专题1 教考衔接2 导数中的切割线放缩-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

0(x>0)得x=1,当x∈(0,1)时， g'(x)<0,g(x)单调递减，当x∈ (1,十∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递 增，又g(0)=1,g(1)=一2，作出y= g(x)的大致图象和直线y=a如图， y=g(x) y=a 因为曲线y=x3一3x与曲线y= 一(x一1)2+a在(0，+∞)上有两个 交点，所以等价于直线y=a与函数 y=g(x)的图象有两个交点，所以 a∈(-2,1). 跟踪训练1C若曲线y=x3与直线 y=3x十2有3个不同的交点，则方程 x3一3a.x-2=0有3个不同的解，令 f(x)=x3-3a.x-2,则f(x)有3个 零点，可得f'(x)=3x2-3a,若a≤ 0,f'(x)≥0，则f(x)=x3-3ax-2 是增函数，不可能有3个零，点：若a> 0,由f'(x)=0得x2=a,则x= ±a,当x∈(-∞， -a)U (√a,+oo)时，f'(x)>0,当x∈ (-a,Wa)时，f'(x)<0,所以f(x) 在（一∞，一√a)上单调递增，在 (-a, √a)上单调递减，在 (√a,十o)上单调递增.要使f(.x)有 3个零点，则f(x)的极大值f(-√a) 大于0，极小值f(a)小于0，即 f(-Va)=2a后-2>0，解得 f(√a)=-2aa-2<0, a>1,即实数a的取值范围是 (1,十∞).故选C. 考向2三次函数图象的切线 教材母题解：设切点为(x。,0),易知 f'(x)=3.x2+a, 3.x8+a=0, 则 1 zo+azo+4 =0, 1 解得 3 a三 链接真题解：(1)由题意知f(x)的定义 域为R,f'(x)=3x2一2x+a, 令f'(x)=0,则△=(-2)2一4× 3a=4(1-3a). ①当a≥专时，fx)≥0/x)在R 上单调递增 ②当a<1 时，由3x2-2x十a=0,解得 3 1-√/1-3a 1+√/1-3a 3 3 令f'(x)>0,则x<x1或x>x2; 令f'(x)<0,则x1<x<x2, 所以f(x)在（一∞，x1)上单调递增， 在(x1,x2)上单调递减，在(xg,十o) 上单调递增. 综上，当a≥号时，f(c)在R上单调 递增； 当a< 时，f(x)在（-o0, 1-√个-3a) 上单调递增，在 3 (1--3a1+√/1-3a 3 上单 3 调递减，在(+30，十∞）上单 调递增， (2)设曲线y=f(x)过坐标原点的切 线为l,切点为P(x。,x。一x。十axo十 1),因为f'(x。)=3x。一2x。+a· 所以切线1的方程为y一(x。一x。+ a.x。+1)=(3x6-2x十a)(x-xo), 由1过坐标原点，得2x8一x一1=0， 解得x。=1, 所以切线l的方程为y=(1+a)x, 令x-x2+ax+1=(1+a)x, 则x3一x 2-x十1=0，解得x=±1， 所以曲线y=f(x)过坐标原点的切 线与曲线y=f(x)的公共点的坐标 为(1,1+a)和(-1，-1一a). 跟踪训练2D设切点为(x。,2x。 3x。),y=6x2-3,则切线的斜率为 6x。一3，又切线过点P(1,一2)，所以 2x8-3x。+2=(6x6-3)(x。-1) 则4x8一6x。十1=0.设g(x0)= 4x8-6x6+1,则g'(xo)=12x 12x0,令g'(xo)=0,解得x0 =0或 x。=1,当x0∈（一0,0）和x。∈ (1,+o∞)时，g'(x)>0,函数g(x) 单调递增，当xo∈(0,1)时，g'(x。)< 0,函数g(xo)单调递减，又g(一1)= -4一6+1=一9<0，g(0)=1>0, g(1)=4-6+1=-1<0,g(2) 4×8一6×4+1=9>0，所以存在 x1∈(-∞，0)，g(x1)=0;x2∈(0， 1),g(x)=0;x∈(1，+o), g(xg)=0.所以g(x。)=4x。-6x+ 1的图象与x轴有3个交点，则经过点 P(1,一2)有3条切线.故选D. 考向3 三次函数图象的对称中心 教材母题解：(1)，f(x)=x3一3x2 (x-1)3-3(x-1)-2,.y=f(x+ 1)+2=x3-3x. 设g(x）=x3-3x,则g(-x)= (-x)3-3(-x)=-x3+3x= 一g（x）, ·g(x)为奇函数，.f(x)=x3 3x的图象关于点(1，一2)对称. 即f(x)=x3一3.x2的图象的对称中 心是点(1，一2). (2)函数y=f(x)的图象关于直线 x=a成轴对称图形的充要条件是函 数y=f(x十a)为偶函数. 链接真题AD对于A,f'(x)=6.x 6ax=6x(x-a),由于a>l,故当 x∈(-o∞，0)时，f'(x)>0,f(x)单 调递增，当x∈(0，a)时，f'(x)<0, f(x)单调递减，当x∈(a,十c∞)时， f'(x)>0,f(x)单调递增.则f(x) 在x=0处取得极大值，在x=a处取 得极小值，由f(0)=1>0,f(a)= 1-a3<0,则f(0)f(a)<0,根据函 数零，点存在定理知f(x)在(0，Q)上有 一个零点，又f(-1)=-1一3a<0, f(2a)=4a3+1>0,则f(-1)· f(0)<0,f(a)f(2a)<0,则f(x)在 (-1,0),(a,2a)上各有一个零点，于 是当a>1时，f(x)有三个零，点，A正 确.对于B,f'(x)=6x(x一a),a 0,当x∈(a,0)时，f'(x)<0,f(x 单调递减，当x∈(0，十∞)时， f'(x) 0,f(x)单调递增，此时 f(x)在x=0处取得极小值，B错误. 对于C,假设存在这样的a,b,使得 x=b为曲线y=f(x)的对称轴，则 存在这样的a,b,使得f(x》 f(26- x),即2x3-3ax2+1=2(2b-x)3 3a(2b-x)2十1，根据二项式定理，等 式右边2(2b一x)3的展开式中含有x3 的项为2C(2b)°(-x)3=-2x3,等 式左右两边x3的系数不相等，原等式 不可能恒成立，所以不存在这样的a, b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称 轴，C错误.对于D,方法一（利用对称 中心的表达式化简)，f(1)=3一3a, 若存在这样的a,使得，点(1,3一3a)为 曲线y=f(x)的对称中心，则f(x)+ f(2-x )=6-6a,又f(x) +f(2- x)=2z 9-3a.x2+1+2(2-x)3 3a(2-x)2+1= (12-6a)x2+ (12a-24)x+18-12a,于是6-6a= (12-6a)x +(12a-24)x+18- 12-6a=0, 12a,即12a-24=0, 解得a= 18-12a=6-6a, 2,即存在a=2,使得点(1，f(1)为曲 线y=f(x)的对称中心，D正确.方法 二（直接利用拐点结论），任何三次函 数图象都有对称中心，对称中心的横 坐标是其二阶导数的零点，f(x)= 2.x3-3a.x2+1,f'(x)=6.x2-6ax, f"(x)=12x一6a,由f"(x)= 0工三，得该三次函数图象的对称 中心为点(？f(号)），由题意点1 f(1)为其图象的对称中心，故 2 1台a=2,即存在a=2,使得点(1， f(1))为曲线y=f(x)的对称中心， D正确.故选AD. 跟踪训练3Cf(x)=一3.x2+3= -3(x -1)(x+1),令f'(x)>0,解 得-1 <1,令f'(x)<0,解得 x<一1或x>1,所以f(x)在 (-∞，一1)上单调递减，在(-1,1)上 单调递增 ,在(1，十∞)上单调递减， f(-1)=-1<0,f(1)=3>0,且 f(-2)=3>0,f(2)=-1<0,所以 f(x)在(-2，-1)，(-1,1)，(1,2)上 各有1个零点，共3个零点，A错误； 3y= 十3x为奇函数，所以其图象 关于点(0,0)对称，所以f(x)= 一x3+3x+1的图象关于点(0,1)对 称，B错误；由单调性可知f(x)有2个 极值，点，即x=一1，x=1,C正确；对 于D,令f'(x)=一3.x2+3=3,解得 x=0,则f(0)=1,但是当x=0时， 对于直线y=3x+2,有y=2≠1，即 直线不经过点(0,1)，D错误.故选C. 教考衔接2导数中的切割线放缩 》热点分类·考向探究《 考向1指数、对数放缩 教材母题解：因为f(x)=Inx, g(x)=1-1,所以f(x)=1 参考答案 273 当x=1时，f'(x)=g'(x)=1； 当0<x<1时，g'(x)>f'(x)>1; 当x>1时，0<g'(x)<f'(x)<1. 所以f(x),g(x)在(0，十o)上都是 增函数.在区间(0,1)上，g(x)的图象 比f(x)的图象要“陡峭”；在区间 (1,+o)上，g(x)的图象比f(x)的 图象要“平缓”. 所以f(x),g(x)的图象依次是题图 中的C2,C1. 链接真题解：(1)因为f(x)=a(e十 a)一x,定义域为R, 所以 (x)=ae-1, 当a≤0时，由于e2>0,则ae≤0， 故f'(.x =ae一1<0恒成立，所以 f(x)在R上单调递减： 当a>0时，令f'(x)=ae-1=0, 解得x -lna,当x<-lna时， f'(x)<0,则f(x)在(-∞，一lna) 上单调递减， 当x>-lna时，f'(x)>0,则f(x) 在（一lna,+∞）上单调递增. 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调 递减； 当a>0时，f(x)在(-∞，-lna)上 单调递减，在（一lna,十o)上单调 递增。 (2)证明：证法一（最值法）由(1)得， 当a>0时，f(x)mim=f(-lna）= a(em"+a)+lna=1十a2+lna,要 证fx)>2na+三，即证1+a+ ha>2ma+多，即证a- 2 lna>0恒成立，令g(a)=a2- 2 In a(a >0),则g'(a)=2a 2a2-1 令g'(a)<0,则0<a< 令g'(a)>0,则a> 所以g(a)在(0，)上单调递设，在 (侣，+∞）上单调递增， 所以ga)=(停）=（停） =ln√反>0，则g(a)>0恒 2 成立，所以当a>0时，f(x)>2lna十 2 恒成立. 证法二（放缩法）令h(x)=e2一x 1,则h'(x)=e一1， 所以当x<0时，h'(x)<0: 当x>0时，h'(x)>0. 所以h( 在（一∞，0）上单调递减，在 (0,十∞ )上单调递增 故h(x)≥h(0)=0,则e≥x十1， 当且仅当x=0时，等号成立. 因为f(.x)=a(e十a)-x=ae十 a2-z e'++a2-z2z+In a+ 1+a2-x,当且仅当x+lna=0,即 x=一lna时，等号成立，所以要证 fx)>2na+号，即证x+1na十1计 a:-x 2In a+ ，即证a- 2742因勾讲与练·高三二轮数学 lna>0,令g(a)=a2- 1 2 lna(a>0),则g'(a)=2a 1-2a2-1 a .2 令g'(a)<0,则0<a<2 令g'(a)>0,则a> 2 所以：a)在（号） 上单调递减，在 ,+∞上单调递增， 所以g(a）am= 2 =ln√2>0，则g(a)>0恒 成立，所以当a>0时，f(x)>2lna+ 名恒成立。 跟踪训练1证明：f(x)=lnx x2十x, 要证当x>0时，f(x)<e-x2-2, 只需证lnx<e-x-2. 令g(x)=e-2x-1,则g'(x)= 2e2r-2=2(e2x-1), 当x>0时，g'(x)>0,所以g(x)在 (0,+∞)上单调递增，所以g(x)> g(0)=0, 所以当x>0时，e>2x+1,所以 e2x-x-2>x-1. 令h(x)=x-1一lnx,x>0,则 h'(x)=1一 1,当0<x<1时， h'(x)<0,当x>1时，h'(x)>0, 所以h(x)在(0,1)上单调递减，在 (1,十)上单调递增， 所以h(x)min=h(1)=0, 所以当x>0时，h(x)≥h(1)=0,即 当x>0时，x-1≥lnx 所以当x>0时，e4-x-2>x-1≥ lnx,即lnx<e-x-2, 所以当x>0时，f(x)<e-x2-2. 考向2三角放缩 教材母题证明：sinx<x等价于x sin >0, 令f(x)=x一sinx 则f'(x)=1一cosx, 在(0，π)上f'(x)>0 .f(x)在(0，π)上单调递增， ∴.f(x)>f(0)=0, ∴.x一sinx>0在x∈(0，π)上恒成 立，即sinx<x,x∈(0，π). 如图，由图象可直观得到sinx<x, x∈(0，r). y VEx y=sin r 7 链接真题解：(1)证明：构建F(x)= x一sinx,x∈(0,1)，则F'(x)=1 cosx>0对Hx∈(0,1)恒成立， 则F(x)在(0,1)上单调递增，可得 F(.x)>F(0)=0,所以x>sinx, x∈(0,1)； 构建G(x)=sinx-(x-x2)=x2 x十sinx,x∈(0,1)，则G'(x)= 2x-1+cosx,x∈(0,1)， 令g(x)=G'(x),x∈(0,1)，则 g'(x)=2-sinx>0对x∈(0,1) 恒成立， 则g(x)在(0,1)上单调递增，可得 g(x)>g(0)=0,即G(x)>0对 x∈(0,1)恒成立， 则G(x)在(0,1)上单调递增，可得 G(x)>G(0)=0,所以sinx>x x2,x∈(0,1). 综上所述，当0<x<1时，x一x2< sin x <x. (2)令1-x2>0,解得-1<x<1, 即函数f(x)的定义域为（一1,1）， ①若a=0,则f(x)=1-ln(1一x2), x∈(-1,1)， 因为y=一lnu在定义域内单调递减， y=1一x在（一1,0）上单调递增，在 (0,1)上单调递减， 则f(x)=1一ln(1一x)在(-1,0)上 单调递减，在(0,1)上单调递增 故x=0是f(x)的极小值点，不符合 题意，所以a≠0. ②当a≠0时，令b=|a|>0, 因为f(x)=cosa.x-ln(1-x2) cos l a I x-In(1-z2)cos bx ln(1一x),定义域为（一1,1），关于原 点对称， f(-x)cos(-bx)-In[1- (-x)2]=cosb.x-ln(1-x2)= f(x), 以函数f()为偶函数。 由题意可得f'(x)=一bsin b.x 2.x x∈(-1,1). x2-1 (i)当0<b2≤2时，取m= mm分，1z∈0m>.则x∈0.. 由(1)可得f'(x)=-bsin bx 2x 2x >-bx-2-1 x2-1 x(bx2+2-b2) 1-x9 且b2x2>0,2-b2≥0,1-x2>0, 所以f'(x)> x(b2x2十2-b2) >0, 1-x9 即当x∈(0，m)三(0,1)时，f'(x)> 0,则f(x)在(0，m)上单调递增 结合偶函数的对称性可知f(x)在 (一m,0)上单调递减，所以x=0是 f(x)的极小值点，不符合题意. (i)当6>2时，取x∈(0,6)S (0,1),则bx∈(0,1)，由(1)可得 2 f(x)=-bsin bx x2-1 -b(bx-6'*)2z 1 (-b3x3+b2x2+b3x+2-b), 构建h(.x)=一b3x3十b2x2十b3x十 2-bx∈(0，方)，则'(x) -36x2+26x+6x∈(0,6) h'(x)的图象开口向下，对称轴为直线 x=6∈(0,6），且'0)=6>0. n'(方)=b-b>0,则n'(x)>0对 恒成立，可知h(x)在 (0方)上单调递增，且(0)=2- 6<0,h(5)=2>0, 所以A(x)在(0，)）上存在唯一的零 点n,当x∈(0，n)时，h(x)<0,且 x>0,1-x2>0, b3x+2-b2)<0, 即当x∈(0，n)三(0,1)时，f'(x)< 0,则f(.x)在(0，n)上单调递减， 结合偶函数的对称性可知f(x)在 (一n,0)上单调递增，所以x=0是 f(x)的极大值点，符合题意. 综上所述，b2>2,即a2>2,解得a> √2或a<一√2，故a的取值范围为 (-∞，-√2)U(2,+∞). 跟踪训练2解：(1)函数f(x)=e asin z-1(a>0),求导得f'(x）= e-acos x, 当0<a≤1时，由x∈(0，x),得 acos z<1,e>1,f'(x)>0, 函数f(x)在(0，π)上单调递增，没有 极值点，不符合题意； 当a>1时，令h(x)=f'(x),求导得 h'(x)=e十asin z,而sinx>0,则 h'(x)>0, 函数f'(x)在(0，π)上单调递增，又 f'(0)=1-a<0,f(5）=e2>0, 所以函数'(x)在(0，π)上有唯一零点 x1且x∈(0,2)，则当x∈(0x) 时f(x)<0:当x∈(z1,)时， f'(x)>0.因此f(x)在(0，π)上有唯 一极值点，符合题意. 综上，实数a的取值范围是(1，+c∞). (2)由(1)知，当a>1时，存在x1∈ (0,）,函数f()在(0x)上单调 递减， 当x∈(0，x1)时，f(x)<f(0)=0, 不符合题意； 当0<a≤1时，易得当x>0时， sinx<x,则asin x<ax≤x, 于是当x>0时，e-asin x-1>e x一1，令函数p(x)=e一x1,x>0, 求导得9(x)=e一1>0，函数p(x)》 在(0，十∞)上单调递增，p(x)> p(0)=0, 此时e-asin z一1>0对x>0恒成 立，符合题意 综上，实数a的取值范围是(0,1] 培优课1抽象函数与嵌套函数 》热点分类·考向探究《 例1ABD对于A,令x=1,y=0,则 f(f(1))=f(1)+f(0),因为f(1)= 1,所以f(1)=f(1)十f(0),解得 f(0)=0,故A正确；对于B,令y= 一x,则f(f(x-x))=f(x) 十 f(-x),得f(f(0)= f (z) 十 f(一x),由A可知f(0)=0,所以 f(0)=f(x)+f(-x)=0,即 f(一x)=一f(x),又f(x)的定义城 为R,所以f(x)是奇函数，所以f(x) 的图象关于点(0,0)对称，故B正确； 对于C,令y=1一x,则f(f(x+1 x)=f(x）+f(1 x)= f(f(1)=f(1)=1,即f(x)+ f(1一x)=1,假设f(x)的图象关于 直线x=2对称，则有f(x)=f1- x）=2,与f(1)=1矛盾，所以假设 不成立，f(x)的图象不关于直线x= 1 对称，故C错误；对于D,由f(x)十 2 f(1一x)=1且f(-x)=-f(x),得 f(x)-f(x-1)=1,即f(x) f(x-1)+1,所以f(2)=f(1)+1=2, f(3)=f(2)+1=3,…,f(2025)= 2025,故D正确.故选ABD. 例2C由题意，定义在R上的函数 f(x)满足f(一x)=f(x),则f(x) 为R上的偶函数，且在[0，十o)上单 调递减，在（一©○，0]上单调递增.又函 数g(x)满足g(1一x)=g(1十x), ∴.函数g(x)的图象关于直线x=1 对称，且在[1，十○)上单调递减，在 (一∞，1]上单调递增.F(x)= 2fx)十g(x)+|f(x)g(z)门户 f(x),f(z)≥gx),作出函数 g(x),f(x)<g(x), F(x)的大致图象如图， =x)/个 y=g(x) 2.- x=l :1十x2与1一x2关于直线x=1对 称，且1-x2≤1十x2,.结合函数图 象可得F(1一x)≥F(1十x2).故 选C. 例3ABC因为f(x)与f(x+1)-2均 为奇函数，所以f(0)=0,f(一x）= -f(x),f(-x+1)-2=-[f(x+ 1)-2],即f(x+1)+f(1-x)=4, 令x=0,有2f(1)=4→f(1)=2,由 f(x+1)+f(1-x)=4→f(x+2)+ f(-x)=4→f(x+2)-f(x)=4, 所以f(2025)=f(2025)-f(2023)]+ Lf(2023)-f(2021)]+·+f(5) f(3)]+[f(3)-f(1)]+f(1)=4× 1012十2=4050，故A正确；对f(x+ 1)+f(1-x)=4求导有f'(x+1) f'(1-x)=0→f'(1+x)=f'(1 x),即f'(x)的图象关于直线x=1 对称，故B正确：由f(1十x)=f(1一 x)→f(x+2)='(-x),对 f(-x)=-f(x)求导有-f(-x) -f'(x)→f'(-x)=f'(x),即 f'(x)为偶函数，即得f'(x十2)= f'(一x)=f'(x),所以f'(x)的一个 周期为2，所以f'(x十2026)= f'(x+2×1013)=f'(x),故C正确； 因为f'(x)的一个周期为2，所以 f(2i-1)=f”(1)=2,所以 ∑f(2i-1)=4050,故D错误.故 选ABC. 跟踪训练1(1)C因为定义在(0， +∞)上的函数f(x),满足f(xy）十 1=f(x)+f(y),所以令x=y=1, 得f(1)+1=f(1)+f(1),所以 f1)=1,令y=?,得f(5)+1= f(x)+f(2),因为f(2)=0,所 以f(x)=f(2)+1,所以f2)= f(2)+1=f(2“)+2=…=f(2)+ 9=f(1)+10=11.故选C. (2)D因为f(x十2)为奇函数，所以 f(-x+2)=-f(x+2),用x+2代 替x得f(-x)=-f(x+4),又f(x) 为定义在R上的奇函数，所以 f(-x)=一 (x)=-f x十4)，所 以f(x)=f(x+4),f(x)是以4为周 期的周期函数，因为f(1)=2,所以 f(2027)=f(4×507-1)=f(-1) = -f(1)=-2.故选D. (3)ABD对于A,因为f(x)是定义 城为R的偶函数，所以f(一x)= f(x),由f(1一x)=f(1十x)可知， f(x)图象的一条对称轴为直线x= 1,且f(-x)=f(x+2),即得f(x+ 2)=f(x),则f(x)的一个周期为2， 故A正确：对于Bf()=f(?) 3(8)=f(3） (3)=子，因为(3)>(3)， 所以f()>f(),故B正确： 对于C,根据题意，可以作出函数f(x》 的图象如下， =) -2 2 4 由上分析知，函数f(x)的最小正周期 为2，当0≤x≤1时，f(x)=x,则由 fx)>名可得号<x≤1，而当1< x≤2时，f(x)=2-x,则由f(x)> 2可得1<x<3 ,综上可得0 2 1 x≤2时，由f(x)> 可得2 <I 三，战对子x∈R,则f(x)>2 的解 案为（号+2 号+2）∈么，战C 错误；对于D,由图知对于k∈Z,必有 f(2k)=0,故D正确.故选ABD 例4C函数y=[f(x)]-3f(x)+ 2=[f(x)-1][f(x)-2]的零点， 即方程f(x)=1和f(x)=2的根，函 |lg(-x)|+1,x<0, 教f(x)= {(2)广+1x≥0 的图象如图所示， 参考答案 275[链接真题]（多选）(2024·新课标Ⅱ卷)设函 4反思感悟，… 数f(.x)=2x3-3a.x2+1,则 三次函数f(x)=ax3十b.x2十cx十d(a≠0) A.当a>1时，f(x)有三个零点 的图象一定有对称中心，其对称中心横坐标为x= B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 32,即f'(x)=3ax2十2bx十c图象的顶点的横型 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对 标，也即f"(x)=6a.x十2b的零点，即三次函数 称轴 f(x)=a.x3+bx2+cx十d(a≠0)的图象的对称中 D.存在a,使得点(1，f(1)为曲线y=f(.x) 心在其导函数f'(x)=3ax2十2bx十c的图象的对称 的对称中心 轴上. 心听课记录 跟踪训练3已知函数f(x)=-x3+3.x十1，则 下列结论正确的是 () A.f(x)有2个零点 B.点(1,1)是曲线y=f(x)的对称中心 C.f(x)有2个极值点 D.直线y=3.x+2是曲线y=f(x)的切线 温髻提示》请完成教考衔接练① 教考衔接2 导数中的切割线放缩 》考情分析 在高考试题中涉及不等式的证明、恒成立问题，或比较大小问题，可利用切线放缩解决问题，比把问题转化 为函数的单调性、最值问题相对简捷，但是该方法技巧性强，难度较大，需要有敏锐的观察能力和严谨的 思维， 热点分类》考向探究 考向1指数、对数放缩 [教材母题]（人教A版选择性必修第二册P89 1 例4)设x>0,f(x)=lnxg(x)=1- x 两个函数的图象如图所示.判断f(x),g(x) 的图象与C,C2之间的对应关系. C2 。听课记录 [链接真题](2023·新课标I卷)已知函数 f(x)=a(e"+a)-x. (1)讨论∫(x)的单调性； (2)求证：当a>0时，f(.x)>2lna十 3 2 第一部分专题一 函数、导数 025 心听课记录 考向2三角放缩 [教材母题]（人教A版选择性必修第二册P97 练习T1)利用函数的单调性，证明下列不等 式，并通过函数图象直观验证：sinx<x, x∈(0，π). 听课记录 4反思感悟， 1.思维导图 过函数图象上 点的切线方程 利用切线放缩 必备 常见 求最值 函数的单调性 知识 题型 利用切线放缩 函数的最值 切 证明不等式 线 放缩时选择不 e≥x+1 缩 等式不恰当 lnx≤x-l 必备 常见 运用切线不等式 er≥ex 解法 误区 时等号取舍错误 lhx≤造 求最值时忽略验 证等号能否取到 2.图形表示 y 2 y=ex y=x+l y=合 y=e y=Inx [链接真题](2023·新课标Ⅱ卷)(1)求证：当 0<x<1时，x-x2<sinx<x; 跟踪训练①已知函数f(x)=lnx-x2+x,求 (2)已知函数f(.x)=cosa.x-ln(1-x2),若 证：当x>0时，f(x)<e2x一x2-2. x=0是f(x)的极大值点，求a的取值范围. 听课记录 026红网勾讲与练·高三二轮数学 (2)若f(x)>0在(0，+∞)上恒成立，求实数 a的取值范围. 4反思感悟… 1.当0<b≤2时，利用sinx<x,x∈(0,1)， 换元放缩. 2.当b2≥2时，利用x-x2<sinx,x∈(0， 1),换元放缩. 跟踪训练②已知函数f(x)=e一asin x 1(a>0). (1)若f(x)在区间(0，π)内有唯一极值点x1, 求实数a的取值范围； 温髻提示》请完成教考衔接练② 培优课1抽象函数与嵌套函数 》考情分析 1.以选择题、填空题的形式考查抽象函数性质的应用，难度中档偏上 2.以选择题、填空题的形式考查嵌套函数零点的个数或由零点的个数求参数等，难度中档或偏上， 热点分类》考向探究 考向1抽象函数 角度2数形结合研究抽象函数 角度1赋值法研究抽象函数 例2(2025·重庆江北区质检)已知定义在R上 [例1（多选）(2025·广东深圳三模)已知函数 的函数f(x),g(x),其中f(x)满足f(一x)= f(x)的定义域为R,f(f(x+y)=f(x)+ f(x)且在[0，十∞)上单调递减，函数g(x)满 f(y),f(1)=1,则 足g(1-x)=g(1+x)且在[1，+∞)上单调 A.f(0)=0 递减，设函数F(x)= 2fx)+ge)十 B.f(x)的图象关于点(0,0)对称 |f(x)-g(x)门，则对任意x∈R,均有 Cf)的图象关于直线x=号对称 () D.f(2025)=2025 A.F(1-x)≥F(1+x) B.F(1-x)≤F(1+x) 听课记录 C.F(1-x2)≥F(1+x2) D.F(1-x2)≤F(1+x2) 心听课记录 第一部分专题一 函数、导数 027