21.3.3 正方形（第1课时）课件2025-2026学年 数学人教版八年级下册

该初中数学课件聚焦正方形的定义、性质及与平行四边形、矩形、菱形的关系，通过回顾平行四边形到矩形、菱形的特殊化过程，引导学生思考对矩形边、菱形角特殊化得到正方形，搭建知识迁移的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，用表格对比梳理性质，结合折叠裁正方形、场地面积计算等实例，培养学生数学眼光中的抽象能力与创新意识，数学思维中的推理意识，帮助学生构建知识体系，教师可借助清晰结构提升教学效率。

正方形（第1课时） 数学人教版八年级下册 1 问题 前面我们学习了平行四边形，同时，从“角”的角度将平行四边形特殊化得到了矩形，从“边”的角度将平行四边形特殊化得到了菱形，这种特殊化的方法是研究几何图形的重要思路． 问题 矩形是有一个角为直角的平行四边形，菱形是有一组邻边相等的平行四边形．如果对矩形再进行边的特殊化，对菱形再进行角的特殊化，又会得到什么样的特殊图形呢？ 正方形 问题 正方形 矩形是有一个角为直角的平行四边形，菱形是有一组邻边相等的平行四边形．如果对矩形再进行边的特殊化，对菱形再进行角的特殊化，又会得到什么样的特殊图形呢？ 问题1 结合图形的变化，你能给正方形下个定义吗？什么样的图形是正方形？ 平行四边形 有一个角是直角 矩形 有一组邻边相等 正方形 平行四边形 有一组邻边相等 有一个角是直角 正方形 菱形 新知 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形． （1）有一组邻边相等的矩形是正方形． （2）有一个角是直角的菱形是正方形． 我们知道正方形是从矩形、菱形特殊化得到的，而矩形和菱形都是特殊的平行四边形，因此正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． 问题2 请你从正方形的边、角、对角线、轴对称性这四个角度，梳理正方形的性质． 平行四边形的性质 矩形的特殊性质 菱形的特殊性质 边 对边平行、对边相等 四条边相等 角 两组对角相等 四个角都是直角 对角线 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直 轴对称性 轴对称图形 轴对称图形 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质 正方形的性质 （1）边：对边平行，四条边相等； （2）角：四个角都是直角； （3）对角线：对角线相等，且互相垂直平分； （4）轴对称性：轴对称图形，共四条对称轴，分别是过对边中点的直线以及两条对角线所在的直线． 总结 问题2 你能画出正方形的所有对称轴吗？ 问题3 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，用喜欢的方式表示这些关系． 平行四边形 正方形 矩形 菱形 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角 有一个角是直角 有一个角是直角 正方形 矩形 菱形 平行四边形 有一组邻边相等 例 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 分析： 正方形的性质 对角线相等且互相垂直平分 13 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 相交于点 O． 求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 是全等的等腰直角三角形． 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC＝BD，AC⊥BD． ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°， 　 AO＝BO＝CO＝DO． ∴ △ABO，△BCO，△CDO，△DAO 都是等腰直角三角形，并且 △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO． 图中有几个等腰直角三角形？ 14 解：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB＝BC，BC＝DC，DC＝AD，AD＝AB． ∴ △ABC，△BCD，△CDA，△DAB 也是等腰直角三角形． 再加上△ABO，△BCO，△CDO，△DAO， ∴ 图中共有 8 个等腰直角三角形． 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 相交于点 O． 图中共有多少个等腰直角三角形？ 15 归纳 正方形既具有矩形对角线相等的性质，又具有菱形对角线互相垂直平分的性质，因此对角线将正方形分割成四个全等的等腰直角三角形． 16 折叠 AB＝AD，∠B＝∠D＝90° 　　1．（1）把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片．为什么？ （2）如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢？ A B C D 分析： 一组邻边相等的矩形是正方形． 矩形 ∠BAD＝90° A B C D 解：（1）如图，依题意，得 AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°． 又 ∠BAD＝90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形，且 AB＝AD， ∴ 矩形 ABCD 是正方形． 　　1．（1）把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片．为什么？ （2）如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢？ A B C D 解：（2）按上面（1）的方式裁出的正方形木板面积最大，即令正方形的边长等于长方形的宽． 　　1．（1）把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片．为什么？ （2）如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢？ 　　2．如图，一块正方形场地的四个顶点分别是 A，B，C，D．李明和张华在边 AB 上取了一点 E，EC＝30 m，EB＝10 m．这块场地的面积和对角线长分别是多少？ 正方形 ∠B＝90° 已知 EC，EB BC，AC 勾股定理 分析： △EBC 是 直角三角形 解：如图，连接 AC． ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ ∠B＝90°，AB＝BC． 在 Rt△BEC 中，EC＝30，EB＝10， 由勾股定理， 　　2．如图，一块正方形场地的四个顶点分别是 A，B，C，D．李明和张华在边 AB 上取了一点 E，EC＝30 m，EB＝10 m．这块场地的面积和对角线长分别是多少？ ∴ S正方形ABCD＝BC2＝( )2＝800． 答：这块场地的面积为800 m2，对角线长为 40 m． 　　2．如图，一块正方形场地的四个顶点分别是 A，B，C，D．李明和张华在边 AB 上取了一点 E，EC＝30 m，EB＝10 m．这块场地的面积和对角线长分别是多少？ 　　3．如图，正方形草坪的四个顶点分别是 A，B，C，D．要修建 BE 和 AF 两条路，使点 E，F 分别在边 AD，CD 上，且 DE＝CF．这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 解：这两条路等长，它们互相垂直． 如图，设 AF 与 BE 交于点 O． O ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB＝AD＝CD，∠BAE＝∠ADF＝90°． 又 DE＝CF， O ∴ AD－DE＝CD－CF，即 AE＝DF． 在△ABE 和△DAF 中， ∴ △ABE≌△DAF（SAS）． 证明两条线段相等的常用方法是利用全等三角形的性质． 　　3．如图，正方形草坪的四个顶点分别是 A，B，C，D．要修建 BE 和 AF 两条路，使点 E，F 分别在边 AD，CD 上，且 DE＝CF．这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ O ∴ BE＝AF，∠AEB＝∠DFA． ∵ ∠ADF＝90°， ∴ ∠DFA＋∠DAF＝90°． ∴ ∠AEB＋∠DAF＝90°． ∴ ∠AOE＝90°，即 BE⊥AF． 　　3．如图，正方形草坪的四个顶点分别是 A，B，C，D．要修建 BE 和 AF 两条路，使点 E，F 分别在边 AD，CD 上，且 DE＝CF．这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 正方形 定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 四条边都相等，对边平行 对角线相等，且互相垂直平分 性质 四个角都是直角 轴对称图形，有四条对称轴 $