专题2 培优课4 三角函数中的最值、范围问题-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

4反思感悟，一 跟踪训练③(2025·吉林长春二模)在△ABC 1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠BAC 中a6,e分别为角A,B,C所对的边，且0 ∠B,∠C所对的边分别为a,b,c. b一acos C,角A的平分线交BC于D,且BD= 2DC. (1)求角A; (2)若AC=3,求AD的长. (1)角平分线定理： AB BD AC DC 2)因为SAn十SAAn三Sc,所以b AD·sin ∠BAC ·ADsin ∠BAC 2 2 csin∠BAC,所以(b+c)AD=2ccos∠BAC 1 2bccos ∠BAC 2,整 2 理得AD -(角平分线长公式). b+c 2.解决与三角形的角平分线有关问题的方法 (1)利用角平分线定理找边之间的关系. (2)角平分线把三角形分成两个小三角形，故可 利用此两个小三角形的面积和为大三角形的面 积求解. 馨提示》请完成教考衔接练③ 培优课4三角函数中的最值、范围问题 》考情分析 以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点，常用的方法主要有函数的性质（如有界性、单 调性)、基本不等式、数形结合等 热点分类》考向探究 考向1三角函数式的最值、范围 [例1(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知函数 fx)=sime-》: 若f)=7∈[0,2]，求，的值： (2)设g(x)=f(x)·cosx,求g(x)在区间 口，哥上的最大值和最小值 心听课记录 第一部分专题二三角函数与平面向量 051 4反思感悟…………… 求三角函数式的最值、范围问题的注意点 1.把三角函数式正确地化成单一函数形式。 2.根据所给自变量的范围正确地确定wx十9 的范围，从而根据三角函数的单调性求三角函数式 的范围. 跟踪训练①(2025·重庆江北区模拟)已知函数 fx)=tan asin(空-x小cosx-）-5, (1)求f(x)的定义域与单调递增区间； 角度2三角形边长（周长）的最值、范围 (2)若x∈ 灭，元，求函数f(x)的最值. [例3记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为 44 a,b,c,已知atan Bcos C+csin A=asin2A cos B (1)求证：B+C=2A; (2)若a=3,求2b-c的取值范围， 心听课记录 考向2解三角形中的最值、范围问题 角度1三角形面积的最值、范围 例2△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, 角度3三角形的角或其函数值的最值、范围 c,已知acos名=sinA. [例4(2025·湖北宜昌二模)在△ABC中，内角 (1)求B; A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 (2)若△ABC为锐角三角形，且c=2,求 sin A+1 sin B+1 cos A △ABC面积的取值范围. cos B (1)求证：A=B; 心听课记录 (2)若D是BC的中点，求∠CAD的最大值. 心听课记录 052 红对勾讲与练·高三二轮数学 跟踪训练2在△ABC中，内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,且b2+c2-a2=2 acsin B. (1)求A; (2)若a=2,求△ABC面积的最大值， 4反思感悟…… 解三角形中的最值、范围问题的解题策略 1.定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中 的边、角，利用正、余弦定理求出相关的边、角，并选 择边、角作为基本量，确定基本量的范围. 2.构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变 换，将所求范围的变量表示成函数形式 3.求最值：利用基本不等式或函数的单调性等 求最值. 培优专训》难点突破 1.(2025·河北秦皇岛二模)已知锐角三角形2.(2025·湖北宜昌二模)如图所示，在△ABC ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 中，sinC=3sinB,AD平分∠BAC,且 满足btan Bcos C十c sin B=2 a tan Bcos A. AD=kAC. (1)求A; (1)若DC=2,求BC的长度； (2)若a=-3,求2b-c+2sin2B+)的取值 (2)求k的取值范围； 范围. 8)老Sm-氵求及为何值时，5C最虹， 第一部分专题二三角函数与平面向量 053AC AB 由正弦定理 sin B sin C ,得AC= 5× 25 AB·sinB 5 =2√10，故 sin C 2 2 AB边上的高为AC·sinA=2√/10X 3/10 6. 10 跟踪训练2 解，曲g=2an(c+ 及正弦定理，得 √3sinA sin B √3cosC+sinC, 所以√3sinA=√3 sin Bcos C+ sin Bsin C,sin A sin(B+C), 则√3 sin Bcos C+√3 cos Bsin C= 3 sin Bcos C+sin Bsin C, 化简可得√3 cos Bsin C=sin Bsin C, 又C∈(0，π)，sinC≠0， 所以√3cosB=sinB,所以tanB= √3，又B∈(0，x),所以B= 3 (2)设BD=h,由三角形的面积公式 得Sa=合b~h=分ae sin∠ABC. 1 解得h= √3 ac. 因为b2=a2+c2-2 ac cos∠ABC= a2十c2-ac≥2ac-ac=ac,当且仅 当a=c时，等号成立， 又b=2,所以ac≤4，当且仅当a= c=2时，等号成立， c≤9X4=5,即D的 故h 最大值为√」 考向3三角形的角平分线 教材母题解：在△ABC中，由余弦定理， 得BC2=AB2+AC2-2AB·AC· cos∠BAC=9+4-12× 1 .BC=√7（负值舍去）， AB2+BC2-AC2 ∴.cos B 2AB·BC 9+7-4 27 2X3X√7 7 AC 2 由角平分线定理可得 AB 3 ∴.BD= 3 3√7 .AD2= AB+BD-2AB·BD·cosB=9+ 63 25 -2×3×37 27 108 7 25 .AD 63 (负值舍去). 5 链接真题2 解析：由余弦定理的推论得cos60°= AC2+4-6 2×2AC ,整理得AC-2AC 2=0,解得AC=1十√3（负值舍去. 由角平分线长公式得AD= 2AB·AC·cos ∠BAC 2 AB+AC 2×2×1+5)×0s30=2. 3+√3 1 跟踪训练3解：1)由2c=6-acos C 和正孩定理，可得2 in C=sin B一 sin A cos C, 因为sinB=sin(x-A-C)=sin(A+ C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以分sinC=sin Acos C+sinC· cos A sin Acos C.sin C sin Ccos A. 因为smC≠0，所以cosA=号 因为0<A<x,所以A=合 (2)因为AD是∠CAB的平分线，所以 A0=8D=2解得AB=6: AC CD 又SAABC=S△ABD十S△ACD,则2 AB:AC·sim号=号：AB:AD· 1 sn答+AC.AD:im看， 1 即6X3×号=6：AD,号+3AD 2 解得AD=26 培优课4 三角函数中的最值、 范围问题 》热点分类·考向探究《 例1解：)因为fx)=sm(e-) 由f(x)= 1 得到sm(。-)= 1 解得2。-营=吾十26x(使∈0或 -至=+x∈ 即x。=+2kπ(k专Z)或2。月 13m+2kx(k∈2，又x∈[0,2x],所 12 以，=登或，= (2)因为g(x)=f(x)·cosx= sin(z- cos r-co)in ax 1+g2）-n(2-）- 2 令1=2x- 由]∈【] 则me[ 所以g)在区间[0，引 上的最大值 为-最小值为 4 跟踪训练1解：(1)由题知f(x)的定 义城为：≠质x+合∈ f(x)= sin r cos cosxcos(x-）- 5=sin cos(z-子）-5= sin a cos 1 2 2 sin'x-3= 1 2.x+} (1-cos2x)-√3= 4 1 33 2x 0s2x- 3 4 4 1 令2-≤2-≤2x+ 2 k∈Z→kπ- 2≤≤k+ 5π 12 k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为 k∈Z. ②由x∈[至]得2x-吾 i-s ,],所以-1≤sim(2x 6 2 当sim(2x-子）=-1时，函数fx) 取得最小值 2+33 4 当m(2x-）=2 时，函数f(x) 取得最大值 1-33 4 例2解：(1)由acos 2 =bsin A及正弦 定理，得sin Acos 2 =sin Asin B,又 sinA≠0， B B 所以 cos 2 sinB,则 cos B B 2sin 2 B 1 又cos 2 ≠0，所以sin 2 因为0< 2 之，所 B2 = 解得 T B= 3 (2)因为△ABC是锐角三角形，B= ，所以音<A<晋<C< 1 参考答案287 3sin sin B= √3sinA 管-c sin C sin C 2元 2x sin cos C-cos 3 3 sin C 3 2tan C 2 因为C∈（，），所以anC∈ 停+-）则c∈o. 从面Sac∈(25)，故△AC 面积的取位范围是（停2）小 例3解：(1)证明：，atan Bcos C十 csin A asin 2A sin B cos B cos B ·cosC十 csin A asin 2A cos B 两边同时乘cosB,得a sin Bcos C+ csin Acos B asin 2A. 由正弦定理，得sin Asin Bcos C+ sin Csin Acos B=sin Asin 2A. 在△ABC中，A∈(0，x), ∴.sinA≠0，'.sin Bcos C+cos Bsin C= sin 2A,.'.sin(B+C)sin 2A, 又B+C∈(0，r),.sin2A=sin(B+ C)>0,.2A∈(0，π)，.B+C=2A 或B+C=π-2A, 若B+C=x-2A,且A十B十C=π， 则B十C=x一2A=x一A,.A=0, 不合题意，舍去. ∴.B+C=2A. (2)由(1)可知B+C=2A,又B+ C=x-A心A=3B+C 又由已知可得cosB≠0，∴.B≠ Be(o)U(受)： b 3 sin B sin C sin A 2 23,∴.2b-c=23(2sinB -sin C)= 26[2snB-sin(管-B)]- 2(anB-gB-子n） 2(号nB-9) 65nB-名s）=a(B-若）月 “B∈(0，)U(5,) B-∈()U() m(B-若)∈(3)U (1）26-c∈(-335U (3√5,6). .2b一c的取值范围是（一3,3√3）U (3√3,6). 288红对勾讲与练·高三二轮数学 例4解：1)证明：因为sA十1 cos A A A12 sin B+1 sin2+cos2） 所以 cos B cos A 2 B (sin 2 B2 +cos2】 2 -sin:B 2 A A B B sin 2 ,十cos 2 sin 2 +cos 2 则 = A cos 2 sin A B B cos -sin 2 2 整理得sin A B A B 2 cos 2-cos 2 sin 2 0,即sin（2 -2) =0. 因为A,B∈(0，x),所以2 2 =0 即A=B. (2)由(1)及题设，有AC=BC=2CD, 所以cos∠CAD= AC*+AD:-CD 2AC·AD AC:+AD:AC2 3AC: +AD* 4 4 2AC·AD 2AC·AD 3AC AD 3AC AD 8AD+AC≥2√8AD·2AC 2 所以<CAD≤合，当且仅当A把- AC =2 时，等号成立， 故∠CAD的最大值为？ 跟踪训练2解：(1)因为b2十c2一a2= 2acsin B. b2+c2-a2 所以cosA= 2bc 2acsin B asin B 2bc b a 由正弦定理可得snA=snB,所以 sin A= asin B =cosA,又因为A∈ b (0,π)，所以A= 4 (2)因为b2+c2-a2=2 bc cos A,所以 b2+c2-4=V2bc≥2bc-4,当且仅 当b=c时，等号成立， 即2bc-4≤V2bc,解得bc≤4+2W2, 所以△ABC的面积S=2 besin A= √2 bc≤1+v2, 即△ABC面积的最大值为1+√2. 》培优专训·难点突破《 l,解：(1)由btan Bcos C+csin B= 2 a tan Bcos A及正弦定理，得sinB· tan Bcos C+sin Csin B=2sin A. cos Atan B, 由tanB=sinB cosB,anB>0,得sinB. cos C+sin Ccos B=2sin Acos A, 即sin(B+C)=sinA=2sinA· cosA,而sinA>0,故cosA=2, 又A∈(0,2），所以A= b (2)由正弦定理得 sin B sin C =2√3，则b=2√3sinB,c= sin A 23 sin C, 由C=(-)-9sB+ 2 sin B. 则2b-c+2sim(2B+)=35· sin B-3cos B +2sin(2B+) 6an(B-）+2n(2B+2-） 2os2(B-5）+6sin(B-5）= 2[1-2sn(B-g】+6sin(B 8）=-4sim(B-F）+6sin(B )+2, 0<B< 2 由 则 0<c= 2 3-B 2 B<,即0<B-合< 可得sim(B-)∈(o.）· 令1=sim(B-),则2b-c十 2sin(2B+6）=-4t+61+2= -40-)+ 易知函数f)=-4-)+号 在(，）上单调道指，在(，）) 上单调递减， 0)=2()=是） 35-1,所以2b-c+2sim(2B+ )e(2. 2.解：(1)因为sinC=3sinB, 所以由正弦定理得AB=3AC, 在△ABD中，由正弦定理得 AB BD sin∠ADB sin∠BAD 在△ACD中，由正弦定理得 AC DC sin∠ADC sin∠CAD 因为AD平分∠BAC, 所以∠BAD=∠CAD. 因为∠ADB+∠ADC=π， 所以sin∠ADB=sin∠ADC, 所以 AB BD AC DC' BD 因为AB=3AC,DC=2,所以 3,得BD=6,所以BC=8. (2)因为S△Ax=S△ABD+S△ADC· 设∠BAD=∠CAD=6, 所以2AB·ACsin20=2AB。 ADsn9+号AC·ADsn9. 因为AB=3AC,AD=kAC, 所以3AC·AC·2sin0cos0=3AC· kACsin0+AC·kACsin0. 因为sin0≠0，所以6cos日=4k,所以 3 2 cos 0. 因为9∈(0，），所以cos0∈0,1)， 所以k∈(0，号) (3)由余弦定理得BC=AB+AC- 2AB·ACcos∠BAC= 2AC2(5-3cos∠BAC), 因为Sr=名，所以号AC·AB· 3 sin∠BAC ?,又因为AB=3AC 所以AC= sin∠BAC' 2 所以BC2= sin∠BAC (5- 3Cos∠BAC)=2. 5-3cos∠BAC sin∠BAC 方法一 令y= 5-3cos∠BAC ,易得 sin∠BAC y>0,则ysin∠BAC+3cos∠BAC=5, 所以√y+9sin(∠BAC+p)=5（其 中a9=） 所以当sin(∠BAC+9)=1时，y取得 最小值4， 即当 ∠BAC+g=受时y取得最小 3 值4，此时tan9= 所以 as∠BAC=c(-p） 3 sin=5 因为cos∠BAC=2cos0一1，所以 2cos日-1三号，所以cos9= 2V5 5 3 由(2)知k=2os8,所以k= 2 2√5 35 5 ,即当6=35 时，BC 最短 方法二 BC2=2. 5-3cos28 sin 20 5-3(2cos0-1) 8-6cos0 sin Ocos 0 sin Ocos 0 8sin20+8cos20-6cos20 sin Ocos 8sin20+2cos20 8tan20+2 sin 0cos tan 0 2 8tan 0+ tan 0 ≥8， 2 1 当且仅当8tan0= tan ,即tan0= 2 时取等号，故此时cos6= 2 即 3w5 培优课5与平面向量有关的 最值、范围问题 》热点分类·考向探究《 例1D由正弦定理，得BC=2E sin A 2 4=2R,所以△ABC在以半径为R 2的圆O上（如图），则BA·BC=BC· (BO+OA),由向量数量积几何意义及 垂径定理可知BABC=】BC:+BC. OA≤6十(BCOA)mx,当OA与BC同 向时，BC.OA有最大值为4√3，所以 BA·BC的最大值为6+43.故选D. 0 跟踪训练1A以直线BC为x轴，线 段BC的中垂线为y轴建立平面直角 坐标系xOy(如图所示)， y B DO 则B(-2,0),C(2,0),A(0,23),E(1, √3)，因为BD=BC(0<A<1),则点 D在线段BC(不含端点)上，设D(x, 0),则-2<x<2,DB=(-2-x,0), DE=(1-x,W3),所以DB·DE= (-2-x)(1-x)=x十x-2= +) 、号(2<x<2),所以 当x=-号时，D成.D应取得接小位 -号，当x=2时，D成.D成=4，故 DB.D正的取值范围为 选A. 例2D设a,b共起点，由b-8e·b+ 15=0可得(b-3e)·(b-5e)=0,则 (b-3e)⊥(b-5e),∴.如图，b的终点 在以AB为直径的圆上，设AB中点为 O,Dd1=4:a与e的夹角为， ∴.a一b的最小值为圆心O到向量 a所在直线的距离2减去半径1，为1. 故选D. De A 跟踪训练2A设a=(1,0),b=(0, 2),c=(3cos0,3sin8),0∈[0,2π)， 所以a+b一c=(1一3c0s0,2一 3sin0),所以|a+b-c| √(1-3cos9)+(2-3sin8)F= w√2(7-6sin0-3cos0),设f(0)= 7-6sin0-3cos0,0∈[0,2π)，则 f(θ)=7-3√5sin(0+9),其中 am9=之∈(（o.）,所以e∈ (0,5),所以sin(0+9)∈[-1,1]， 故f(0)∈[7-3√5,7+3√5]，所以 |a+b-c|∈[√2(7-35)， W/2(7+3W5)],即|a+b-c|∈[3 √5,3+√5].故选A. 例3B在△ABC中，点D是边BC上一 点，AD=xAB+yAC,则x+y=1, x>0y>0.2x+5y ty )+)=7+这+ ≥7十 型.2红=7+2√0，当且仅当 5) 2x ，即x= 5-√10 :y 3 √10-2 时取等号，所以2工十5y的最 3 小值为7十2√10.故选B. 跟踪训练3C 由题意，得A 0= A店+心)=2成+名A,周为 2 M,O,N三，点共线，所以m十n=2,又 2+ 8 m>0,n>0,所以 =(m十 72 2 (偏+)=5+0+ 4m ≥5+ m 2 =9,当且仅当m= 2 m 4 n= 时取等号，即2+8的最小值 3 72 为9.故选C. 例4B设|b|=t(t>0),则|a1=3t, 因为a·b=|a1Ib|cos(a,b〉= 3t°cos(a,b〉，所以-3t2≤a·b≤ 3t2,所以0≤(a·b)2≤9t,则c0s0= (a-b)·(a+b) la-ba+b 8t2 √10t2-2a·b·/10t+2a·b 8t2 5,当(a 4 ≥ √/100t-4(a·b)2 b)2=0时取等号，所以c0s日的最小值 为是改莲服 跟踪训练4D 以AB所在的直线为x 轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立 如图所示的平面直角坐标系， 0 B x 则A(-2,0),B(2,0),C(1,3),D(-1, √3)，设M(x,V3)(-1≤x≤1)，则 AM=(x+2,√5)，BM=(x-2, √3)，cosa= x2-4+3 √+2)+3·√/红-2)+3 x2-1 x2-1 /x4-2x2+49 √/(x2-1)+48 令x2一1=t,则一1≤t0,c0sa= 参考答案 289