21.3.3 正方形（第2课时）教案 2025-2026学年数学人教版八年级下册

该初中数学教学设计聚焦正方形判定方法，以制作正方体灯笼情境导入，引导学生从矩形、菱形等已有图形知识出发，探究添加条件转化为正方形的判定路径，梳理知识脉络。 通过问题链引导学生构建从不同图形出发的判定条件链，结合例题与实际应用（如丝巾判断），发展几何直观与逻辑推理能力，帮助学生建立知识结构，提升教师教学效率与学生应用意识。

21.3.3　正方形（第2课时） 教学目标 1．经历从四边形、平行四边形、矩形、菱形出发探究正方形判定方法的过程，理解并掌握正方形的判定方法，发展几何直观和逻辑推理能力． 2．能运用正方形的性质和判定解决几何问题，体会正方形与矩形、菱形、平行四边形的联系． 教学重点 正方形的判定；运用正方形的性质和判定解决几何问题． 教学难点 运用正方形的性质和判定解决几何问题． 教学过程 新课导入 【问题】学校在元宵节要制作一批不同大小的正方体形状灯笼，需要在卡纸上画出正方形的面．小明负责裁剪，他画了一个四边形，却无法确定它是否为正方形．若测量四条边均相等，也可能是菱形；若测量四个角都是直角，也可能是矩形．他陷入了困惑：究竟需要满足哪些条件，才能准确判定一个四边形是正方形呢？请结合所学知识，帮小明总结正方形的判定方法． 【师生活动】教师引导学生回顾正方形的定义，启发学生从不同的图形出发，思考正方形的判定方法：若已知四边形是矩形，还需添加什么条件？若是菱形，又需要添加什么条件？ 【设计意图】通过学生熟悉的手工情境，引发对正方形判定条件的思考，自然引出本节课的探究主题． 新知探究 【问题1】分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，思考：需要添加什么条件，才能使这四种图形转化为正方形？与同学交流你的结论． 【师生活动】学生独立思考，组内讨论交流，梳理“从已知图形到正方形”的判定条件链．最后师生共同归纳总结出判定一个图形是正方形的一般思路． 从矩形出发：证明图形是菱形（如，证明对角线互相垂直或一组邻边相等）； 从菱形出发：证明图形是矩形（如，证明对角线相等或有一个角是直角）； 从平行四边形出发：证明图形既是矩形又是菱形； 从四边形出发：先证明图形是平行四边形，再证明平行四边形既是矩形又是菱形；也可以直接证明四边形既是矩形又是菱形． 【注意】无论从哪个图形出发，最终都要证明这个四边形既是矩形也是菱形． 【问题2】结合刚才对正方形判定的探究，思考：矩形、菱形、正方形在概念，边，角，对角线，对称性，判定这几个方面，有哪些相同点和不同点？它们之间存在怎样的关系？ 【师生活动】学生以小组为单位，围绕上述问题展开讨论，尝试绘制知识结构图或表格，梳理三者之间的关系．教师巡视指导，选取典型作品进行展示，师生共同补充完善，形成如下知识结构表． 【追问】回顾学习这三种图形的全过程，我们是按照怎样的路径来研究这些特殊的平行四边形的？ 【师生活动】教师引导学生回顾学习历程，师生共同归纳：遵循“平行四边形—特殊的平行四边形（矩形、菱形）—正方形”的特殊化路径，每类图形都按“概念—性质—判定—应用”的模式研究，最后提炼出“从一般到特殊、逐步添加条件”的几何研究思路． 【设计意图】帮助学生理解正方形与其他特殊四边形之间的关系，掌握正方形判定方法的结构化思路． 例题精讲 【例1】满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？ （1）对角线互相垂直且相等的平行四边形； （2）对角线互相垂直的矩形； （3）对角线相等的菱形； （4）对角线互相垂直平分且相等的四边形． 【师生活动】学生在学习任务单上完成解答，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】（1）是，满足条件的平行四边形既是菱形也是矩形； （2）是，满足条件的矩形也是菱形； （3）是，满足条件的菱形也是矩形； （4）是，满足条件的四边形是平行四边形，同时既是菱形也是矩形． 【归纳】正方形判定的几种方法： （1）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； （2）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形； （3）有一组邻边相等的矩形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）有一个角是直角的菱形是正方形； （6）对角线相等的菱形是正方形． 【例2】如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形EFGH是正方形． 【师生活动】学生独立审题，明确已知条件．教师引导学生分析：要证明四边形EFGH 是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，可以证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，也可以证明它的三个角是直角，再证明一组邻边相等，而这都可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出．学生在学习任务单上尝试证明，学生代表分享证明方法，教师板书规范过程． 【答案】（方法一）证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB＝BC＝CD＝DA． 又 AE＝BF＝CG＝DH， ∴ EB＝FC＝GD＝HA． ∵ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴ △AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG． ∴ HE＝EF＝FG＝GH． ∴ 四边形EFGH是菱形． ∵ △AEH≌△BFE， ∴ ∠2＝∠3． 又 ∠1＋∠2＝90°， ∴ ∠1＋∠3＝90°． ∴ ∠HEF＝180°－(∠1＋∠3)＝90°． ∴ 四边形EFGH是正方形． （方法二）证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB＝BC＝CD＝DA． 又 AE＝BF＝CG＝DH， ∴ EB＝FC＝GD＝HA． ∵ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴ △AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG． ∴ ∠2＝∠3． 又 ∠1＋∠2＝90°， ∴ ∠1＋∠3＝90°． ∴ ∠HEF＝180°－(∠1＋∠3)＝90°． 同理 ∠EFG＝∠HGF＝90°． ∴ 四边形EFGH是矩形． ∵ △AEH≌△BFE， ∴ HE＝EF． ∴ 矩形EFGH是正方形． 【归纳】正方形的性质和判定的综合应用问题，往往先由正方形的性质得到相等的线段、相等的角等条件，再将这些条件通过全等三角形等几何知识进行转化，进而得到判定正方形的条件． 【设计意图】通过例题分析，引导学生体会正方形的不同判断路径，培养学生灵活运用正方形的性质和判定解决问题的能力． 课堂练习 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：四边形CEDF是正方形． 【师生活动】学生独立思考，教师提示学生可以先证明四边形CEDF为矩形，再证明DE＝DF，从而得到四边形CEDF是正方形．学生尝试在学习任务单上完成证明，教师讲评． 【答案】证明：∵ DE⊥BC，DF⊥AC， ∴ ∠DEC＝∠DFC＝90°． 又 ∠ACB＝90°， ∴ 四边形CEDF是矩形． ∵ CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴ DF＝DE． ∴ 矩形CEDF是正方形． 2．王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式，于是售货员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折（如图所示），让王芳看丝巾是否完全重合；见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把丝巾对折，让她看丝巾是否也完全重合．王芳发现这两次都重合，就买下了这条丝巾．你认为王芳买的这条丝巾是正方形样式吗？为什么？ 【师生活动】学生独立思考，组内交流讨论，小组代表发言，教师点评． 【答案】解：不一定．因为她的方法只能证明四边形是菱形．应该再沿着一组对边的中点将丝巾对折，看看相邻两角是否重合，如果重合说明它们是直角，这样才能判定四边形是正方形． 【设计意图】通过多样化的练习，巩固学生对正方形判定方法的理解，提升逻辑推理和实际应用能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1.正方形的判定方法有哪些？从不同图形出发的判定思路是什么？ 2.判定正方形时，如何根据已知条件选择合适的判定方法？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第79页习题21.3第7，14题． 学科网（北京）股份有限公司 $