专题2 创新题2 三角函数与平面向量-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

t 48 2+48 t2+48 可得ose∈[0故选D 》培优专训·难点突破《 1.D因为OA1=O=√反，A店=2， 所以由AB=OB一OA两边平方可得， OA.O=0,所以(OA,OB》= 21 2CA+AB=2(0A-0元)+0B-0 0A+Oi-20c,0心1 /3 +42= 5,所以|2CA+AB12=OA +OB2+ 4OC2-4(OA+OB)OC=2+2+4× 25-4(OA+OB)0C=104 -4(OA+ OB)O心，又1(OA+OB)·O元|≤ IOA+OB IIOC |=5×W2+2=10, 即-10≤(OA+OB)OC≤10，所以 |2CA+AB12∈[64,144]，即|2CA+ AB|∈[8,12].故选D. 2.C由题意，得(a一b)·(2a一b)= 21a12-31 a bl cos(a,b〉 十 1b12=0,因为|a|>0,1b|>0,所 以 cos(a,b〉 2|a12+1b12 ≥ 3 ab ,当且仅当厄1a1=b1时取等 2V2 号，又同角的正弦、余弦的平方和为1， 所以sin(a,b)≤号.故选C. 3 3.A连接OA(图略)，由题可知|OA|= 1,OA⊥PA,因为|OP|=√2，所以由 勾股定理可得|PA|=1,则 ∠POA=T.设直线OP绕，点P按逆 时针方向旋转日后与直线PD重合，则 -<0<∠APD=+，且 PD |=√2cos0,所以PA.PD Pi1p方1cos(于+0）=Ecos cos(要+9）=厄os(受os 号如0）=sig-sn0ms0- 21 s282≤口2—1 1 2 +2(9+ 1 2故选A 4.C由题意不妨设a=(1,0),c=(x, y),则a+b+c=(1,0)+(0,2)+(x, y)=(1+x,2+y).:|a+b+c|= 1,.(1+x)2+(2+y)2=1,即表示圆 心为（一1，一2），半径为1的圆，设圆心 为P,O为坐标原，点，.|OP|= √-1)2+(-2)F=W5.1cI= √x十y表示圆P上的点到坐标原点 的距离，.√5-1≤|c|=√x2+y≤ √5+1，.|c|的取值范围为[W5一1， √5+1].故选C. 5.C连接AD,如图所示， 290红网勾讲与练·高三二轮数学 因为BD=2DC,所以AD=AB+ B市-A店+子配-A店+子(AC A)=}访+子，又应=m成， =花，所以A心=号店+ 号花=正+品市，由E,F.D三 3n 1 2 点共线，得3m十3n =1,又m>0,n> 0,所以m+2n=(m+ (品+) 2n+ 之33，z十3 2m.20+3 =2×3 3 =3,含且仅当额 21,即m= 3 n=1时，等号成立，所以m十2n的最 小值为3.故选C 创新题2三角函数与平面向量 》热点分类·考向探究《 例1解：(1)①由题意得b=ma+nc= (m 2n -ni,n mi 2ni)= (1,-1), 所以十+2.所以 1m+2n-ni=之1+ 1=i, n=一1， 解得{n=一1， m+2n=0, m=2, 所以m=2,n=一1. ②由①知b=(i,一1)，所以a+b= (1+i,-1+i),a-b=(1-i,1+i), 因为(a+b)·(a-b)=(1+i)(1+ i)+(-1+i)(1-i)=4i,得|(a+b)· (a-b)|=4, 因为|a+b|=√(a+b)·(a+b)= W(1+i,-1+i)·(1+i,-1+i) w(1+iD(1-i)+(-1+i)(-1-iD= √(1+iD(1-i)+(1-iD(1+i)=2, 同理得|a-b= W(1-i)(1+i)+(1+iD(1-i)=2, 所以|(a+b)·(a-b)|=|a+b|· |a-b1,故a+b与a-b平行. (2)设2=入十ri(入r∈R), 则a·d=(1,i)·(1+i,2)=(1,i)· (1+i,入+i)=1一i+i(入-i)=1+ 4+(入-1)i, 得|a·d|=√(1+)+（入-1）产， 又1a|=w√(1，i)·(1,i) √/1+i(-i)=√2，|d|= W/(1+i,入+：i)·(1+i,入+i) √(1+i)(1-i)+(A+i)(入-iD= √2+λ2十”， 若a与d平行，则|a·d|=a1川d, 即√(1+)+（λ一1）= √2√2十λ2+：2， 化简整理得（入+1）产+(-1)2=0，所 以入=一1,4=1，所以之2=一1十i. 跟踪训练1解：(1)由定义，只需满足 b1一b。+b3+b,=0, 故所有满足条件的b有6个，为 日 (2)证明：由题知，存在x= x:∈{-1,1}与y= y:∈{-1， 1},i=1,2,…,n,使[x,y]=m, 当x:=y:时，xy:=1;当x:≠y:时， xy:=-1, 若有k个x:=y:,则有n一k个x:≠ y,则m=[x,y]=∑xy:=k i=1 (n一k)=2k-n, 所以m+n=2k一n十n=2k为偶数. (3)猜测符合要求的4维向量最多有4 个，即f(4)=4,举例如下： 不妨取a1= ,03 由-问 则有[a1,a2]=0,[a1,a]=0,[a1, a4]=0,[a2,a3]=0,[a2,a:]=0, a3,a4]=0, 若存在a使[a1,a]=0,则a;= 当a= 时，[a4,a]=-4;当 时，[a2,a]=-4; 当 时，[aga5]=-4. 故找不到第5个4维向量与已知的4个 向量满足互相之间的内积均为0，即 f(4)=4. 例2证明：(1)①若6=30°， 则S△ABx=S△PAB十S△P:+S△PAC 合c…APsin9+2a…BPsn9+2b: CPsin0=号 sin0(c·Ap+a·BP+ 6P)=c·AP+a·BP+ b·CP), 所以c·AP+a·BP+b·CP= 4S△ABC· 在△PAB,△PBC,△PAC中，分别由 余弦定理得 BP2 =c2+AP*-2c.APcos 0, CP=a+BP-2a·BP cos0, Ap2=62+CP2-26.CPcos 0, 三式相加整理得2cos0(c·AP十a· BP+b·CP)=a2+b2+c2, 即V3X4S△ABc=a2+b2+c2,所以 a2+b2+c2=4W3S△ABc ②由余弦定理可得a2=b2+c2一 2 bc cos∠BAC, a+6*+c2-43SAA =2b2+2c2- 2bc cos/BAC-43SAARC =26*+2c*- 2 bc cos.∠BAC-2W3 bc sin∠BAC 26+22-4csin(∠BAC+8）≥ 4bc-4bc=0, 当且仅当6=c且m(∠BAC+石) 1时取等号， 因为∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC+ 若∈（合，晋），所以∠BAC+ 6 之，所以∠BAC= 即当且仅当b=c且∠BAC=匹时取 3 等号， 即当且仅当△ABC为等边三角形时取 等号， 所以a2+b+c2≥43S△ABc,当且仅 当△ABC为等边三角形时取等号， 又由①知a+b2+c2=4W5S△ABc,所 以△ABC为等边三角形， (2)由(1)得S△ABC= 2sin6(c·Ap-+ a·BP+b·CP), 所以c·AP+a·BP+b·CP= 2S△ABC sinθ 又由(1)得a2+b2+c2=2cos0(c· AP+a·BP+b·CP), 所以a2+b2+c2=2cos0· 2S△ABC sin 2cos日. bcsin 20 sin 0 =Abc cos0, 又由余弦定理可得b+c2=a2+ 2 bccos20=a2+2bc(cos0-sin2θ)， 所以2a2+2bc(cos0-sin8)= 4bccos'0, 所以a2=bc(sin20+cos0),所以a2= bc 由正弦定理可得sin∠BAC= sin∠ABC sin∠ACB. 跟踪训练2解：(1)由题意得 10sin ∠ABC+∠ACB 2 =7-cos2∠BAC, 所以5[1-cos(∠ABC+∠ACB)]= 7-cos2∠BAC, 故5(1 +cos∠BAC) 8 2cos∠BAC,所以2cos2∠BAC+ 5cos∠BAC-3=0,可得cos∠BAC= 或cos∠BAC=-3(舍去)， 又∠BAC∈(0，π)， 所以∠BAC= 3 (2)BC=a,AC=6,AB=c, 如图，连接AO1,AO3, B 由正弦定理得AB=21A0,, π 1AC=21A0,1,则1A0,1= sin 3 √3 、—、八3—么、 正△00,0，面积S=200, m=10,0，P=5 4 4 所以1010312=7， 而∠BAC=5,则∠0，A0,=2. 3 3 在△O1AO,中，由余弦定理得 100,2=|A011+1A0312- 2|AO1|·|AO3|·cos∠O1AO3, 7=+写2(2)则 b2+c2+bc=21, 在△ABC中，∠BAC=子a=3,由 余弦定理得a2=b2十c2 2 bccos.∠BAC, 则b2十c2一bc=9,所以bc=6,所以 1 △ABC的面积为S=2csn∠BAC= 3W5 2 专题三 数列 微专题13等差数列与等比数列 》热点分类·考向探究《 例1(1)D设{a,}的公差为d,由 a1=一21，S,=S15，可得7X (-21)+2“d=15×(21)+ 15×14 2 d,解得d=2,所以am=2n一 23,所以5.=-21n+",-D×2= 2 n2-22n,所以当n=11时，S。取得最 小值S1=112-22×11=-121.故 选D. (2)ABD根据题意，a1十a2十ag= 1,(a1十a2+a)g=2,两式相除得 9=2,A正确；又a1十a1g十a1g2=1, 1 即a1+2a1+4a1=1,所以a1=7, B正确；Sm= 1-2)_2-1.c 7 1-2= 7 错误；根据选项A,可知a1十a2十a3, a2十ag十a:a3十a4十a;…是首项 为1公比为2的等比数列，所以a1十 a:十ag十a2+ag+a:+ag+a:十 a:+…十ao十a11+a12=(a1十a2+ ag)+(a2十ag+a:）+(ag+a:十 a)+…+(a1o+an十a12）=1+2+ 1-21o 2++2=1-2=1023.D正 确.故选ABD. 跟踪训练1(1)B因为数列{am}为等 比数列，公比为2，且a1十a:=3,所以 a1十2a1=3,解得a1=1,故am= 2-1.因为ag十a1十a十…十 Lk+自 =ak·(1+2+22+…+2”)= 2-1.1-2 、=2+9-2-1=21“-2, 12 解得k=5.故选B. (2)AD对于A,设等差数列{am}的 公差为d,则由题意知 2a1+3d= 一12·解得 a1=一9，故 2a1+10d=2, ld=2, A正确；对于B,am=-9十2(n一1)= 2m-11,S。=-9m+0n-D ×2= 2 n2-10n=(n-5)-25,则当n=5 时，Sm取最小值一25，故B错误；对于 C,S,=4-10×4=-24,S,=72- 10×7=一21，则S:≠S,,故C错误： 对于D,数列|am|}的前10项和为 -91+|-71+1-51+-31+-1+ 1十3+5+7+9=50，故D正确.故 选AD. 例2(1)A 因为{am}是等差数列，所 以S3,S-S3Sg-S6,S2-S9成等 差数列.又S3=S4=6,所以6，S6一 6,6一S,S2一6成等差数列，所以 6+S2一6=S:一6十6一S5,所 以S12=0.故选A. (2)D 因为数列{am},{bn}都是等差 数列，所以 1= 2a5 b b1 b11 bu 又S11= 1(a1+a2 2 =11a6,T21= 21(b1+b21)） 5以 2 =21b1,故a=1 b11= ,即有 2a6 21 u b bu 42 5n+3 11 ,在 中，令n= 4n-2 11,得 29 dg 2a6 , 21 b bu ×器 58 故选D. 跟踪训练2 (1)D 已知{am}是等差数 列，根据等差数列的性质可得a3十 a7=2a:=10,则a:=5.又因为 a5ag=65,所以5ag=65,解得ag= l3.设等差数列{am}的公差为d,则 as=a 1+4d=5,解得 las ai +8d=13, a1=-3,则S。=(-3)×n十 ld=2, n(n-1) ×2=-3n+n(n-1)= 2 n2-.故S=n-4n =n一4.故 选D (2)2 解析：由题设 a1+a2+a3+a4+a;+a6=126, la2+a4+a6=2(a1十a3+a5）, 可得a1十a -a a2 +a 6=42若{an}的公 十a:=84, 比为g,则a 十a:+a6 (a1+a3+ a5)q→q=2,所以a1 十a3十ai= a1(1+g )=21a1=42,则a1=2. 例3解：(1)因为f(x)=x2-4,所以 f'(x)=2x, 则曲线y=f(x)在点(xm,f(xm)处的 切线方程为y-(x一4)=2xn(x-xn), 将点(xm+1,0)代入方程，得4十x日 2xmx+1.因为x1>0,所以x。>0, =+名 参考答案 291创新题2三角函数与平面向量 》考情分析 平面向量与三角函数的新定义问题，背景新颖，考查角度具有多样性，一般要转化为向量的运算、正弦定 理、余弦定理的应用问题，难度较大. 热点分类》考向探究 考向1平面向量的新定义问题 反思感悟 1.平面向量背景下的新定义问题，通常基于平 例1我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复 面向量的方向和大小，引入新的运算规则或概念. 向量”，即可将有序复数对（之1，之2）（之1，之2∈C) 2.解题时，首先要准确理解新定义的本质，明确 视为一个向量，记作a=(之1，之2).两个复向量 其涉及的向量运算和性质.接着，将新定义应用到具 a=(之1，之2)，b=(之3，之4)的线性运算定义为 体的题目情境中，通过向量的加法、减法、数乘、数量 ma十nb=(m21十nz3,mx2十nz4)(m,n∈R); 积等运算，推导出所需的结论.这类问题往往信息量 大，背景新颖，需要考生耐心分析，细致推理，同时， 两个复向量a=(之1，之2)，b=(之3，之4)相等定义 注意平面向量的模、夹角等几何特征在新定义问题 为之1=之3，之2=之4；两个复向量a=(之1之2)，b= 中的应用，以及如何利用这些特征简化解题过程. (之3，之4)的积记作a·b,定义为a·b=之1之3十 之2之4；复向量a的模定义为|a=√a·a;若复 跟踪训练①(2025·湖北武汉二模)设有n维向 向量a与b满足a·b=a|b,则称复向量 b a与b平行.已知a=(1,i). 量a 称[a,b]=a1b1+ (1)若复向量b=（之1，一1)（之1∈C),c=(2 i,1+2i),且b=ma+nc(m,n∈R). a2b2十…十ab,为向量a和b的内积.记Sm为 ①求m,n的值； 全体由一1和1构成的n维向量的集合. ②判断a十b与a一b是否平行，并说明理由. (1)若 存在b∈S4,使得[a,b]=0, (2)若复向量d=(1十i,之2)（之2∈C),且a与d 平行，求之2 写出所有满足条件的b: 心听课记录 (2)令B={[x,y]|x,y∈Sm},若m∈B,求 证：m十n为偶数； (3)若∫(4)表示能从S4中选出向量的个数的 最大值，且满足选出的向量互相之间的内积均 为0，猜测∫(4)的值，并给出一个实例. 056 2对勾讲与练·高三二轮数学 考向2解三角形的新情境问题 4反思感悟-…. 解三角形新情境问题的注意点 例2三角形的布洛卡点是德国 1.理解新情境：首先，需要仔细阅读题目中的新 数学家、数学教育家克雷尔于 情境，理解其含义和所涉及的数学概念.将新情境与 1816年首次发现，但他的发现 已知的三角函数或解三角形的方法联系起来，找出 并未被当时的人们所注意. 其中的关联点 1875年，布洛卡点被一个数学B C 2.应用解三角形的方法：使用正弦定理、余弦定 爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名.当 理等解三角形的基本方法，将三角形的边和角联系 △ABC内一点P满足条件∠PAB 起来，通过作辅助线、构造特殊三角形等方式，将复 杂问题转化为简单问题. ∠PBC=∠PCA=0时，称点P为△ABC的布 3.结合图形分析：在解题过程中，结合图形进行 洛卡点，角0为布洛卡角.如图，在△ABC中， 分析，可以更直观地理解问题.利用图形的对称性、 BC=a,AC=b,AB=c,点P为△ABC的布洛 相似性等性质，简化计算过程. 卡点，其布洛卡角为0. (1)若0=30°，求证： 跟踪训练②(2025·重庆渝中区二模)法国著名 ①a2+b2+c2=4W3S△Ac(S△AC为△ABC的 军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定 面积)： 理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个 ②△ABC为等边三角形， 等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心 (2)若∠BAC=20,求证：sin2∠BAC= 恰为等边三角形的顶点.”如图，在△ABC中， sin∠ABCsin∠ACB. 1Osim'∠ABC+∠ACB 2 =7-cos2∠BAC.以 听课记录 AB,BC,AC为边向外作三个等边三角形，其外 接圆圆心依次为O1,O2,O3. (1)求∠BAC: (2)若BC=3,△0,0,0的面积为7,5 ,求 △ABC的面积. 馨提示》请完成创新练② 第一部分专题二三角函数与平面向量 057