中档大题规范练2-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习考前增分练

(1,一1)，(1,0)，(1,1)，共9种.设每 行、每列的三个向量的和为s=(m, n),因为xy:∈{-1,0,1}，所以m, n∈{-3，-2，一1,0,1,2,3}.又因为 三行向量和等于三列向量和，且所有 向量和为∑a,所以3s=∑a,而 = ∑a:的x分量和y分量都为0(z, i=】 y:取值一1,0,1且各有3个)，所以 5=(0,0).要使每行、每列的三个向 量和为(0,0)，则每行、每列的三个向 量的x分量和与y分量和都分别为0. 对于x分量，3个数的和为0，有“一1， 0,1”这一种组合情况；对于 y分量，3 个数的和为0，也有“一1,0,1”这一种 组合情况.先确定第一行的填法，第 一行的三个向量的x分量和y分量都 要满足“一1,0,1”的组合，x分量的排 列有A=3!=6(种)，y分量的排 列也有A=3!=6(种)，所以第一 行的填法有6×6=36（种）.当第一行 确定后，第二行第一列的向量x分量 要与第一行第一列和第三行第一列 的x分量和为0,3 分量同理，所以第 二行第一列的向量有2种，当第二行 第一列的向量确定后，剩下所有的向 量都唯一确定，所以不同的填法种数 是36×2=72. 中档大题规范练1 1.解：(1)因为f(x)=x(a+nx),x>0, 所以f'(x)=a+nx+x·L In x +a+1,>0. 由题意f'(e)=4→lne+a+1= 4→a=2. (2)因为f(x)=x(2+lnx),x>0, 所以f'(x)=lnx+3,x>0. 由f'(x)>0→lnx+3>0→x>e3: 由f'(x)<0→lnx十3<0→0<x e3. 所以函数f(x)在(0，e3)上单调递 减，在(e3,十o)上单调递增. 所以当x=e3时，函数取得极小值， 且f(e3)=e3.[2+(-3)]=-1 2.解：(1)证明：如图，连接BD交AC于 点O,连接SO, 因为四棱锥S-ABCD是正四棱锥，所 以SO⊥平面ABCD. 又ACC平面ABCD, 所以SO⊥AC. 在正四棱锥S-ABCD中，四边形 ABCD是正方形，所以AC⊥BD. 因为AC⊥SO,AC ⊥BD,SO BD=O,SO,BDC平面SBD, 所以AC⊥平面SBD.又SDC平 面SBD,所以AC⊥SD. Z+ (2)因为OS⊥OB,OS⊥O℃，OB⊥OC 所以以O为原点建立如图所示的空间 直角坐标系， 则A(0,一1,0)，S(0,0,3),C(0,1, 0),D(-1,0,0),所以CD=(-1,-1, 0),SA=(0,-1,-3),D5=(1,0, 3), 市-成+D成=C成+店 (-1,-1,0)+（ 所以os(SA,CP)= sAcp反 ISA IICP 28' 因此异面直线SA与CP所成角的余弦 值为识 3.解：(1)证明：设OC=x,OB=y,则 OA =2-,OD =22-y. 在△AOD中，由余弦定理得AD2= (2-x)+(22-y)-2X(2-x)X -x号 在△BOC中，由余弦定理得BC= r+y-2ay×9 因为BC=AD,所以(2一x)2+ (2V2-y)2-2×(2-x)×(2V2 y)X② =x+)2-2zyx 2 化简得y=√瓦，故O为BD的中点. (2)如图， B 过点D作DE∥BC,交AC于点E, 则∠EDO=∠CBO. 〔∠EDO=∠CBO, OD =OB, 由 ∠EOD=∠COB= 4 △OED≌△OCB, 所以BC=DE.又BC=AD,所以 DE=DA,所以A=∠DEA, 所以∠OED=x一A. 又∠OBD=C,B+C=x-牙=3 4 所以A=B十子 由√5sin2A+cosB=√5→5· sim2(B+)+osB=625· cos 2B +cos B =5, 所以W5(2c0s2B-1)+cosB=√5→ 2√5cosB+cosB-25=0. 又-1<cosB<1,所以cosB= 25,所以simB=5 5 5 所以snC=sm(受-B）= sin(B+F）=sin Bcos eBin子-号×5-30在 5 10 OB △OBC中，根据正弦定理，可得 sin C OC √2 OC 2 sin B 3√10 5 →OC= 3 10 5 4.解：(1)A夺冠即为三轮比赛都获胜，所 以A夺冠的既率为()”=品 由题意，B~H七名运动员水平相同， 且八名运动员各自夺冠概率之和为1， 所以B~H七名运动员各自夺冠的概 率均为时×(1-)=品 (2)记事件B=“B获得冠军”，事件 A=“B与A对决过”，事件A:=“B与 A在第i轮对决”，i=1,2,3. 不妨设A在①号位，则B在第1,2,3轮 能与A对决时其位置编号分别为②， ③④，⑤⑥⑦⑧. P(AB)=P((A1+A2+A,)B) = P(AB)+P(A2B)+P(A;B), p(A,B)=子X(1-子)× 21 = 1 2 ,P(A:B)=7 84 1=, 63 2 P(AsB)=- 7 2× 1-) 189 所以P(AB)= 1 1 4 37 84 +63 189 756 (3)记事件C=“B与C对决过” B没有与A对决过且最后获得冠军的 概率P(AB)=P(B)一P(AB)= 19 37 13 189 756 252 P(BC) P((A +A)BC) = P(ABC)+P(ABC)=P(AB)P(C AB)+P(AB)P(C AB). 由题意，C~H六名运动员与B对决过 的概率相同，B夺冠时共与三名运动员 对决. 所以P(CIAB)= AB)= 3 6 37 代入得P(BC)= 2 + 13 756 252 3 191 6 4536 中档大题规范练2 L解：/r)=9 sin or十eos 2U. 2 sin 2 WT 2 因为函数y=f(x)的图象的相邻两 个对称中心间的距离为受，所以号 = 故T=元 因为w>0,所以w= =2, 参考答案 391 所以f(x)=sin(2x+) 令-+26x≤2x+≤受+2张x k∈Z, 得-号 十kπ 所以∫(x)的单调递增区间为 [+：+] (k∈Z). 2)因为x∈[0，]，所以 2x+ 6, 所以-子≤sn(2x+)<1. 当2x+若=2，即x=音时x) 62 取最大值，最大值为1： 当2x+若-即x=受时) 7x 1 取最小值，最小值为 2.解：(1)证明：因为△ABC内接于圆O, AB为圆O的直径，所以AC⊥BC 因为CD⊥平面ABC,BCC平面 ABC,所以CD⊥BC. 又AC,CDC平面ACD,AC∩CD C,所以BC⊥平面ACD. 因为BCC平面BCE,所以平面 BCE⊥平面ACD. (2)因为CD⊥平面ABC,AC,BCC 平面ABC,所以CD⊥AC,CD⊥BC. 以C为坐标原点建立如图所示的空间 直角坐标系， 因为AB=5,BC=1,所以AC=2,则 A(2,0,0),B(0,1.0),D(0,0,2√3)， E(1,0W5),C(0,0,0), 所以CE=(1,0,√3)，CB=(0,1,0). 设平面BCE的法向量为m=(x1,y1, m.CE 1),由 m .CB 二0·得 =0, x1+31=0, y1=0, 不妨设之1=1，则x1=一√，所以平 面BCE的一个法向量为m=(一√3,0， 1) 又BD=(0,-1,25),DE=(1. 0,-5), 设平面BDE的法向量为n=(x,y2, n·BD 之2)，由 二0·得 n.DE =0, -y+23 =0, x-√5之2=0， 不妨设2=1，则x2=√3，y2=25, 所以平面BDE的一个法向量为n= (√3,23,1). 1n·n -2 所以cos(m,n〉= Im n 2×4 3922对勾讲与练·高三二轮数学 1 4 即平面BCE与平面BDE所成锐二面 角的余弦值为 1 3.解：)因为3=a.十1-，n∈ =a:-t,又s:=a+a:, N,所以2 所以a2-a1=2t, 又a:=a1+2,所以t=1, (2)证明：由(1)可得=a.+1-, n∈N",所以Sm=nam+n-n2， 因此S+1=(n+1)a+1十n+1-(n+ 1)2,相减得am+1=(n十1)am+1一ma,一 2n, 得a+l一am=2,n∈N”,所以{am}为 等差数列. 3)由(2)得S。=a1+nn- -X 2 2=n2+(a1-1)n, 由n<Sm<(n+1),n∈N,得1< a1<3+n 因为1<a1<3+上对”∈N恒成 立，所以1<a1≤3. 4.解：(1)①记甲先上场且挑战没有一关 成功的概率为P,则P=(1一p)(1 1 g)=3 ②依题可知，X的可能取值为0,1,2， 则P(X=0)= 39 P(X=1)=(1-p)(1-g)+(1 p1-9)=2×1-2)×(1 )+-)××(0 )-8 P(X=2)=1-}-5=2 3-18=18 所以E(X)=0×号+1×是+2× 19 8=18 (2)相同.理由如下： 设甲先出场比赛挑战成功的概率为 P,,乙先出场比赛挑战成功的概率 为P2, 则P1=p”+p”-1(1-p)g+p”-2(1- p)g2+…+(1-p)g”=(p”+ p"q+p"g+…+g")-（pg+ pg2+p"g3+…+g"); P。=g”+g”1(1-q)p+g"2(1- g)b2+…+(1-g)p"=(g”+g”-1p+ q-2b+…+p")-(g"p+g”p°+ g2p3+…+gp"）. 由p”+pq+p-g+…+g”= g”+q”p+g"2p°+…+p”, p"g+p-1g2+p-2g3+…+pg”= q"p十q”-b2十q”2p3十…十qp”,得 P1=P2 因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战 成功的概率相同. 中档大题规范练3 1.解：(1)完善表格如下表： 单位：人 工资 性别 超过 不超过 合计 5500元 5500元 男性居民 200 180 380 女性居民 280 240 520 合计 480 420 900 零假设为H。:工资的多少与居民的性 别没有相关性， 则X2= 900×(200×240-180×280) 380×520×480×420 0.13<3.841, 故依据小概率值α=0.05的独立性检 验，没有充分证据推断H。不成立， 即认为工资的多少与居民的性别没有 相关性. (2)由题意知工资超过5500元的概率 为P= 480 8 900 15 记至少2人工资超过5500元为事件 A,所以P(A)=C ()×品+ () 1856 3375 2. 解：(1)由已知，S+1十2=am十 3n十Sm,则aw+1=S+1一S。=am十 3n-2, 即a+1一am=3n一2，则am一am-1= 3n-5,aw-1一aw-2=3n-8,…a2 a1=1, 等式左右分别相加可得am一a1= (3n-5)+(3n-8)+…+1= (3n-5+1)(n-1) 2 3n2-7n+4 2 则a,= 3m2-7n+4+a1= 2 3n2-7n+8 2 (2)由(1)得a。= 3n2-7n+8 ,且 2 an > 3n+5,即 n°-7n+8 2 2 3n+5 2 化简可得(3n一1)(n一3)>0， 解得n<。或n>3. 3 又n∈N,所以满足a,>3m+5的 2 n的最小值为4. (3)证明：依题意得，b。= 1 6am+6n-20 9n2-15n+4 1 则工.-(1-名 5班级： 姓名： 中档大题规范练2 (分值：60分 时间：50分钟) 2.(15分)如图，△ABC内接于圆O,AB为圆O的直 1.(13分)已知函数f(x)= √ 2 sin wx cos: 2 径，CD⊥平面ABC,E为线段AD的中点. 。>0>.函数y=f)图象的相第两个对称中 得分 (1)求证：平面BCE⊥平面ACD; 心之间的距离为求： 得分 (2)若AB=√5，BC=1,CD=2√5，求平面BCE与 (1)w的值及f(x)的单调递增区间； 平面BDE所成锐二面角的余弦值 (2)f(x)在区间0,2 上的最大值和最小值。 (横线下方不可作答)249] 中档大题规范练 3.15分)已知数列{a,)的前n项和S.满足s 4.(17分)甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该 挑战比赛共分n(n∈N*,n≥2)关，规则如下：首 am十(1-n)t,n∈N*,t为常数，且a2=a1十2. 先某队员上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则 得分 该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由 (1)求t的值： 第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始 (2)求证：{an}为等差数列： 继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成 (3)若n2<Sm<(n+1)2,n∈N*,求a1的取值 功，挑战比赛结束.若甲每一关挑战成功的概率均 范围. 为p(0<p<1),乙每一关挑战成功的概率均为 q(0<q<1),且甲、乙两人每关挑战成功与否互 不影响，每关成功与否也互不影响.得分 0已知甲先上场p=号g=合m=2 1 ①求挑战没有一关成功的概率； ②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数， 求E(X). (2)如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功.试 判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是 否相同，并说明理由. 红对勾讲与练 250 高三二轮数学 ■