专题07 概率初步(续)9大题型（期末复习专项训练）高二数学下学期沪教版

**基本信息** 聚焦概率初步进阶知识，以题型为载体构建从条件概率到正态分布的完整逻辑链，通过区域期末真题强化核心素养与应试能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |条件概率|8题|结合互斥/独立事件，考查定义与实际应用|从基础概念到复杂情境，衔接古典概型| |全概率公式|5题|多情境分类计算，含比例、转移问题|体现分步思维，为贝叶斯公式铺垫| |随机变量特征|8题|均值、方差计算与性质应用，含实际分布|从离散变量到数字特征，构建统计思维| |二项分布|4题|独立重复试验，求分布列与期望|连接概率与分布，强化模型意识| |正态分布|12题|性质应用、区间概率、参数求解|从连续分布到统计推断，培养数据观念|

专题07 概率初步(续) 题型1 计算条件概率（重点） 题型6 利用二项分布求分布列（常考点） 题型2 利用全概率公式求概率 题型7 正态曲线的性质 题型3 计算条件概率 题型8指定区间的概率（常考点） 题型4求离散型随机变量的均值 题型9根据正态曲线的对称性求参数（难点） 题型5 离散型随机变量的方差与标准差（重点） 题型一、计算条件概率（共4小题） 1．（24-25高二下·上海浦东新·期末）下列四个命题中，真命题的个数是（   ） （1）若，则 （2）若，则 （3）若，且A，B为互斥事件，则A，B不为独立事件． （4）若，A和C为互斥事件，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25高二下·上海崇明·期末）某班级有40名学生，其中男生21名，女生19名，男生中有10名团员，女生中有9名团员，在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则_______． 3．（25-26高二下·上海奉贤·阶段检测）已知、为随机事件，且，，若，则___________. 4．（24-25高二下·上海浦东新·期末）不透明的袋中装有编号为1，2，…，10的10个小球，现从中随机有放回地取4次，每次取1个球，已知摸出的球中有编号为5的球，则摸出的球中最大编号大于等于7的概率是________． 题型二、利用全概率公式求概率（共5小题） 5．（25-26高二下·上海松江·阶段检测）某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则________． 7．（24-25高二下·上海·期末）某中学高一、高二、高三的学生人数比例为，假设该中学高一、高二、高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.5，0.7，0.9，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率________． 8．（24-25高二下·上海崇明·期末）某地市场上，某商品主要有甲、乙两种品牌，已知甲的市场占有率为45%，乙的市场占有率为55%．已知甲品牌一等品比例为90%，乙品牌一等品的比例为95%．现在该地市场上任取一件该商品，它是一等品的概率是_______． 9．（24-25高二下·上海浦东新·期末）有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球，2个红球；乙袋中有2个白球，3个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为________．（结果为精确值） 题型三、计算条件概率（共4小题） 10．（24-25高二下·上海·期末）甲、乙两选手进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采取五局三胜制.则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为______. 11．（25-26高二下·上海·阶段检测）现从5名男生和3名女生中随机选取3人参加数学建模竞赛，在女生甲被选中的条件下，另有2名男生被选中的概率为_________． 12．（25-26高二下·上海·期中）甲同学共有10支笔，其中8支黑色，2支红色.乙同学向甲同学借走2支笔.已知乙同学借走的一支是红色，则另一支也是红色的概率为_____. 13．（24-25高二下·上海·期末）学工部收到两个班级优秀学生的推荐表，分装两袋，第一袋有4份女生和2份男生的推荐表，第二袋有3份女生和3份男生的推荐表. (1)从两袋中随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表的概率； (2)若从第二袋中先后取出两份推荐表，求有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表的概率，和第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表的概率. 题型四、求离散型随机变量的均值（共4小题） 14．（25-26高二下·上海·期中）若随机变量的分布为，则的期望________. 15．（25-26高二下·上海松江·阶段检测）乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜，比赛结束.在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球甲同学得分的概率为，且对以后的每一球，若甲同学在这一球中得分，则他在下一球的得分概率为，若甲同学在这一球中未得分，则他在下一球的得分概率为． (1)求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率； (2)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和期望． 16．（24-25高二下·上海浦东新·期末）某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛． (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率． 17．（24-25高二下·上海·月考）某厂家生产两批同种规格的乒乓球，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查． (1)从混合的乒乓球中任取1个，求这个乒乓球是合格品的概率； (2)从混合的乒乓球中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 题型五、离散型随机变量的方差与标准差（共4小题） 18．（24-25高二下·上海·月考）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二下·上海奉贤·阶段检测）已知离散型随机变量、满足，其中的分布如下：，且，则___________. 20．（25-26高二下·上海·期中）甲､乙两队进行乒乓球双打比赛，规定每局比赛必须决出胜负，采用五局三胜制，即先赢得三局比赛的队伍获胜.已知每局比赛甲队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立. (1)设，记比赛结束时的场数为，求的分布､期望和方差； (2)已知甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为，求的值. 21．（24-25高二下·上海·期末）某中学选派12名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 2 4 6 (1)从这12名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； (2)从这12名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望与方差（结果用最简分数表示）． 题型六、利用二项分布求分布列（共4小题） 22．（24-25高二下·上海·期末）已知鸡接种一种疫苗后，有不会感染某种病毒.如果3只鸡接种了疫苗，那么没有鸡感染病毒的概率为______. 23．（24-25高二下·上海·期中）将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是______. 24．（24-25高二下·上海·月考）福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油.已知某工艺师制作出一件优秀作品的概率为，在某次福州纸伞的比赛中，该工艺师制作了4件作品. (1)设该工艺师制作的优秀作品数为X，求X概率分布列及期望； (2)若制作一件优秀作品得10分，制造一件不合格品扣5分，求该工艺师在本次比赛中得分的期望和方差. 25．（24-25高二下·上海·期末）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，Al的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、豆包、文心一言四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、豆包、文心一言的大模型人次如下： 大模型种类 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． (1)从该地区教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型．求和．并据此判断事件和事件是否独立： (2)从该地区使用3种大模型（、、豆包、文心一言）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求的分布列及其数学期望； (3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型（、、豆包、文心一言）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小，并说明理由． 题型七、正态曲线的性质（共5小题） 26．（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量，，有以下两个命题：①；②存在，使得对任意，． 那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 27．（24-25高二下·上海·期末）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（    ）. A．关于直线对称 B．关于点成中心对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 28．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量服从正态分布且则________． 29．（24-25高二下·上海奉贤·期末）某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差，已知每包糖果的实际质量服从、的正态分布，随意买一包该公司生产的糖果，其质量误差超过（即1%）的可能性为________.（结果精确到0.1%） （参考数据：若，则，，） 30．（23-24高二下·上海·月考）设，已知随机变量，随机变量.若，则________. 题型八、指定区间的概率（共4小题） 31．（25-26高二下·上海·期中）在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩服从正态分布.已知，则从中任选一名学生的数学成绩超过90分的概率为_________. 32．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知随机变量服从正态分布，且，则__________. 33．（24-25高二下·上海·阶段检测）随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为________. 34．（24-25高二下·上海·月考）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：    (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. (2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50.用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元.已知硬币出现正、反面的概率都是0.5，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第20格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次.若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格（胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值. 题型九、根据正态曲线的对称性求参数（共3小题） 35．（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量，，且，，则__________． 36．（25-26高二下·上海闵行·期中）已知随机变量，且，则__________. 37．（25-26高二下·上海奉贤·阶段检测）已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________. 试卷第1页，共3页 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 概率初步(续) 题型1 计算条件概率（重点） 题型6 利用二项分布求分布列（常考点） 题型2 利用全概率公式求概率 题型7 正态曲线的性质 题型3 计算条件概率 题型8指定区间的概率（常考点） 题型4求离散型随机变量的均值 题型9根据正态曲线的对称性求参数（难点） 题型5 离散型随机变量的方差与标准差（重点） 题型一、计算条件概率（共4小题） 1．（24-25高二下·上海浦东新·期末）下列四个命题中，真命题的个数是（   ） （1）若，则 （2）若，则 （3）若，且A，B为互斥事件，则A，B不为独立事件． （4）若，A和C为互斥事件，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】独立事件的乘法公式、计算条件概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】利用条件概率和事件的独立性即可判断（1），由与相互独立，不能推出与相互独立即可判断（2），根据独立事件的定义即可判断（3），由A和C为互斥事件得与互斥利用条件概率公式即可判断（4） 【详解】若，所以， 所以与相互独立，所以成立，故（1）正确； 若，所以与相互独立，不能推出与相互独立， 反例：在抛两次硬币试验中，设：第一次抛正面朝上；：第二次抛正面朝上； ：两次结果相同，那么独立，但不独立，故（2）错误； 因为与互斥，所以，所以与不是独立事件，故（3）正确； 因为，所以与互斥， 所以，故（4）正确； 所以真命题共有（1）（3）（4）三个． 故选：C 2．（24-25高二下·上海崇明·期末）某班级有40名学生，其中男生21名，女生19名，男生中有10名团员，女生中有9名团员，在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则_______． 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】先根据古典概型概率公式求出各事件的概率，再根据条件概率公式，求出条件概率. 【详解】已知男生中有10名团员，女生中有9名团员，共有19名团员，则， 已知男生中有10名团员，则, 可得， 故答案为：. 3．（25-26高二下·上海奉贤·阶段检测）已知、为随机事件，且，，若，则___________. 【答案】/ 【知识点】概率的基本性质、计算条件概率 【分析】根据题意结合条件概率公式可得，结合概率性质可得，即可得结果. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 且，所以. 4．（24-25高二下·上海浦东新·期末）不透明的袋中装有编号为1，2，…，10的10个小球，现从中随机有放回地取4次，每次取1个球，已知摸出的球中有编号为5的球，则摸出的球中最大编号大于等于7的概率是________． 【答案】 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率、实际问题中的组合计数问题 【分析】首先求出事件“摸出的球中有编号为5的球”的概率，然后求出事件“摸出的球中有编号为5的球，且摸出的球中最大编号大于等于7”的概率，最后根据条件概率公式求出结果. 【详解】令“摸出的球中有编号为5的球”为事件，“摸出的球中最大编号大于等于7”为事件， 则事件的情况包括1次球的编号为5，2次球的编号为5，3次球的编号为5和4次球的编号为5，这四种情况， 所以. 而事件表示的是“摸出的球中有编号为5的球，且摸出的球中最大编号大于等于7”， 此事件的情况包括： 当1次球的编号为5时，其余球的最大编号大于等于7的球可能为1次，2次或3次； 当2次球的编号为5时，其余球的最大编号大于等于7的球可能为1次，或2次； 当3次球的编号为5时，其余球的最大编号大于等于7的球为1次； 所以. 所以. 故答案为：. 题型二、利用全概率公式求概率（共5小题） 5．（25-26高二下·上海松江·阶段检测）某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率 【详解】设小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件，则， ，， ，，， 由全概率公式得： ， . 6．（24-25高二下·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则________． 【答案】 【知识点】条件概率性质的应用 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 7．（24-25高二下·上海·期末）某中学高一、高二、高三的学生人数比例为，假设该中学高一、高二、高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.5，0.7，0.9，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率________． 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式计算可得. 【详解】根据题意选取选手来自高一、高二、高三的概率分别为, 所以随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率 . 故答案为：. 8．（24-25高二下·上海崇明·期末）某地市场上，某商品主要有甲、乙两种品牌，已知甲的市场占有率为45%，乙的市场占有率为55%．已知甲品牌一等品比例为90%，乙品牌一等品的比例为95%．现在该地市场上任取一件该商品，它是一等品的概率是_______． 【答案】/ 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】先设事件，根据已知条件，写出对应事件的概率，，，，再根据全概率公式求解即可. 【详解】设任取一件商品是一等品， 取到的商品是甲品牌，则， 取到的商品是乙品牌，则， 已知甲品牌一等品比例为90%，即， 乙品牌一等品的比例为95%，即， 所以由全概率公式可知 . 故答案为： 9．（24-25高二下·上海浦东新·期末）有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球，2个红球；乙袋中有2个白球，3个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为________．（结果为精确值） 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】将问题拆分为两步，先从甲袋中取球，再从乙袋中取球，然后根据从甲袋中取出球的颜色情况，分情况计算乙袋中取出红球的概率，再根据全概率公式，用两种情况发生的概率乘以取到红球的概率，再相加即可得解. 【详解】设表示“从乙袋中任取一球是红球”，表示“从甲袋中取出两个白球”， 表示“从甲袋中取出两个红球”，表示“从甲袋中取出一个白球和一个红球”， 则 由全概率公式，所求概率 . 故答案为： 题型三、计算条件概率（共4小题） 10．（24-25高二下·上海·期末）甲、乙两选手进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采取五局三胜制.则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为______. 【答案】/0.375 【知识点】计算条件概率 【分析】根据题意，设甲获胜为事件，比赛进行三局为事件，根据条件概率公式分别求解和的值，进而计算可得答案． 【详解】设甲获胜为事件，比赛进行三局为事件， ，， 所以所求概率为. 故答案为： 11．（25-26高二下·上海·阶段检测）现从5名男生和3名女生中随机选取3人参加数学建模竞赛，在女生甲被选中的条件下，另有2名男生被选中的概率为_________． 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】方法1：条件概率公式法； 方法2：缩小样本空间法. 【详解】方法一：设事件A为“女生甲被选中”，事件B为“选取的3人包含2名男生和1名女生”，所求概率为条件概率. 1. 总基本事件数：从8人中任选3人的组合数为； 2. 事件A的基本事件数：先确定选女生甲，再从剩余7人中任选2人，即，故； 3. 事件AB（女生甲被选中且另外2人均为男生）的基本事件数：先选女生甲，再从5名男生中选2人，即，故； 4. 代入条件概率公式，得. 方法2：缩小样本空间法 已知女生甲已被选中，仅需从剩余的5名男生、2名女生共7人中再选2人，要求2人均为男生： 1. 该条件下样本空间的基本事件总数为； 2. 符合要求的基本事件数为从5名男生中选2人的组合数； 因此所求概率为. 12．（25-26高二下·上海·期中）甲同学共有10支笔，其中8支黑色，2支红色.乙同学向甲同学借走2支笔.已知乙同学借走的一支是红色，则另一支也是红色的概率为_____. 【答案】 【知识点】计算条件概率 【详解】设事件表示“借走的两支笔中有一支是红色的”，事件表示“借走的两支笔都是红色的”； 则，； . 13．（24-25高二下·上海·期末）学工部收到两个班级优秀学生的推荐表，分装两袋，第一袋有4份女生和2份男生的推荐表，第二袋有3份女生和3份男生的推荐表. (1)从两袋中随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表的概率； (2)若从第二袋中先后取出两份推荐表，求有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表的概率，和第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表的概率. 【答案】(1) (2)， 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）设＂抽到第一袋＂为事件，＂抽到第二袋＂为事件，由条件概率及全概率公式求解即可； （2）（i）将问题转换成一次性抽取两份，两份都是女生推荐表的概率除以两份不都是男生推荐表的概率或通过缩小样本空间求解即可；（ii）将问题转换成先后抽取两份，第一份是女生推荐表且第二份也是女生推荐表的概率除第一份是女生推荐表的概率，或缩小样本空间求解即可. 【详解】（1）设＂抽到第一袋＂为事件，＂抽到第二袋＂为事件， ＂恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表＂为事件，则 故； （2）（i）有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表， 可以看成一次性抽取两份，两份都是女生推荐表的概率除以两份不都是男生推荐表的概率， 故. （或缩小样本空间为女1男1，男1女1，女1男2，男2女1，女1男3，男3女1，女2男1，男1女2，女2男2，男2女2，女2男3，男3女2，女3男1，男1女3，女3男2，男2女3，女3男3，男3女3，女1女2，女2女1，女1女3，女3女1，女2女3，女3女2共24个样本点， 满足条件的有6个，故， （ii）第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表， 可以看成先后抽取两份，第一份是女生推荐表且第二份也是女生推荐表的概率除第一份是女生推荐表的概率， 故. （或缩小样本空间为女1男1，女1男2，女1男3，女2男1，女2 男2，女2男3，女3男1，女3男2，女3男3，女1女2，女2女1，女1女3，女3女1，女2女3，女3女2共15个样本点，满足条件的有6个， 故. 题型四、求离散型随机变量的均值（共4小题） 14．（25-26高二下·上海·期中）若随机变量的分布为，则的期望________. 【答案】 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值 【分析】借助概率之和为可得，再利用期望定义计算即可得解. 【详解】由题意可得，解得， 则. 15．（25-26高二下·上海松江·阶段检测）乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜，比赛结束.在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球甲同学得分的概率为，且对以后的每一球，若甲同学在这一球中得分，则他在下一球的得分概率为，若甲同学在这一球中未得分，则他在下一球的得分概率为． (1)求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率； (2)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和期望． 【答案】(1) (2)X的分布列为： X 0 1 2 P 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）先判断两球结束比赛等价于甲或乙连胜两球，再分别计算甲连胜、乙连胜的概率，利用互斥事件加法求总概率，再依据条件概率公式，用乙连胜概率除以比赛结束概率，得到乙获胜的条件概率. （2）先确定甲新增得分的可能取值为，再按“两球都不得分、恰好得1分、两球都得分”分类计算对应概率，列出离散型随机变量的分布列，最后代入期望公式计算数学期望. 【详解】（1）打了两个球后结束，则甲连胜两球或乙连胜两球， 设事件A为“打两球后结束”，事件B为“乙赢得比赛”， 则，， 故 （2）依题意X的可能取值是， 所以(甲两次均不得分)， (甲第一次得分第二次失分或第一次失分第二次得分)， (甲两次均得分)， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以 16．（24-25高二下·上海浦东新·期末）某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛． (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）使用古典概型方法求解分布列，再用数学期望的定义求出期望； （2）利用（1）的结果，并使用全概率公式求解. 【详解】（1）的可能取值是0、1、2， ，，， 故的分布列是 数学期望. （2）设事件、、分别表示“10月份的友谊赛中恰有0、1、2名新社员参加比赛”． 事件表示“11月参加比赛的社员中恰有1个没有参加友谊赛经验”． 由（1），可知，，． 发生时，5名社员中有2名没有比赛经验，故． 发生时，5名社员中有1名没有比赛经验，故． 发生时，7名社员中有0名没有比赛经验，故． 由全概率公式，得 ． 17．（24-25高二下·上海·月考）某厂家生产两批同种规格的乒乓球，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查． (1)从混合的乒乓球中任取1个，求这个乒乓球是合格品的概率； (2)从混合的乒乓球中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）由条件概率与全概率公式，可得答案； （2）由离散型随机变量的分布列与数学期望，可得答案. 【详解】（1）设事件：抽取的产品是第一批，事件：抽取的产品为第二批，事件：抽取的产品为合格品， 由题意可得，，，， 则. （2）由题意可得可能取值为，则 ， ， ， 所以的分布列如下： 故数学期望 题型五、离散型随机变量的方差与标准差（共4小题） 18．（24-25高二下·上海·月考）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】由题意可知，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布求概率，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可知，爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量， 且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均， 所以设爬行后小虫一共向能爬行次，则向后爬行， 所以， 所以， 对于AB的分布列为： ，所以A正确； 因为 ， 所以 ，所以B错误； 对于C，因为， 所以，所以，所以C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，所以D正确． 故选：B． 19．（25-26高二下·上海奉贤·阶段检测）已知离散型随机变量、满足，其中的分布如下：，且，则___________. 【答案】/ 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】根据分布列的性质和期望可得，进而可得，结合方差的性质即可得结果. 【详解】由题意可得：，解得， 可得， 又因为，所以. 20．（25-26高二下·上海·期中）甲､乙两队进行乒乓球双打比赛，规定每局比赛必须决出胜负，采用五局三胜制，即先赢得三局比赛的队伍获胜.已知每局比赛甲队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立. (1)设，记比赛结束时的场数为，求的分布､期望和方差； (2)已知甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）先确定的取值并计算相应的概率，通过列出分布列再根据期望和方差的公式求解； （2）分别计算甲队获胜的概率和甲队获胜且比赛恰好4局的概率，然后利用条件概率求解. 【详解】（1）可能的取值为， ， ， ， 所以的分布列为 ， . （2）设甲队获胜为事件，比赛恰好进行4局为事件， ， ， 根据题目可知，， 代入条件概率公式可得， 化简可得 ， 令，可得 ，解得或， 所以或. 21．（24-25高二下·上海·期末）某中学选派12名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 2 4 6 (1)从这12名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； (2)从这12名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望与方差（结果用最简分数表示）． 【答案】(1) (2)． 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由对立事件概率计算公式即可求解； （2）确定的所有可能取值，求得对应概率，结合期望、方差计算公式即可求解. 【详解】（1）这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率； （2）由题意知可能取值为0、1、2， ， 所以的期望， ， 题型六、利用二项分布求分布列（共4小题） 22．（24-25高二下·上海·期末）已知鸡接种一种疫苗后，有不会感染某种病毒.如果3只鸡接种了疫苗，那么没有鸡感染病毒的概率为______. 【答案】/ 【知识点】独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】由题意可得鸡接种一种疫苗后，感染某种病毒的概率为，设没有鸡感染病毒为事件，则. 故答案为： 23．（24-25高二下·上海·期中）将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是______. 【答案】/ 【知识点】利用二项分布求分布列、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】根据正面次数多和反面次数多各占一半即可得解，或者利用二项分布概率公式求解即可. 【详解】因为正面出现次数和反面出现次数不可能相等， 将每一种正面出现次数多的结果的所有硬币翻转，即可得到反面次数多于正面次数的结果， 所以正面次数多和反面次数多各占一半，故所求概率为. 另解：记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上为事件，则， 则抛掷5次硬币，正面出现的次数服从二项分布， 则正面向上的次数多于反面向上的次数的概率为： . 故答案为： 24．（24-25高二下·上海·月考）福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油.已知某工艺师制作出一件优秀作品的概率为，在某次福州纸伞的比赛中，该工艺师制作了4件作品. (1)设该工艺师制作的优秀作品数为X，求X概率分布列及期望； (2)若制作一件优秀作品得10分，制造一件不合格品扣5分，求该工艺师在本次比赛中得分的期望和方差. 【答案】(1)分布列见解析，； (2)4；216 【知识点】利用二项分布求分布列、均值的性质、二项分布的均值、方差的性质 【分析】（1）求出X的所有可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）求出比赛中得分与的关系，再利用期望、方差的性质求解. 【详解】（1）依题意，制作一件优秀作品的概率为， 该工艺师制作4次，其中优秀作品数为X，X的所有可能取值为，， ，，， ，， 所以X的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望. （2）设该工艺师在本次比赛中得分为Y，则， 由（1）知，， 则， ， 所以该工艺师在本次比赛中得分的期望和方差分别为和. 25．（24-25高二下·上海·期末）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，Al的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、豆包、文心一言四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、豆包、文心一言的大模型人次如下： 大模型种类 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． (1)从该地区教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型．求和．并据此判断事件和事件是否独立： (2)从该地区使用3种大模型（、、豆包、文心一言）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求的分布列及其数学期望； (3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型（、、豆包、文心一言）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小，并说明理由． 【答案】(1)，，不独立 (2)分布列见解析， (3)，理由见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用频率估计概率，结合条件概率公式和独立事件的定义可求相应的概率和独立性判断； （2）利用二项分布可求的分布列及其数学期望； （3）利用频率估计概率，利用期望公式可求后可得它们的大小关系. 【详解】（1）由题设可得，， 故. 因为，故不独立. （2）从该地区中使用3中大模型教师中任取一名教师，该教师使用豆包的概率为， 由题设可取且， 故，， ，， 故的分布列如下： 故. （3）由题设可取，可取， 而，，， ，， 故， 又，，， ，， 故， 因为，故. 题型七、正态曲线的性质（共5小题） 26．（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量，，有以下两个命题：①；②存在，使得对任意，． 那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质 【分析】根据正态分布的相关知识求解即可. 【详解】设，则，， 故； 当时，，故，从而不可能使得． 故选：A. 27．（24-25高二下·上海·期末）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（    ）. A．关于直线对称 B．关于点成中心对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【答案】B 【知识点】正态曲线的性质、判断或证明函数的对称性 【分析】根据正态分布的特征可知随增大而增大，故A错误；由可得，故B正确，CD错误. 【详解】由连续型随机变量服从正态分布，可得， 所以正态密度曲线关于直线对称，即. 因为，所以随增大而增大，的图象无对称轴，故A错误. 因为， 所以的图象关于点成中心对称，故B正确，CD错误. 故选：B. 28．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量服从正态分布且则________． 【答案】0.8/ 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】利用正态分布的对称性结合概率和为1求解即可. 【详解】由正态分布对称性得对称轴为，则， 因为概率和为1，所以. 故答案为：. 29．（24-25高二下·上海奉贤·期末）某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差，已知每包糖果的实际质量服从、的正态分布，随意买一包该公司生产的糖果，其质量误差超过（即1%）的可能性为________.（结果精确到0.1%） （参考数据：若，则，，） 【答案】 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的性质，先确定的值，再结合已知的概率公式计算质量误差超过的可能性. 【详解】因为每包糖果的实际质量服从的正态分布，则. 质量误差不超过，即，也就是. 根据参考数据可知. 那么质量误差超过的概率为. 故答案为：. 30．（23-24高二下·上海·月考）设，已知随机变量，随机变量.若，则________. 【答案】 【知识点】正态曲线的性质、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】利用正态分布的运算性质结合给定条件建立方程，求解即可. 【详解】由，得， 由，且设， 故有，解得，则. 故答案为： 题型八、指定区间的概率（共4小题） 31．（25-26高二下·上海·期中）在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩服从正态分布.已知，则从中任选一名学生的数学成绩超过90分的概率为_________. 【答案】/ 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】利用正态分布的对称性来求解不同区间的概率. 【详解】由题意可得，所以正态分布关于对称， 由对称性可知，， 又易知，所以. 32．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知随机变量服从正态分布，且，则__________. 【答案】0.8/ 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【详解】， 则， 即， 则. 33．（24-25高二下·上海·阶段检测）随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为________. 【答案】0.3/ 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】利用正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】随机变量的概率分布密度函数， 则，故， 故图中阴影部分的面积为. 故答案为：0.3 34．（24-25高二下·上海·月考）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：    (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. (2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50.用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元.已知硬币出现正、反面的概率都是0.5，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第20格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次.若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格（胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值. 【答案】(1)300； (2)0.8186； (3)证明见解析，期望值为，约2万元 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、指定区间的概率 【分析】（1）利用每个矩形的中点值与频率之积求和即为平均值； （2）利用正态分布曲线的区间来求解对应区间的概率即可； （3）利用数列的递推思想来研究概率值，然后通过两点概率分布来求期望即可. 【详解】（1）由题意得：估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为： （2）由（1）可得：∵X服从正态分布， ∴它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率为： . （3）由题意可得：遥控车开始在第0格为必然事件，， 第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即. 遥控车移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种. ①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为， ②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为， ∴，∴， ∴当时，数列是公比为的等比数列， ∴， 以上各式相加，得， ∴， ∴获胜的概率，失败的概率， ∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，或0， ∴的期望， ∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为，约2万元. 题型九、根据正态曲线的对称性求参数（共3小题） 35．（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量，，且，，则__________． 【答案】 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、二项分布的均值 【分析】根据正态分布的特点及二项分布的性质即可求解. 【详解】因为，, 所以. 又因为， 所以， 则，解得：. 故答案为： 36．（25-26高二下·上海闵行·期中）已知随机变量，且，则__________. 【答案】0.3 【知识点】指定区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布的对称性，即可得答案. 【详解】由，得正态分布的对称轴， 又，所以. 37．（25-26高二下·上海奉贤·阶段检测）已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________. 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布的对称性，可得a值，根据基本不等式“1”的代换，计算化简，即可得答案. 【详解】因为，所以对称轴， 因为，所以， 则当时，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 试卷第1页，共3页 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $