专题03 勾股定理及其逆定理（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材沪科版

专题03勾股定理及其逆定理（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 已知直角三角形两边求第三边 题型02 直角三角形面积计算 题型03 勾股逆定理判定直角三角形 题型04 勾股数识别 题型05 几何折叠类线段长度计算 题型06 勾股定理与无理数 题型07 立体图形最短爬行路径问题 题型08 方位角航海实际应用题 题型9 梯子滑动动态变化计算题 题型10 勾股定理与图形面积综合题 题型11勾股定理逆定理的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理基础计算 熟记定理公式，已知两边熟练求第三边，掌握周长、面积、斜高计算 选择填空必考基础题，计算类高频考查，易忽略斜边判定 勾股定理实际生活应用 能抽象直角模型，解决梯子、航海、最短路径等实际问题 解答常考题型，结合生活场景出题，侧重建模解题思维 勾股逆定理判定直角三角形 会排序边长验证平方关系，判定直角三角形，识别常见勾股数 基础判断类高频考点，多用于证明垂直、判定图形形状 勾股数识别与运用 掌握勾股数特征及倍数规律，快速判断有效勾股数组 小题常考辨析题，可简化计算步骤，提升解题速度 折叠类几何计算 利用折叠边角相等性质，结合定理列方程求线段长度 期中期末热门题型，难易适中，方程思想结合几何考查 数轴表示无理数 借助直角三角形构造无理线段，掌握数轴定点作图方法 填空作图小题，关联实数知识点，考查数形结合能力 图形面积综合计算 结合直角三角形推导关联图形面积，运用面积转化解题 中档解答题，常拼接组合图形出题，考查逻辑推导 逆定理证明垂直关系 运用平方等量关系，完成线段垂直的几何证明 证明类常考题，步骤书写规范度是主要得分要点 分类讨论求值问题 无图题型分类判定直角位置，全面求解边长数值 易错重难点题型，极易漏解，期末高频拉分考点 几何动点综合题型 结合动点线段变化，利用勾股关系列式求解 章节压轴难题，融合几何动态分析，综合性较强 知识点01 勾股定理的内容 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 ·示例：直角三角形两直角边为3和4，那么斜边c满足3²+4²=c²，计算得c²=25，所以斜边长为5。 ·易错点：忽略“直角三角形”的前提，任意三角形都直接套用勾股定理计算边长。 知识点02 勾股定理的证明 常见的证明方法是面积法，通过用不同方式表示同一个图形的面积，整理推导得到勾股定理。 ·示例：将四个全等的直角三角形围成一个边长为(a+b)的大正方形，内部留出一个边长为c的小正方形，大 正方形面积为(a+b)²，四个直角三角形面积和为4×ab=2ab，加上小正方形面积c²，因此 (a+b)²=2ab + c²，展开整理得a²+b²=c²。 ·易错点：证明过程中对图形各部分边长标注错误，导致面积计算错误，推导结论出错。 知识点03 勾股定理的应用 勾股定理可以解决已知直角三角形两边长求第三边长的问题，也可以解决生活中与直角三角形相关的距离、高度、长度计算问题。 ·示例：一棵大树在距离地面5米处折断，树的顶部落在距离树底部12米处，求大树折断前的高度。计算： 折断部分的长度为=13米，因此原高为5+13=18米。 ·易错点：分不清直角边和斜边，误用平方和还是平方差计算；实际问题中没有正确构造直角三角形，找错 对应边长。 知识点04 勾股定理逆定理的内容 如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。 ·示例：三角形三边长为5、12、13，验证5²+12²=25+144=169=13²，因此这个三角形是直角三角形。 ·易错点：没有计算验证，直接看边长数值就判定是不是直角三角形；找错最长边，将错误的两边平方和和 最长边比较，导致判定错误。 知识点05 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 ·示例：0.3,0.4,0.5满足0.3²+0.4²=0.5²，但它们不是正整数，因此不是勾股数；6,8,10都是正整数且满足 6²+8²=10²，是勾股数。 ·易错点：忽略“正整数”的要求，将分数、小数的满足平方关系的数组当成勾股数。 知识点06 勾股定理及其逆定理的区别与联系 联系：两者都和直角三角形、边长的平方关系有关，勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理，二者互为逆定理。 区别：勾股定理是在直角三角形的前提下，推导三边的数量关系，是直角三角形的性质；勾股定理逆定理是通过三边的数量关系，判定三角形是不是直角三角形，是直角三角形的判定方法。 ·示例：已知三角形是直角三角形，求边长用勾股定理；已知三角形三边长，判定是不是直角三角形用勾股 定理逆定理。 ·易错点：解题时混淆二者的用途，该用性质的时候用了判定，该用判定的时候用了性质。 知识点07 勾股定理逆定理的应用 勾股定理逆定理可以用来判定三角形的形状，也可以解决实际生活中判断垂直、角度的问题。 ·示例：一块三角形菜地，三边长分别为9m、12m、15m，判定这个三角形的形状，计算面积。验证 9²+12²=81+144=225=15²，所以是直角三角形，面积为×9×12=54m²。 ·易错点：实际问题中没有正确提取出三角形的三边长，导致判定错误。 题型一 已知直角三角形两边求第三边 解｜题｜技｜巧 熟记勾股定理公式，斜边长度大于任意一条直角边；题目未指定斜边时，分已知边均为直角边、长边为斜边两类讨论计算；边长为实际长度，最终结果只保留正数，舍去负数值。 【典例1】若一个直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边长为（   ） A．10 B．10或12 C．10或 D．12 【答案】A 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8， ∴由勾股定理得，斜边长为 ． 【变式1】在中，，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理：根据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和． 【详解】解：在中，，因此为斜边，和为直角边． 由勾股定理，得， 则， ， 故选：C． 【变式2】一个直角三角形的两边长分别为，则第三边长是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分第三边为直角边和斜边两种情况解答即可求解． 【详解】解：当第三边为直角边时，第三边长为； 当第三边为斜边时，第三边长为； 题型二 直角三角形面积计算 解｜题｜技｜巧 先借助定理算出缺失边长，再代入公式求解周长、面积；熟练运用等面积转换思路，两种面积计算方式相互换算，灵活求解相关线段数值。 【典例1】(24-25八年级下·安徽淮南·期末）《周髀算经》是我国现存最早的一部数学典籍，此书有一段关于勾股定理的记载：如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在大正方形内，若直角三角形两直角边分别为4和3，则图2中阴影部分面积为（   ）      A．5 B．6 C．7 D．无法计算 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、正方形的面积公式、长方形的面积公式，会利用割补法解决问题是解答的关键． 将图2阴影部分分割成正方形和长方形，根据直角三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：将图2阴影部分分割成正方形和长方形，如图， 根据勾股定理得：斜边长， ∴阴影部分面积为， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为（   ） A．3 B．2 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理． 直接利用勾股定理求解． 【详解】解：正方形A的边长为， 故选：B． 【变式2】如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积为____． 【答案】15 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由图可设半圆、半圆、半圆的面积分别为，由勾股定理可得，则有，然后根据割补法可进行求解． 【详解】解：由图可设半圆、半圆、半圆的面积分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为15． 题型三 勾股逆定理判定直角三角形 解｜题｜技｜巧 先将三条边数值从小到大排序，确定最长边作为假想斜边；验算两条较短边的平方和，若与最长边平方相等，即可判定该三角形为直角三角形。 【典例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（    ）． A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握判定直角三角形的方法是解题的关键．利用勾股定理逆定理和三角形的内角和定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A中，∵， ∴为直角三角形， 选项A不符合题意； B中，∵， ∴设，，， ∵， ∴为直角三角形， 故选项B不符合题意； C中，∵，， ∴， ∴为直角三角形， 故选项C不符合题意； D中，∵， ∴设，则，， 故， 解得， ∴，，， ∴是锐角三角形， 故选项D符合题意． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握：若三条线段满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则可构成直角三角形．据此逐一验证即可． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴该组线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B．∵，， ∴， ∴该组线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C．∵，， ∴， ∴该组线段能构成直角三角形，故此选项符合题意； D．∵，， ∴， ∴该组线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，则这个桌面____________（填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题考查了勾股定理逆定理在长方形判定中的应用，掌握若四边形的一组邻边与对角线满足勾股定理，则该角为直角，可判定为长方形是解题的关键． 通过计算长、宽和对角线的平方，验证是否满足勾股定理． 【详解】解：长为，宽为，对角线为， 计算，， 满足勾股定理，桌面合格． 故答案为：合格． 题型四 勾股数识别 解｜题｜技｜巧 三边为正整数且满足平方等量关系，即为勾股数；基础勾股数同时扩大相同倍数，得到的数组依旧属于勾股数，可直接套用规律解题。 【典例1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列几组数据中，不是勾股数的是 （    ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股数．解题关键在于熟练掌握勾股数的概念．根据勾股数，必须是正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即得． 【详解】解：A、，是勾股数，此选项不符合题意； B、，是勾股数，此选项不符合题意； C、，是勾股数，此选项符合题意； D、不是整数，不是勾股数，此选项不符合题意． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A． B． C．8，15，17 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 勾股数需满足两个条件：一是三个正整数；二是满足勾股定理 （其中 为最大数），据此分析即可． 【详解】解：选项A：，三者均为小数，非正整数，不符合勾股数定义． 选项B：， 是整数，但 和 为无理数，非正整数，排除． 选项C：8，15，17，均为正整数，验证得 ，满足勾股定理，是勾股数． 选项D：4，5，6，均为正整数，但 ，不满足勾股定理． 故选： C． 【变式2】有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是________． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当第三个数是直角边时，第三个数； 当第三个数是斜边时，第三个数； ∵三个数是一组勾股数， ∴当第三个数为时，不合题意，舍去， ∴第三个数是13， 故答案为：13． 题型五 几何折叠类线段长度计算 解｜题｜技｜巧 折叠变换前后，对应边长、对应角度完全相等；结合图形等量关系设未知数，依托直角结构列出勾股方程，解方程后得出线段长度。 【典例1】用配方法解一元二次方程，得，则的值是（    ） A．11 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤将原方程化为题目要求的形式，得到m和n的值，再计算即可． 【详解】解：， 方程两边同除以2，得， 移项得 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方16，得 ， 整理得，即 对比，得 ∴． 【变式1】用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值___________． 【答案】 【详解】解：， 方程两边同除以3，得， 移项，得， 配方，得，， ∴． 【变式2】解方程：． 【答案】，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，利用配方法求解即可，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴，． 题型六 勾股定理与无理数 解｜题｜技｜巧 整数直角边构造斜边，斜边多为无理数，结果保留最简二次根式。含无理数边长计算，先化简、再运算，不随意取近似值。数轴画无理数：构造直角三角形，圆规截斜边定刻度。无理边长比大小：平方后比较，快速判断长短。几何求值结果为无理数时，必须化为最简二次根式 【典例1】如图，数轴上的点A所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用勾股定理求出斜边长，再加上即可． 【详解】解：点A所表示的数是． 【变式1】如图，数轴上点表示的实数是___________． 【答案】/ 【分析】根据图得到两直角边长度为1和2，利用勾股定理求出斜边长度，再根据点在负半轴即可求出结果． 【详解】解：由图可知，两直角边长度为1和2， ∴斜边长度为：， ∵点在负半轴， ∴数轴上点表示的实数是． 【变式2】如图，在数轴上点A表示的实数是______． 【答案】 【详解】解：由勾股定理得，斜边长， 则点A对应的数为 题型七 立体图形最短爬行路径问题 解｜题｜技｜巧 把长方体、圆柱等立体表面展开为平面图形；依据两点之间线段最短原理搭建直角三角形，代入公式算出最短行进路程。 【典例1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．利用展开图，轴对称，勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，    根据题意，， ∴ 作点Ａ关于直线的对称点G，连接，则为所求最短距离， 则， 过点作，交的延长线于点E， 则四边形是矩形， 故， 故， 故， ∴蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为． 故选：C 【变式1】如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（    ） A．5cm B．4cm C． D．15cm 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，理解几何体侧面展开图等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．根据题意先画出几何体的侧面展开图，分两种情况，利用勾股定理即可求解，再进行比较． 【详解】解：①如图1，为圆柱体侧面展开图， 过点作于点，作出点关于底面直径所在直线的对称点，连接， 根据题意可知：，， 在中，根据勾股定理得：， ②如图2，为圆柱体侧面展开图， 过点作于点，作出点关于底面直径所在直线的对称点，连接， 根据题意可知：，， 在中，根据勾股定理得：， ， 小蜘蛛需要爬行的最短距离是的长为， 故选：D． 【变式2】如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为（    ）    A．8 B．10 C．8 D．12 【答案】B 【分析】利用展开图，轴对称，勾股定理计算即可． 【详解】如图，根据题意，，    作点Ａ关于直线的对称点Ｇ，连接，则为所求最小值， 则， 过点作，交的延长线于点Ｅ， 则四边形是矩形， 故， 故， 故， 故选Ｂ． 【点睛】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键． 题型八 方位角航海实际应用题 解｜题｜技｜巧 根据方位描述画出几何示意图，找准垂直夹角构建直角模型；梳理每条边对应的实际路程，套用勾股定理求解两点之间直线距离。 【典例1】一艘轮船以海里／小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以海里／小时的速度向西南方向航行，离开港口小时，两艘轮船的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理在实际生活中的应用．根据两艘轮船的航行路线夹角为，构成直角三角形，再通过勾股定理计算两船距离即可解答． 【详解】解：东南方向与西南方向的夹角为， 两艘轮船的航行路线构成直角三角形， 第一艘轮船小时行驶的路程为（海里），第二艘轮船小时行驶的路程为（海里）， 根据勾股定理，两艘轮船的距离为（海里）， 故选：． 【变式1】甲、乙两人从同一地点出发，甲以40米/分的速度向北偏东方向直行，乙以30米/分的速度向南偏东方向直行，若他们同时出发，则5分后他们相距__________米． 【答案】250 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题以及勾股定理的应用，熟练掌握方向角的定义和勾股定理是解题的关键． 根据方向角的定义求出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图， ∵甲沿北偏东方向直行，乙沿南偏东方向直行， ∴， 根据题意可知,(米)(米)， ∴(米)， 即5分后他们相距米， 故答案为：． 【变式2】如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ 【答案】它们航行两小时后，相距． 【分析】本题考查解决航海问题（勾股定理的应用）． 根据题意可得，，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ， ∴， ∴它们航行两小时后，相距． 题型八 梯子滑动动态变化计算题 解｜题｜技｜巧 梯子自身长度固定不变，滑动前后斜边长度恒定；分别分析滑动前后两组直角三角形，分步求出对应直角边，再计算边长变化差值。 【典例1】如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可． 【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为： ， 梯子的顶端下滑后，顶端距离墙角的距离： ， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为： ， 梯子的底端滑动的距离为： ． 故选：C． 【变式1】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，将矩形木板斜靠在与地面垂直的墙上，木板底端点B到墙的距离，木板长，宽． （1）若木板的底端B向里滑行，则木板的顶端A沿墙上滑________m； （2）在木板滑动的过程中，木板的顶端D到O点的最大距离是________m． 【答案】 1 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）在中根据勾股定理求出，再在中根据勾股定理求出的长即可推出结果； （2）取的中点E，连接，根据直角三角形上的中线的性质得出，再根据勾股定理求出，最后根据当O，E，D共线时，长最大，求解即可． 【详解】解：（1）如图， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即木板的顶端A沿墙上滑， 故答案为：1； （2）如图，取的中点E，连接， 由题意可知，是直角三角形的斜边上的中线，， ∴， ∵E是的中点， ∴， 由勾股定理得，， 当O，E，D共线时，长最大，最大值为， 故答案为：. 【变式2】一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】(1)梯子顶端距离地面的高度为24米 (2)梯子的底端在水平方向滑动了8米 【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【详解】（1）解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； （2）梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 题型十 勾股定理与图形面积综合题 解｜题｜技｜巧 结合直角边关联正方形、半圆等规则图形面积；利用面积和差等量关系转化条件，间接推导各条边长具体数值。 【典例1】如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键．由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 阴影部分的面积为， 故选：B． 【变式1】“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是______．    【答案】 【分析】本题考查了以“赵爽弦图”为背景得图形面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，（负值舍去），，由勾股定理得到，则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，大正方形的面积是169，      ∴， 解得，（负值舍去）， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，直角三角形的长直角边是12， ∴， ∴， ∴， ∴小正方形的面积是， 故答案为： ． 【变式2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，求的值． 【答案】29 【分析】本题主要考查勾股定理，完全平方公式的变形运用，理解图示，掌握勾股定理，完全平方公式的变形计算是关键，根据题，，，运用完全平方公式的变形即可求解． 【详解】解：大正方形的面积是15，小正方形的面积是1， 四个直角三角形面积和为，即， ，， ． 题型十一 勾股定理逆定理实际应用 解｜题｜技｜巧 根据场景提取三边长度，验算平方关系判定直角，以此判断垂直、方位与图形形态，贴合实际得出结论。 【典例1】如图，在一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，．若每平方米草皮需要200元，则需要投入（    ） A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积的面积的面积 ， ∴学校要投入资金为：（元）， 故选：C． 【变式1】如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，则这块地的面积为______平方米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积，勾股定理的逆定理，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴（负值已舍去）， 在中，，， ∴， ∴， ∴则这块地的面积为： ． 故答案为： 【变式2】（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且， (1)连接，求的长 (2)求这块菜地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则由勾股定理的逆定理可得，根据四边形的面积的面积的面积列式求解即可． 【详解】（1）解：如图， ，，， ． （2）解：，，， ，， ， 是直角三角形，即， 四边形的面积的面积的面积 ， 答：这块菜地的面积为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列几组数据中，不是勾股数的是 （    ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股数．解题关键在于熟练掌握勾股数的概念．根据勾股数，必须是正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即得． 【详解】解：A、，是勾股数，此选项不符合题意； B、，是勾股数，此选项不符合题意； C、，是勾股数，此选项符合题意； D、不是整数，不是勾股数，此选项不符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（    ）． A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握判定直角三角形的方法是解题的关键．利用勾股定理逆定理和三角形的内角和定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A中，∵， ∴为直角三角形， 选项A不符合题意； B中，∵， ∴设，，， ∵， ∴为直角三角形， 故选项B不符合题意； C中，∵，， ∴， ∴为直角三角形， 故选项C不符合题意； D中，∵， ∴设，则，， 故， 解得， ∴，，， ∴是锐角三角形， 故选项D符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）《周髀算经》是我国现存最早的一部数学典籍，此书有一段关于勾股定理的记载：如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在大正方形内，若直角三角形两直角边分别为4和3，则图2中阴影部分面积为（   ）      A．5 B．6 C．7 D．无法计算 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、正方形的面积公式、长方形的面积公式，会利用割补法解决问题是解答的关键． 将图2阴影部分分割成正方形和长方形，根据直角三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：将图2阴影部分分割成正方形和长方形，如图， 根据勾股定理得：斜边长， ∴阴影部分面积为， 故选：B． 4．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在四边形中，，相交于点O，且，若，，则的值为（   ） A．12 B．20 C．25 D．26 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴ ， ∴的值为25． 故选：C． 5．已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则它的第三条边长为________． 【答案】10或 【分析】本题考查勾股定理的应用， 需分两种情况讨论：当已知两边均为直角边时，或当其中一边为斜边时（由于斜边最长，6不能为斜边，故只考虑8为斜边的情况）. 【详解】解：在直角三角形中，若两条边6和8均为直角边，则斜边长由勾股定理得； 若8为斜边，则另一条直角边长由勾股定理得． 综上所述，第三边长为10或． 故答案为：10或． 6．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，，为边上一点，且满足，若的面积为24，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和一定等于斜边的平方． 先根据面积公式求，再利用勾股定理求出，据此求解． 【详解】∵，， ∴， ∴ 在中，，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．兴趣小组的同学在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画出如图示意图，测得水平距离的长为8米，且线圈里的10米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为米． (1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； (2)若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短3米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 【答案】(1)米 (2)风筝上升了米 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解并掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理得到的值，由此即可求解； （2）由题意，米，米，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：在中，，米，米， 由勾股定理，可得米， ∴（米）， 答：风筝离地面的垂直高度为米； （2）解：如图，由题意，米，米， 在中，，由勾股定理，可得米， 则应该再放出（米）， 答：风筝上升了米． 8．如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面是大海．远洋号、长峰号两艘轮船同时离开港O，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB=20海里，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，请判断“长峰”号航行的方向，并说明理由． 【答案】南偏东30°，理由见解析． 【分析】由题意得： OA2＋OB2＝AB2，由勾股定理的逆定理得出△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°，求出∠DOB＝30°，即可得出答案． 【详解】解：“长峰”号航行的方向是南偏东30°．理由是： 由题意得：OA=12，OB=16，AB=20， ∵122+162=202， ∴OA2+OB2=AB2． ∴△OAB是直角三角形， ∴∠AOB=90°． ∵∠COA=60°， ∴∠DOB=180°﹣90°﹣60°=30°， ∴“长峰”号航行的方向是南偏东30°． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理及方向角的理解与运用，利用勾股定理的逆定理得出△OAB为直角三角形是解题的关键． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，由勾股定理及其逆定理判定是等腰直角三角形成为解题的关键． 如图：连接，先运用勾股定理求出的三边的长度，再运用勾股定理逆定理得出是等腰直角三角形，进而得出的度数即可． 【详解】解：如图：连接， ∵每个小正方形的边长都是1， ∴， ∵10+10=20， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级下·安徽六安·期末）四边形中，，，若，，则的长为____． 【答案】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 延长、相交于点，利用含30度角的直角三角形的性质，得出，从而求得，进而利用由勾股和直角三角形的性质求出长即可． 【详解】解：如图，延长、相交于点， ，， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：（负值舍去）， 即 故答案为：． 3．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）产业兴旺是乡村振兴的重要基础，产业发展是滋养农民美好生活的源头活水．如图，某乡村有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和△，分别种植梨树和桃树两种不同的果树，经测量，，米，米，米，米，米，求四边形的面积． 【答案】平方米 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．证明是直角三角形，即可推出结果． 【详解】解：连接， 在中，由勾股定理得， （米）， 在中，由勾股定理得， ， 在中， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积（平方米）． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为21.5米 (2)他应该往回收线8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． (1)利用勾股定理求出的长，即可解决问题； (2)根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米； （2）解：如图，设下降到， 由题意可知，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线8米． 5．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）户外钓鱼是一项独特的休闲活动，如图，小明在钓鱼时鱼竿长13m，露在水面上的鱼线长．他想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为．求转动前后的水平距离的长度． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．在中，利用勾股定理计算，在中，利用勾股定理求得，由此即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ， 在中，，， ， ， 答：转动前后的水平距离 的长度为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03勾股定理及其逆定理（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 已知直角三角形两边求第三边 题型02 直角三角形面积计算 题型03 勾股逆定理判定直角三角形 题型04 勾股数识别 题型05 几何折叠类线段长度计算 题型06 勾股定理与无理数 题型07 立体图形最短爬行路径问题 题型08 方位角航海实际应用题 题型9 梯子滑动动态变化计算题 题型10 勾股定理与图形面积综合题 题型11勾股定理逆定理的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理基础计算 熟记定理公式，已知两边熟练求第三边，掌握周长、面积、斜高计算 选择填空必考基础题，计算类高频考查，易忽略斜边判定 勾股定理实际生活应用 能抽象直角模型，解决梯子、航海、最短路径等实际问题 解答常考题型，结合生活场景出题，侧重建模解题思维 勾股逆定理判定直角三角形 会排序边长验证平方关系，判定直角三角形，识别常见勾股数 基础判断类高频考点，多用于证明垂直、判定图形形状 勾股数识别与运用 掌握勾股数特征及倍数规律，快速判断有效勾股数组 小题常考辨析题，可简化计算步骤，提升解题速度 折叠类几何计算 利用折叠边角相等性质，结合定理列方程求线段长度 期中期末热门题型，难易适中，方程思想结合几何考查 数轴表示无理数 借助直角三角形构造无理线段，掌握数轴定点作图方法 填空作图小题，关联实数知识点，考查数形结合能力 图形面积综合计算 结合直角三角形推导关联图形面积，运用面积转化解题 中档解答题，常拼接组合图形出题，考查逻辑推导 逆定理证明垂直关系 运用平方等量关系，完成线段垂直的几何证明 证明类常考题，步骤书写规范度是主要得分要点 分类讨论求值问题 无图题型分类判定直角位置，全面求解边长数值 易错重难点题型，极易漏解，期末高频拉分考点 几何动点综合题型 结合动点线段变化，利用勾股关系列式求解 章节压轴难题，融合几何动态分析，综合性较强 知识点01 勾股定理的内容 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 ·示例：直角三角形两直角边为3和4，那么斜边c满足3²+4²=c²，计算得c²=25，所以斜边长为5。 ·易错点：忽略“直角三角形”的前提，任意三角形都直接套用勾股定理计算边长。 知识点02 勾股定理的证明 常见的证明方法是面积法，通过用不同方式表示同一个图形的面积，整理推导得到勾股定理。 ·示例：将四个全等的直角三角形围成一个边长为(a+b)的大正方形，内部留出一个边长为c的小正方形，大 正方形面积为(a+b)²，四个直角三角形面积和为4×ab=2ab，加上小正方形面积c²，因此 (a+b)²=2ab + c²，展开整理得a²+b²=c²。 ·易错点：证明过程中对图形各部分边长标注错误，导致面积计算错误，推导结论出错。 知识点03 勾股定理的应用 勾股定理可以解决已知直角三角形两边长求第三边长的问题，也可以解决生活中与直角三角形相关的距离、高度、长度计算问题。 ·示例：一棵大树在距离地面5米处折断，树的顶部落在距离树底部12米处，求大树折断前的高度。计算： 折断部分的长度为=13米，因此原高为5+13=18米。 ·易错点：分不清直角边和斜边，误用平方和还是平方差计算；实际问题中没有正确构造直角三角形，找错 对应边长。 知识点04 勾股定理逆定理的内容 如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。 ·示例：三角形三边长为5、12、13，验证5²+12²=25+144=169=13²，因此这个三角形是直角三角形。 ·易错点：没有计算验证，直接看边长数值就判定是不是直角三角形；找错最长边，将错误的两边平方和和 最长边比较，导致判定错误。 知识点05 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 ·示例：0.3,0.4,0.5满足0.3²+0.4²=0.5²，但它们不是正整数，因此不是勾股数；6,8,10都是正整数且满足 6²+8²=10²，是勾股数。 ·易错点：忽略“正整数”的要求，将分数、小数的满足平方关系的数组当成勾股数。 知识点06 勾股定理及其逆定理的区别与联系 联系：两者都和直角三角形、边长的平方关系有关，勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理，二者互为逆定理。 区别：勾股定理是在直角三角形的前提下，推导三边的数量关系，是直角三角形的性质；勾股定理逆定理是通过三边的数量关系，判定三角形是不是直角三角形，是直角三角形的判定方法。 ·示例：已知三角形是直角三角形，求边长用勾股定理；已知三角形三边长，判定是不是直角三角形用勾股 定理逆定理。 ·易错点：解题时混淆二者的用途，该用性质的时候用了判定，该用判定的时候用了性质。 知识点07 勾股定理逆定理的应用 勾股定理逆定理可以用来判定三角形的形状，也可以解决实际生活中判断垂直、角度的问题。 ·示例：一块三角形菜地，三边长分别为9m、12m、15m，判定这个三角形的形状，计算面积。验证 9²+12²=81+144=225=15²，所以是直角三角形，面积为×9×12=54m²。 ·易错点：实际问题中没有正确提取出三角形的三边长，导致判定错误。 题型一 已知直角三角形两边求第三边 解｜题｜技｜巧 熟记勾股定理公式，斜边长度大于任意一条直角边；题目未指定斜边时，分已知边均为直角边、长边为斜边两类讨论计算；边长为实际长度，最终结果只保留正数，舍去负数值。 【典例1】若一个直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边长为（   ） A．10 B．10或12 C．10或 D．12 【变式1】在中，，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．12 D．18 【变式2】一个直角三角形的两边长分别为，则第三边长是（    ） A． B． C． D．或 题型二 直角三角形面积计算 解｜题｜技｜巧 先借助定理算出缺失边长，再代入公式求解周长、面积；熟练运用等面积转换思路，两种面积计算方式相互换算，灵活求解相关线段数值。 【典例1】(24-25八年级下·安徽淮南·期末）《周髀算经》是我国现存最早的一部数学典籍，此书有一段关于勾股定理的记载：如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在大正方形内，若直角三角形两直角边分别为4和3，则图2中阴影部分面积为（   ）      A．5 B．6 C．7 D．无法计算 【变式1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为（   ） A．3 B．2 C．5 D．4 【变式2】如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积为____． 题型三 勾股逆定理判定直角三角形 解｜题｜技｜巧 先将三条边数值从小到大排序，确定最长边作为假想斜边；验算两条较短边的平方和，若与最长边平方相等，即可判定该三角形为直角三角形。 【典例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（    ）． A．，， B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，则这个桌面____________（填“合格”或“不合格”）． 题型四 勾股数识别 解｜题｜技｜巧 三边为正整数且满足平方等量关系，即为勾股数；基础勾股数同时扩大相同倍数，得到的数组依旧属于勾股数，可直接套用规律解题。 【典例1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列几组数据中，不是勾股数的是 （    ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 【变式1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A． B． C．8，15，17 D．4，5，6 【变式2】有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是________． 题型五 几何折叠类线段长度计算 解｜题｜技｜巧 折叠变换前后，对应边长、对应角度完全相等；结合图形等量关系设未知数，依托直角结构列出勾股方程，解方程后得出线段长度。 【典例1】用配方法解一元二次方程，得，则的值是（    ） A．11 B．3 C． D． 【变式1】用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值___________． 【变式2】解方程：． 题型六 勾股定理与无理数 解｜题｜技｜巧 整数直角边构造斜边，斜边多为无理数，结果保留最简二次根式。含无理数边长计算，先化简、再运算，不随意取近似值。数轴画无理数：构造直角三角形，圆规截斜边定刻度。无理边长比大小：平方后比较，快速判断长短。几何求值结果为无理数时，必须化为最简二次根式 【典例1】如图，数轴上的点A所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，数轴上点表示的实数是___________． 【变式2】如图，在数轴上点A表示的实数是______． 题型七 立体图形最短爬行路径问题 解｜题｜技｜巧 把长方体、圆柱等立体表面展开为平面图形；依据两点之间线段最短原理搭建直角三角形，代入公式算出最短行进路程。 【典例1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（    ） A．5cm B．4cm C． D．15cm 【变式2】如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为（    ）    A．8 B．10 C．8 D．12 题型八 方位角航海实际应用题 解｜题｜技｜巧 根据方位描述画出几何示意图，找准垂直夹角构建直角模型；梳理每条边对应的实际路程，套用勾股定理求解两点之间直线距离。 【典例1】一艘轮船以海里／小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以海里／小时的速度向西南方向航行，离开港口小时，两艘轮船的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【变式1】甲、乙两人从同一地点出发，甲以40米/分的速度向北偏东方向直行，乙以30米/分的速度向南偏东方向直行，若他们同时出发，则5分后他们相距__________米． 【变式2】如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ 题型八 梯子滑动动态变化计算题 解｜题｜技｜巧 梯子自身长度固定不变，滑动前后斜边长度恒定；分别分析滑动前后两组直角三角形，分步求出对应直角边，再计算边长变化差值。 【典例1】如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，将矩形木板斜靠在与地面垂直的墙上，木板底端点B到墙的距离，木板长，宽． （1）若木板的底端B向里滑行，则木板的顶端A沿墙上滑________m； （2）在木板滑动的过程中，木板的顶端D到O点的最大距离是________m． 【变式2】一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 题型十 勾股定理与图形面积综合题 解｜题｜技｜巧 结合直角边关联正方形、半圆等规则图形面积；利用面积和差等量关系转化条件，间接推导各条边长具体数值。 【典例1】如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B． C．5 D． 【变式1】“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是______．    【变式2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，求的值． 题型十一 勾股定理逆定理实际应用 解｜题｜技｜巧 根据场景提取三边长度，验算平方关系判定直角，以此判断垂直、方位与图形形态，贴合实际得出结论。 【典例1】如图，在一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，．若每平方米草皮需要200元，则需要投入（    ） A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元 【变式1】如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，则这块地的面积为______平方米． 【变式2】（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且， (1)连接，求的长 (2)求这块菜地的面积． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列几组数据中，不是勾股数的是 （    ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（    ）． A．，， B． C． D． 3．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）《周髀算经》是我国现存最早的一部数学典籍，此书有一段关于勾股定理的记载：如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在大正方形内，若直角三角形两直角边分别为4和3，则图2中阴影部分面积为（   ）      A．5 B．6 C．7 D．无法计算 4．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在四边形中，，相交于点O，且，若，，则的值为（   ） A．12 B．20 C．25 D．26 5．已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则它的第三条边长为________． 6．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，，为边上一点，且满足，若的面积为24，则的长为_______． 7．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．兴趣小组的同学在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画出如图示意图，测得水平距离的长为8米，且线圈里的10米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为米． (1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； (2)若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短3米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 8．如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面是大海．远洋号、长峰号两艘轮船同时离开港O，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB=20海里，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，请判断“长峰”号航行的方向，并说明理由． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽六安·期末）四边形中，，，若，，则的长为____． 3．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）产业兴旺是乡村振兴的重要基础，产业发展是滋养农民美好生活的源头活水．如图，某乡村有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和△，分别种植梨树和桃树两种不同的果树，经测量，，米，米，米，米，米，求四边形的面积． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 5．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）户外钓鱼是一项独特的休闲活动，如图，小明在钓鱼时鱼竿长13m，露在水面上的鱼线长．他想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为．求转动前后的水平距离的长度． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $