21.3.3 正方形（第1课时）教案 2025-2026学年 数学人教版八年级下册

该教案聚焦正方形的概念与性质，课堂导入通过回顾矩形、菱形的特殊化路径，动态演示矩形邻边相等、菱形一角为直角得到正方形，搭建“从一般到特殊”的几何研究支架，衔接平行四边形到特殊四边形的知识脉络。 特色在于以学生自主探究为主，通过定义提炼、性质梳理、关系图绘制培养几何直观与空间观念，例题证明全等等腰直角三角形发展推理能力，课堂练习结合实际问题强化应用意识。帮助学生构建知识体系，提升逻辑推理，教师使用能有效突破难点，优化教学流程。

21.3.3　正方形（第1课时） 教学目标 1．经历从矩形、菱形特殊化得到正方形的过程，理解正方形的概念，明确正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系与区别，体会特殊与一般的数学思想． 2．掌握正方形的边，角，对角线及轴对称的性质，能进行简单推理和计算，发展几何直观和推理能力． 教学重点 正方形的概念和性质；正方形、平行四边形、矩形、菱形之间的联系与区别． 教学难点 正方形、平行四边形、矩形、菱形之间的联系与区别． 教学过程 新课导入 【引导语】前面我们学习了平行四边形，同时，从“角”的角度将平行四边形特殊化得到了矩形，从“边”的角度将平行四边形特殊化得到了菱形，这种特殊化的方法是研究几何图形的重要思路． 【问题】我们知道，矩形是有一个角为直角的平行四边形，菱形是有一组邻边相等的平行四边形．如果对矩形再进行边的特殊化，对菱形再进行角的特殊化，又会得到什么样的特殊图形呢？ 【师生活动】教师动态演示如下过程：①将矩形的一组邻边变为相等，图形变成正方形；②将活动的菱形框架的一个角变为直角，图形变成正方形． 【设计意图】通过回顾矩形、菱形的学习路径，帮助学生迁移“从一般到特殊”的几何研究方法，同时动态演示矩形、菱形的进一步特殊化过程，自然引出本节课的研究对象——正方形． 新知探究 【问题1】结合图形的变化，你能给正方形下个定义吗？什么样的图形是正方形？ 【师生活动】教师引导学生从图形特征出发描述正方形，得到正方形的定义．教师强调定义的三层含义：①正方形是平行四边形；②正方形有一组邻边相等；③正方形有一个角是直角． 【新知】一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形． 也可以表述为：①有一组邻边相等的矩形是正方形； ②有一个角是直角的菱形是正方形． 【设计意图】从矩形、菱形的特殊化条件出发，让学生自主提炼正方形的定义，既符合学生的认知规律，又能让学生初步理解正方形与矩形、菱形的关联． 【过渡语】我们知道正方形是从矩形、菱形特殊化得到的，而矩形和菱形都是特殊的平行四边形，因此正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． 【问题2】请你从正方形的边、角、对角线、轴对称性这四个角度，梳理正方形的性质． 【师生活动】教师引导学生回顾平行四边形、矩形、菱形的性质，学生以小组为单位进行梳理，小组代表汇报讨论结果，教师补充完善． 【新知】正方形具有以下性质． （1）边：对边平行，四条边相等； （2）角：四个角都是直角； （3）对角线：对角线相等，且互相垂直平分； （4）轴对称性：轴对称图形，有四条对称轴，分别是过对边中点的直线以及两条对角线所在的直线（如右图）． 【问题3】正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，用喜欢的方式表示这些关系． 【师生活动】学生组内讨论，尝试画出关系图．教师巡视指导，选取典型作品进行展示，师生共同补充完善． 【设计意图】通过自主梳理正方形的性质并绘制关系图，帮助学生明确正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系，形成较完善的知识结构，为后续学习正方形的判定奠定基础． 例题精讲 【例】求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 【师生活动】教师引导学生分析证明思路：要证明四个三角形是全等的等腰直角三角形，自然会想到利用正方形对角线的性质——正方形的对角线相等且互相垂直平分．学生在学习任务单上写出已知，求证，完成证明，教师讲评． 【答案】已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD 相交于点O． 求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形． 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AC＝BD，AC⊥BD． ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°， 　 AO＝BO＝CO＝DO． ∴ △ABO，△BCO，△CDO，△DAO 都是等腰直角三角形，并且 　 △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO． 【追问】图中共有多少个等腰直角三角形？ 【师生活动】学生独立思考，根据正方形的性质以及等腰直角三角形的定义回答问题． 【答案】解：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB＝BC，BC＝DC，DC＝AD，AD＝AB， ∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°， ∴ △ABC，△BCD，△CDA，△DAB也是等腰直角三角形． ∴ 图中共有8个等腰直角三角形． 【归纳】正方形既具有矩形对角线相等的性质，又具有菱形对角线互相垂直平分的性质，因此对角线将正方形分割成四个全等的等腰直角三角形． 【设计意图】通过例题巩固学生对正方形性质的理解，提升学生的知识应用能力． 课堂练习 1．（1）把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片．为什么？ （2）如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢？ 【师生活动】第（1）问，教师引导学生观察折叠的过程：折叠后矩形的一条边与邻边重合，说明这两条边相等．另外折叠后的四边形有三个直角．所以这个四边形满足两个条件：①有一组邻边相等；②是矩形，所以为正方形． 第（2）问，教师引导学生发现正方形的边长不能超过矩形的宽，因此以矩形的宽为边长裁出的正方形面积最大，即按（1）的方式裁出的正方形面积最大． 学生在学习任务单上完成解答，教师讲评． 【答案】解：（1）如图， 依题意，得AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°． 又 ∠BAD＝90°， ∴ 四边形ABCD是矩形，且AB＝AD， ∴ 矩形ABCD是正方形． （2）按上面（1）的方式裁出的正方形木板面积最大，即令正方形的边长等于长方形的宽． 2．如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A，B，C，D．李明和张华在边AB上取了一点E，EC＝30 m，EB＝10 m．这块场地的面积和对角线长分别是多少？ 【师生活动】学生先观察图形，尝试在学习任务单上完成解答．教师引导学生明确△EBC是直角三角形，已知EC和EB的长，可以利用勾股定理求出正方形的边长以及对角线的长，再根据正方形面积公式计算面积． 【答案】解：如图，连接AC． ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ∠B＝90°，AB＝BC． 在Rt△BEC中，EC＝30，EB＝10， 由勾股定理，BC＝＝＝， ∴ AC＝＝＝40． ∴ S正方形ABCD＝BC2＝()2＝800． 答：这块场地的面积为800 m2，对角线长为40 m． 3．如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是A，B，C，D．要修建BE和AF两条路，使点E，F分别在边AD，CD上，且DE＝CF．这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 【师生活动】教师引导学生首先根据正方形的性质得出四边相等，四个角为直角，再结合全等三角形的性质，证明两条线段相等，最后通过角的关系得出两条路互相垂直．学生尝试在学习任务单上完成解答，教师讲评． 【答案】解：这两条路等长，它们互相垂直． 如图，设AF与BE交于点O． ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB＝AD＝CD，∠BAE＝∠ADF＝90°． 又 DE＝CF， ∴ AD－DE＝CD－CF，即AE＝DF． 在△ABE和△DAF中， ∴ △ABE≌△DAF（SAS）． ∴ BE＝AF，∠AEB＝∠DFA． ∵ ∠ADF＝90°， ∴ ∠DFA＋∠DAF＝90°． ∴ ∠AEB＋∠DAF＝90°． ∴ ∠AOE＝90°，即 BE⊥AF． 【设计意图】通过课堂练习，巩固学生对正方形性质的理解，引导学生综合应用所学知识解决问题，提升学生的逻辑推理能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1.正方形的定义是什么？它与矩形，菱形有什么联系？ 2.正方形的性质有哪些？ 3.正方形，菱形，矩形，平行四边形之间有怎样的联系？如何用图表表示？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第79页习题21.3第6，12，15，16题． 学科网（北京）股份有限公司 $