精品解析：浙江宁波市奉化区锦屏中学2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷

浙江省宁波市奉化区锦屏中学2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列生活现象中，属于平移的是（　　） A. 足球在草地上滚动 B. 拉开抽屉 C. 投影片的文字经投影转换到屏幕上 D. 钟摆的摆动 2. 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，被直线所截，则与是（ ） A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 对顶角 4. 某H品牌手机上使用5nm芯片，1nm＝0.0000001cm，则5nm用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是二元一次方程组的解，则的值是(　　) A. B. C. D. 8. 如图，已知AB、CD、EF互相平行，且，EC为的角平分线，则的度数为（ ） A. 125° B. 55° C. 110° D. 145° 9. 已知，是常数，若化简的结果不含的二次项，则的值为（ ） A. B. 0 C. 17 D. 35 10. 如图，点E,F分别是长方形的边上两点，连结，此时．将四边形沿翻折得到四边形，交于点G．继续将四边形沿翻折，点翻折到点．设， ，则与满足的数量关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知方程，用含x的代数式表示y，即_________． 12. 因式分解：_____． 13. 若，则等于 _____ 14. 如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B'C′与CD交于点M，若∠B′MD=50°，则∠BEF的度数为_____． 15. 如，我们叫集合M．其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是______． 16. 从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且，则的度数是______． 三、解答题（本大题共8小题，第17、18、19、20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共计72分；解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算∶ （1） （2） 18. 解下列方程组 （1）； （2）． 19. 先化简，再求值∶，其中． 20. 如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题保留画图痕迹： （1）画出； （2）连接、，那么与的关系是_________，的面积为_________； （3）在的右下侧确定格点Q，使的面积和的面积相等，这样的Q点有_________个． 21. ·【较难】阅读理解： 对于二次三项式 ，能直接用公式法进行因式分解，得到 ，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了． 我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项 ，使其成为完全平方式，再减去  这项，使整个式子的值不变，于是： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． （1）问题解决：请用上述方法将二次三项式 分解因式． （2）拓展应用：二次三项式有最小值或是最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由． 22. 在四边形ABCD中，． （1）如图1，比较大小：______（填＞、＜或＝）： （2）如图2，连接BD，作AE、CF分别平分、交BD于E、F，判断AE、CF的位置关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AF，若，探究并写出与的数量关系． 23. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． （1）求、两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 24. 【知识技能】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：____________________； 图2表示：____________________； 【解决问题】 （2）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______． 【拓展提升】 （3）①若x满足；求______． ②若x满足；则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省宁波市奉化区锦屏中学2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列生活现象中，属于平移的是（　　） A. 足球在草地上滚动 B. 拉开抽屉 C. 投影片的文字经投影转换到屏幕上 D. 钟摆的摆动 【答案】B 【解析】 【分析】根据基平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A．足球在草地上滚动方向变化，不符合平移的定义，不属于平移 B．拉开抽屉符合平移的定义，属于平移； C．投影片的文字经投影转换到屏幕上，大小发生了变化，不符合平移的定义，不属于平移； D．钟摆的摆动是旋转运动，不属于平移； 故选B． 2. 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握“二元一次方程需同时满足含两个未知数、未知数最高次数为1、整式方程这三个条件”是解题的关键． 根据二元一次方程的定义（含两个未知数、未知数最高次数为1、整式方程），逐一判断选项是否符合条件． 【详解】解：二元一次方程需满足：①含两个未知数；②未知数最高次数为1；③整式方程． 选项A、，的次数为2，不符合； 选项B、，含分式，不是整式方程，不符合； 选项C、，含两个未知数，未知数次数均为1，是整式方程，符合； 选项D、，项次数为2，不符合． 故选：C． 3. 如图，直线，被直线所截，则与是（ ） A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 对顶角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，根据同位角的定义判断即可，能熟记同位角、内错角、同旁内角的定义的内容是解此题的关键，注意数形结合． 【详解】解： 与是同位角， 故选：． 4. 某H品牌手机上使用5nm芯片，1nm＝0.0000001cm，则5nm用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示时，一般形式为a×10-n.其中n的值由原数左边起第一个不为零数字前面的0的个数决定． 【详解】解：∵1nm=0.0000001cm． ∴5nm=0.0000005cm． ∴0.0000005cm=5×10-7cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n.其中1≤|a|＜10，n的值由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂的乘方、同底数幂乘法、合并同类项、同底数幂除法，分别进行计算，即可得到答案． 【详解】解：，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：A 【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂乘法、合并同类项、同底数幂除法，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行判断． 6. 如图，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定， 根据“同旁内角互补两直线平行”得，再根据“两直线平行内错角相等”可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 所以. 不能确定之间的关系. 故选：D. 7. 已知是二元一次方程组的解，则的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将代入方程组，进而求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴ 即， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．二元一次方程组的两个二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 8. 如图，已知AB、CD、EF互相平行，且，EC为的角平分线，则的度数为（ ） A. 125° B. 55° C. 110° D. 145° 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得∠BEF=70°，再利用角平分线的性质可得∠CEF=35°，然后再利用平行线的性质，即可解答． 【详解】解：∵ABEF， ∴∠B=∠BEF=70°， ∵EC为∠BEF的角平分线， ∴∠CEF=∠BEF=35°， ∵CDEF， ∴∠C=180°-∠CEF=145°， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 9. 已知，是常数，若化简的结果不含的二次项，则的值为（ ） A. B. 0 C. 17 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算，理解不含的二次项的含义，掌握整式混合运算法则是解题的关键．根据题意，运用整式的混合运算展开，由不含的二次项可得，该项的系数为零，再代入计算即可． 【详解】解： ， ∵不含的二次项， ∴， ∵， ∴原式， 故选：A ． 10. 如图，点E,F分别是长方形的边上两点，连结，此时．将四边形沿翻折得到四边形，交于点G．继续将四边形沿翻折，点翻折到点．设， ，则与满足的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，角的和差运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由折叠性质得，再结合平行线的性质，得，，然后代入，得，再结合，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵折叠 ∴ ∵四边形是长方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知方程，用含x的代数式表示y，即_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把x看做已知，求出y即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 若，则等于 _____ 【答案】6 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 14. 如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B'C′与CD交于点M，若∠B′MD=50°，则∠BEF的度数为_____． 【答案】70°##70度 【解析】 【分析】设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，依据∠EFC=∠EFC'，即可得到180°﹣α=40°+α，进而得出∠BEF的度数． 【详解】解：∵∠C'=∠C=90°，∠DMB'=∠C'MF=50°， ∴∠C'FM=40°， 设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α， 由折叠可得，∠EFC=∠EFC'， ∴180°﹣α=40°+α， ∴α=70°， ∴∠BEF=70°， 故答案为70°． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 15. 如，我们叫集合M．其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的定义和集合相等的条件即可判断． 【详解】∵，， ∴，， ∴，即， ∴，或，， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题以集合为背景考查了代数式求值，关键是根据集合的定义和性质求出和的值． 16. 从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且，则的度数是______． 【答案】99°或45° 【解析】 【分析】根据，，可知，此时需要进行分情况讨论，为锐角时，；为钝角时，，由此即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴（两直线平行，内错角相等）， 如图1所示，， 如图2所示，， ∴的度数为45°或99°． 故答案为：45°或99°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，分情况讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，第17、18、19、20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共计72分；解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算∶ （1） （2） 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则； （1）根据乘方、负整数指数幂和零指数幂的法则计算，再作加减法； （2）利用多项式除以单项式法则计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 解下列方程组 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解； 把①代入②得，解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 19. 先化简，再求值∶，其中． 【答案】，2． 【解析】 【详解】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．根据平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项把原式化简，把a的值代入计算得到答案． 【解答】解： ， 当时，原式． 20. 如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题保留画图痕迹： （1）画出； （2）连接、，那么与的关系是_________，的面积为_________； （3）在的右下侧确定格点Q，使的面积和的面积相等，这样的Q点有_________个． 【答案】（1）见解析 （2）平行且相等，7.5 （3）8 【解析】 【分析】本题考查作图−−平移变换，三角形的面积，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）分别作出A，C的对应的点，，然后顺次连接，，即可； （2）根据平移的性质和利用分割法的思想进行求解即可； （3）直线l上的格点满足条件． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 解：如图， 由平移的性质知：，， ， 故答案为：平行且相等，7.5； 【小问3详解】 解：直线l上的格点满足条件，如图可知： 满足条件的点Q有8个， 故答案为：8． 21. ·【较难】阅读理解： 对于二次三项式 ，能直接用公式法进行因式分解，得到 ，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了． 我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项 ，使其成为完全平方式，再减去  这项，使整个式子的值不变，于是： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． （1）问题解决：请用上述方法将二次三项式 分解因式． （2）拓展应用：二次三项式有最小值或是最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由． 【答案】（1） （2）有最小值1，理由见解析 【解析】 【分析】（1）将添加，再减去，凑出一个完全平方式，再利用平方差公式分解因式； （2）将 添加4，再减去4，凑成完全平方式，得 ，而 ，因此当时， 有最小值，为． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵ ， ∴  ， ∴当时， 有最小值，为． 22. 在四边形ABCD中，． （1）如图1，比较大小：______（填＞、＜或＝）： （2）如图2，连接BD，作AE、CF分别平分、交BD于E、F，判断AE、CF的位置关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AF，若，探究并写出与的数量关系． 【答案】（1）＝ （2）平行，见解析 （3），探究见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质求解即可； （2）延长AE交BC于点G，先证明，再由，得到即可证明 （3）设，则，然后根据平行线的性质得到， 则． 【小问1详解】 解：∵， ∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ABC+∠BCD=180°， ∴∠BAD=∠BCD， 故答案为：＝； 【小问2详解】 解：．理由如下： 延长AE交BC于点G， 由（1）可知，， ∵AE、CF分别平分、， ∴，， ∴， ∵． ∴ ∴ 【小问3详解】 解：设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定是解题的关键． 23. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． （1）求、两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 （2）共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 【解析】 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：，解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 【小问2详解】 解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：， ∵a、b为正整数， ∴此方程的解为：，，． 答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 24. 【知识技能】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：____________________； 图2表示：____________________； 【解决问题】 （2）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______． 【拓展提升】 （3）①若x满足；求______． ②若x满足；则______． 【答案】（1）；；（2）32；（3）①4；②． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式以及其变形公式，熟练掌握公式是解题的关键． （1）对于图1，根据大正方形的面积等于两个长方形面积与两个正方形面积之和，得到；对于图2，根据大正方形面积等于小正方形面积与四个长方形面积之和，得到； （2）设，，则，，根据完全平方公式的变形公式，计算出图中阴影部分面积； （3）①由，，以及完全平方公式的变形公式，计算得出答案； ②由，，以及完全平方公式的变形公式，计算得出答案． 【详解】（1）解：由图1可知，， 由图2可知，． （2）解：设，， ∵， ∴， ∵四边形，四边形都是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）①解：∵，， ∴． ②解：∵，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $