 3+0）+1 2,化简得sn( + 3 +0)= 1,即 im(5+0）=1. 5 += 2 2kπ，k∈Z,解得0=一号十2kπ，k 3 Z又因为-受<0<受，所以6=0 9=-.故选C 3 例2(1)D 如图，连接BC交x轴于E, B -3 由于A,B,C,D四点在同一个圆上，且 A,D和B,C均关于点E对称，故E为 圆心，故|AE|=|BE ,I AE= 1 - 1 =π，BE 2 = (T)+)= √()+3，故) +3 ，解得= (2)C 因为函数f(x)=2sin(wx十 p)在区同（受，品）上单调道减，直 5 线x= 和工= 12 为函数f(x)的 图象的两条对称轴，设∫(x)的最小正 月期为T,则名-()=子，所以 2x 三元，即w=云=2，所以w三 或w=-2.又()=-2，所以 2sim(2× +) =一2或 2sim(2×8+9）=-2,所以2× +9=- 、2+2k元，k∈Z或-2X 元 十 12 =-十2mx,m∈Z,解得 2 9= 2x +2张x,k∈7或9=- 3 3 2m，m∈Z,不妨分别取9为一 3 和-则fx)=2sim(2- 或 fa)=2sin(-2x-）， 所以 /(）=2sin(5x-）=5 或 f()=2sin(-5m-子）=5.故 选C 跟踪训练2 (1)B 根据f(0)=2可得 sin9=1,故g=2十2x,k∈Z故 282 2树闪讲与练·高三二轮数学 fx）=2an(or++2x）- 2 cOs wz,令f(x)=2 cos w.z=√2，故 ux1=不十2kx或wx4=-买+2k元， 4 友∈么.结合图象可知r=-年十 2 ,0TB +2π，因此|AB|= 4 2B-2A- 2w fx)=2os2x,故f(5）=2cosx= -2.故选B. 解析：由题意可得f(π)=0，所以 sin(wπ+9)=0， m(x登+p)= 1即 2 ω元十9=(2k+1)π， 1wX2行+9=2k+1x-工大 6 解得。=合所以受十9=(2+ 10x,因为1p<x,所以9=2 例31)B由题意可知冬-（看)≤ 4 则0<如≤号周为-后≤≤ 12 w < 在[吾]上单湖论培，培合玉欲 品数的国象性质可得吾<子如十 否≤受，解得0<w≤子，故w的取 .4 维花图美，】成选且 (2)ACD易知y=f(x)的图象向左 平移至个单位长度可以得到》 a)=m[(+)+】- 2sin(2x+2+）=or(2x+） 的园泉对手A∈[音】时， 2x+e [,π]，由正孩函教和余 弦函数的图象性质可知，y=f(x)与 y=5✉)在[晋，]上均是单河递 减的，即它们有相同的单调性，故A正 确；对于B,由y=g(x)=2cos2x+ 吾）可知，令2红+音=x∈D.解 得x=-吾+经∈Z,周完可得 y=g(x)的图象关于直线x= 只+匹(k∈乙)对称，故B错误：对 6+2 于C,易知y=h(x)= f(x) g(x) 2si(2x+） +),令 2cos 2x 2x+ (k∈Z),解得x= 2 +(k∈D,即y=A(z)的图 6 象的对称中心为点(-百+经， 0)(k∈Z),当k=1时，可知y= h(x)的图象的一个对称中心为点 (20),故C正确：对于D,当x∈[0， 2x]时，g(号-）=20s3x,又 f(）=2sim(2×2+）=-5, 画出函数y=g(号-日）在[0,2x 上的图象与直线y=一√如图所示， 晋 0 2πx -2 =-3 结合图象可知，当x∈[0,2π]时，直线 y=f(受)与y=g(5-) 的图 象有6个交点，故D正确.故选ACD 跟踪训练3(1)ABD 对于A,因为 y=sint的值域是[一1,1]，所以f(x)的 值域是[一√3，√3]，故A正确；对于B, fx)=sm径=5×（号） √6 故B正确；对于C,当x∈ (受)时+要∈（任）周为 y=sim:在区同(，）上单词递 减，在区间（经，牙）上单洞递增，所以 f(x)在区间（受，x)上不单调，故C错 误：对于Df(+)=-5simx, 是奇函数，故D正确.故选ABD. 2)A由x∈（，2)w>0,得 。-） 因为f)在区同（牙，）上漫有 最值，所以（子- w-）e 天死 ,则 22 π 3 元 解得0<w 2 3 2 0, ，所以的最大值为子.故选A 3 》真题演练·重温高考《 1.B 令x一π= 3 ,k∈Z,即x 2 3 ，k∈Z,所以y=2tan 2 x 的图象的对称中心是点 (+经0)∈故a=+经 k∈Z,又a>0,则当k=0时a的值 最小，最小值为开.故选B. 3 2.C函数f(x)=sin wx十cos wx= V巨sin(ox十于）(w>0),设函数 f(x)的最小正周期为T,由f(x十 π)=f(x)可得kT=π(k∈N"),所 以T=2红=天(k∈N),即w 2π 2k(k∈ N").又函数f(x)在 「0x 上存在零点，且当 x C 4 ]所以+≥x,即≥3所以 w的最小值为4.故选C 3.A设f(x)的最小正周期为T,根据 12+9=+2k元， 题意有 3w+9 =mx k∈乙)，由正弦函数的对称性可知 3 12 (2n+1)T（n∈N),即 4 2nπ十r(n∈N),.w=4n+2(n 2w N.又fx)在[登，]上单羽莲 增，则了≥-()心8 ≥ →0<w≤2，.w 三 则 2 2, 9 三 +2kπ， 3 (m,k∈Z),.9 2π m 3 (-x,x),.k=0,m=1,此时9= 子f)=n(:+）当∈ 时2x+吾∈[] 由 正弦函数的单调性可知f(x)mm sin3 故选A. 2 4.C 因为函教y=2sin(3x-5）的 最小正周期T= ,所以函数y目 2sin(3x-行）在[0,2x]上的图象恰 好是三个周期的图象，所以作出函数 y=2sin(3x-6）与y=sinx在[0， 2π]上的图象如图所示， y 由图可知，这两个图象共有6个交点 故选C. 2 解桥：不坊令。>0，设A(e,), B(,号），由1AB=音可得 x=，由mx=号可知= 1 2k元或x=5+26元，k∈乙，由题图可 6 知tg-a十9)-晋-君 要，即0(x-x1)=2,所以w=4. 3 3 因为f(爱)=m(管+)=0，培合 图泉可得 +9=2kπ，k∈Z,即 8+2kx,k∈Z,所以f(x）= φ=一 sin(红-8+2)=sin(1红 8π 3 37 所以)=m(-受）=s血 4π 6,解：(1)由题意知f(0)=cos9=2' 又0≤9<π，所以9= (2)由1)知f(x)=co(2x+等）， 所以g)=fx)+f(-石) cos)+c0s 2.cos 2x- 1 2sin 2x cos 2x √3 3 2cos 2. gn2z=ae:+）, 所以函数g(x)的值域为[-√3，W3]. 令2k元≤2x+日≤元+2km,k∈7， 解得一音十x≤x≤沿十rk∈五. .5π 令x+2k元≤2x十天≤2x+2kx,k∈ 6 解得登+x≤x<+论∈乙 所以函数g(x)的单调递减区间为 递增区间为 12 k∈Z. 微专题11 解三角形 》热点分类·考向探究《 例1解：(1)依题意，√3 csin A=2a· cos? ，由正弦定理可得5snC· C sin A2sin Acos 因为0<A<π，所以sinA≠0，所以 3sin C=2cos:C 即√3sinC-cosC=1, 所以2sin(c-）=1.即sin(c 因为0<C<,所以-天<C- 6 6 所以c-=即C= (2)因为BD=BC,C= 元 所以△BCD为等边三角形， 则∠ADB= 2x 3 又BD=1,AB=√3，cos∠ADB= AD+BD-AB 1 2AD·BD 21 所以AD+AD-2=0,解得AD=1 或AD=一2（舍去），故AD=1. 跟踪训练1解：(1)依题意可得 sin Acos B+sin Bcos A =5sin Ccos B, sin(A +B)=5sin Ccos B. 因为A+B=π-C,所以sin(A+ B)=sin C,sin C 5sin Ccos B, 因为0<C<π，所以sinC>0, 所以cosB= 5 1 (2)由题意得 °+c2-7 10c 解得c=6(负值舍去). 因为B市=BC,A正=上E弦所以 BD X5=1,BE= 5 ×6=5, 6 所以由余弦定理可得 DE 5+12X5×1X53 =26. 例2解：(1)因为2 bcos C=acos C+ ccos A, 由正弦定理可得2 sin Bcos C=sinA: cos C+sin Ccos A sin(A+C)= sin B, 又B∈(0，π)，所以sinB>0,所以 cos C= 1 2 因为C∈(0，π)，所以C= 3 (2)因为c=√I3,C=开且△ABC的 3 面积为3√3，所以a2+b2-2 ab cos C= c且Sa=2a6sinC=35, 1 即 a2+b2 -ab=13解得 a=4, ab=12, 6=3 或 a=3, b=4. 参考答案 283