21.3.2 菱形（第1课时）教案 2025-2026学年人教版八年级数学下册

该教案聚焦菱形的概念、性质（四条边相等、对角线垂直平分一组对角）及面积计算。通过回顾矩形（平行四边形角的特殊化），用动画演示平行四边形边的变化，引出菱形（一组邻边相等的平行四边形），构建知识迁移支架。 特色在于“观察—度量—猜想—证明”探究流程，结合动画演示和折叠操作发展几何直观，例题（菱形花坛计算）与证明题培养推理意识和应用意识。附思维导图梳理知识，助力学生系统掌握，为教师提供结构化教学实例，提升课堂效率。

21.3.2　菱形（第1课时） 教学目标 1．经历将平行四边形的边特殊化，通过图形的变化得到菱形的过程，掌握菱形的概念，明确菱形与平行四边形的区别与联系． 2．类比研究平行四边形和矩形的方法，经历菱形性质的探究过程，进一步感受研究图形性质的一般方法，掌握菱形的性质定理，发展几何直观和推理能力． 3．能运用菱形的性质进行简单计算和证明，掌握菱形面积的两种计算方法． 教学重点 菱形的性质定理及其应用． 教学难点 灵活运用菱形的性质定理解决问题． 教学过程 新课导入 【问题】前面我们学习了平行四边形，并从“角”的角度将平行四边形特殊化得到了矩形，研究了矩形的定义、性质和判定，解决了一系列相关问题．请同学们回忆一下，矩形有哪些一般平行四边形不具有的特殊性质？ 【师生活动】学生共同口答：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等． 【追问】这节课，我们继续对平行四边形特殊化，如果从“边”的角度将平行四边形特殊化，又会得到什么样的特殊图形呢？ 请你观看演示，注意观察边的变化，当平行四边形的边满足什么条件时，它会变成特殊的平行四边形？ 【师生活动】教师通过动画演示，让学生观察边的变化．当一组邻边相等时，教师指出这时的平行四边形也具有特殊性，我们把它叫作菱形． 【设计意图】通过回顾平行四边形、矩形的学习路径，从“平行四边形边的特殊化”的角度提出问题，进一步让学生体会特殊化的几何图形研究思路． 新知探究 【问题1】结合图形的变化，你能给菱形下个定义吗？什么是菱形？如何表示菱形？ 【师生活动】教师引导学生从图形特征出发描述菱形，得到菱形的定义．教师强调定义的两层含义：①菱形是平行四边形；②菱形有一组邻边相等． 【新知】有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形． 如图所示的菱形记作菱形ABCD． 【提醒】菱形是特殊的平行四边形，平行四边形不一定是菱形． 【追问】菱形也是常见的几何图形．有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架（如图）等都有菱形的形象．你还能举出一些例子吗？ 【师生活动】学生结合生活经验，自由发言列举生活中菱形的例子，教师对学生的回答进行点评和补充，强调菱形在生活中的广泛应用． 【设计意图】结合图形给出菱形的定义和表示方法，明确菱形与平行四边形的关系，同时，结合生活中的菱形形象，加强数学与生活的联系． 【过渡语】根据前面研究图形的经验，明确了定义之后，接下来就要研究性质．和矩形一样，菱形是平行四边形，当然具有平行四边形的所有性质，但由于它的一组邻边相等，它还会具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质．我们还是从边、角、对角线这三个角度进行探究． 【问题2】请你根据定义画一个菱形并进行观察，除了平行四边形的性质，菱形还有哪些特殊性质？量一量，和你的猜想一致吗？ 【师生活动】学生在学习任务单上画出菱形ABCD．通过观察、度量等实际操作，发现AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8．教师引导学生提出猜想：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 【追问】如何证明你的猜想？ 【师生活动】学生在学习任务单上写出已知、求证，完成证明，教师请学生代表分享猜想①的证明方法，进行板书示范． 已知：如图，四边形ABCD是菱形，AB＝BC． 求证：AB＝BC＝CD＝DA． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB＝CD，AD＝BC． 又 AB＝BC， ∴ AB＝BC＝CD＝DA． 【新知】菱形的四条边都相等． 【师生活动】在讲解猜想②之前，教师引导学生分析证明思路：可以先从菱形的性质出发，因为菱形的四条边都相等，所以△ABD是等腰三角形，而等腰三角形具有一个重要性质——等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合，可以利用这个性质解决问题． 　　已知：如图，四边形ABCD是菱形． 求证：AC⊥BD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8． 　　证明：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝AD，OB＝OD， ∴ AO是等腰△ABD的中线， ∴ AO⊥BD，AO平分∠BAD（等腰三角形“三线合一”）， ∴ AC⊥BD，∠3＝∠4． 同理 ∠1＝∠2，∠5＝∠6，∠7＝∠8． 【新知】菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 【设计意图】让学生自主探究菱形的特殊性质，再次经历“观察—度量—猜想—证明”的过程，并借助等腰三角形“三线合一”性质的迁移应用，突破菱形对角线性质证明的难点，培养推理意识，发展几何直观． 【问题3】菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形（平行四边形一般只被分成两对全等的三角形），这对于计算菱形的一些角的度数及面积都有帮助．如果给出菱形两条对角线的长度，你能计算它的面积吗？ 【师生活动】学生在学习任务单上尝试推导：设菱形对角线AC＝a，BD＝b．对角线互相平分，所以AO＝a，BO＝b，S△AOB＝AO·BO＝×a×b＝ab，所以菱形的面积S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×ab＝ab．师生共同归纳总结：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半． 【追问】还可以怎样计算菱形的面积？ 【师生活动】教师引导学生回忆平行四边形的面积计算公式，菱形是特殊的平行四边形，所以S菱形ABCD＝底×高＝CD·BE． 【归纳】菱形的面积等于底乘高，也等于它的两条对角线长的积的一半． 【设计意图】引导学生从不同角度推导菱形面积公式，加深对菱形性质的理解，为后续计算面积作准备． 【问题4】我们知道，矩形是轴对称图形，矩形每组对边中点连线所在的直线是它的对称轴．那么，菱形呢？请你任意画一个菱形，探究一下，有什么发现？ 【师生活动】学生画图、观察、操作、交流，发现：菱形沿两条对角线所在直线对折后能够完全重合．教师利用课件动态演示菱形的折叠过程，总结菱形的轴对称性． 【新知】菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴，菱形有两条对称轴． 【设计意图】通过画图、观察、操作和动态演示，让学生从“图形的变化”角度感受菱形的性质，发展学生的几何直观． 例题精讲 【例】如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）． 【师生活动】学生独立审题，明确已知条件和求解目标．教师适时引导学生：利用菱形的两条对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角的性质，结合∠ABC＝60°，可以得到含30°角的直角三角形，结合勾股定理解决问题．学生在学习任务单上完成解题过程，教师板书，规范步骤． 【答案】解：设AC，BD相交于点O． ∵ 花坛ABCD的形状是菱形， ∴ AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝×60°＝30°． 在Rt△ABO中， AO＝AB＝×20＝10， BO＝＝＝． ∴ 花坛的两条小路长 AC＝2AO＝20（m），BD＝2BO＝≈34.64（m）． 花坛的面积 S菱形ABCD＝4×S△OAB＝4×AO·BO＝≈346.4（m2）． 【归纳】1．当菱形有一个内角是60°时，较短的对角线将菱形分成两个等边三角形． 2．计算菱形对角线长度时，常将问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理求解． 【设计意图】通过实际问题，让学生运用菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质，以及勾股定理解决问题，强化知识综合应用的能力． 课堂练习 1．四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，AO＝4．求AC，BD的长以及菱形ABCD的面积． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】解：如图，四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO． 在Rt△ABO中，AB＝5，AO＝4， 根据勾股定理，BO＝＝＝3． ∴ AC＝2AO＝8，BD＝2BO＝6． ∴ S菱形ABCD＝AC·BD＝×8×6＝24． 2．如图，在菱形ABCD中，BD＝4，∠A∶∠ABC＝1∶2．求△ABD的周长． 【师生活动】学生独立审题，结合菱形邻角互补及角的比例关系，求出∠A＝60°，再根据菱形四条边相等的性质判定三角形△ABD是等边三角形，自主计算△ABD的周长． 【答案】解：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AD∥BC，AB＝AD． ∴ ∠A＋∠ABC＝180°． 又 ∠A∶∠ABC＝1∶2， ∴ ∠A＝60°． 又 AB＝AD， ∴ △ABD是等边三角形， ∴ AB＝AD＝BD＝4， ∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝12． 3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，连接对角线BD，E，F分别是边AB，BC的中点，分别连接DE，DF，EF．求证：△DEF是等边三角形． 【师生活动】教师引导学生先由∠A＝60°及菱形四条边相等的性质，可以得到△ABD和△DBC均为等边三角形，再依据等腰三角形“三线合一”的性质结合三角形全等完成证明．学生尝试在学习任务单上完成解答，教师板书示范． 【答案】证明：∵ 四边形ABCD是菱形，∠A＝60°， ∴ AB＝AD＝CD＝BC，∠A＝∠C＝60°． ∴ △ABD和△DBC均为等边三角形， ∴ ∠ADB＝∠CDB=60°． ∵ E，F分别是边AB，BC的中点， ∴ ∠BDE＝∠ADB=30°，∠BDF＝∠CDB=30°，AE＝AB，CF＝BC． ∴ ∠EDF＝∠BDE＋∠BDF＝60°，AE＝CF． 在△ADE和△CDF中， ∴ △ADE≌△CDF（SAS）． ∴ DE＝DF． ∴ △DEF是等边三角形． 【设计意图】通过课堂练习，巩固学生对菱形性质的理解，引导学生综合应用所学知识解决问题，提升学生的逻辑推理能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1.什么是菱形？菱形与平行四边形有什么关系？ 2.菱形的性质有哪些？ 3.如何计算菱形的面积？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第79～80页习题21.3第4，11题． 学科网（北京）股份有限公司 $