21.3.3正方形（第1课时）（分层作业）数学新教材人教版八年级下册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 21.3.3正方形（第1课时) A 基础达标题 知识点：正方形的定义及其性质 1.(2023年湖南常德)下列命题正确的是() A.正方形的对角线相等且互相平分 B.对角互补的四边形是平行四边形 C.矩形的对角线互相垂直 D.一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【详解】A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确； B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误； C、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误： D、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误. 故选：A. 2.(2024年江苏连云港)如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是 80cm,则图中阴影图形的周长是() 20cm 80cm A.440cm B.320cm C.280cm D.160cm 【答案】A 【详解】解：由图可得：阴影部分的周长为边长是80cm的正方形的周长加上边长是80c的正方形的两条 边长再减去2×20cm, :阴影图形的周长是：4×80+2×80-2×20=440cm, 故选：A. 3.(2024年内蒙古)如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点0.E是BC边上一点，F是 BD上一点，连接DE,EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是() 1/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A.22 B.2h2 C.4-22 D. 【答案】A 【详解】解：正方形ABCD的边长为2， .BC=DC=2,BCD=90D0=BD,ZCBD=45, .BD=VBC2+DC2=2/2, :△DEF与△DEC关于直线DE对称， DF=DC=2,∠DFE=∠BCD=90°， :.BF=BD-DF=2V2-2.ZBFE=90, ∴.∠FBE=∠FEB=45°， “EF=BF=22-2, :BE=V2BF=2(2V2-2)=4-2V2, “△BEF的周长是BE+BF+BF=4-2V2+2V2-2+2V2-2=2V2, 故选：A. 4.(2023年山东青岛)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,CD的中点，AF,DE相交于点M, G为BC上一点，N为EG的中点.若BG=3,CG=1,则线段MN的长度为() B A.5 B. 耍 C.2 D. V13 【答案】B 【详解】解：连接DG,EF, 2/14 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M :点E,F分别是AB,CD的中点， 四边形AEFD是矩形， M是ED的中点， 在正方形ABCD中，BG=3,CG=1, ∴BC=DC=4, 在Rt△DGC中，由勾股定理得， DG=Dc2+0G2-V42+12=17, 在△EDG中，M是ED的中点，N是EG的中点， ·MN是△EDG的中位线， MN=DG=平 故选：B 5.(2025年西藏)如图，在正方形ABCD中，AB=6,点E是BC的中点，把△ABE沿AE折叠，点B落在 点F处，延长EF交CD于点G,连接AG,则AG的长为() D G B A.35 B.2 c.210 D.42 【答案】C 【详解】解：：四边形ABCD为正方形， .AB=BC=CD=AD=6,∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°， 由折叠的性质易知△ABE≌△AFE, AF=AB=6,∠AFE=∠B=90°， ∴AF=AD=6,∠AFG=∠D=90°， 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：AG=AG, :Rt△AFG≌Rt△ADG(HL, FG=DG :E为BC边的中点， .BE=CE=BC=3. 设CG=x,则DG=6-x, .FG=DG=6-x,EG=EF+FG=3+6-x=9-x, 在Rt△ECG中，EC2+CG2=EG2, .32+x2=(9-x)2, 解得x=4, CG=4, DG=6-4=2, AG=AD2+DG2=2/10. 故选：C 6.(2023年宁夏)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB,EC.则图中阴影部分的 面积是」 【答案】2 【详解】：四边形ABCD为正方形， ∠BAD=90°，∠CDA=90, :正方形ABCD的边长为2， :S阴影=S△ABE十S△CDE -AE-AB+DE-CD =AE×2+DB×2 -AE+DE =AD 4/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =2 故答案为：2 7.（2024年广东深圳)如图所示，四边形ABCD,DEFG,GHI叮均为正方形，且S正方ABcD=10, S正方形GH=1,则正方形DEFG的边长可以是一（写出一个答案即可）. 【答案】2（答案不唯一） 【详解】解：S正方形ABCD=10,S正方形GH=1, :CD=V10,GH=1, 1<DE<10, .正方形DEFG的边长可以是2， 故答案为：2（答案不唯一）. 8.(2024年甘肃兰州)如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EFLAB于点F,若AD=4, 则EF=一 【答案】2 【详解】解：：四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EFLAB,AD=4, :∠FAD=90°，∠EAD=60°，∠AFE=90°，AD=AE=4, ∠FAE=30, .EF-AE=2; 故答案为：2. 9.(2023年甘肃兰州)如图，将面积为7的正方形0ABC和面积为9的正方形0DEF分别绕原点O顺时针 旋转，使0A,0D落在数轴上，点A,D在数轴上对应的数字分别为a,b,则b-a=一· 5/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2-101 2 ab 【答案】3万 【详解】：正方形0ABC的面积为7，正方形0DEF的面积为9 0A=万，0D=5=3 即a7,b=3 :b-a=3-万 故答案为：3√万 10.(2025年北京)如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE,垂足为F.若AB=1, ∠EBC=30°，则△ABF的面积为 【答案】音0.375 【详解】解：过点F分别作FM⊥BCFNLAB,垂足为M,N,连接AM,则∠FMC=90, :四边形ABCD为正方形， ∴.∠ABC=90, ∴.∠ABC=∠FMC, .AB|FM, .FN=BM, 6/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :S△ABR=克ABFN,S△ABN=AB-BM, :.S△ABF=S△ABN, :CF⊥BE,垂足为F,AB=1=BC,∠EBC=30°， :∠BFC=90°，∠BCF=60,CF=BC=, .∠CFM=90°-∠BCF=30°， :.CM=CF=, :.BM=BC-CM-, :S△ABp=S△ABM=X1X-音， 故答案为：哥。 11.(2025年江苏无锡)如图，AC为正方形ABCD的对角线. (I)尺规作图：作AD的垂直平分线]交AD于点E,在1上确定点F,使得点F到∠BAC的两边距离相等；（不写 作法，保留痕迹) (2)在(1)的条件下，求∠EFA的度数.（请直接写出∠EFA的度数） 【详解】(1)解：如图，直线，点F即为所求 (2)解：：四边形ABCD是正方形，AC是对角线， .∠BAC=∠CAD=45°，∠BAD=∠BAF+∠EAF=90, :AF平分∠BAC, :∠BAF=克∠BAC-3×45=22.5, :直线LAD,即∠AEF=90, 7/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠EFA+∠EAF=90, ∴∠EFA=∠BAF=22.5 12.(2022年湖北恩施)如图，己知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E, DF⊥CE于点F.求证：DF=BE+EF. G B 【详解】证明：：四边形ABCD是正方形， :BC=CD,∠BCD=90°， :∠BCE+∠DCF=90°， :CE⊥BG,DF⊥CE :∠BEC=∠CFD=90°， ∠BCE+∠CBE=90°， ·∠CBE=∠DCF, ∠BEC=∠CFD=90° 在△BCE和△CDF中， ∠CBE=∠DCF BC-CD ·△BCBE△CDF(AAS), ..BE-CFCE-DF, ..CE=CF+EF=BE+EF, ..DF-BE+EF. 13.(2023年湖北黄石)如图，正方形ABCD中，点M,N分别在AB,BC上，且BM=CN,AN与DM相交 于点P. (I)求证：△ABN≌△DAM: (2)求∠APM的大小. 8/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=BC,∠DAM=∠ABN=90, .BM=CN. .BC-CN-AB-BM,BN-AM, 在△ABN和△DAM中， AB-AD, ∠ABN=∠DAM BN-AM, △ABN≌△DAM(SAS): (2)解：由(1)知△ABN≌△DAM, +∠MAP=∠ADM, :∠MAP+∠AMP=∠ADM+∠AMP=90, ∠APM=180°-（∠MAP+∠AMP)=90°. B 能力提升题 14.(2025年黑龙江大庆)如图，在正方形ABCD中，AB=3V2,点E,F分别在线段AB,BC上， AE=CF=2,连接EF,AC.过点E,F分别作线段AC的垂线，垂足分别为G,H.动点P在△ACD内部 及边界上运动，四边形EFHG,△PEG,△PEF,△PFH,△PGH的面积分别为So,S1,S2,S3,S4,若 点P在运动中始终满足3S0=S1+S2十S3十S4,则满足条件的所有点P组成的图形长度为() B A.2 B.π C.4 D.2π 【答案】A 【详解】解：如图， 9/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在正方形ABCD中，AD=CD=AB=BC=3V2,∠BAC=∠BCA=45, Ac-D2+D2=V（32)+(32)=6: :EGLACFH⊥AC, ∴.∠EGA=∠EGC=∠FHC=∠FHG=90°， ∴.∠AEG=∠HFC=45, :△AGE△HFC为等腰直角三角形， .AG-GE,HC-HF AE-CF=2 :由勾股定理得AG=GE=HC=HF=1,BE=BF,GH=AC-AGCH=4, ∴.∠BEF=∠BFE=45°， ∠GEF=45, .∠GEF=180°-45°-45°=90， 又∠EGH=∠FHG=90°， :四边形CEFH是矩形， .S0=EGXGH=1×4=4, 又S1+S2+S3=S0+S4 而3S0=S1+S2+S3+S4, .S4=4, :动点P在△ACD内部及边界上运动， :点P的运动轨迹是△ACD内部及边界上平行于AC的一条线段MN,则△DMN是等腰直角三角形，如图， 取AC的中点0，连接0D交MN于点Q,则D0=AC=3, :S4=GH×0Q=4, 0Q=2, :DQ=0D-0Q=3-2=1, 10/14 21.3.3正方形（第1课时） 知识点：正方形的定义及其性质 1．（2023年湖南常德）下列命题正确的是（     ） A．正方形的对角线相等且互相平分 B．对角互补的四边形是平行四边形 C．矩形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形 2．（2024年江苏连云港）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是（     ） A． B． C． D． 3．（2024年内蒙古）如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（     ） A． B． C． D． 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 4．（2023年山东青岛）如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（     ） A． B． C．2 D． 5．（2025年西藏）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（     ） A． B．2 C． D． 6．（2023年宁夏）如图，在边长为2的正方形中，点在上，连接，．则图中阴影部分的面积是 ． 7．（2024年广东深圳）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是 （写出一个答案即可）． 8．（2024年甘肃兰州）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则 ． 第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 9．（2023年甘肃兰州）如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ． 10．（2025年北京）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为 ． 11．（2025年江苏无锡）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 12．（2022年湖北恩施）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，于点E，于点F．求证：． 13．（2023年湖北黄石）如图，正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点．(1)求证：≌；(2)求的大小． 14．（2025年黑龙江大庆）如图，在正方形中，，点E，F分别在线段上，，连接．过点E，F分别作线段的垂线，垂足分别为G，H．动点P在内部及边界上运动，四边形，，，，的面积分别为，，，，．若点P在运动中始终满足，则满足条件的所有点P组成的图形长度为（   ） A．2 B． C．4 D． 15．（2022年内蒙古呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．） (1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ； (2)如图，若点是边上任意一点（不与、重合），其他条件不变．求证：. 16．（2025年四川攀枝花）如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 21.3.3正方形（第1 A 基础达标题 知识点：正方形的定义及其性质 1.A. 2.A. 3.A 4.B 5.C 6.2 7.2(答案不唯一) 8.2 9.3-V7 10.言/0.375 11.(1)解：如图，直线1，点F即为所求 (2)解：四边形ABCD是正方形，AC是对角线， .∠BAC=∠CAD=45°，∠BAD=∠BAF+∠EAF=90°， AF平分∠BAC, .∠BAF=号∠BAC=号X45=22.5, :直线1LAD,即∠AEF=90°， .∠EFA十∠EAF=90°， .∠EFA=∠BAF=22.5, 1/5 上好每一堂课 课时) 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 12.证明：：四边形ABCD是正方形， :BC=CD,∠BCD=90°， :∠BCE+∠DCF=90°， :CE⊥BG,DF⊥CE, ·∠BEC=∠CFD=90°， ·∠BCE+∠CBE=90, :∠CBE=∠DCF, 1∠BEC=∠CFD=90° 在△BCE和△CDF中， ㄥCBE=ㄥDCF BC-CD ·△BCEe△CDF(AAS), ..BE-CECE-DF, ..CE=CF+EF-BE+EF, ..DF-BE+EF. 13.(1)证明：：四边形ABCD是正方形， :AB=AD=BC,∠DAM=∠ABN=90°， BM=CN, .BC-CN=AB-BM,BN=AM, 在△ABN和△DAM中， AB-AD, ∠ABN=∠DAM, BN-AM, ·△ABN≌△DAM(SAS): (2)解：由(1)知△ABN≌△DAM, ∠MAP=∠ADM, :∠MAP+∠AMP=∠ADM+∠AMP=90°， ·∠APM=180°-（∠MAP+∠AMP)=90°. B 能力提升题 14.A 15.(1)解：：E是BC的中点， 2/5 6学科网·上好课 ∴.BE=CE. 点G是AB的中点， ∴.BG=AG, ∴.AG=CE. 故答案为：AG=CE; (2)取AG=EC,连接EG. :四边形ABCD是正方形， .∴AB=BC,∠B=90°. .AG=CE, ∴.BG=BE, :.△BGE是等腰直角三角形， ∴.∠BGE=∠BEG=45°， ∴.∠AGE=135°. 四边形ABCD是正方形， ∴.∠BCD=90°. CF是正方形ABCD外角的平 .∠DCF=45°， ∴.∠ECF=90°+45°=135°. ,AE⊥EF, ∴.∠AEB+∠FEC=90°. ,∠BAE+∠AEB=90°， ∴.∠BAE=∠CEF, ∴.△GAE≌△CEF, ∴.AE=EF; www.zxxk.com 上好每一堂课 E 分线， 拓展培优题 3/5 学科网·上好课 www zxxk com 16.(1)证明：正方形ABCD, ∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=∠D=90°， .∠ABG=90°， .∠ABG=∠D=90°， 在△ABG和△ADF中， AB-AD ∠ABG=∠D BG-DF △ABG≌△ADF(SAS), .∠BAG=∠DAF, ∴∠BAG+∠BAF=∠DAF+∠BAF, .∠GAF=∠BAD=90°， ..AGLAF; (2)解：：△CEF的周长为4， ∴.CF+CE+EF=4, :正方形ABCD的边长为2， .BC=CD=2, ∴.BC+CD=4, .CF+CE+EF-BC+CD-BE+CE+CF+DF, .EF-BE+DF, GB=DF, ∴EF=BE+DF=BE+GB=EG, 由(1)得△ABG≌△ADF,∠GAF=90, ..AG=AF, 在△AEG和△AEF中， (AG-AF AE-AE 、EG=EF △AEG≌△AEF(SSS), .∠EAG=∠EAF .∠EAG=专∠FAG=×90=45, 4/5 澂系一每并丁 厨学科网·上好课 ∠EAF的大小是定值，定值为45°； (3)解：连接AM, :正方形ABCD的边长为2， ∴AB=BC=2,∠ABC=90°， ∴AB是△AEG的高， :AH⊥EF, ∴AH是△AEF的高， 由(2)得，△AEG≌△AEF, S△AEG=S△ABER, .专EGAB=专EFAH, 由(2)得，EG=EF, .AH=AB=2, :M为边BC的中点， .BM=BC=1, AM-VAB2+BM2-22+12=5 :AH+MH≥AM, 2+MH≥5， 解得MH25-2, :MH的最小值为5-2， www zxxk.com G BE M 5/5 盖系一每丝丁