专题2 微专题9 三角恒等变换-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

-W> 专题二三角函数与平面向量 五年高考真题分布(2021一2025) 弧度制与 (2022·全国甲卷理·8) 任意角的 三角函数 (2023·全国甲卷理·7： 同角三角 函数的基 线性运算一(2025·全国一卷6：2022·新高考1卷·3) 2021·新高考I卷·6) 本关系 求向量的 (2023·全国甲卷理·4：2022·新高考Ⅱ卷·4) (2025·全国二卷.8： 夹角 2024·新课标1卷·4： 2024·新课标Ⅱ卷·13： 三角函数 2024·全国甲卷理·8： 三角恒等 的概念与 (2025·全国二卷12：2024·新课标I卷3： 2023·新课标I卷·8： 变换 平面 三角恒等 2024·新课标Ⅱ卷·3：2024·全国甲卷理.9： 变换 向量 2023·新课标Ⅱ卷·7： 数量积 2023·新课标I卷·3：2023·新课标Ⅱ卷·13： 2022·新高考Ⅱ卷·6) 2022·全国乙卷理·3：2022·全国甲卷理·13： 2021·全国乙卷理·14：2021·全国甲卷理·14) 三角函数 三 平面向 (2021·新高考I卷·10) 与向量的 角函 量的综 (2023·全国乙卷理·12：2021·新高考I卷·10) 综合 合应用 与平 2025·全国一卷·4： 周期性与 2022·新高考1卷6)对称性 求三角 (2024·全国甲卷理11：2024·新课标I卷15： 向量 形的边 2024·新课标Ⅱ卷·15：2023·新课标I卷·17： 角、面 2023·全国乙卷理18：2022·新高考Ⅱ卷18： (2025·全国二卷.15： 积、周长 2022·全国乙卷理·17) 2024·全国甲卷文·13： 单调性与 2023·全国乙卷理·6； 最值 2021·新高考I卷·4) 正、余弦 三角形中的最 2022.新高考I卷.18： 定理 值与范围问题 2022·全国甲卷理·16) (2023·新课标1卷·15： 三角函数 三角函数 2022·全国乙卷理·15： 的零点 的图象与 三角形中的高 (2023·新课标1卷.17： 2022·全国甲卷理·11) 性质 线、中线问题 2023·新课标Ⅱ卷·17) (2024·新课标I卷·7： 平面向量在解 2023·全国甲卷理·10： 三角函数 三角形中的 (2021·新高考1卷·19) 2023.新课标Ⅱ卷.16： 应用 2022·全国甲卷理·5： 的图象及 2021·全国乙卷理·7： 其变换 2021·全国甲卷理·16) 三角函数 (2022·新高考Ⅱ卷·9) 性质的综 合应用 第一部分专题二三角函数与平面向量 035 微专题9三角恒等变换 》考情分析 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的 工具 2.三角恒等变换是利用三角恒等式（两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式）进行变换，“角”的变换是 三角恒等变换的核心！ 主干整合》核心提炼 1.同角三角函数的基本关系 (3)公式Ta±：tan(a士B)= tana士tanB sina十cosa=l,sn=tana(e≠+k， 1千tan a tan B cos a 2 4.二倍角公式 k∈z: (1)公式S2a:sin2a=2 sin a cos a. (2)公式C2a:cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a 2.诱导公式的记忆口诀 1=1-2sin2a. 在经-86←∈Z的诱导公式中者炎民不变，符 2tan a (3)公式Ta:tan2a 1-tan'a 号看象限” 5.辅助角公式 3.两角和与差的三角函数 asin a+bcos a=√a+bsin(a+o),其中 (1)公式Ca:cos(a士B)=cos acos9干 6 a sin asin B. sin va2+62 √a2+b2 (2)公式Sa:sin(a士B)=sin acos B士 cos a sinβ. 热点分类》考向探究 考向1三角函数式的化简 例1(1 2c0s65°c0s15 tan15°cos10°+sin10 的值为( A.2+ B./3 4反思感悟-… 2 2 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看 C2+ D.1+3 角，二看名，三看式子的结构与特征 4 2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间 的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子和三角 √3 (2)化简4an20 /1+cos409 所得的结 函数公式之间的联系点. 2 果是 ( A 跟踪训练0q)化简.sin2a-2osa=( 1 A.2√2cosa B.2cos a 0.2 C.2sin a D.sin a (2)(2025·四川攀枝花三模)sin50°(1十 心听课记录 √3tan10)的值为 () A.-2B.-1 C.1 D.2 036 2对勾讲与练·高三二轮数学 考向2给值求值 1 A.2 [例210(2025，南南擦列三接)已知a+日-爱 c.6-3 2√6-3 D. 2 4 8 sin 2a+sin 23=- ,则c0s2a+cos2g= 考向3给值求角 ( 例3(1)(2025·山东潍坊二模)已知角α的顶点 A. B号 与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重 合，其终边与圆O交于点A(3,4).若角α的终 C.-23 2 边绕点O沿逆时针方向旋转角0，交圆O于点 3 (2)(2025·四川自贡三模)已知sin(.x-y)= B 272),则角0可能为 2,2 () cos(x +y),tan(x-y)=3,tan x tan y= A.75 B.105 C.375 D.405° ( √5 A.2 B.- 3 3 (2)设a,B均为钝角，且sina= 5,Cos B= 2 D.- 2 3√10 听课记录 10 ,则α十β的值为 心听课记录 4反思感悟……… 1.给值求值问题求解的关键在于“变角”，使其 角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转 4反思感悟， 化方法. 解决给值求角问题的方法 2.解决给值求值问题的一般步骤 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角 (1)化简条件式子或所求式子. 函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范 (2)观察条件与所求式子之间的联系，从函数名 围来确定，当所求角范围是(0，π)或（π，2π）时，选择 称及角入手. (3)将已知条件代入所求式子，化简求值 求余营位，当所家角花国是（侣）成（登）时， 选择求正弦值或正切值. 跟踪训练2(1)(2025·陕西咸阳一模)已知 43 ana+4）=-3.则cos2a ( 跟踪训练3(1)若a,3为锐角，sina= R 11 C.- 4 D.-5 cos(a+8)=- 则9 (2)(2025·河北秦皇岛二模)已知cos(a十3)= cos 2 sin 2 52ne如g-只则2a-9) (2)一个使等式 =2 4 os+g】 sm+】 成立的a的值为 第一部分专题二三角函数与平面向量 037 真题演练》重温高考 1.(2025·全国二卷)已知0<a<元，c0s 5 则sina-) A.25+1 B.2√5-1 ( B C.3/2 D.2/3 e D.1-W3 5 10 10 4.(2025·北京卷)已知a3∈[0,2π]，且sin(a+ 2.(2024·新课标I卷)已知cos(a十3)=m, B)=sin(a-B),cos(a十B)≠cos(a-β)，写出 tan a tan B=2,cos(a-B)= ( 满足条件的一组α= ,3= A.-3m B. 5.(2024·新课标Ⅱ卷)已知a为第一象限角，3 3 C. 3 D.3m 为第三象限角，tana十tanB=4,tan a tan B= 3.(2024·全国甲卷理)已知cosa =3, cos a -sin a √2+1，则sin(a+β)= 温馨提》请完成课时作业⑨ 微专题10 三角函数的图象和性质 》考情分析 三角函数的图象和性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：(1)三角函数的图 象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式，主要以选择题、填空题的形式考查；(2)利用三角函数 的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或作为解答题其中一问考查. 主干整合》核心提炼 1.函数y=Asin(wx十9)(A>0,w>0)的性质 沿y轴平移：由y=f(x)变为y=f(x)十k时， ()单调性：由一变+2π≤ox十9≤艺十 “上加下减”，即>0，上移；k<0,下移 (2)沿x轴伸缩：若w>0,由y=f(x)变为y 2张πk∈D可得单调递增区间：由氵+2kx< f(ωx)时，所有点的纵坐标不变，横坐标变为 0r十9≤行+2张x(k∈Z)可得单调递诚 原来的。倍。 区间 沿y轴伸缩：若A>0,由y=f(x)变为y= (2)对称性：由wx+p=kπ(k∈Z)可得对称中 心的横坐标：由wr十9=x+2(∈Z)可得 Af(x)时，所有点的横坐标不变，纵坐标变为 原来的A倍. 对称轴方程. 3.三角函数的图象与解析式 (3)奇偶性：9=kπ(k∈Z)时，函数y= 已知图象求函数y=Asin(w.x+p)十B(A> Asin(ox十9)为奇函数：9=元十（∈Z刀 0,ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数 时，函数y=Asin(wx十p)为偶函数， 法.由图象的最高点、最低点求A,B;由函数 2.三角函数的图象变换 的周期确定w;确定9常根据“五点法”中的五 (1)沿x轴平移：由y=f(x)变为y=f(x+ 9)时，“左加右减”，即p>0,左移：9<0， 个点求解，一般把第一个零点作为突破口，可 右移 以从图象的升降找准第一个零点的位置. 038勾讲与练·高三二轮数学h(x)单调递增，所以当x= 2 时， e h(x)m=A(2）=e十 2 3.综上所速，1MN11m 3 e 例2解：(1)证明：因为g(1)=g(4)=1, 且g(x)在[1,4]上连续，在(1,4)内可导， 所以由罗尔中值定理得了x。∈(1， 4),g'(x)=0. (2)设h(x)=f'(x)=(.x-1)e+ 3ax2,则h'(x)=x(e+6a). 当6a≥0，即a≥0时，e'+6a>0, 若x<0,则h'(x)<0,则h(x)在 (一∞，0)上单调递减， 若x>0,则h'(x)>0,则h(x)在 (0,十∞)上单调递增， 从而h(x)mm=h(0)=-l,故a≥0 符合题意 当6a<0,即a<0时，令h'(x)=0, 得x=0或x=ln(-6a). 当1n-a）<0.即-6<a<0时， 若x>0或x<ln(-6a),则h'(x) 0,则h(x)在(-∞，ln(-6a)和 (0,十∞)上单调递增， 若ln(一6a)<x<0,则h'(x)<0,则 h(x)在(ln(一6a),0)上单调递减. 因为h(x)在（一1,1）上的最小值为 -1,且h(0)=-1,则h(-1)≥-1， 得 3 ≤a<0. 当ln(-6a)=0,即a=- 1 6 时， h'(x)≥0恒成立，则h(x)在R上单调 递增，故a=一】不合题意. 当ln(-6a)>0,即a<-时， 6 若x>ln(-6a)或x<0,则h'(x)>0, 则h(x)在（一∞，0）和(ln(一6a),+o) 上单调递增， 若0<x<ln(-6a),则h'(x)<0,则 h(x)在(0，ln(一6a))上单调递减， 从面h(号)<h(0)=-1,故a< 1 不合题意 6 综上，a的取值范围 [品 3 +∞) 跟踪训练2解：(1)f'(x）=一x e 7令m)=f. 则m'(x）=x一2 (x+1)2 依题意知，m'(x)≥0对任意的x∈ [2,3]恒成立，则 x+1)2(x-2) ≥1 e 恒成立， 令n(x)= (x+1)2(x-2) e x3-3.x-2 ,x∈[2,3]， e 则n'(x)=(-x+3x2+3x 1)=+1(-x2+4x-1)>0, 280 2对勾讲与练·高三二轮数学 故n(x)在[2,3]上单调递增，故 n(2)=0≥入， 则实数λ的取值范围为（一∞，0]. (2)依题意得，F(x)=f(x一1)= z一1+xnr, e-1 若入≥0，当x>1时，二1>0， er-1 In x >>0. 所以F(x)>0,F(x)在(1，十∞)上 无零点，舍去. 若λ<0， 则F'(x)= Ael-x2+2x re-l 令g(x)=ae-1-x2+2x, 则g'(x)=Ae-1-2(x-1)<0,则 g(x)在(1，+∞)上单调递减，且 g(1)=入+1. ①若入+1>0，即一1<入<0，此时 g(2)=λe<0, 则存在m∈(1,2)，使得g(m)=0,即 F'(m)=0, 故F(x)在(1，m)上单调递增，在 (m,十∞)上单调递减，所以F(m)> F(1)=0, 当x>m时，F(x)=t二1 x-1+nx=1-1+以nx<1+ λlnx, 令1十入lnx=0,解得x=e, 因为e>e>m,且F(e)<0, 所以存在唯一的x1∈(m,e),使得 F(x,)=0,满足条件. ②若λ+1≤0，即入≤-1，此时g(x) 0,F(x)在(1，十∞)上单调递减， 又F(1)=0,所以F(x)<0,不合题 意，舍去 综上所述，实数入的取值范围为 (-1,0). 专题二 三角函数 与平面向量 微专题9三角恒等变换 》热点分类·考向探究《 2c0s65°cos15 例1(1)Atan15°cos10°+sin10 2c0s65°c0s215 sin15°cos10°+sin10°cos15° sin25°×(1+cos30) =1+ 3 sin 25 2+√3 故选A 2 √3 /1+cos40° (2)B 4tan 20 2 √3 /1+2c0s220°-1 4tan 20 2 √3 √3cos20 4tan 20 一 c0s20°= 4sin20° C0s20°= √3cos20°-4sin20°cos20° 4sin20° √3cos20°-2sin40° 4sin20° W3cos20°-2sin(60°-20) 4sin20° N5cos20°-2(sin60°cos20°-cos60°sin20°) 4sin20° √3cos20°-√3cos20°+sin20 4sin20° sin 20 4sin 20 子数造B 跟踪训练1 (1)A原式= 2sin a cos a -2cos'a (sin a -cos a) 2 2√2cosa(sina-cosa) -22 cos a. sin a-cos a 故远A. (2)C sin50°(1+√3tan10°)= sin cos10°+√3sin10° sin(90°-40°). cos 10 2( c0s10°+ 2sin10°/ c0s109 =c0s40°· 2sin(10°+30°) 2sin40°cos40 cos10° c0s10 sin80° sin(90°-10°) c0510 cos 10 cos10° cos 10 1.故选C. 2 (1)C sin 2a +sin 28 sin[(a+ B)+(a-B)]+sin[(a +B)-(a J=2sin(a+Bcos(a-P)三号，b &十月-晋，得ma十= 1 则 Cos(a-B)=了，co82a+cos29 cos[(a +8)+(a-B)]+cos[(a+B)- (a-B)]=2cos(a +B)cos(a-B)= 2×()×号- 3,故选C (2)B 根据题意可知cos x cos y≠0， 因为sin(x一y)=cos(x十y),所以 sin xcos y-cos xsin y cos xcos y- sin zsin y,整理得sinx(cosy+siny)= cosx(siny十cosy),等式两边同除以 cos z cos y tan x(1 tan y)= tany+1,即tanx-tany =1 tan rtan y,又因为tan(x-y)=3,所 以 tan x-tan y 1-tan xtan y 1+tan x tan y 1+tan x tan y 3,解得tan xtan y= 故选B. 跟踪训练2(1)C 由题意可得cos2a co[2(a+）-】=sin2(a十 2sm(e+牙）as(a+子） 》a+ 2am(e+） 2×(-3) tan(a+)+1 (-3)2+1 3 故选C 5 (2)D 因为cos(a十3)=cos a cos B sin asin B= √3-√2 -sin a sin B 4 2.所以cos acos月- 3 所以 cos(a-B)=cos a cos B+sin a sin B= 5+E,所以cos(2a-2g）= 4 2sa-)-1=2x(5+2） 2√6-3 8 故选D. 例3(1)D 因为角α的终边与圆O交于 点A(3,4),所以由任意角三角函数的 3 4 ，定义得cosa=5sina一5，设旋转 后的角为3，且旋转后的角的终边交圆 0于点(）则由任套角三 角函数的定义得cos月= √2 10 ,sin B= 7√2 10 ,得到sin9=sin(g-a)= 7√2 × 10 -()×= 25√2 √2 50 2 eas0=asg-e)=(-8)× 7√2、4 252 ,故0=45°+ 10 5 50 2 k·360°，k∈Z,当k=1时，0=405°. 故选D. 7x (2) 4 解析： ∠a<r2 <B<π，且 sin a 5 3w10 5,0sB ，·.C0Sa= 10 _25 sin 8 3= √/10 10 6os(a+B）= cos acos B-sin a sin B 25 5 5 x /10 32 10 5 √2 10 2 <a+B<2π，∴.a十 7x 跟踪训练3 (1) 3 解析：由于α，B为锐角，所以0<a十 3<π，所以cosa=√/1一sina 7,sin(a+8)=1-cos (a+8) 5W3 14 ,所以cosB=cos[(a十B)-a]= cos(a+B)cos a+sin(a+B)sin a 2所以 = = 元 3 (2) 灭（答案不唯一） cos 2 解析：因为 cos(2 sin 2 sin(2 +) m(分+)+如（号+） m(号+)（号+） sin(+) =2,所以sina+ 2n(+ 若)=sim(e+)所以(e+)十 (e+）-(2k+1Dm∈D,解得 a=至十x欣∈，当长=0时a 车所以一个俊等式 cos 2 s(+） sin a 2 =2成立的a的值 sm(+】 为 41 》真题演练·重温高考《 1.Dc0s&=2c0s2g-1=2× 2 (停）-1-吕因为0<a< 所以 <a<π，则sina= 1-cos'a W-(←) 吾则sn(e-子）=neos至 区_巨.故选D. 2 101 2.A由cos(a十B)=m,得cos a cos- sin asinB=m①.由tan a tanB=2,得 sin asin3=2②，由①②得 cos acos B cos acos3=一m:所以cos(a-B)= sin a sin 8=-2m, cos a cos B+sin asin3=-3m.故选A. 3B根据题意有cosa一s1ma=,即 cos a 1-ana=3」 3,所以tana=1一之、 所以un(a+）="t- 1-tan a 2、③ 3 =2√5-1.故选B. 3 3 4受晋（答案不唯-） 解析：因为sin(a+B)=sin(a-B), cos(a+B)≠cos(a一B),所以a十B, Q一B的终边关于y轴对称，且不与y 轴重合，故a十B+Q一B=x+2kπ， k∈Z且a十B≠T十n不，m∈Z,即 2 。=受十km,k∈Z,且B≠mx,m∈ Z,故取a= 2 6 可满足题设 要求 2√2 3 解析：由题知tan(a十B)= tana+tanβ 4 =-22, 1-tan atan B 1-√2-1 即sin(a十B)=-2W2cos(a+B).又 sin(a+B)+cos2(a+B)=1,可得 2w2 in(a+B)=土g.由2kr<& 2张元十各e∈.2mx十x<B< 2mπ+ 3x ,m∈Z,得2(k十m)π+π< a+B<2(k+m)π+2π，k+m∈Z. 故sin(a+g)=- 2√2 3 微专题10三角函数的图象和性质 》热点分类·考向探究《 例1(1)D 因为y=sinx=cos(x ),所以将画数y=nx的图象向 左平移若个单位长度得y=c0(x 的图象.故选D (2)AC由题意得f(x)=sin2.x+ cos2x=2sin(2x+买），将y= √2sinx图象上所有，点的横坐标缩短 到原来的？，纵坐标不变，再把得到的 图象向左平移否个单位长度，得到 f(x)的图象，故A正确，B错误；将 y=√2sinx图象上所有的点向左平移 个单位长度，再把得到的图象上所 4 有点的横坐标缩短到原来的？，纵坐 标不变，得到f(x)的图象，故C正确， D错误.故选AC 跟踪训练1(1)A 函数f(x) sim(4r+） 的最小正周期为T= 2r= 4 吾，将画教f)的国象向右手 移}个最小正周期，可得到画数y 2 sin 4(-）+]=sim(4r 的图象，再将所得图象上所有点 的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不 变，得到函数g(x)的图象，故g(x)= sm(号4r-）=sim(2r-）. 故选A. (2)C 函数f(x)=sin(2x+0)的图 象先向左平移否个单位长度，再向上 平移1个单位长度后，得到的图象对应 的新函鼓为g(x)=sim[2(x+）十 参考答案281