4 微专题(1) 导数中函数的构造问题-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

微专题(一)　导数中函数的构造问题 导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题. 　导数型构造函数 考向一　利用f(x)与x构造 　　已知函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，导函数为f′(x)，若f′(x)<恒成立，则(　　) A．f(2)>f(3)　　　　 B．2f(1)>f(3) C．f(5)>2f(2) D．3f(5)>f(1) 【解析】　设函数g(x)＝，x≥0， 因为f′(x)<，x≥0， 所以(x＋1)f′(x)－f(x)<0， 则g′(x)＝<0， 所以g(x)在定义域上是减函数， 从而g(1)>g(2)>g(3)>g(5)， 即>>>. 所以4f(2)>3f(3)，2f(1)>f(3)，2f(2)>f(5)，3f(1)>f(5)． 【答案】　B 【规律方法】　(1)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造函数F(x)＝xnf(x)； (2)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝. [跟踪训练] 1．(2025·常州模拟)已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0，若f(2)＝0，则不等式x2f(x)>0的解集是_____________． 答案：(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：构造函数g(x)＝x2f(x)，其中f(x)为奇函数且x≠0， 则g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)， 所以函数g(x)为奇函数， 且g(2)＝0，g(－2)＝－g(2)＝0， 当x>0时，g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝x[xf′(x)＋2f(x)]>0， 所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为函数g(x)为奇函数，故函数g(x)在(－∞，0)上单调递增， 故x2f(x)>0⇒g(x)>0， 当x<0时，g(x)>0＝g(－2)，可得－2<x<0； 当x>0时，g(x)>0＝g(2)，可得x>2. 综上所述，不等式x2f(x)>0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)． 考向二　利用f(x)与ex构造 　　(2025·黄山模拟)已知定义域为R的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)－2f(x)<0，f(0)＝1，则(　　) A．e2f(－1)<1 B．f(1)>e2 C．f()<e D．f(1)>ef() 【解析】　设g(x)＝， 则g′(x)＝ ＝， 因为f′(x)－2f(x)<0在R上恒成立， 所以g′(x)<0在R上恒成立， 故g(x)是减函数， 所以g(－1)>g(0)， ＝e2f(－1)>＝1，故A不正确； g(1)<g(0)，即<， 即f(1)<e2f(0)＝e2，故B不正确； g()<g(0)， 即<＝1， 即f()<e，故C正确； g()>g(1)，即>， 即f(1)<ef()，故D不正确． 【答案】　C 【规律方法】　(1)出现f′(x)＋nf(x)的形式，构造函数F(x)＝enxf(x)； (2)出现f′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝. [跟踪训练] 2．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为(　　) A．{x|x>0} B．{x|x<0} C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x<－1或0<x<1} 答案：A 解析：令φ(x)＝exf(x)－ex，x∈R， 则φ′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex ＝ex[f(x)＋f′(x)－1]． 又f(x)＋f′(x)>1，∴f(x)＋f′(x)－1>0， ∴φ′(x)>0， ∴φ(x)在定义域上是增函数， 不等式exf(x)>ex＋1可化为exf(x)－ex>1， 又φ(0)＝e0f(0)－e0＝1， ∴原不等式等价于φ(x)>φ(0)，故x>0， ∴原不等式的解集为{x|x>0}． 考向3　利用f(x)与sin x，cos x构造 　　(2025·重庆模拟)已知偶函数f(x)的定义域为，其导函数为f′(x)，当0≤x<时，有f′(x)cos x＋f(x)sin x>0成立，则关于x的不等式f(x)>2fcos x的解集为(　　) A. B. C.∪ D.∪ 【解析】　构造函数g(x)＝，－<x<， g′(x)＝ ＝， 当0≤x<时，g′(x)>0， 所以函数g(x)在上单调递增， 因为函数f(x)为偶函数，所以函数g(x)也为偶函数， 且函数g(x)在上单调递增， 所以函数g(x)在上单调递减， 因为x∈，所以cos x>0， 关于x的不等式f(x)>2fcos x可变为>，即g(x)>g， 所以g(|x|)>g， 则 解得<x<或－<x<－. 【答案】　C 【规律方法】　函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 (1)F(x)＝f(x)sin x， F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x； (2)F(x)＝， F′(x)＝； (3)F(x)＝f(x)cos x， F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x； (4)F(x)＝f(x)/cos x， F′(x)＝. [跟踪训练] 3．(2025·成都统考)记函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)为奇函数，且当x∈时恒有f(x)cos x＋f′(x)sin x>0成立，则(　B　) A．f>f B．f>－f C.f>f D.f>－f 解析：令g(x)＝f(x)sin x，则g′(x)＝f(x)cos x＋f′(x)sin x， 当x∈时恒有f(x)cos x＋f′(x)sin x>0，所以g′(x)>0， 则g(x)＝f(x)sin x在上单调递增， 所以g>g，则－f>－f，即f<f，选项A错误；g>g(－)，则－f (－)>－f (－)，又f(x)为奇函数，所以－f(－x)＝f(x)，即f ()>－f (－)，选项B正确；g(－)<g(－)，则f (－)>f (－)，所以f ()<f ()，选项C错误；由f (－)>f (－)，得－f()>f (－)，选项D错误． 　构造函数比较大小 　　(1)(2025·榆林统考)已知a＝ln ，b＝ln ，c＝2ln －，则(　　) A．a<c<b B．b<a<c C．a<b<c D．c<b<a (2)(2025·咸阳模拟)已知a＝，b＝ ，c＝，则(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．a>c>b 【解析】　(1)a＝ln ＝2ln －， b＝ln ＝2ln －， 构造函数f(x)＝2ln(x＋1)－x(0<x<1)， 则f′(x)＝－1＝， 当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)在(0,1)上单调递增，所以f ()<f ()<f ()，所以c<b<a. (2)设f(x)＝ex－x－1， 所以f′(x)＝ex－1， 令f′(x)<0⇒x<0，令f′(x)>0⇒x>0， 所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 则f(x)≥f(0)＝0，即ex－x－1≥0，得ex≥x＋1. 所以b＝ >－＋1＝＝a， 即b>a； 又0<cos <1， 所以c＝<＝a， 即a>c，所以b>a>c. 【答案】　(1)D　(2)B 【规律方法】　构造函数比较大小的常见类型 (1)构造相同的函数，利用单调性，比较函数值的大小； (2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值进行比较大小． [跟踪训练] 4．(1)(2025·山西联考)设a＝，b＝，c＝，则(　D　) A．b>c>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b (2)已知a＝1012，b＝1111，c＝1210，则a，b，c的大小关系为(　D　) A．b>c>a B．b>a>c C．a>c>b D．a>b>c 解析：(1)易知a＝＝， b＝，c＝＝， 令f(x)＝(x>0)， 则f′(x)＝， f′(x)<0⇒x>e， 所以f(x)在(e，＋∞)上单调递减， 又因为e<3<π， 所以f(e)>f(3)>f(π)，即a>c>b. (2)构造函数f(x)＝(22－x)ln x，x≥10， f′(x)＝－ln x＋－1， f′(x)＝－ln x＋－1在[10，＋∞)上单调递减， 且f′(10)＝－ln 10＋－1＝－ln 10<－ln e2＝－2<0， 所以f′(x)＝－ln x＋－1<0在[10，＋∞)恒成立， 故f(x)＝(22－x)ln x在[10，＋∞)上单调递减， 所以f(10)>f(11)>f(12)， 即12ln 10>11ln 11>10ln 12， 所以1012>1111>1210，即a>b>c. 学科网（北京）股份有限公司 $