21.3.3 第1课时 正方形的定义与性质-教学设计2025-2026学年人教版数学八年级下册（新教材）

21.3.3正方形正方形的性质 一、学习目标 1. 掌握正方形的定义，明确正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系（正方形是特殊的矩形、特殊的菱形）； 2. 3. 熟练掌握正方形的性质（边、角、对角线），理解性质的推导过程，区分正方形与矩形、菱形性质的异同； 4. 5. 能运用正方形的性质进行证明、计算，解决与正方形相关的综合问题； 6. 7. 进一步体会“特殊与一般”的数学思想，梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系，提升几何推理与综合应用能力。 8. 二、知识回顾 1. 平行四边形的核心性质 ① 边：对边平行且相等；② 角：对角相等，邻角互补；③ 对角线：互相平分。 2. 矩形的核心特殊性质 ① 角：四个角都是直角；② 对角线：相等且互相平分。 3. 菱形的核心特殊性质 ① 边：四条边都相等；② 对角线：互相垂直、互相平分，且每条对角线平分一组对角。 4. 思考：最特殊的平行四边形 当一个平行四边形既是矩形（有一个角是直角），又是菱形（有一组邻边相等）时，这个平行四边形会变成什么图形？（引出正方形，铺垫正方形与矩形、菱形的从属关系）。 三、正方形的定义 文字语言：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形。 几何语言：∵ 四边形$$ABCD$$是平行四边形，且$$AB=AD$$，$$\angle A=90^\circ$$，∴ 四边形$$ABCD$$是正方形。 注意1：正方形的定义包含三个核心条件——① 是平行四边形；② 有一组邻边相等；③ 有一个角是直角，三者缺一不可； 注意2：正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，同时具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质； 注意3：从属关系梳理：正方形⊂矩形⊂平行四边形，正方形⊂菱形⊂平行四边形。 四、正方形的性质（核心，分通用性质和特殊性质，重点掌握） 1. 通用性质（继承平行四边形、矩形、菱形的所有性质） ① 边：对边平行且相等（继承平行四边形），四条边都相等（继承菱形）； ② 角：对角相等、邻角互补（继承平行四边形），四个角都是直角（继承矩形）； ③ 对角线：互相平分（继承平行四边形），相等（继承矩形），互相垂直（继承菱形），每条对角线平分一组对角（继承菱形）。 2. 整合性质（简洁总结，便于记忆和应用） 边的性质：正方形的四条边都相等，对边平行。 几何语言：∵ 四边形$$ABCD$$是正方形，∴ $$AB=BC=CD=DA$$，$$AB\parallel CD$$，$$AD\parallel BC$$。 角的性质：正方形的四个角都是直角。 几何语言：∵ 四边形$$ABCD$$是正方形，∴ $$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ$$。 对角线的性质：正方形的对角线互相垂直、互相平分且相等，每条对角线平分一组对角。 几何语言：∵ 四边形$$ABCD$$是正方形，对角线$$AC$$、$$BD$$交于点$$O$$，∴ $$AC\perp BD$$，$$OA=OC$$，$$OB=OD$$，$$AC=BD$$，$$\angle BAO=\angle DAO=\angle ABO=\angle CBO=45^\circ$$。 补充：正方形的面积公式（3种，重点掌握）： ① 常规公式：$$S=\text{边长}\times\text{边长}$$（最常用）； ② 底乘高：$$S=\text{底}\times\text{高}$$（与平行四边形、矩形、菱形面积公式一致）； ③ 对角线公式：$$S=\frac{1}{2}\times AC\times BD$$（继承菱形面积公式，因正方形对角线相等，也可写成$$S=\frac{1}{2}\times AC^2$$）。 五、性质推导（重点，结合矩形、菱形性质推导） 1. 证明“正方形的四条边都相等，四个角都是直角” 已知：四边形$$ABCD$$是正方形，且$$AB=AD$$，$$\angle A=90^\circ$$。 求证：$$AB=BC=CD=DA$$，$$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ$$。 证明：∵ 四边形$$ABCD$$是正方形，∴ 四边形$$ABCD$$是平行四边形，也是菱形和矩形， ∵ 四边形$$ABCD$$是菱形，∴ $$AB=BC=CD=DA$$（菱形四条边相等）， ∵ 四边形$$ABCD$$是矩形，∴ $$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ$$（矩形四个角都是直角）， ∴ 正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 2. 证明“正方形的对角线互相垂直、互相平分且相等，每条对角线平分一组对角” 已知：四边形$$ABCD$$是正方形，对角线$$AC$$、$$BD$$交于点$$O$$。 求证：$$AC\perp BD$$，$$OA=OC$$，$$OB=OD$$，$$AC=BD$$，$$\angle BAO=\angle DAO$$。 证明：∵ 四边形$$ABCD$$是正方形，∴ 四边形$$ABCD$$是平行四边形、矩形、菱形， ∵ 四边形$$ABCD$$是平行四边形，∴ $$OA=OC$$，$$OB=OD$$（平行四边形对角线互相平分）， ∵ 四边形$$ABCD$$是矩形，∴ $$AC=BD$$（矩形对角线相等）， ∵ 四边形$$ABCD$$是菱形，∴ $$AC\perp BD$$，$$\angle BAO=\angle DAO$$（菱形对角线互相垂直且平分一组对角）， ∴ 正方形的对角线互相垂直、互相平分且相等，每条对角线平分一组对角。 六、典型例题 例1（基础应用：边、对角线与面积计算） 在正方形$$ABCD$$中，边长为$$6cm$$，求对角线$$AC$$的长度和正方形的面积。 解： ∵ 四边形$$ABCD$$是正方形， ∴ 正方形的面积$$S=\text{边长}\times\text{边长}=6\times6=36cm^2$$； ∵ 正方形的对角线相等且互相垂直，在$$\text{Rt}\triangle ABC$$中，$$AB=BC=6cm$$，$$\angle ABC=90^\circ$$， 由勾股定理得：$$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}cm$$。 例2（进阶应用：对角线与角度计算） 在正方形$$ABCD$$中，对角线$$AC$$、$$BD$$交于点$$O$$，求$$\angle AOB$$、$$\angle OAB$$的度数。 解： ∵ 四边形$$ABCD$$是正方形， ∴ 对角线$$AC\perp BD$$，∴ $$\angle AOB=90^\circ$$（正方形对角线互相垂直）； ∵ 正方形的对角线平分一组对角，且$$\angle DAB=90^\circ$$， ∴ $$\angle OAB=\frac{1}{2}\angle DAB=\frac{1}{2}\times90^\circ=45^\circ$$。 例3（综合应用：正方形与全等三角形结合） 如图，在正方形$$ABCD$$中，$$E$$、$$F$$分别是$$AB$$、$$BC$$的中点，连接$$AE$$、$$BF$$，求证：$$AE=BF$$，$$AE\perp BF$$。 解： ∵ 四边形$$ABCD$$是正方形， ∴ $$AB=BC$$，$$\angle BAE=\angle CBF=90^\circ$$（正方形四条边相等、四个角都是直角）， ∵ $$E$$、$$F$$分别是$$AB$$、$$BC$$的中点，∴ $$AE=\frac{1}{2}AB$$，$$BF=\frac{1}{2}BC$$， ∴ $$AE=BF$$（等量代换）， 在$$\triangle ABE$$和$$\triangle BCF$$中： $$\begin{cases} AB=BC（正方形四条边相等） \\ \angle BAE=\angle CBF（正方形四个角都是直角） \\ AE=BF（已证） \end{cases}$$$$\begin{cases} AB=BC（正方形四条边相等） \\ \angle BAE=\angle CBF（正方形四个角都是直角） \\ AE=BF（已证） \end{cases}$$$$\begin{cases} AB=BC（正方形四条边相等） \\ \angle BAE=\angle CBF（正方形四个角都是直角） \\ AE=BF（已证） \end{cases}$$$$\begin{cases} AB=BC（正方形四条边相等） \\ \angle BAE=\angle CBF（正方形四个角都是直角） \\ AE=BF（已证） \end{cases}$$$$\begin{cases} AB=BC（正方形四条边相等） \\ \angle BAE=\angle CBF（正方形四个角都是直角） \\ AE=BF（已证） \end{cases}$$ ∴ $$\triangle ABE\cong\triangle BCF（SAS）$$， ∴ $$\angle AEB=\angle BFC$$， ∵ $$\angle BFC+\angle FBC=90^\circ$$（直角三角形两锐角互余）， ∴ $$\angle AEB+\angle FBC=90^\circ$$， ∴ $$\angle BGE=90^\circ$$（三角形内角和为$$180^\circ$$），即$$AE\perp BF$$。 七、易错提醒 1. 混淆正方形与矩形、菱形的性质：正方形同时具有矩形（四个角直角、对角线相等）和菱形（四条边相等、对角线垂直）的所有性质，不可遗漏任何一条； 2. 3. 误用正方形面积公式：使用“对角线乘积的一半”时，注意对角线相等，可简化计算，但不要忘记乘$$\frac{1}{2}$$； 4. 5. 忽略正方形的隐含条件：对角线互相垂直平分且相等、每条对角线平分一组对角（平分后形成45°角），这些隐含条件是解题的关键； 6. 7. 梳理从属关系错误：误认为“矩形是正方形”或“菱形是正方形”，牢记正方形是特殊的矩形和特殊的菱形，需同时满足矩形和菱形的条件。 8. 八、课堂练习 1. 在正方形$$ABCD$$中，对角线$$AC=8\sqrt{2}cm$$，则正方形的边长为________$$cm$$，面积为________$$cm^2$$。 2. 3. 已知正方形的面积为$$49cm^2$$，则它的对角线长度为________$$cm$$。 4. 5. 如图，在正方形$$ABCD$$中，对角线$$AC$$、$$BD$$交于点$$O$$，$$OE\perp AB$$于点$$E$$，求证：$$OE=AE=BE$$。 6. 九、课堂小结 1. 核心概念：正方形（有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形），是特殊的矩形、特殊的菱形； 2. 核心性质：① 边：四条边相等，对边平行；② 角：四个角都是直角；③ 对角线：互相垂直、互相平分且相等，每条对角线平分一组对角； 3. 重点公式：正方形面积=$$\text{边长}^2=\frac{1}{2}\times$$两条对角线乘积； 4. 从属关系：平行四边形⊃矩形⊃正方形，平行四边形⊃菱形⊃正方形； 5. 应用场景：求正方形的边长、对角线长度、面积，解决与直角三角形、全等三角形结合的综合问题，体会“特殊与一般”的数学思想。 第1课时 正方形的性质 教学设计 教学目标 课题 21.3.3 第1课时正方形的性质 授课人 素养目标 1.掌握正方形的性质以及正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系. 2.让学生感受从一般到特殊，化未知为已知的数学思想及转化的数学思想. 3.能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、论证. 教学重点 正方形的性质. 教学难点 正方形的性质的灵活运用. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，导入新课 【情境导入】 仔细观察下列实际生活中的图片，你会发现里面都有正方形的形象. 正方形是我们熟悉的图形，你还能列举出正方形在生活中应用的其他例子吗?正方形有什么性质呢?下面我们一起来探究一下吧！ 【教学建议】 让学生根据生活经验及图片思考正方形的特征. 设计意图 通过图片展示，引入课题，激发学生兴趣. 活动二：实践探究，获取新知 探究点 正方形的性质 从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论. 1.边、角、对角线的性质探究 (1)我们回忆一下小学学过的正方形，它有什么性质? 答：正方形的四条边都相等，四个角都是直角. 教师：由于正方形的四条边都相等，四个角都是直角，正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形(如图①②)，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. (2)矩形有什么性质呢?菱形有什么性质呢?(学生自行作答) 活动：比一比，看谁填得又快又好！(教师将事先准备好的表格在上课之前发给学生，让学生填完表格的前三列，教师检查，表扬填得好的同学) 教师：现在你能概括正方形的性质吗?把上面表格的第四列也补充完整！ 2.正方形的轴对称性 我们再想一想：正方形是轴对称图形吗?它的对称轴是什么? 【教学建议】 正方形可以定义为有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形，这里实际包含两层意思：(1)有一组邻边相等的平行四边形(菱形)；(2)有一个角是直角的平行四边形(矩形). 正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，又是特殊的菱形.教学时，要结合图形具体说明正方形与矩形、菱形的关系.这些是教学的重点，也是难点. 设计意图 通过类比的方式让学生掌握正方形的性质. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 如图，取一张正方形纸片，将它沿过对边中点的直线或对角线折叠，折叠后的两部分均能重合. 归纳总结：正方形是轴对称图形，它的对称轴有四条，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线. 表中有正方形的一些性质，我们以“正方形的对角线相等且互相垂直平分”为例进行证明.其他一些性质的证明，同学们可以试一试. 例1求证：正方形的对角线相等且互相垂直平分. 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 求证:AC=BD,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. 证明:∵正方形 ABCD 是特殊的菱形,∴OB=OD,OA=OC,AC⊥BD.∵正方形 ABCD 是特殊的矩形,∴AC=BD. 例2 (教材P76例5)求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知:如图,正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O. 求证:△ABO,△BCO,△CDO,△DAO 是全等的等腰直角三角形. 证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC = BD,AC⊥BD. ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°,AO=BO=CO=DO. ∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO 都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 思考：正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系?与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系. 答： 【对应训练】 1.正方形的边长是3，则它的对角线的长是 2.如图,在正方形ABCD 中,点E 在BD上,且BE=CD,则∠BEC的度数为 67.5° . 3.教材P76~77 练习. 【教学建议】 (1)教学时注意 让学生结合对正方形对角线性质证明的示例来证明其他性质. (2)给学生说明， 正方形中含有丰富的条件(等线段、等角、平行关系、垂直关系等)，解题时注意根据题目要求，从边、角、对角线等各个方面挖掘所需的条件，与其他几何知识结合求解. 设计意图 通过练习加深对正 方 形 性 质的认识. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 活动三：灵活运用，巩固提升 例3 如图,在正方形ABCD 中,点E,F 分别在边BC,CD 上,连接AE,AF,EF,且∠EAF=45°,延长CB到点G,使BG=DF,连接AG.求证:EF=BE+DF. 证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AD=AB,∠BAD=∠ABC=∠D=90°. ∴∠ABG=∠D. ∵DF=BG,∴△ADF≌△ABG(SAS), ∴AF=AG,∠DAF=∠BAG. ∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=45°, ∴∠EAG=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°,∴∠EAG=∠EAF. 在△AGE 和△AFE 中, ∴△AGE≌△AFE(SAS),∴EG=EF. ∵EG=BE+BG=BE+DF,∴EF=BE+DF. 【对应训练】 如图,在边长为2的正方形 ABCD 中,P 是对角线 AC 上的点,过点 P 作 PE⊥PB,PE交线段DC 于点E.求证:PB=PE. 证明:如图,过点 P 分别作PG⊥BC 于点G,PH⊥DC 于点H, ∴∠PGB=∠PHE=90°. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴CA 平分∠BCD,∠BCD=90°. ∴PG=PH,∠PHC+∠BCD=180°.∴PH∥CG. ∴∠HPG=∠PGB=90°. 又PE⊥PB,∴∠BPE=90°.∴∠BPE-∠GPE=∠HPG-∠GPE,即∠BPG=∠EPH. 在△PGB 和△PHE 中, ∴△PGB≌△PHE(ASA),∴PB=PE. 【教学建议】 给学 生 适 当 指引，说明与正方形有关的综合题经常与全等三角形结合，要善于根据正方形的性质找出等角、等线段，为三角形全等创造条件，必要时还需作辅助线找到解题突破口. 设计意图 加深对正方形性质的掌握，培养发散思维和灵活运用的能力. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：正方形有哪些性质?正方形与平行四边形、矩形、菱形有怎样的关系? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材 P79~81习题21.3第6,12(3),15,16题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 板书设计 21.3.3 正方形 第1课时 正方形的性质 1.正方形的概念. 2.正方形的性质:(1)边;(2)角;(3)对角线;(4)轴对称性. 教学反思 正方形性质的探究内容依旧集中在边、角、对角线及轴对称等方面，教学中注意引导学生思索平行四边形、矩形、菱形和正方形的区别与联系，使其形成完整的四边形知识网络. 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，注重与现实生活的联系，调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用. 备课素材 解题大招 解题大招 利用正方形的性质进行计算或证明 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.总结如下： 提示：(1)正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形；每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.解决问题时，通常归结到这些等腰直角三角形中求解.(2)正方形的对角线互相垂直，因此正方形的面积也可以用对角线的长的积的一半来计算. 例1 如图,在正方形ABCD中,△BEC 是等边三角形,求∠EAD 和∠EDA 的度数. 解:∵△BEC 是等边三角形,∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°.∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=∠BAD=∠ADC=90°,∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°,∴△ABE,△DCE 是等腰三角形,∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°,∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°. 例2 如图,四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形,求证:AE=CG. 证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=CD,∠ADC=90°.∵四边形 DEFG 是正方形,∴DE=DG,∠EDG=90°.∴∠ADE+∠EDC=∠CDG+∠EDC=90°,∴∠ADE=∠CDG.∴△AED≌△CGD(SAS).∴AE=CG. 例3 如图,在正方形ABCD 中,点 E 在边BC上,点 F 在CD 的延长线上,且BE=DF. (1)求证:AE=AF,AE⊥AF; (2)若BD与EF 相交于点M，连接AM，试判断AM与EF 的数量关系和位置关系，并说明理由. (1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴∠ABE=∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°,AB=AD.又BE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS), ∴AE=AF,∠BAE=∠DAF.∴∠DAF+∠EAD=∠BAE+∠EAD,即∠EAF=∠BAD=90°,∴AE⊥AF. (2)解: ,AM⊥EF.理由如下:如图,过点E 作EN∥CD,交 BD 于点 N,∴∠MNE=∠MDF,∠MEN=∠MFD,∠NEB=∠C=90°.∵四边形ABCD 为正方形,∴易得 ,∠BNE,∴BE=NE.又 BE=DF,∴NE=DF,∴△MNE≌△MDF(ASA),∴EM=FM.∵AE=AF,∠EAF=90°, 培优计划 培优点一 与正方形有关的最值问题 例1 如图,正方形ABCD 的边长为4,E,F分别是BC,CD上的动点,且BE=CF,连接AE,BF 交于点P,连接CP,则CP 的最小值是(A) 培优点二 与正方形有关的探究问题 例2 如图①,在正方形ABCD中,M 是AB 的中点,E 是AB 的延长线上一点,MN⊥DM,且交∠CBE 的平分线于点 N. (1)求证:DM=MN. (2)若将“M是AB 的中点”改为“M是AB 上的任意一点”，其他条件不变，如图②，则结论“DM=MN”是否仍成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 分析:(1)要证DM=MN,只需取AD 的中点F,连接FM,依据正方形的性质可证△DFM≌△MBN,进而得DM=MN; (2)只需在AD 上截取AG=AM,连接GM,同(1)可证△DGM≌△MBN,进而得DM=MN. (1)证明:如图①,取AD 的中点F,连接FM. ∵四边形ABCD 为正方形,∴AB=AD,∠A=∠ABC=∠CBE=90°. ∴∠FDM+∠AMD=90°. ∵MN⊥DM,∴∠BMN+∠AMD=90°.∴∠FDM=∠BMN. ∵BN 平分∠( ∴∠MBN=∠ABC+∠CBN=135°. ∵M是AB 的中点,F 是AD 的中点,. ∴∠AFM= (180°-∠A)=45°,∴∠DFM=180°-∠AFM=135°=∠MBN. ∴△DFM≌△MBN(ASA).∴DM=MN. (2)解:结论“DM=MN”仍成立.证明如下: 如图②,在AD 上截取AG=AM,连接GM. 同(1)可得,AB=AD,∠A=90°,∠GDM=∠BMN,∠MBN=135°. ,即DG=MB. ∴△DGM≌△MBN(ASA).∴DM=MN. 学科网（北京）股份有限公司 $