期末真题百练通关30大热考题型（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材苏科版

**基本信息** 本专项聚焦初中数学期末30大热考题型，通过91道真题构建“概念-方法-应用”逻辑体系，提炼平方法、因式分解法等实用技巧，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|20题|性质化简、非负性应用、平方法比较大小|从概念性质到混合运算，再到实际应用| |分式|25题|化简求值、参数讨论、实际问题建模|从基本变形到方程求解，延伸至实际应用| |因式分解|9题|公式法、提公因式法、简算应用|从方法选择到代数推理，结合几何应用| |四边形|20题|性质判定、中位线构造、折叠问题|从平行四边形到特殊四边形，渗透转化思想| |统计与概率|17题|频率估计概率、图表信息提取|从数据收集到分析预测，培养数据观念|

期末真题百练通关（91题30大热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用二次根式的性质化简（与数轴有关）（共2小题） 题型二 利用二次根式的非负性求解（共2小题） 题型三 已知同类二次根式求参数（共2小题） 题型四 二次根式的混合运算（共3小题） 题型五 比较二次根式的大小（共3小题） 题型六 二次根式的应用（共4小题） 题型七 二次根式/分式的化简求值问题（共4小题） 题型八 判断分式变形的正误（共2小题） 题型九 约分/通分（共3小题） 题型十 分式的混合运算（共2小题） 题型十一 分式加减的实际应用（共3小题） 题型十二 解分式方程（共2小题） 题型十三 根据分式方程解的情况求参数（共6小题） 题型十四 根据实际问题列分式方程（共4小题） 题型十五 实际问题与分式方程（共4小题） 题型十六 选用合适的方法分解因式（共3小题） 题型十七 因式分解在有理数简算中的应用（共2小题） 题型十八 因式分解的应用（共4小题） 题型十九 平行四边形性质与判定的应用（共2小题） 题型二十 利用平行四边形的性质求解（共3小题）60 题型二十一 利用三角形中位线的性质求解（共2小题） 题型二十二 构造三角形中位线求解（共2小题） 题型二十三 利用特殊四边形的性质求解（共5小题） 题型二十四 利用特殊四边形的性质与判定求解（共4小题） 题型二十五 折叠问题（共3小题） 题型二十六 利用频率估计概率（共3小题） 题型二十七 从统计图中获取信息（共3小题） 题型二十八 频率分布表和频率分布直方图（共3小题） 题型二十九 统计图综合（共3小题） 题型三十 统计与预测（共3小题） 题型一 利用二次根式的性质化简（与数轴有关）（共2小题） 1．（24-25八年级下·全国·期末）若，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示： 化简：__________． 题型二 利用二次根式的非负性求解（共2小题） 3．（25-26八年级上·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）已知，则_____． 题型三 已知同类二次根式求参数（共2小题） 5．（22-23八年级下·湖北咸宁·期末）当________时，和两个最简二次根式是同类二次根式． 6．（25-26九年级上·重庆·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______. 题型四 二次根式的混合运算（共3小题） 7．（20-21八年级上·陕西汉中·期末）计算：． 8．（21-22七年级下·四川绵阳·期末）计算：． 9．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）计算： (1) (2) 题型五 比较二次根式的大小（共3小题） 10．（21-22八年级上·广东佛山·阶段检测）比较大小：______（填“＞”或“＜”）． 11．（25-26八年级上·广东深圳·期末）素材1：在进行二次根式比较大小时，“平方法”是非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方． ∵，，，∴． 素材2：我们可以用在方格纸中构造线段的方法来比较无理数的大小．如在图1的方格纸中，，，显然，∴． 根据以上素材，解决下面问题： (1)比较大小：______8； (2)小明在比较与的大小时，想出了以下两种方法： ①从“数”的角度：利用平方法，证明“”； ②从“形”的角度”：在图2的方格纸中画出图形，证明“”． 12．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 题型六 二次根式的应用（共4小题） 13．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，从一个大正方形木板上裁去面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为_____和_____； (2)求剩余木料的面积； 14．（25-26八年级上·上海宝山·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)小明说物体从的高空落到地面的时间是从的高空落到地面时间的倍，他的说法正确吗？请说明理由； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（），某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：砸伤无防护人体只需要的能量） 15．（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题． (1)已知一块三角形实践基地的三边长分别为时，判断这块实践基地的形状，并说明理由； (2)在中，已知，，，求的面积； 16．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 题型七 二次根式/分式的化简求值问题（共4小题） 17．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）计算：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 18．（25-26八年级上·北京延庆·期末）已知：，求代数式的值． 19．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）先化简，再求值：，其中，且a为整数． 20．（21-22八年级上·内蒙古赤峰·期末）先化简：，再从1，2，3，4中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 题型八 判断分式变形的正误（共2小题） 21．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）下列分式从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 题型九 约分/通分（共3小题） 23．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列分式为最简分式的是（　　） A． B． C． D． 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列分式的约分中，正确的是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）通分：，，． 题型十 分式的混合运算（共2小题） 26．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）计算： (1)； (2)． 27．（25-26八年级上·重庆江北·期末）计算 (1) (2) 题型十一 分式加减的实际应用（共3小题） 28．（23-24八年级上·吉林辽源·期末）某商场文具专柜以每支（为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，每支加价2元销售，由于这种品牌的钢笔价格廉、质量好、外观美，很快就销售一空，结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为元，你能根据上面的信息求出文具专柜共购进了多少支钢笔吗？每支钢笔的进价是多少元？ 29．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）某资料上有这样一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”下面是小刚和小明的对话，请根据对话内容回答问题． (1)请你通过计算，验证小明的说法； (2)假设某住宅窗户面积为平方米，地板面积为平方米，且，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件变好了吗？请说明理由． 30．（21-22八年级上·辽宁大连·期末）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油”（油箱未加满）．而小张则说：“师傅，帮我把油箱加满！”，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小王和小张第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升． (1)用含 x，y的代数式表示分别表示小王和小张两次所加油的平均单价； (2)小王和小张的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由， 题型十二 解分式方程（共2小题） 31．（21-22八年级上·山东济南·期末）当_____时，与互为相反数． 32．（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）解方程： (1) (2) 题型十三 根据分式方程解的情况求参数（共6小题） 33．（21-22八年级上·江苏南通·期末）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是___． 34．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____________． 35．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 36．（25-26八年级上·山东临沂·期末）若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________． 37．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）若关于的分式方程无解，则的值是______． 38．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）已知关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为________ ． 题型十四 根据实际问题列分式方程（共4小题） 39．（25-26八年级上·江西南昌·期末）《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.6m，宽为0.6m的长方形，装裱后的长与宽的比是11：3，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为，根据题意可列方程_____． 40．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）在中国古代建筑中，常通过榫（sǔn）构件和卯（mǎo）构件的精密连接，使得建筑物牢固且难以松动．如图，工匠们设计了一种特定的榫卯结合构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同．设制作1个榫构件需要的圆木为,根据题意可列方程_____________． 41．（2021·湖北襄阳·一模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为：把一份文件用慢马送到里外的城市需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需时间比规定时间少天，已知快马速度是慢马速度的倍，求规定时间是多少天？若设规定时间为天，则可列方程为________． 42．（2025·山东青岛·模拟预测）在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为______． 题型十五 实际问题与分式方程（共4小题） 43．（21-22八年级上·贵州黔西南·期末）小李从家出发去相距的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班，结果迟到了5分钟；第二天骑自行车去上班，结果早到了10分钟．已知他骑自行车的速度是步行速度的1.5倍． (1)求小李上班步行的速度和骑自行车的速度． (2)有一天小李骑自行车出发，出发后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计），为了上班不迟到，他跑步的速度至少为多少？ 44．（21-22八年级上·广西河池·期末）在创建全国文明城市活动中，某市城投公司对文化广场的地砖进行改造升级，在铺设的地砖后，采用新的铺设模式，每天的工作效率比原来提高，共用天完成了全部改造任务． (1)求原来每天铺设地砖多少； (2)若该公司原来每天支付民工工资为元，提高工作效率后每天支付的工资增加了，求完成全部任务后共支付民工工资多少元． 45．（25-26八年级上·河北沧州·期末）商场购进A、B两种儿童玩具，每个A玩具进价比每个B玩具进价多2.5元，用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍． (1)求A、B两种玩具进价分别为多少元？ (2)若A玩具每个售价为13元，B玩具每个售价为9.5元，商场购进B玩具的数量比购进A玩具的数量的2倍还多4个，两种玩具全部售出后，商场要使总的利润超过120元，则最少购进A玩具多少个？ 46．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟． (1)求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； (2)因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的4倍，50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 题型十六 选用合适的方法分解因式（共3小题） 47．（21-22八年级上·江苏南通·期末）因式分解： (1) (2)． 48．（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）分解因式： (1) (2) 49．（25-26八年级上·河北张家口·期末）将下列各式分解因式． (1)； (2)． 题型十七 因式分解在有理数简算中的应用（共2小题） 50．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）简便运算： (1) (2) 51．（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：． 题型十八 因式分解的应用（共4小题） 52．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知a，b，c是的三边长． (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由． 53．（25-26八年级上·福建泉州·期末）深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究： 【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下： 由于即能被4整除； 而且，可以表示为2和1的平方差．所以结论正确． （1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证； 【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明： （2）是4的倍数； （3）可以表示为两个正整数的平方差． 54．（24-25八年级上·广东中山·期末）【阅读材料】因式分解： 解：，将看成整体，令，则原式，将M还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】（1）因式分解：； 【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 55．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【阅读理解】 例题：若，求和的值； 解：由题意得：， ， ，解得 【问题解决】 (1)若，求的值； (2)若是的边长，满足是的最长边，且为偶数，则可能是哪几个数？ 题型十九 平行四边形性质与判定的应用（共2小题） 56．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．求这个四边形停车位的面积． 57．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，E，F分别为，上两点，且，连接，分别与对角线交于点G，H． (1)求证：四边形为平行四边形： (2)若，，求点G到的距离． 题型二十 利用平行四边形的性质求解（共3小题） 58．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 59．（21-22八年级下·辽宁营口·期末）在平行四边形中，的值可以是（   ） A． B． C． D． 60．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型二十一 利用三角形中位线的性质求解（共2小题） 61．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 62．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，的平分线交于点，为的中点，若，，，则的长可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型二十二 构造三角形中位线求解（共2小题） 63．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，对角线，且，，点E，F，分别是边，的中点，则的长度是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 64．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，在中，．H、G分别是上的动点，连接，E、F分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 题型二十三 利用特殊四边形的性质求解（共5小题） 65．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 66．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 67．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 68．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，， 以为边在左侧作正方形， 则点C的坐标为（      ） A． B． C． D． 69．（25-26九年级上·广东佛山·期末）中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．其示意图如图所示，菱形的对角线、，则菱形边长应为（   ） A． B． C． D． 题型二十四 利用特殊四边形的性质与判定求解（共4小题） 70．（21-22八年级下·浙江舟山·期末）如图，在中，点是边的中点，点是的中点，过点作，且交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． (3)若，在中再增加条件．则四边形是正方形． 71．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到. (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为______． 72．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，E是边的中点，过点E作于点F，于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则的长为______． 73．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在四边形中，为一条对角线，，为的中点，连接． (1)如果四边形为正方形，试用等式表示，之间的数量关系； (2)连接，若平分，求的长． 题型二十五 折叠问题（共3小题） 74．（23-24八年级下·吉林松原·期末）如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为_____． 75．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，长方形纸片， 将这张长方形纸片翻折，点D落到边点H处， 点C落到点G处，折痕交于点E，F，若，则的长为_______． 76．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，四边形为长方形，点A在x轴上，点C在y轴上，B点的坐标为，将沿翻折，点A的对应点为点E，交于点D，则线段的长为_____． 题型二十六 利用频率估计概率（共3小题） 77．（2025·山东济南·二模）在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球_______个． 78．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)a＝ ；b＝ ； (2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是 ；（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了15000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 79．（22-23八年级上·江苏扬州·期末） 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000 幼树移植成活数（棵） ________ 893 4485 7224 8983 13443 18044 幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 ________ 0.898 0.896 0.902 (1)请你帮助计算并填写好表格中所缺数据，估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是________；（结果精确到0.1） (2)若某林业部门今年在该地区共移植这种幼树10万棵，则该地区成活约________棵这种幼树． 题型二十七 从统计图中获取信息（共3小题） 80．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）甲、乙两所学校男女生比例情况如图，若甲学校有1200人，乙学校有1500人，则（   ） A．甲校与乙校的男生一样多 B．甲校的男生比乙校的男生多 C．甲校的男生比乙校的男生少 D．甲校与乙校男生共1500人 81．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的统计图（两图都不完整），下列结论错误的是（   ） A．该班总人数为人 B．步行人数为人 C．乘车人数是骑车人数的倍 D．“骑车”所在扇形圆心角度数为 82．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）对若干名青少年进行“你最喜爱的运动项目”的问卷调查，得到如下不完整的扇形统计图图及条形统计图图（柱的高度从高到低排列）条形统计图不小心被撕掉了一块，则图的“（  ）”中应填的运动项目是（    ） A．足球 B．游泳 C．骑自行车 D．篮球 题型二十八 频率分布表和频率分布直方图（共3小题） 83．（24-25八年级上·北京·期末）小明同学统计了他所在小区居民每天早晨跑步的时间，并绘制了频数分布直方图．如图所示：①小明同学一共统计了74人；②每天早晨跑步不足30分钟的有14人；③每天早晨跑步分钟的人数最多；④每天早晨跑步分钟的人数最少．根据图中信息，上述说法中正确的是（   ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 84．（24-25八年级下·河北唐山·期末）年月日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．为激发同学们对航空航天方面的兴趣，某学校开展了航空航天知识竞赛，赛后随机抽取了某班全部学生的竞赛成绩（单位：分）进行统计，绘制出如图所示的频数分布直方图（每组不包括最小值，包括最大值），图中从左至右前四组的频数占总人数的百分比分别为，，，，且第五组的频数是，则下列结论不正确的是（   ） A．第五组的频数占总人数的百分比为 B．该班有名学生参赛 C．成绩在分的人数最多 D．分以上的学生有名 85．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小涵同学通过查看通话记录得知了他家5月份打电话的次数及通话时间，并列出如下频数分布表∶ 通话时间/min 频数(通话次数) 34 18 9 5 通话时间不超过15min的频数为，则通话时间不超过10分钟的频率为__________． 题型二十九 统计图综合（共3小题） 86．（25-26八年级上·吉林长春·期末）为了提高学生的数学实践能力，某中学开展了数学实践作业成果展示活动，每位同学只上交一项作业，作业项目包括：无字证明、数学园地设计、调查活动、测量、七巧板．为了解学生上交作业的情况，随机调查了若干名学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次共调查的学生人数是________人，请根据以上信息直接补全条形统计图； (2)在扇形统计图中上交“无字证明”作业的学生人数占________； (3)求扇形统计图中表示上交“七巧板”作业的扇形圆心角的度数． 87．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）2025年1月，DeepSeek人工智能成功出圈，使我国的AI技术在全球人工智能领域备受关注，对人类社会、经济、文化、科技等领域产生深远影响．某校为了提高学生的科技创新能力，开展“万物皆可AI”为主题的校园创客大赛，为了解学生“最喜爱的创客项目”的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（规定每人必须选择且只能选一项），并将调查结果绘制成如下统计表和不完整的统计图． 组别 A B C D E 项目名称 创意设计（） 动漫设计（） 机器人（Robotics） 手工创意（） 创意程序设计（） 根据以上信息，请回答下列问题： (1)本次抽样调查共随机抽取了___________名学生； (2)请将图①和图②补充完整； (3)在扇形统计图中，B组对应的圆心角度数为___________； (4)若该校共有学生1200人，根据调查数据，估计该校学生最喜爱A组和D组学生共有多少名． 88．（24-25八年级下·山东滨州·期末）某校七年级举行“运算能力提升”比赛，每位学生计算39道题目．为考察运算能力的分布情况，开展了一次调查研究． 【确定调查方式】（1）李老师计划抽取100名学生的比赛成绩，将抽取的这100个学生的比赛成绩作为样本，下面的抽样调查方式合理的是 ．（只填序号） ①抽取成绩最好的100名学生的比赛成绩作为样本； ②随机抽取100名学生的比赛成绩作为样本； ③抽取成绩最差的100名学生的比赛成绩作为样本． 【整理分析数据】赛结束后抽查的100名学生成绩，并绘制成如下统计图表（均不完整）． 组别 答题正确的个数x 人数 A 10 B 15 C 25 D a E b     根据以上信息解决下列问题： （2） ， ； （3）补全图（1）中的条形统计图； （4）求出图（2）B组对应的圆心角的度数； 【作出合理估计】 （5）已知该校七年级共有1000名学生，如果将答题正确的道数大于31道的定为优秀，请你估计这所学校本次比赛答题优秀的学生人数． 题型三十 统计与预测（共3小题） 89．（25-26八年级上·四川资阳·期末）为掌握家长们对“双减政策”的了解情况，从某校1600名家长中随机抽取部分家长进行问卷调查，调查评价结果分为“了解较少”“基本了解”“了解较多”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图． (1)本次抽取家长共有_____人； (2)直接补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，求“基本了解”所对应的扇形圆心角的度数； (4)请结合调查结果，对该校提出合理的建议． 90．（2025·江苏南京·一模）今年的3月21日是首个“世界冰川日”，中国科学院在当天发布了我国第三次冰川编目数据集（前两次分别于2002年和2014年发布）．图（1）（2）分别是我国三次冰川编目数据集中冰川条数和面积的折线统计图． 冰川条数折线统计图      冰川面积折线统计图    (1)根据第三次冰川编目数据，我国每条冰川的平均面积是多少平方千米？（结果保留1位小数） (2)从图（2）中可以看出，我国冰川进入 （填“扩张”或“退缩”）阶段． (3)冰川对地球的生态系统非常重要，请尝试提出保护冰川的一条建议． 91．（23-24八年级下·河北沧州·月考）某商场试销A、B两款型号的洗碗机，四个月共售出400台．试销结束后，该商场想从中选择一款洗碗机进行经销，请根据提供的两幅统计图完成下列问题． (1)第四个月销量占总销量的百分比是 %； (2)通过计算补全洗碗机月销量的折线统计图； (3)结合折线统计图，判断该商场应选择哪款洗碗机进行经销？请说明理由． 1．（25-26八年级下·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明的做法：根据，得，∴，∴．把的值整体代入，得． 仿照上述方法解决问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． 2．（2025·北京·模拟预测），求代数式的值． 3．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，已知B款车每千米行驶费用比A款车多元． (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用； (2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？ 4．（25-26八年级上·四川泸州·期末）阅读下面的因式分解的过程： ， 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长分别为a，b，c，且满足，证明是等腰三角形． 5．（21-22七年级上·陕西西安·期末）为了了解某校七年级男生的跳高成绩情况，随机抽取该年级部分男生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示不完整的频数分布表和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），已知这些男生的跳高成绩都不低于，但都低于，组别“”的人数占总人数的． 组别/m 频数 8 12 a 10 (1)分别求出抽取的总人数及a的值； (2)请把频数直方图补充完整． 6．（21-22八年级下·吉林·期末）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为，解答下列各题： (1)当运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (2)当运动时间为___________________秒时，； (3)四边形____________为菱形（填“可能”或“不可能”）； (4)四边形 ____________为正方形（填“可能”或“不可能”）． $ 期末真题百练通关（91题30大热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用二次根式的性质化简（与数轴有关）（共2小题） 题型二 利用二次根式的非负性求解（共2小题） 题型三 已知同类二次根式求参数（共2小题） 题型四 二次根式的混合运算（共3小题） 题型五 比较二次根式的大小（共3小题） 题型六 二次根式的应用（共4小题） 题型七 二次根式/分式的化简求值问题（共4小题） 题型八 判断分式变形的正误（共2小题） 题型九 约分/通分（共3小题） 题型十 分式的混合运算（共2小题） 题型十一 分式加减的实际应用（共3小题） 题型十二 解分式方程（共2小题） 题型十三 根据分式方程解的情况求参数（共6小题） 题型十四 根据实际问题列分式方程（共4小题） 题型十五 实际问题与分式方程（共4小题） 题型十六 选用合适的方法分解因式（共3小题） 题型十七 因式分解在有理数简算中的应用（共2小题） 题型十八 因式分解的应用（共4小题） 题型十九 平行四边形性质与判定的应用（共2小题） 题型二十 利用平行四边形的性质求解（共3小题）60 题型二十一 利用三角形中位线的性质求解（共2小题） 题型二十二 构造三角形中位线求解（共2小题） 题型二十三 利用特殊四边形的性质求解（共5小题） 题型二十四 利用特殊四边形的性质与判定求解（共4小题） 题型二十五 折叠问题（共3小题） 题型二十六 利用频率估计概率（共3小题） 题型二十七 从统计图中获取信息（共3小题） 题型二十八 频率分布表和频率分布直方图（共3小题） 题型二十九 统计图综合（共3小题） 题型三十 统计与预测（共3小题） 题型一 利用二次根式的性质化简（与数轴有关）（共2小题） 1．（24-25八年级下·全国·期末）若，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，解不等式组，由题意可得，然后解不等式组并在数轴上表示即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的取值范围在数轴上表示为， 故选：． 2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示： 化简：__________． 【答案】 【分析】此题考查了实数的运算，以及实数与数轴，熟练掌握二次根式性质及绝对值的代数意义是解本题的关键．先根据数轴判断a、b、c的取值范围，利用二次根式、立方根性质化简，判断绝对值里面的数的正负号，去掉绝对值，最后再合并同类项． 【详解】解：由图可知：，且， ， 故答案为：． 题型二 利用二次根式的非负性求解（共2小题） 3．（25-26八年级上·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 【答案】B 【分析】先求出a，b的所有可能取值，再根据条件筛选出符合要求的取值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去， ∵时，和都满足， 当时，， 当时，， ∴的值为2或10． 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）已知，则_____． 【答案】8 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出，再求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 题型三 已知同类二次根式求参数（共2小题） 5．（22-23八年级下·湖北咸宁·期末）当________时，和两个最简二次根式是同类二次根式． 【答案】3 【分析】根据同类二次根式的定义列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵和两个最简二次根式是同类二次根式， ∴，解得：． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义列出一元一次方程是解答本题的关键． 6．（25-26九年级上·重庆·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______. 【答案】/0.5 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，解二元一次方程组，负整数指数幂，熟知把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，被开方数相等，列出方程组并求解，得到和的值，再计算． 【详解】解：由与是同类二次根式，得到， 整理得， 由最简二次根式与是同类二次根式，得到， 整理得， ∴， 解方程组得， 因此， 故答案为：． 题型四 二次根式的混合运算（共3小题） 7．（20-21八年级上·陕西汉中·期末）计算：． 【答案】 【分析】先计算完全平方，绝对值，零指数幂，再计算加减即可． 【详解】解：原式． 8．（21-22七年级下·四川绵阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的化简，准确地进行计算是解题的关键．先化简相关的二次根式及立方根，按照运算顺序进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 9．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）先运用零次幂、二次根式的性质、负整数次幂化简，然后合并同类二次根式即可； （2）直接运用二次根式的混合运算法则化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型五 比较二次根式的大小（共3小题） 10．（21-22八年级上·广东佛山·阶段检测）比较大小：______（填“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：，， ， ． ． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·广东深圳·期末）素材1：在进行二次根式比较大小时，“平方法”是非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方． ∵，，，∴． 素材2：我们可以用在方格纸中构造线段的方法来比较无理数的大小．如在图1的方格纸中，，，显然，∴． 根据以上素材，解决下面问题： (1)比较大小：______8； (2)小明在比较与的大小时，想出了以下两种方法： ①从“数”的角度：利用平方法，证明“”； ②从“形”的角度”：在图2的方格纸中画出图形，证明“”． 【答案】(1)＞； (2)①见解析；②见解析． 【分析】本题考查二次根式的大小比较，实数的乘方，三角形的三边关系，掌握知识点是解题的关键． （1）分别求出两个数的平方，再比较大小即可； （2）①根据平方法比较大小的步骤，逐步求解即可；②画出三角形，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：>． （2）解：①证明：∵， ，而， ∴， ∴． ②如图，，，． ∵， ∴． 12．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【详解】（1），， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 题型六 二次根式的应用（共4小题） 13．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，从一个大正方形木板上裁去面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为_____和_____； (2)求剩余木料的面积； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用： （1）根据正方形面积计算公式即可求出两个小正方形的边长； （2）根据（1）中结论求出大正方形的面积，再减去两个小正方形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：两个小正方形的面积为和， 两个小正方形的边长为，， 故答案为：，； （2）解：由（1）知大正方形的边长为：； ∴大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积． 答：剩余木料为． 14．（25-26八年级上·上海宝山·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)小明说物体从的高空落到地面的时间是从的高空落到地面时间的倍，他的说法正确吗？请说明理由； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（），某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：砸伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)说法不正确，理由见解析； (2)这个鸡蛋在下落过程中所带能量为； 启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人． 【分析】本题考查的知识点是二次根式的应用，解题关键是理解公式，正确运算代入求值． （1）将、分别代入公式求出时间，再进行比较即可得解； （2）利用公式求出，代入能量计算公式即可得解． 【详解】（1）解：不正确，理由如下： 由题意得，当时，， 当时，， ， 说法不正确； （2）解：当时，， 解得， 鸡蛋下落过程中所带能量为， ， 启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人． 15．（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题． (1)已知一块三角形实践基地的三边长分别为时，判断这块实践基地的形状，并说明理由； (2)在中，已知，，，求的面积； 【答案】(1)直角三角形 (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理逆定理，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值． （1）通过计算三边的平方关系，判断三角形形状； （2）利用海伦公式计算三角形面积． 【详解】（1）解：实践基地是直角三角形； 理由：∵三边长分别为， ，， ， ∴该三角形是直角三角形． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴的面积是． 16．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【答案】(1) (2)木工乙的想法可行，理由见解析 【分析】（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的长和宽，再计算长方形的面积即可； （2）根据长方形的面积公式求出需要裁出的长方形的长，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为， ∴，， ∴长方形木板的面积为； （2）解：木工乙的想法可行，理由如下： ∵要从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料， ∴裁出的长方形的长为， 由（1）得长方形的长为，宽为， ，， ， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行． 题型七 二次根式/分式的化简求值问题（共4小题） 17．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）计算：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，完全平方公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由题意可得，，整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 18．（25-26八年级上·北京延庆·期末）已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再将的值整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 19．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）先化简，再求值：，其中，且a为整数． 【答案】；当时，原式 【分析】先把括号内通分，再进行同分母的加减法运算，接着把除法运算转化为乘法运算，则约分得到原式，然后确定不等式组的整数解，最后根据分式有意义的条件把代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ，且a为整数． 为，0，1， 且且， 且且， 只可以取0， 当时，原式． 20．（21-22八年级上·内蒙古赤峰·期末）先化简：，再从1，2，3，4中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当或时，原分式没有意义； 当时，原式； 当时，原式． 题型八 判断分式变形的正误（共2小题） 21．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质与平方差公式的应用．依据分式基本性质（分子分母同乘或除以不为0的整式，分式的值不变）及平方差公式对各选项逐一判断． 【详解】解：∵分式的分子、分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变， A选项：的分子、分母是加1，并非同乘除不为0的整式，无法约分为，例如取，时，，，故A错误，该选项不符合题意； B选项：∵， ∴，变形符合分式基本性质，故B正确，该选项符合题意； C选项：仅当或，时等于，一般情况不成立，例如取，时，，故C错误，该选项不符合题意； D选项：∵（平方差公式），且分式有意义时 ∴，故D错误，该选项不符合题意； 故选：B． 22．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）下列分式从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变，逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意； B、，原式变形正确，符合题意； C、只有当时，成立，原式变形错误，不符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选：B． 题型九 约分/通分（共3小题） 23．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列分式为最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分子和分母不含除1以外的公因式的分式叫做最简分式，判断各选项能否约分即可得到结果． 【详解】解：A、，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； B、，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； C、分子与分母没有除1以外的公因式，不能约分，是最简分式； D、，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列分式的约分中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的约分，在约分时要注意约掉的是分子分母的公因式． 分别根据分式的基本性质进行化简得出即可． 【详解】解：A、，原选项约分错误，不符合题意； B、，不能约分，不符合题意； C、，约分正确，符合题意； D、，原选项约分错误，不符合题意； 故选：C． 25．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）通分：，，． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了通分的知识，确定三个分式的最简公分母是解题关键．由题意可知，最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行通分即可． 【详解】解：最简公分母是， 则， ， ． 题型十 分式的混合运算（共2小题） 26．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据完全平方公式和多项式除以单项式的运算法则计算，然后合并同类项即可； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，然后把除法运算化为乘法运算后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 27．（25-26八年级上·重庆江北·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1)b (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，分式的加减乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理式子，再把除法化为乘法，运用分式的乘法进行计算，即可作答． （2）先通分括号内，再运算括号内的减法，然后把除法化为乘法，运用分式的乘法进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十一 分式加减的实际应用（共3小题） 28．（23-24八年级上·吉林辽源·期末）某商场文具专柜以每支（为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，每支加价2元销售，由于这种品牌的钢笔价格廉、质量好、外观美，很快就销售一空，结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为元，你能根据上面的信息求出文具专柜共购进了多少支钢笔吗？每支钢笔的进价是多少元？ 【答案】文具专柜共购进了400支钢笔，每支的进价是5元 【详解】本题主要考查了分式的实际应用．设文具专柜共购进了支钢笔，可得，再结合，且为整数，为正整数，可得或，即可求解． 解：设文具专柜共购进了支钢笔，则 ． 因为，且为整数，为正整数， 所以是7的约数， 所以或． 所以或（不符合题意．舍去）． 当时．． 答：文具专柜共购进了400支钢笔，每支的进价是5元． 29．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）某资料上有这样一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”下面是小刚和小明的对话，请根据对话内容回答问题． (1)请你通过计算，验证小明的说法； (2)假设某住宅窗户面积为平方米，地板面积为平方米，且，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件变好了吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)条件会更好，见解析 【分析】（1）根据题意计算出增加1平方米前面窗户面积与地板面积的比值进行比较即可； （2）根据题意表示出增加1平方米前面窗户面积与地板面积的比值，利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：∵住宅窗户面积为3平方米，地板面积为15平方米，∴ ∵窗户面积和地板面积同时增加1平方米，∴ ∵，∴所以窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅采光条件会更好． （2）∵窗户面积为平方米，地板面积为平方米，∴ ∵窗户面积和地板面积同时增加1平方米，∴ ∴， ∵，∴，， ∴，∴， ∴窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件会更好． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，弄清作差法比较大小的方法是解本题的关键． 30．（21-22八年级上·辽宁大连·期末）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油”（油箱未加满）．而小张则说：“师傅，帮我把油箱加满！”，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小王和小张第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升． (1)用含 x，y的代数式表示分别表示小王和小张两次所加油的平均单价； (2)小王和小张的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由， 【答案】(1)小王两次所加油的平均单价为元/升；小张两次加油的平均单价为元/升 (2)小王的加油方式更省钱，见详解； 【分析】（1）根据加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量列代数式即可； （2）用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样； 【详解】（1）解：小王两次所加油的平均单价为： 元/升； 设小张油箱加满能加a升． 小张两次加油的平均单价为元/升； （2）解：， ∵，， ∴当时，，即， 两种加油方式的平均单价相同； 当时， 即，即， 小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用；作差法比较两个实数的大小：对于任意两个实数a，b，若a－b＞0则a＞b；若a－b=0则a=b；若a－b＜0则a＜b． 题型十二 解分式方程（共2小题） 31．（21-22八年级上·山东济南·期末）当_____时，与互为相反数． 【答案】 【分析】根据相反数的定义可得，解分式方程并检验即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 去分母并展开得：， 解得：， 把代入得， ∴当时，与互为相反数． 32．（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解； (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 经检验，当时， ∴原分式方程无解； （2）解：， ， ， ， ， 经检验，当时， ∴是分式方程的解． 题型十三 根据分式方程解的情况求参数（共6小题） 33．（21-22八年级上·江苏南通·期末）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是___． 【答案】/ 【分析】先将分式方程化为整式方程，求出方程的解，再根据解为负数，结合分式方程分母不为零的限制条件，确定的取值范围． 【详解】解：原方程可变形为 方程两边同乘最简公分母去分母得 整理得 ∵方程的解为负数 ∴，即 解得 又∵分式方程分母不能为， ∴，即，解得 ，则自然成立 故答案为 34．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____________． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，检验，将代入，解得，，由题意知，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， 检验，将代入，解得，， ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为且， 故答案为：且． 35．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 【答案】 【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令分母， 解得，因此增根为， 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 36．（25-26八年级上·山东临沂·期末）若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________． 【答案】且 【分析】解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘，得， 展开并整理，得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验增根：若方程有增根，则或， 若，代入整式方程，得，化简得，不成立，所以解不可能是， 若，代入整式方程得，解得，故当时，方程产生增根，无解， 因此，分式方程有解的条件为且． 37．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）若关于的分式方程无解，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程无解的条件，熟练掌握分式方程增根的产生原因及求解方法是解题的关键． 先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解的条件（解为增根），求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 当时，原方程分母为零，是增根，此时方程无解， ， ， ， 故答案为：． 38．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）已知关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 解分式方程，用含的代数式表示，根据方程有整数解求出的所有值，再去掉产生增根的的值，再求出满足条件的所有整数的和即可． 【详解】解：原方程化为， 去分母得， 整理得， 解得 ∵方程有整数解， ∴为整数，且， ∴为的约数，即 ∴ 当时，，为增根，舍去， ∴满足条件的整数为， 和为， 故答案为：． 题型十四 根据实际问题列分式方程（共4小题） 39．（25-26八年级上·江西南昌·期末）《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.6m，宽为0.6m的长方形，装裱后的长与宽的比是11：3，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为，根据题意可列方程_____． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，题目中存在的等量关系为：，据此列分式方程即可． 【详解】根据题意，可得 故答案为： 40．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）在中国古代建筑中，常通过榫（sǔn）构件和卯（mǎo）构件的精密连接，使得建筑物牢固且难以松动．如图，工匠们设计了一种特定的榫卯结合构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同．设制作1个榫构件需要的圆木为,根据题意可列方程_____________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确理解题意，列出方程是解题的关键． 根据用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同，列方程即可得到结论． 【详解】解：设制作个榫构件需要的圆木为， 根据题意得，， 故答案为：． 41．（2021·湖北襄阳·一模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为：把一份文件用慢马送到里外的城市需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需时间比规定时间少天，已知快马速度是慢马速度的倍，求规定时间是多少天？若设规定时间为天，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查列分式方程，理解题意，找到等量关系是解答的关键． 设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的2倍列方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 可得慢马的速度为， 快马的速度为， ∵快马速度是慢马速度的倍， 可得方程， 故答案为：． 42．（2025·山东青岛·模拟预测）在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式方程，找出等量关系，是解题的关键．根据题意，原计划总时间为天，实际前3天安装米，剩余米以每天米的速度安装，剩余时间为天，实际总时间为天，由于提前6天完成，根据原计划时间等于实际时间加提前时间，列出方程即可． 【详解】解：设施工队原计划每天安装米，改进技术后每天安装米，根据题意得： ． 故答案为：． 题型十五 实际问题与分式方程（共4小题） 43．（21-22八年级上·贵州黔西南·期末）小李从家出发去相距的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班，结果迟到了5分钟；第二天骑自行车去上班，结果早到了10分钟．已知他骑自行车的速度是步行速度的1.5倍． (1)求小李上班步行的速度和骑自行车的速度． (2)有一天小李骑自行车出发，出发后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计），为了上班不迟到，他跑步的速度至少为多少？ 【答案】(1)小李上班步行的速度为，骑自行车的速度为 (2)小李跑步的速度至少为 【分析】（1）设小李上班步行的速度为，则骑自行车的速度为，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）先求出小李骑自行车出发所用的时间，从而得出从出发到上班所用的时间，设小李跑步的速度为，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：设小李上班步行的速度为，则骑自行车的速度为． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， 则． 答：小李上班步行的速度为，骑自行车的速度为． （2）解：小李骑自行车出发所用的时间为． 因为小李每天出发的时间都相同， 所以从出发到上班所用的时间为． 设小李跑步的速度为． 由题意，得， 解得． 答：小李跑步的速度至少为． 44．（21-22八年级上·广西河池·期末）在创建全国文明城市活动中，某市城投公司对文化广场的地砖进行改造升级，在铺设的地砖后，采用新的铺设模式，每天的工作效率比原来提高，共用天完成了全部改造任务． (1)求原来每天铺设地砖多少； (2)若该公司原来每天支付民工工资为元，提高工作效率后每天支付的工资增加了，求完成全部任务后共支付民工工资多少元． 【答案】(1)原来每天铺设地砖； (2)元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数运算的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设原来每天铺设地砖，则采用新模式后每天铺设地砖，由题意得，然后解方程并检验即可； （）由（）可知原来铺设地砖天，采用新模式后铺设了天，然后列出算出即可求解． 【详解】（1）解：设原来每天铺设地砖，则采用新模式后每天铺设地砖， 由题意得：， 解方程得：， 经检验是原方程的解且符合题意， 答：原来每天铺设地砖； （2）解：由（）可知原来铺设地砖（天），则采用新模式后铺设了（天）， ∴该公司支付给民工的工资总额为： （元）． 45．（25-26八年级上·河北沧州·期末）商场购进A、B两种儿童玩具，每个A玩具进价比每个B玩具进价多2.5元，用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍． (1)求A、B两种玩具进价分别为多少元？ (2)若A玩具每个售价为13元，B玩具每个售价为9.5元，商场购进B玩具的数量比购进A玩具的数量的2倍还多4个，两种玩具全部售出后，商场要使总的利润超过120元，则最少购进A玩具多少个？ 【答案】(1)A种玩具进价为10元，B种玩具的进价为7.5元 (2)17个 【分析】（1）设B玩具进价为元，则A玩具进价为元，结合用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍，再建立方程求解即可； （2）设购进A玩具个，则购进B玩具数量为个，结合总的利润超过120元，再建立不等式求解即可. 【详解】（1）解：设B玩具进价为元，则A玩具进价为元， 由题意得： 解得： 经检验是原方程的解 ∴A种玩具进价为10元，B种玩具的进价为7.5元． （2）解：设购进A玩具个，则购进B玩具数量为个，由题意得： 解得 的最小值是17 所以最少购进A玩具17个． 46．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟． (1)求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； (2)因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的4倍，50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 【答案】(1)制作一对“花扣”需要80分钟，则制作一对“一字扣”需15分钟 (2)升级后制作一对“一字扣”需20分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用等知识． （1）设制作一对“花扣”需要x分钟，根据制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟列出方程，解方程即可求解； （2）设升级后制作一对“一字扣”需增加y分钟，根据50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的列分式方程，解分式方程即可求解． 【详解】（1）解：设制作一对“花扣”需要x分钟，则制作一对“一字扣”需分钟． 由题意得， 解得， ． 答：制作一对“花扣”需要80分钟，则制作一对“一字扣”需15分钟； （2）解：设升级后制作一对“一字扣”需增加y分钟， 由题意得， 整理得， 去分母得， 解得， 经检验是原分式方程的解， ∴分钟． 答：升级后制作一对“一字扣”需20分钟． 题型十六 选用合适的方法分解因式（共3小题） 47．（21-22八年级上·江苏南通·期末）因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 48．（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先识别式子为平方差公式，利用平方差公式分解，再合并同类项并提取公因式； （2）先展开多项式乘积，合并同类项化简式子，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 49．（25-26八年级上·河北张家口·期末）将下列各式分解因式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是关键． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 题型十七 因式分解在有理数简算中的应用（共2小题） 50．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）简便运算： (1) (2) 【答案】(1)4000 (2)4 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式对算式进行变形简化． （1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 51．（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】本题考查利用因式分解进行简算，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型十八 因式分解的应用（共4小题） 52．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知a，b，c是的三边长． (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由． 【答案】(1)； (2)是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【分析】（1）先利用完全平方公式将其配方成非负数和的模型，再求出，即可根据三角形的三边关系求解； （2）先将其因式分解得到，则或，再根据等腰三角形的定义以及勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， 则， 解得， ∴， ∴； （2）解：是等腰三角形或直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或 ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义以及勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，平方式的非负性等知识点，熟练掌握这些知识并灵活运用是解答的关键． 53．（25-26八年级上·福建泉州·期末）深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究： 【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下： 由于即能被4整除； 而且，可以表示为2和1的平方差．所以结论正确． （1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证； 【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明： （2）是4的倍数； （3）可以表示为两个正整数的平方差． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题目模仿即可解答； （2）运用平方差公式求出结果即可得证； （3）由（2）可得，再进行说明即可． 【详解】解：（1）即能被4整除， 结果是4的倍数， 又， 可以表示为3和1的平方差， 故验证结论正确； （2）证明：， 且均为正整数， 是4的倍数； （3）由（2）可知，， 的奇偶性相同，不妨设， 都是正偶数， 和都是正整数， 一定能表示为两个正整数的平方差． 【点睛】解题的关键是熟练应用平方差公式． 54．（24-25八年级上·广东中山·期末）【阅读材料】因式分解： 解：，将看成整体，令，则原式，将M还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】（1）因式分解：； 【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】（1）令，根据题中所给方法进行求解即可； （2）令，然后去括号，再根据题中所给方法进行因式分解，然后根据平方的非负性即可得证． 【详解】（1）解：将看成整体，令， 则原式， 将A还原，则原式． （2）证明：将看成整体，令， 则原式， 将B还原，则原式， ∵， ∴无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 55．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【阅读理解】 例题：若，求和的值； 解：由题意得：， ， ，解得 【问题解决】 (1)若，求的值； (2)若是的边长，满足是的最长边，且为偶数，则可能是哪几个数？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先因式分解将变形为，再根据非负数的性质，求出，，最后代入求值即可； （2）先因式分解将变形为，再根据非负数的性质得出，然后根据三角形三边关系得出，最后根据c为最长边，且c为偶数，得出答案即可． 【详解】（1）解：， ． ． ． ，， ． （2）解：， ， ， ∴，， 解得：， ， 即， 又为最长边， ． 为偶数， 或． 题型十九 平行四边形性质与判定的应用（共2小题） 56．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．求这个四边形停车位的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，勾股定理，含直角三角形的性质，先判定四边形是平行四边形．过点作，交的延长线于点．由平行四边形的性质可得出，进而可得出，由直角三角形两锐角互余可得出，由含直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式求面积即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 如图，过点作，交的延长线于点． ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理， 得， ∴， 即这个四边形停车位的面积是． 57．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，E，F分别为，上两点，且，连接，分别与对角线交于点G，H． (1)求证：四边形为平行四边形： (2)若，，求点G到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，而，则，所以，，则四边形 为平行四边形； （2）作于点，由，得，由，得，可根据“”证明，得，因为，所以，即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，分别为，上两点，且， ， ，， 四边形 为平行四边形． （2）解：作于点，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点到的距离是2． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，点到直线的距离等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型二十 利用平行四边形的性质求解（共3小题） 58．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可得，再求出，即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵的顶点B、C、D的坐标分别是，，， ∴，， ∴． ， ∵点O、点B在x轴上， ∴点A与点D的纵坐标相等，都为3， ∴顶点A的坐标． 59．（21-22八年级下·辽宁营口·期末）在平行四边形中，的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据平行四边形的两组对角分别相等．可知只有选项D正确． 60．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由翻折得出，，求出，根据勾股定理求出，进而求出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ，， ， ， ， ． 题型二十一 利用三角形中位线的性质求解（共2小题） 61．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键． 利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴(米) ． 故选：D． 62．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，的平分线交于点，为的中点，若，，，则的长可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理，，，，，由角平分线的定义并结合平行线的性质可得，从而得出，求出，再由三角形中位线定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴为的中位线， ∴， 故选：B． 题型二十二 构造三角形中位线求解（共2小题） 63．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，对角线，且，，点E，F，分别是边，的中点，则的长度是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理，取的中点，连接、，证明为的中位线，得出，，证明为的中位线，得出，，再结合题意得出，最后由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， ∵点为的中点，点为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 64．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，在中，．H、G分别是上的动点，连接，E、F分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到 的最小值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 分别为的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 题型二十三 利用特殊四边形的性质求解（共5小题） 65．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到，，，证明是等边三角形，进而求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 66．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 67．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 【答案】A 【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴． 68．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，， 以为边在左侧作正方形， 则点C的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，如图，过作于，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：∵点，， ∴，， 如图，过作于， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选A 69．（25-26九年级上·广东佛山·期末）中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．其示意图如图所示，菱形的对角线、，则菱形边长应为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的对角线互相垂直平分并求出边长是解题的关键．根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出边长即可． 【详解】解：∵，， ∴两对角线的一半分别为，， 由勾股定理得，边长， 故选：A． 题型二十四 利用特殊四边形的性质与判定求解（共4小题） 70．（21-22八年级下·浙江舟山·期末）如图，在中，点是边的中点，点是的中点，过点作，且交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． (3)若，在中再增加条件．则四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由得到，，证明出，得到，等量代换得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）先证明四边形是矩形，利用勾股定理求出，再根据矩形的性质求面积即可． （3）利用等腰三角形的性质以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，，再由：四边形是平行四边形即可得出四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∵点是边的中点 ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形的面积． （3）解：当为等腰直角三角形，且时，四边形是正方形， 理由如下： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵D为的中点， ∴，， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形为正方形． 71．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到. (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为______． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定及性质、矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理： （1）根据矩形的性质得到，利用翻折后两个三角形全等可知，由此可知是菱形； （2）根据勾股定理求出，得到的面积，再求出的面积，菱形的面积是的面积的两倍． 【详解】（1）证明：是矩形， ， 沿直线翻折得到， ， ， 四边形是菱形． （2）解：是矩形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 72．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，E是边的中点，过点E作于点F，于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据菱形的性质，得，再根据“三个角是直角的四边形是矩形”即可求证； （2）根据菱形的性质，可得，，再根据勾股定理，可求，最后依据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”和矩形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形，对角线，相交于点O，   ，即， ，， ，， ， 四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，， E是边的中点， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 73．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在四边形中，为一条对角线，，为的中点，连接． (1)如果四边形为正方形，试用等式表示，之间的数量关系； (2)连接，若平分，求的长． 【答案】(1)当时，四边形为正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，正确理解题意是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形，根据正方形的判定定理即可得出答案；在直角三角形中，根据勾股定理即可得出答案； （2）连接．先证明，得出，再得出，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）当时，四边形BCDE为正方形 为AD的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形． 若四边形为正方形， 则， 即三角形为直角三角形， 又， （2）解：连接． 平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形BCDE是菱形 ， ， 在Rt中，， ， ． 题型二十五 折叠问题（共3小题） 74．（23-24八年级下·吉林松原·期末）如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为_____． 【答案】6 【分析】先利用矩形性质得到及，再根据折叠性质得到、、，计算出的长；接着在中用勾股定理求出的长；最后设，在中利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， 是翻折而成， ，，， ，∠EFC=90°， 在中，由勾股定理得： ， 设，则，， 在中，由勾股定理得： 即， 解得． 75．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，长方形纸片， 将这张长方形纸片翻折，点D落到边点H处， 点C落到点G处，折痕交于点E，F，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点E作于点P，则，由折叠的性质以及平行线的性质可得，从而得到，在中，利用勾股定理可得的长，然后在中，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点P，则， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 故答案为： 76．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，四边形为长方形，点A在x轴上，点C在y轴上，B点的坐标为，将沿翻折，点A的对应点为点E，交于点D，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了长方形的性质，翻折的性质，等角对等边，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由B点的坐标为，可知，，由翻折与长方形的性质可知，，则，在中，由勾股定理得，即，计算求解即可． 【详解】解：∵B点的坐标为， ∴，， 由翻折与长方形的性质可知，，，，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得, 故答案为：． 题型二十六 利用频率估计概率（共3小题） 77．（2025·山东济南·二模）在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球_______个． 【答案】12 【分析】本题主要考查用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到黄球的概率是0.4，据此求出黄球的数量，进而求解即可． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.4， ∴摸到黄球的概率是0.4， ∴黄球的个数为（个）， ∴口袋中大约有红球（个）， 故答案为：12． 78．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)a＝ ；b＝ ； (2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是 ；（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了15000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 【答案】(1)0.962，0.96； (2)0.96； (3)14400只． 【分析】本题考查了频数与频率，利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． （1）用频数除以总数即可； （2）由表中数据可判断频率在0.96左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取1只公仔是优等品的概率为0.96； （3）用总数量乘以优等品的概率即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：0.962，0.96； （2）解：从这批公仔中，任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.96． 故答案为：0.96 （3）解：这批公仔中优等品大约有（只）， 答：估计这批公仔中优等品大约有14400只． 79．（22-23八年级上·江苏扬州·期末） 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000 幼树移植成活数（棵） ________ 893 4485 7224 8983 13443 18044 幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 ________ 0.898 0.896 0.902 (1)请你帮助计算并填写好表格中所缺数据，估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是________；（结果精确到0.1） (2)若某林业部门今年在该地区共移植这种幼树10万棵，则该地区成活约________棵这种幼树． 【答案】(1)87，0.903，0.9 (2)9万 【分析】（1）大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率； （2）用（1）中的概率乘以总数即可． 【详解】（1）解：，， 幼树移植数20000棵时，成活的频率为0.902， 估计幼树移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9． 故答案为：87，0.903，0.9． （2）由（1）可知，这批幼树的成活率约为0.9， （棵）． 故答案为：9万． 【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率来估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率． 题型二十七 从统计图中获取信息（共3小题） 80．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）甲、乙两所学校男女生比例情况如图，若甲学校有1200人，乙学校有1500人，则（   ） A．甲校与乙校的男生一样多 B．甲校的男生比乙校的男生多 C．甲校的男生比乙校的男生少 D．甲校与乙校男生共1500人 【答案】A 【分析】本题考查扇形统计图及相关计算．可根据扇形统计图的意义以及两个学校的人数求出两校的女生人数，再对照四个选项依次判断即可． 【详解】解：甲校女生数为人，男生人数为人； 乙校男生人数为人，女生数为人，则 A、甲校与乙校的男生一样多，正确，符合题意； B、甲校的男生比乙校的男生多，错误，应为一样多，故不符合题意； C、甲校的男生比乙校的男生少，错误，应为一样多，故不符合题意； D、甲校与乙校男生共1500人，错误，应为人，故不符合题意； 故选：A． 81．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的统计图（两图都不完整），下列结论错误的是（   ） A．该班总人数为人 B．步行人数为人 C．乘车人数是骑车人数的倍 D．“骑车”所在扇形圆心角度数为 【答案】B 【分析】本题是考查条形统计图和扇形统计图及相关计算的题目，解答本题的关键是能从统计图中获取相关的信息．由条形统计图与扇形统计图上获取信息，逐项分析即可． 【详解】解：由条形图中可知乘车的人有人，骑车的人有人，在扇形图中分析可知，乘车的占总数的，步行的占总数的， A、（人），所以总数有50人，故A正确； B、50×30%=15（人），所以步行人数为15人，故B错误； C、，所以乘车人数是骑车人数的2.5倍，故C正确； D、， 所以骑车所在扇形圆心角度数，故D正确． 故选：B． 82．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）对若干名青少年进行“你最喜爱的运动项目”的问卷调查，得到如下不完整的扇形统计图图及条形统计图图（柱的高度从高到低排列）条形统计图不小心被撕掉了一块，则图的“（  ）”中应填的运动项目是（    ） A．足球 B．游泳 C．骑自行车 D．篮球 【答案】B 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． 根据足球的频数和百分比可得调查总人数，根据柱的高度从高到低排列的和扇形所占的百分比得出游泳的百分比是，求出骑自行车和篮球的人数为和，再根据柱的高度从高到低排列，即游泳人数排第三，得出第三个柱为游泳． 【详解】根据题意可得足球人数最少，占比， 故总人数为：(人)， 游泳的百分比是：， 游泳的人数是：(人)， 剩余的人数是： (人)， ∵柱的高度从高到低排列， ∴图中前两个柱一个为自行车，一个为篮球，应填的游泳，第三个柱为游泳， 故选：B． 题型二十八 频率分布表和频率分布直方图（共3小题） 83．（24-25八年级上·北京·期末）小明同学统计了他所在小区居民每天早晨跑步的时间，并绘制了频数分布直方图．如图所示：①小明同学一共统计了74人；②每天早晨跑步不足30分钟的有14人；③每天早晨跑步分钟的人数最多；④每天早晨跑步分钟的人数最少．根据图中信息，上述说法中正确的是（   ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查直方图，从直方图中有效地获取信息是解题的关键．从直方图中有效地获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知：小明同学一共统计了（人）；故①正确； 每天早晨跑步不足30分钟的有（人）；故②错误； 每天早晨跑步30~40分钟的人数最多；故③正确； 每天早晨跑步0~10分钟的人数最少；故④正确； 故选C． 84．（24-25八年级下·河北唐山·期末）年月日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．为激发同学们对航空航天方面的兴趣，某学校开展了航空航天知识竞赛，赛后随机抽取了某班全部学生的竞赛成绩（单位：分）进行统计，绘制出如图所示的频数分布直方图（每组不包括最小值，包括最大值），图中从左至右前四组的频数占总人数的百分比分别为，，，，且第五组的频数是，则下列结论不正确的是（   ） A．第五组的频数占总人数的百分比为 B．该班有名学生参赛 C．成绩在分的人数最多 D．分以上的学生有名 【答案】D 【分析】本题主要考查频数分布直方图，通过四个组的百分比，即可求出第五组的百分比，即可判断；根据频数除以总数乘以百分之百得到该频数的百分比，即可求出该组的人数，从而判断；根据百分比的大小即可求出该组的人数，进而确定是否是最多的，从而判断；根据直方图的信息可知分以上的是第四组、第五组的和，由此即可求出答案，从而判断，理解直方图的含义，掌握频数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：、第五组的频数占总人数的百分比为，原选项正确，不符合题意； 、该班参赛学生有（名），原选项正确，不符合题意； 、由直方图可知成绩在分的人数最多，原选项正确，不符合题意； 、分以上的学生有（名），原选项不正确，符合题意； 故选：． 85．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小涵同学通过查看通话记录得知了他家5月份打电话的次数及通话时间，并列出如下频数分布表∶ 通话时间/min 频数(通话次数) 34 18 9 5 通话时间不超过15min的频数为，则通话时间不超过10分钟的频率为__________． 【答案】0.6 【分析】本题考查根据数据描述求频率，用频数除以总数进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：0.6． 题型二十九 统计图综合（共3小题） 86．（25-26八年级上·吉林长春·期末）为了提高学生的数学实践能力，某中学开展了数学实践作业成果展示活动，每位同学只上交一项作业，作业项目包括：无字证明、数学园地设计、调查活动、测量、七巧板．为了解学生上交作业的情况，随机调查了若干名学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次共调查的学生人数是________人，请根据以上信息直接补全条形统计图； (2)在扇形统计图中上交“无字证明”作业的学生人数占________； (3)求扇形统计图中表示上交“七巧板”作业的扇形圆心角的度数． 【答案】(1)120，图见解析 (2)25 (3) 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息是解题的关键： （1）用数学园地设计的人数除以所占的比例求出总人数，进而求出调查活动的人数，补全条形图即可； （2）用无字证明的人数除以总人数，求出百分比即可； （3）用360度乘以上交“七巧板”作业的人数所占的比例，进行计算即可． 【详解】（1）解：（人）； 上交“调查活动”作业的学生人数为，补全条形图如图： （2）解：； 故答案为：25 （3）解：； 答：扇形统计图中表示上交“七巧板”作业的扇形圆心角的度数为． 87．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）2025年1月，DeepSeek人工智能成功出圈，使我国的AI技术在全球人工智能领域备受关注，对人类社会、经济、文化、科技等领域产生深远影响．某校为了提高学生的科技创新能力，开展“万物皆可AI”为主题的校园创客大赛，为了解学生“最喜爱的创客项目”的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（规定每人必须选择且只能选一项），并将调查结果绘制成如下统计表和不完整的统计图． 组别 A B C D E 项目名称 创意设计（） 动漫设计（） 机器人（Robotics） 手工创意（） 创意程序设计（） 根据以上信息，请回答下列问题： (1)本次抽样调查共随机抽取了___________名学生； (2)请将图①和图②补充完整； (3)在扇形统计图中，B组对应的圆心角度数为___________； (4)若该校共有学生1200人，根据调查数据，估计该校学生最喜爱A组和D组学生共有多少名． 【答案】(1)20 (2)见解析 (3) (4)估计该校学生最喜爱A组和D组学生约有660名． 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图和用样本估计总体的知识，本题难度不大，属于基础题型，弄清题中的数据是解本题的关键． （1）从两个统计图中可以得到A组的有5名，占调查人数的，可求出调查人数； （2）求出D组的人数即可补全条形统计图，分别求得各组的占比可补全扇形统计图； （3）用乘以样本中B组所占的百分比即可求解； （4）样本估计总体，用1200人乘以样本中A组和D组所占的百分比即可求解． 【详解】（1）解：（名）， 故答案为：20； （2）解：D组的人数为（名）， B组所占的百分比为， C组所占的百分比为， D组所占的百分比为， E组所占的百分比为， 补全图形如图： ； （3）解：（名）， 故答案为：； （4）解：（名）， 答：估计该校学生最喜爱A组和D组学生约有660名． 88．（24-25八年级下·山东滨州·期末）某校七年级举行“运算能力提升”比赛，每位学生计算39道题目．为考察运算能力的分布情况，开展了一次调查研究． 【确定调查方式】（1）李老师计划抽取100名学生的比赛成绩，将抽取的这100个学生的比赛成绩作为样本，下面的抽样调查方式合理的是 ．（只填序号） ①抽取成绩最好的100名学生的比赛成绩作为样本； ②随机抽取100名学生的比赛成绩作为样本； ③抽取成绩最差的100名学生的比赛成绩作为样本． 【整理分析数据】赛结束后抽查的100名学生成绩，并绘制成如下统计图表（均不完整）． 组别 答题正确的个数x 人数 A 10 B 15 C 25 D a E b     根据以上信息解决下列问题： （2） ， ； （3）补全图（1）中的条形统计图； （4）求出图（2）B组对应的圆心角的度数； 【作出合理估计】 （5）已知该校七年级共有1000名学生，如果将答题正确的道数大于31道的定为优秀，请你估计这所学校本次比赛答题优秀的学生人数． 【答案】（1）②；（2），；（3）见解析；（4）；（5） 【分析】本题考查了扇形统计图，条形统计图，频数分布表以及利用样本估计，抽样调查等知识，正确懂㯵图象信息，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）根据样本的可靠性与广泛性即可求解； （2）根据组有 25 人，所占的百分比是即可求得总人数，然后用求出的总人数分别乘以两组所占的百分比即可求出的值， （3）根据（2）的结论，补全条形统计图； （2）根据（1）中的计算结果，进而可补全条形统计图； （4）先根据组的人数总人数求出组的占比，再根据组的圆心角度数组的占比求出答案即可； （5）根据 “答题正确的道数大于31道”的人数的占比为，再利用总人数 1000 乘以对应的比例即可． 【详解】（1）抽样调查方式合理的是②， 故答案为：②． （2）解：本次随机抽查的学生共有（名）， ． 故答案为：，． （3）补全的条形统计图如图所示． （4）解：． （5）解：估计这所学校本次比赛答题优秀的学生人数（名）． 题型三十 统计与预测（共3小题） 89．（25-26八年级上·四川资阳·期末）为掌握家长们对“双减政策”的了解情况，从某校1600名家长中随机抽取部分家长进行问卷调查，调查评价结果分为“了解较少”“基本了解”“了解较多”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图． (1)本次抽取家长共有_____人； (2)直接补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，求“基本了解”所对应的扇形圆心角的度数； (4)请结合调查结果，对该校提出合理的建议． 【答案】(1)100 (2)补全条形统计图见解析 (3)“基本了解”所对应的扇形圆心角的度数为 (4)合理的建议见解析 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）由“非常了解”的人数除以所占百分比得出本次抽取家长共有的人数； （2）先求出“了解较多”的人数，再补全统计图即可； （3）用“基本了解”的家长数所占的百分比乘以即可； （4）根据统计数据提出两条合理化建议即可． 【详解】（1）本次抽取家长共有（人）， 故答案为：100 （2）“了解较多”的人数为： （人） 补全条形统计图如图． （3）“基本了解”所对应的扇形圆心角的度数为； （4）合理的建议： 针对“了解较少”的家长群体，学校可以通过家长会、家校群推送资料等方式，普及双减政策的具体内容和意义． 定期开展双减政策解读讲座，提升家长对政策的认知水平，更好地配合学校落实双减工作． 90．（2025·江苏南京·一模）今年的3月21日是首个“世界冰川日”，中国科学院在当天发布了我国第三次冰川编目数据集（前两次分别于2002年和2014年发布）．图（1）（2）分别是我国三次冰川编目数据集中冰川条数和面积的折线统计图． 冰川条数折线统计图      冰川面积折线统计图    (1)根据第三次冰川编目数据，我国每条冰川的平均面积是多少平方千米？（结果保留1位小数） (2)从图（2）中可以看出，我国冰川进入 （填“扩张”或“退缩”）阶段． (3)冰川对地球的生态系统非常重要，请尝试提出保护冰川的一条建议． 【答案】(1)平方千米 (2)退缩 (3)见解析 【分析】本题考查了折线统计图，数形结合是解题的关键； （1）根据图（1）（2）用冰川面积除以冰川条数，即可求解； （2）根据冰川面积折线统计图，面积正在减少，即可求解； （3）答案不唯一，比如：推广清洁能源，减少碳排放，或者通过植树造林，提升生态固碳能力，缓解温室效应等．言之有理，即可． 【详解】（1）解： （平方千米/条）． （2）从图（2）中可以看出，我国冰川进入退缩阶段． 故答案为：退缩． （3）本题答案不唯一，比如：推广清洁能源，减少碳排放，或者通过植树造林，提升生态固碳能力，缓解温室效应等． 91．（23-24八年级下·河北沧州·月考）某商场试销A、B两款型号的洗碗机，四个月共售出400台．试销结束后，该商场想从中选择一款洗碗机进行经销，请根据提供的两幅统计图完成下列问题． (1)第四个月销量占总销量的百分比是 %； (2)通过计算补全洗碗机月销量的折线统计图； (3)结合折线统计图，判断该商场应选择哪款洗碗机进行经销？请说明理由． 【答案】(1)30 (2)见解析 (3)选择B款洗碗机，理由见解析 【分析】本题考查折线统计图和扇形统计图的综合应用，掌握相关知识是解题关键． （1）先求第四个月的销售量，再除以总量即可得到第四个月销售量占总销售量的百分比； （2）由折线图求得第三个月A、B两款的销售量为100台，再解得第三个月A款洗碗机的销量为50台，据此解出B的销售量； （3）观察折线图可得，该商店应选择B款洗碗机进行经销． 【详解】（1）解：（台）， ∴第四个月销量占总销量的百分比为：； 故答案为：30； （2）第三个月A、B两款洗碗机的销量为：（台）， 从折线图可知，第三个月A款洗碗机的销量为50台， 第三个月B款洗碗机的销量为（台）； 第四个月B款洗碗机的销量为：（台）， 补全洗碗机月销量的折线统计图如下： （3）该商店应选择B款洗碗机进行经销；理由是B款洗碗机的销量逐月递增，而A款洗碗机的销量有下降趋势． 1．（25-26八年级下·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明的做法：根据，得，∴，∴．把的值整体代入，得． 仿照上述方法解决问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)-7 (2)1 【分析】（1）先由变形得到​，平方后求出的值，再整体代入代数式求值； （2）先由​变形得到​，平方后求出的值，再通过因式分解整体代入求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2025·北京·模拟预测），求代数式的值． 【答案】6 【分析】先算括号内的分式减法，然后算分式除法，通过约分化成最简，最后代入即可求解． 【详解】解： =， =， =， =， ∵， ∴， 则原式=． 3．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，已知B款车每千米行驶费用比A款车多元． (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用； (2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？ 【答案】(1)纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元 (2)小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算 【分析】本题考查分式方程与一元一次不等式在实际购车费用问题中的应用，解题关键是根据 “行驶里程相同”“费用比较” 等条件建立方程或不等式，理清费用的组成部分． （1）根据两款车行驶里程相同，建立分式方程求解每千米行驶费用，注意分式方程解完后必须检验； （2）根据年使用费用的构成（行驶费用 + 保险费 + 保养费），分别列出两款车的年费用表达式，再根据 “电动车更划算” 的条件建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设A款车每千米行驶费用a元，则B款车每千米行驶费用为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， , 答：纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元． （2）解：设小明家年平均行使里程为， 纯电动汽车的年使用费用为元， 燃油车的年使用费用为元， 根据题意得：， 解得：， 答：当小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算． 4．（25-26八年级上·四川泸州·期末）阅读下面的因式分解的过程： ， 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长分别为a，b，c，且满足，证明是等腰三角形． 【答案】(1) (2)0 (3)是等腰三角形． 【分析】（1）分组分解，前两项提取公因式，后两项提取，得到，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可； （2）分组分解，前两项用平方差公式，后两项提取3，得到，提取公因式，代入计算即可； （3）移项整理等式，分组分解后提取公因式，得到，根据三角形边长性质，推出即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， 即， ， ， ， ∵的三边长分别为a，b，c， ∴， 即， ∴， 即， ∴是等腰三角形． 5．（21-22七年级上·陕西西安·期末）为了了解某校七年级男生的跳高成绩情况，随机抽取该年级部分男生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示不完整的频数分布表和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），已知这些男生的跳高成绩都不低于，但都低于，组别“”的人数占总人数的． 组别/m 频数 8 12 a 10 (1)分别求出抽取的总人数及a的值； (2)请把频数直方图补充完整． 【答案】(1)抽取的总人数为50人； (2)见解析 【分析】（1）用组别“”的人数除以所占的比例，求出抽取的人数，根据频数之和等于总人数，求出的值； （2）根据的值，补全直方图即可. 【详解】（1）解：抽取的总人数为：（人）， ． （2）解：补全频数直方图为： 6．（21-22八年级下·吉林·期末）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为，解答下列各题： (1)当运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (2)当运动时间为___________________秒时，； (3)四边形____________为菱形（填“可能”或“不可能”）； (4)四边形 ____________为正方形（填“可能”或“不可能”）． 【答案】(1)当运动时间为6秒时，四边形为平行四边形； (2)6或7 (3)不可能 (4)不可能 【分析】（1）根据题意可知当时，四边形为平行四边形，再列方程求解； （2）分四边形是平行四边形和四边形是等腰梯形两种情况进行求解； （3）当四边形为菱形，首先四边形要为平行四边形，结合（1）的结果判断即可； （4）四边形为正方形，则，再根据是否相等即可判断． 【详解】（1）解：， ， 故当时，四边形为平行四边形， 由题可知，，，， ，解得， 当运动时间为6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：若，分两种情况： ①当四边形是平行四边形时，．如图： 由（1）知当时，四边形是平行四边形，； ②当四边形是等腰梯形时，．如图： 设运动时间为秒，则有，， ∴， 作于M，于N，则有， ∵梯形为等腰梯形， ∴， ∴， 由得， 解得， ∴时，四边形为等腰梯形，， 综上，当运动时间为秒或秒时，； （3）当四边形为菱形，首先四边形要为平行四边形， 由（1）知当运动时间为6秒时，四边形为平行四边形， 此时，， ， 故四边形不可能为菱形； （4）当四边形为正方形，则， ，解得， 当时，， 又， ， 故四边形不可能为正方形． $