精品解析：江西上饶市余干县沙港初级中学、育才学校等校2025-2026学年九年级中考模拟训练五数学试题

九年级 数学（五） （满分：120分 作业时间：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2026马年中央广播电视总台春晚以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，传递奋进向上的文化内涵．为了解本校全体学生对“骐骥”文化寓意的了解程度，校学生会计划开展抽样调查，下列抽样方案中最具代表性与广泛性的是（ ） A. 分别从各年级各班中按的比例随机抽取学生 B. 从七、八、九年级各抽取成绩前50名的学生 C. 在校园随机抽取课间休息的60名学生 D. 在学校公众号发布问卷，收集自愿提交的有效答卷 5. 如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 如图，二次函数的图象经过点，与轴交于点．则以下结论：①；②；③对于任意的有理数，都有；④；⑤方程有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 据统计，2025年江西省约为3.6万亿元，将数据3.6万亿用科学记数法表示为____________． 8. 因式分解：____________． 9. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为____________． 10. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，已知，连接，则的长为______． 11. 观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为____________． 12. 如图，在矩形中，点为直线上任意一点，把沿折叠，点的对应点为点．若与矩形的边或的夹角为，则的度数可以是____________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算或解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组： 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 学校即将举办田径比赛，为丰富赛事项目，准备了背面完全相同、正面分别写着“短跑”“跳远”“跳绳”三个比赛项目的三张卡片． （1）若小红随机抽取一张卡片，恰好抽到“长跑”是___________； ．必然事件 ．随机事件 ．不可能事件 （2）若小红随机抽取一张卡片，记下正面内容，放回并洗匀，小明再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人恰好抽中同一项目的概率． 16. 如图，在76的正方形网格中，的顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）如图1，在边上找点，使得； （2）如图2，在边上找点，使得． 17. 某特产店购进赣南脐橙和南丰蜜橘两种精品礼盒．已知购进盒赣南脐橙和盒南丰蜜橘共需元，购进盒赣南脐橙和盒南丰蜜橘共需元． （1）求每盒赣南脐橙和南丰蜜橘的进价各是多少元？ （2）该店计划购进这两种礼盒共盒，总费用不超过元，则最多可购进赣南脐橙礼盒多少盒？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知在平行四边形中，点为坐标原点，点，反比例函数的图象经过点． （1）求的值及直线的函数解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 19. 如图，已知是的直径，为的弦，点是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 20. 图1为“南昌之星”摩天轮，是南昌地标之一．图2为其简化示意图，点是摩天轮的圆心，为垂直地面的直径．小明在观景台点处测得摩天轮顶端的仰角．他沿着坡度的斜坡行走了26米到达地面点处，再沿水平地面向左行走60米抵达摩天轮最低点的正下方点处．已知米． （1）求观景台到地面的垂直高度； （2）求摩天轮的直径． （参考数据：，结果精确到1米．） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为落实江西省教育厅关于加强青少年体育锻炼、增强学生体质的相关要求，助力九年级学子高效备战中考体育测试，某集团校面向全校九年级学生开展“每日居家体育锻炼，强健体魄迎战中考”主题活动．为精准掌握学生居家锻炼现状，集团校随机抽取了九年级部分学生，对他们每天居家体育锻炼的平均时长进行抽样调查，并将调查结果分组整理，绘制出如下不完整的扇形统计图和频数分布直方图（每组时长包含最小值，不包含最大值）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽样调查中，一共调查了___________名学生； （2）请补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中的值为___________；表示“每天居家体育锻炼平均时长为”的扇形圆心角度数为___________； （4）若该集团校九年级共有学生3600人，请你估计该集团校九年级学生中，“每天居家体育锻炼平均时长不少于”的学生人数； （5）结合本次调查结果，请你为该集团校推进学生体育锻炼工作提出一条合理化建议． 22. 年米兰冬奥会跳台滑雪项目备受关注，某数学兴趣小组对赛道建立平面直角坐标系进行研究．如图，以停止区所在水平线为轴，起跳点的竖直下方点为坐标原点，轴，，着陆坡为直线，其函数解析式为．运动员从点处起跳，沿抛物线飞行至着陆坡上的点处着陆，水平方向移动的距离为．飞行过程中，运动员到轴的竖直高度与水平方向移动的距离满足二次函数关系：． （1）问该运动员从点处跳出到点处着陆垂直下降了多少米？ （2）求运动员到轴的竖直高度与水平方向移动的距离之间的函数解析式； （3）进一步研究发现：运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；在空中飞行后着陆．问当为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离最大？最大是多少？ 六、解答题（本大题共12分） 23. 【基础探究】 在正方形中，，点分别在边上，与相交于点． （1）①如图1，若点分别是的中点，则___________； ②如图2，若，则___________； 【类比探究】 在菱形中，，点分别在边上，对角线相交于点，与相交于点，连接交于点． （2）①如图3，若点分别是的中点，求的值； ②如图4，若，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图5，在四边形中，，且，点为的中点．若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级 数学（五） （满分：120分 作业时间：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ A选项为，是负数，B选项，C选项，D选项为3.1415， ∴四个数的大小关系为， ∴最大的数是π． 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：∵与不是同类项，不能合并，∴A计算错误． 选项B：∵，∴B计算正确． 选项C：∵，∴C计算错误． 选项D：∵，∴D计算错误． 4. 2026马年中央广播电视总台春晚以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，传递奋进向上的文化内涵．为了解本校全体学生对“骐骥”文化寓意的了解程度，校学生会计划开展抽样调查，下列抽样方案中最具代表性与广泛性的是（ ） A. 分别从各年级各班中按的比例随机抽取学生 B. 从七、八、九年级各抽取成绩前50名的学生 C. 在校园随机抽取课间休息的60名学生 D. 在学校公众号发布问卷，收集自愿提交的有效答卷 【答案】A 【解析】 【分析】抽样调查的样本需要具有代表性与广泛性，能反映总体的特征，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．选项从各年级各班按比例随机抽取学生，覆盖了全校不同年级不同班级的学生，抽样随机，样本最具代表性与广泛性； B．选项只抽取成绩靠前的学生，样本局限于特定群体，不具有代表性； C．选项只抽取课间休息的学生，样本范围窄，不具有广泛性； D．选项收集自愿提交的答卷，样本偏向主动参与的人群，不具有代表性． 5. 如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体展开图的常见类型，补充形成满足要求的展开图即可． 【详解】解：根据正方体展开图的常见类型：“”型，“”型， ∴可补全为正方体表面展开图的方格有如下种情况， 故选：． 6. 如图，二次函数的图象经过点，与轴交于点．则以下结论：①；②；③对于任意的有理数，都有；④；⑤方程有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知，开口向上，与y轴交于负半轴， ∴， ∵二次函数的图象经过点，， ∴对称轴为直线， ∴，，故②错误； ∴，故①正确； ∴当时，图象有最低点，即函数最小值为， ∴当时，， ∴，故③错误； ∵二次函数的图象经过点， ∴， 即， 两边平方得，故④正确； ∵二次函数的图象经过点， ∴方程有两个不相等的实数根，故⑤正确； 综上所述，其中正确结论的个数是3个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 据统计，2025年江西省约为3.6万亿元，将数据3.6万亿用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：万亿． 8. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 9. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的变形，熟练掌握一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的变形是解题的关键． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 把代入方程得， ． 10. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，已知，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由作图可知，则有，然后通过等边对等角可得，，，设，所以，，再由三角形内角和定理求得，最后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：由作图可知，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴的长为． 11. 观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是找规律问题，灵活分析式子的符号、系数和字母指数的变化规律是解题的关键．根据已知的式子，分别分析符号、系数的绝对值、字母的指数的变化规律，进而推导出第个式子的通用表达式，再将代入，求出第个式子． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 依此类推， 第个式子为， 将代入得， 第个式子为． 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，点为直线上任意一点，把沿折叠，点的对应点为点．若与矩形的边或的夹角为，则的度数可以是____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分类讨论，画出图形，利用矩形和折叠的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，， 当在点左侧时，， ∴， ∵ ∴； 当在点右侧时，， 同理可得； 当在点右侧时，， ∴， ∴； 当在点右侧时， ∴ ∴ ∴， 综上：的度数可以是或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算或解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则进行化简，再将代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式， 当时， 原式． 15. 学校即将举办田径比赛，为丰富赛事项目，准备了背面完全相同、正面分别写着“短跑”“跳远”“跳绳”三个比赛项目的三张卡片． （1）若小红随机抽取一张卡片，恰好抽到“长跑”是___________； ．必然事件 ．随机事件 ．不可能事件 （2）若小红随机抽取一张卡片，记下正面内容，放回并洗匀，小明再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人恰好抽中同一项目的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）小红随机抽取一张卡片，恰好抽到“长跑”是不可能事件； （）将抽中“短跑”“跳远”“跳绳”分别记为，，，画出树状图，求出所有等可能事件的结果数和两人恰好抽中同一项目的结果数，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：若小红随机抽取一张卡片，因卡片中没有“长跑”项目，故恰好抽到“长跑”的事件是不可能事件， 故选：； 【小问2详解】 解：将抽中“短跑”“跳远”“跳绳”分别记为，，，画树状图如下， 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两人恰好抽中同一项目的结果有种， ∴两人恰好抽中同一项目的概率是． 16. 如图，在76的正方形网格中，的顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）如图1，在边上找点，使得； （2）如图2，在边上找点，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点，连接与交于点，则， （2）可得为等腰三角形，连接，交于点，连接延长交于点，根据锐角三角形的高交于同一点，可得． 【小问1详解】 如图1，点即为所求． 【小问2详解】 如图2，点即为所求． 17. 某特产店购进赣南脐橙和南丰蜜橘两种精品礼盒．已知购进盒赣南脐橙和盒南丰蜜橘共需元，购进盒赣南脐橙和盒南丰蜜橘共需元． （1）求每盒赣南脐橙和南丰蜜橘的进价各是多少元？ （2）该店计划购进这两种礼盒共盒，总费用不超过元，则最多可购进赣南脐橙礼盒多少盒？ 【答案】（1）每盒赣南脐橙的进价为元，每盒南丰蜜橘的进价为元 （2）最多可购进盒赣南脐橙 【解析】 【分析】（1）设每盒赣南脐橙的进价为元，每盒南丰蜜橘的进价为元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购进盒赣南脐橙，则购进盒南丰蜜橘，根据题意列出不等式，并求解即可． 【小问1详解】 解：设每盒赣南脐橙的进价为元，每盒南丰蜜橘的进价为元， 根据题意得， 解得， 答：每盒赣南脐橙的进价为元，每盒南丰蜜橘的进价为元． 【小问2详解】 解：设购进盒赣南脐橙，则购进盒南丰蜜橘， 根据题意得， 解得， ∴的最大值为． 答：最多可购进盒赣南脐橙． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知在平行四边形中，点为坐标原点，点，反比例函数的图象经过点． （1）求的值及直线的函数解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】（1），直线的函数解析式为 （2）点或点 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象经过点，可以求得的值，再根据平行四边形的性质即可求得点的坐标，从而可以求得直线的函数解析式； （2）根据平行四边形的性质可以求得，然后根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ∵点， ∴． 又轴， ∴点． 设直线的函数解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴． 设点的坐标为， ∵， ∴ 解得或， ∴点或点． 19. 如图，已知是的直径，为的弦，点是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据点是的中点，可知，根据圆的性质可证，根据可证，又因为点是上的点，可证是的切线； （2）过点作于点，根据垂径定理可知，利用勾股定理可以求出，可证四边形为矩形，根据矩形的性质可知，，，利用勾股定理即可求出的长度． 【小问1详解】 证明：如下图所示，连接， 点是的中点， ， ， ， ， , ， , 为的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作于点， ， ， 是的直径，， ， ， ，，， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得． 20. 图1为“南昌之星”摩天轮，是南昌地标之一．图2为其简化示意图，点是摩天轮的圆心，为垂直地面的直径．小明在观景台点处测得摩天轮顶端的仰角．他沿着坡度的斜坡行走了26米到达地面点处，再沿水平地面向左行走60米抵达摩天轮最低点的正下方点处．已知米． （1）求观景台到地面的垂直高度； （2）求摩天轮的直径． （参考数据：，结果精确到1米．） 【答案】（1）观景台到地面的垂直高度为10米 （2）摩天轮的直径为160米 【解析】 【分析】（1）过A作于H，则，根据坡比是，得出，即可求解； （2）过A作于D，则四边形是矩形，解直角三角形求出，从而得，在中，解直角三角形求出，，即可解答． 【小问1详解】 解：过A作于H，则， 的坡比是， ， 设， ∴， ∴， （米）， 答：观景台高度为10米； 【小问2详解】 解：过A作于D， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ， ， （米）， 答：摩天轮直径为160米． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为落实江西省教育厅关于加强青少年体育锻炼、增强学生体质的相关要求，助力九年级学子高效备战中考体育测试，某集团校面向全校九年级学生开展“每日居家体育锻炼，强健体魄迎战中考”主题活动．为精准掌握学生居家锻炼现状，集团校随机抽取了九年级部分学生，对他们每天居家体育锻炼的平均时长进行抽样调查，并将调查结果分组整理，绘制出如下不完整的扇形统计图和频数分布直方图（每组时长包含最小值，不包含最大值）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽样调查中，一共调查了___________名学生； （2）请补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中的值为___________；表示“每天居家体育锻炼平均时长为”的扇形圆心角度数为___________； （4）若该集团校九年级共有学生3600人，请你估计该集团校九年级学生中，“每天居家体育锻炼平均时长不少于”的学生人数； （5）结合本次调查结果，请你为该集团校推进学生体育锻炼工作提出一条合理化建议． 【答案】（1）人 （2）见解析 （3）， （4）1080人 （5）见解析 【解析】 【小问1详解】 解：在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是． 【小问2详解】 解：的频数为， 补全的频数分布直方图如图所示： 【小问3详解】 解：，即； ， 表示“每天居家体育锻炼平均时长为20min~30min”的扇形所对的圆心角的度数为． 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计“每天居家体育锻炼平均时长不少于”的学生大约有1080人． 【小问5详解】 解：加强家校合作：通过家长会等形式，引导家长鼓励孩子在居家时间进行体育锻炼． 22. 年米兰冬奥会跳台滑雪项目备受关注，某数学兴趣小组对赛道建立平面直角坐标系进行研究．如图，以停止区所在水平线为轴，起跳点的竖直下方点为坐标原点，轴，，着陆坡为直线，其函数解析式为．运动员从点处起跳，沿抛物线飞行至着陆坡上的点处着陆，水平方向移动的距离为．飞行过程中，运动员到轴的竖直高度与水平方向移动的距离满足二次函数关系：． （1）问该运动员从点处跳出到点处着陆垂直下降了多少米？ （2）求运动员到轴的竖直高度与水平方向移动的距离之间的函数解析式； （3）进一步研究发现：运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；在空中飞行后着陆．问当为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离最大？最大是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大为． 【解析】 【分析】（1）利用一次函数的解析式求出点的坐标，结合点的坐标即可得到垂直方向下降的距离； （2）将点和点的坐标代入，求出与的值； （3）根据题干条件先求出，再求出，代入可得，由二次函数的增减性求出最值和对应的值． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵， ∴点处跳出到点处着陆垂直下降了米； 【小问2详解】 解：将点，代入，得， ， 解得， ∴函数解析式为； 【小问3详解】 解：∵水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，且当时，， ∴设， 将，代入，得， ∴， ∵运动员的高度为，着陆坡的高度为， ∴， 将代入，得， ， ∵， ∴当时，取得最大值， 答：当时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大为． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【基础探究】 在正方形中，，点分别在边上，与相交于点． （1）①如图1，若点分别是的中点，则___________； ②如图2，若，则___________； 【类比探究】 在菱形中，，点分别在边上，对角线相交于点，与相交于点，连接交于点． （2）①如图3，若点分别是的中点，求的值； ②如图4，若，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图5，在四边形中，，且，点为的中点．若，请直接写出的值． 【答案】（1）①；②； （2）①；②见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）①连接，设和交于点，首先，由正方形的性质得，再由点分别是的中点，得，可得，最后，得； ②首先，证得，得，再由，代入可得的长； （2）①首先，由菱形的性质及，得，进而得，即，接着，由点分别是的中点，得，得，可得，进而得，代入化简可得比值； ②延长至点，使，连接，首先，证得是等边三角形，得，再证得，可得，进而得出； （3）作，交于点，交于点，作，交的延长线于点，得，再证得四边形是平行四边形，得，由，得，然后，证得，得，设，则，将代数式代入，整理得，解得或（舍去），最后，得． 【小问1详解】 ①解：如图1，连接，设和交于点． ∵四边形是正方形，， ∴． ∵点分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ②解：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴． 【小问2详解】 ①解：∵四边形是菱形，， ∴，，平分， ∴， ∴， ∴． ∵点分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②证明：如图2，延长至点，使，连接． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解:如图3，作，交于点，交于点，作，交的延长线于点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴． ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 【点睛】巧妙添加辅助线，延长至点，使，连接，运用菱形的性质、等边三角形的性质证得；巧妙添加辅助线，作，交于点，交于点，作，交的延长线于点，运用平行四边形的性质构造相似三角形，得，设，则，得到关于的方程，并解方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $