专题21.3.3：正方形【十大考点+十九大题型】-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》讲与练高分突破（人教版）

本讲义聚焦正方形这一核心知识点，系统梳理其定义（邻边相等的矩形）、性质（兼具平行四边形、矩形、菱形所有性质，如四边相等、四角直角、对角线垂直平分且相等）及判定方法（从矩形或菱形添加条件），构建与矩形、菱形的知识联系，形成完整学习支架。 资料以“知识点-题型-变式-综合”递进设计，通过折叠、动点等问题培养几何直观与空间观念，借助证明题提升推理能力，结合十字架模型强化模型意识。典例与变式搭配，课中助力分层教学，课后练习题覆盖多考点，帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

专题21.3.3：正方形 · 考点一：正方形定义理解 · 考点二：正方形的性质求角度 · 考点三：正方形的性质求线段 · 考点四：正方形的性质求面积 · 考点五：正方形的折叠问题 · 考点六：添加一下条件为正方形 · 考点七：证明正方形问题 · 考点八：四边形的线段最值问题 · 考点九：动点问题 · 考点十：正方形的性质和判定综合问题 知识点一：正方形的概念 一组邻边相等的矩形叫做正方形。如图，在矩形ABCD中,若AB=AD,那么矩形ABCD就是正方形。 正方形的定义满足两个条件：一是矩形，二是一组邻边相等。 知识点二：正方形的性质 正方形的性质： 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 3）正方形对边平行且相等. 4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； 5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 【补充】正方形对角线与边的夹角为45°. 知识点三：正方形的判定方法 (1)有一组邻边相等的矩形是正方形 (用定义判定) (2) 对角线互相垂直的矩形是正方形 (3)有一个角是直角的菱形是正方形 (4) 对角线相等的菱形是正方形 技巧归纳：矩形、菱形、正方形之间的关系 题型一：正方形定义理解 【典例1】．（25-26八年级下·全国）下列结论中，正确的有（   ） ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【变式2】．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分内角 【变式3】．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列有关菱形、矩形、正方形具有的共同性质是（    ） A．邻边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 题型二：正方形的性质求角度 【典例2】．（25-26八年级下·山东潍坊·月考）如图，为正方形的对角线，延长到点，使，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在正方形中，为上一点．若，则（   ）． A． B． C． D． 【变式2】．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，在正方形的外侧，以为边作等边三角形，连接，交正方形的对角线于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型三：正方形的性质求线段 【典例3】．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在正方形中，，将沿折叠至，延长交于点G．若点G刚好是的中点，则的长是（    ） A．1 B． C． D．3 【变式2】．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，在正方形和正方形中，点在上，点在同一条直线上，，，是的中点，连接，则的长是（    ）． A．6 B． C． D．10 【变式3】．（25-26九年级上·山东·期末）如图，四边形是正方形，是的中点，将正方形折叠，使点与点重合，折痕为，若正方形的边长为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 题型四：正方形的性质求面积 【典例4】．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）三个边长分别是3，4，5的正方形按如图所示摆放（后两个正方形的一个顶点与相邻的一个正方形对角线交点重合），则图中阴影部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形．若，，则（   ） A．50 B．60 C．100 D．110 【变式2】．（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．36 B．32 C．16 D． 【变式3】．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、64，则阴影部分的面积为（    ） A．89 B．64 C．69 D．49 题型五：正方形的折叠问题 【典例5】．（2025·河南周口·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 【变式1】．（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 【变式2】．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 【变式3】．（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的面积为______． 题型六：添加一下条件为正方形 【典例6】．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择______(限填序号)． 【变式1】．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是______添加一个条件即可 【变式2】．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）有下列四个条件：①，②，③，④．从中选取两个作为补充条件，使平行四边形为正方形（如图）．现在文文选择了③④，你认为文文选择的______（填“对”或“不对”） 【变式3】．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 题型七：证明正方形问题 【典例7】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在中，，点为其内一点，且，分别平分．若于点，于点，则四边形是正方形吗请说明理由． 【变式1】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．求证：四边形是正方形． 【变式2】．（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）如图，在中，，且，点D、E分别是边的中点，连接，过点B作，过点E作交于点F，求证：四边形为正方形． 【变式3】．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，，．求证：四边形ABCD是正方形． 题型八：四边形的线段最值问题 【典例8】．（2026八年级下·全国·专题练习） 如图，在边长为2的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为______． 【变式1】．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，点E为延长线上的一点，取的中点M，连接和．若，则的最大值为_________． 【变式2】．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，在长方形纸片中，，E是的中点，F是上一动点．将沿直线折叠，点A落在点处．在上任取一点G，连接，′，′，则周长的最小值为__________． 【变式3】．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在四边形中，，，，点、分别为边上的点、且，则的最小值是_____． 题型九：动点问题 【典例9】．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【变式1】．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 【变式2】．（24-25八年级上·新疆昌吉·期末）如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3】．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于． (1)如图，过点作于，求证：； (2)如图，点E为的中点，连接，求证：； (3)如图，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长． 题型十：正方形的性质和判定综合问题 【典例10】．（25-26八年级下·上海闵行·月考）问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 【变式1】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离． 【变式2】．（25-26八年级下·山东·课后作业）如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 【变式3】．（25-26八年级下·广西桂林·月考）如图，在边长为的正方形中， (1)如图1，，垂足为点，求证：； (2)如图2，垂直平分，且，求的长； (3)如图3，，点、和分别为、和的中点，，求的长． 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京·月考）如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A．313 B．225 C．169 D．144 3．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，则的度数是（） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 5．（2026·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（2026九年级下·广东深圳·专题练习）2020年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，E，F分别是上的点，相交于点M．N是的中点．若，．则的长为（   ） A． B． C．2 D． 7．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边分别交于点M、N．若正方形的边长为8，则阴影部分的面积为（    ） A．64 B．32 C．16 D．8 二、填空题 8．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在正方形中，点E，点F分别是对角线，上的点，连接，，，若，且，则的度数为___________． 9．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，已知四边形和四边形均为正方形，且G是的中点，连接，若，则的长为 _________． 10．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）如图，已知中，，分别以直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，则的长为________． 11．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，正方形的边长为3，点E在上，且，P是对角线上的一个动点，则的最小值为 _________． 12．（25-26九年级下·天津·开学考试）如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点分别是的中点，连接，则的长度为___________． 三、解答题 13．（25-26八年级下·山东·课后作业）已知，正方形的边在正方形的边上，延长到，使，在边上，且，求证：四边形为正方形． 14．（25-26八年级下·上海宝山·月考）如图，在中，，点是的中点，过点作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当时，求证：四边形是正方形． 15．（25-26八年级下·广西桂林·月考）四边形为矩形，，若点F是上的点，E是延长线上的一点，，于点G， (1)求证： (2)求的度数． 16．（2026八年级下·全国·专题练习）【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）请直接判断：______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题： （2）如图②，在正方形中，点E、F、G分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论． 17．（25-26八年级下·全国·期中）正方形是所有四边形中性质最为丰富的，尤其是对角线，相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．如果我们把两个正方形按照一定的方式放在一起，会发现一些很有趣的结论．已知正方形，是对角线上一点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连． (1)如图①所示，求证：矩形是正方形． (2)将（1）中正方形顶点沿着平移，顶点落在延长线上时，如图②所示．试探究，，的数量关系，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.3.3：正方形 · 考点一：正方形定义理解 · 考点二：正方形的性质求角度 · 考点三：正方形的性质求线段 · 考点四：正方形的性质求面积 · 考点五：正方形的折叠问题 · 考点六：添加一下条件为正方形 · 考点七：证明正方形问题 · 考点八：四边形的线段最值问题 · 考点九：动点问题 · 考点十：正方形的性质和判定综合问题 知识点一：正方形的概念 一组邻边相等的矩形叫做正方形。如图，在矩形ABCD中,若AB=AD,那么矩形ABCD就是正方形。 正方形的定义满足两个条件：一是矩形，二是一组邻边相等。 知识点二：正方形的性质 正方形的性质： 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 3）正方形对边平行且相等. 4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； 5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 【补充】正方形对角线与边的夹角为45°. 知识点三：正方形的判定方法 (1)有一组邻边相等的矩形是正方形 (用定义判定) (2) 对角线互相垂直的矩形是正方形 (3)有一个角是直角的菱形是正方形 (4) 对角线相等的菱形是正方形 技巧归纳：矩形、菱形、正方形之间的关系 题型一：正方形定义理解 【典例1】．（25-26八年级下·全国）下列结论中，正确的有（   ） ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据正方形，矩形，菱形的性质，逐一判断即可解答． 【详解】∵正方形属于平行四边形，也是特殊的矩形，特殊的菱形， ∴正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，故①②③正确， ∵正方形的对称轴分别为两组对边的中垂线（2条）和两条对角线所在直线（2条），共4条对称轴，∴④错误，⑤正确， 综上，正确的结论共有4个． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【答案】A 【分析】正方形是特殊的菱形，具有菱形的所有性质，但对角线相等是正方形独有的性质，菱形不一定具有． 本题考查了正方形与菱形的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理． 【详解】解：∵正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且每一条对角线平分一组对角； 又∵ 菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分，而且每一条对角线平分一组对角； ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：A． 【变式2】．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分内角 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、对角线相等，只有矩形和正方形共有的性质，该选项不合题意； 、对角线互相垂直，只有菱形和正方形共有的性质，该选项不合题意； 、对角线互相平分，平行四边形，矩形，菱形，正方形都共有的性质，该选项符合题意； 、对角线平分内角，只有菱形和正方形共有的性质，该选项不合题意； 故选：． 【变式3】．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列有关菱形、矩形、正方形具有的共同性质是（    ） A．邻边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的性质，根据菱形、矩形、正方形的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解： A． 邻边相等：菱形和正方形满足，但矩形邻边不一定相等（仅正方形相等），本选项不符合题意． B． 对角相等：菱形、矩形、正方形均为平行四边形，对角均相等，本选项符合题意． C． 对角线互相垂直：菱形和正方形满足，但矩形对角线不一定垂直（仅正方形垂直），本选项不符合题意； D． 对角线相等：矩形和正方形满足，但菱形对角线不一定相等（仅正方形相等），本选项不符合题意． 综上，三者共同性质为对角相等， 故选B． 题型二：正方形的性质求角度 【典例2】．（25-26八年级下·山东潍坊·月考）如图，为正方形的对角线，延长到点，使，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由正方形的性质可知，，，，再结合平行的性质和等边对等角，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 正方形， ，，， ， ， ， ， ， ． 【变式1】．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在正方形中，为上一点．若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是关键． 由正方形的性质可得．根据三角形的内角和定理求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式2】．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：C． 【变式3】．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，在正方形的外侧，以为边作等边三角形，连接，交正方形的对角线于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型三：正方形的性质求线段 【典例3】．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质解答即可； 【详解】解：连接， 正方形和正方形中， ，， ， ， ， ， 是的中点， 【变式1】．（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在正方形中，，将沿折叠至，延长交于点G．若点G刚好是的中点，则的长是（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】连接，先根据正方形的性质及图形轴对称的性质，证明，，然后根据全等三角形的判定证明，可得，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，， 点G是的中点， ， 沿折叠至， ，， ，， ， ， ， 设，则， 根据图形翻折的性质可知，， 在中，， ， 解得， 的长是． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，图形轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式2】．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，在正方形和正方形中，点在上，点在同一条直线上，，，是的中点，连接，则的长是（    ）． A．6 B． C． D．10 【答案】C 【分析】连接，延长交于，则，四边形是矩形，，，，，由勾股定理得，，由是的中点，，可得，计算求解即可． 此题考查了运用矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、斜边的中线等于斜边的一半. 【详解】解：如图，连接，延长交于， ∵正方形和正方形， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由勾股定理得，， ∵是的中点，， ∴， 故选：C． 【变式3】．（25-26九年级上·山东·期末）如图，四边形是正方形，是的中点，将正方形折叠，使点与点重合，折痕为，若正方形的边长为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理；设，则－，，由折叠可得，在中用勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，正方形的边长为， ∴， ∵是的中点， ∴ 设，则－， 由折叠可得， 在中， 解得． 故选：C． 题型四：正方形的性质求面积 【典例4】．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）三个边长分别是3，4，5的正方形按如图所示摆放（后两个正方形的一个顶点与相邻的一个正方形对角线交点重合），则图中阴影部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据正方形的性质，得，，，从而，利用“”，得，则，进而阴影部分，同理可求另一阴影部分的面积，相加即可求解． 【详解】解：如图所示： 三个边长分别是3，4，5的正方形， ，，， ，， ， ()， ， 则， 正方形的边长为4， ， 即第2个和第3个正方形重叠部分的面积为4， 同理可得第1个和第2个正方形重叠部分的面积为， 则图中阴影部分的面积和为． 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形．若，，则（   ） A．50 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】连接，即可利用勾股定理的几何意义解答． 本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边． 【详解】解：连接，根据勾股定理，得， 由正方形的性质，得， 故， 又，， 则， 故选：B． 【变式2】．（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．36 B．32 C．16 D． 【答案】C 【详解】过点作于点，于点，如图所示： ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∵，∴，∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴正方形的面积为：， ∴， 故选：C． 【变式3】．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、64，则阴影部分的面积为（    ） A．89 B．64 C．69 D．49 【答案】C 【分析】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理几何证明方法． 根据勾股定理可得正方形的面积为，再求出的面积，即可求解． 【详解】如图，∵正方形、正方形的面积分别为25、64， ，， ，， ∴正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 题型五：正方形的折叠问题 【典例5】．（2025·河南周口·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ∴，， ∵点B落在边上的三等分点M处， ∴和， 设，则， 由折叠的性质得， 当时，则， 在中，，即， 解得； 当时，则， 在中，，即， 解得； 综上，线段的长为或． 【点睛】注意三等分点有和两种情况，不要遗漏． 【变式1】．（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 【答案】 【分析】本题考查翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，则，过点F作于点H，易证，进而得到、，设，则，根据四边形的面积为6，列方程得到关于的表达式，在中，利用勾股定理求出的值，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，则，过点F作于点H， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 设，则， 四边形的面积为6， ， 即， 解得， ， ， 由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的面积为：． 【变式2】．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠变换及其性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，，由折叠性质得，，根据和求解即可． 【详解】解：由题意知， 设，，， ，， 由折叠性质得：，， ∵， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理．熟练掌握正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理是解题的关键． 通过设未知数，利用勾股定理建立方程来求解的长即可． 【详解】解：由题意得，， 点是边的中点，且， ． 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即，解得， ， 的面积为． 故答案为． 题型六：添加一下条件为正方形 【典例6】．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择______(限填序号)． 【答案】② 【分析】本题主要考查了正方形的判定定理，根据正方形的判定定理，由菱形添加对角线相等或四边形的一个角是直角，即可求解． 【详解】解：条件①③是菱形的性质，则添加条件①③时，不能使四边形是正方形， 添加条件②时，根据对角线相等的菱形是正方形，能使四边形是正方形， 故答案为：②． 【变式1】．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是______添加一个条件即可 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题重点考查正方形的判定、三角形中位线定理等知识，推导出四边形是矩形是解题的关键．由中位线定理得到，，，结合得四边形是矩形，当时，四边形是正方形，据此可添加条件． 【详解】解：点D，E，F分别是边的中点， ，且，，且， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 添加的条件可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 【变式2】．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）有下列四个条件：①，②，③，④．从中选取两个作为补充条件，使平行四边形为正方形（如图）．现在文文选择了③④，你认为文文选择的______（填“对”或“不对”） 【答案】对 【分析】本题考查了添一个条件使四边形是正方形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据题意，证明四边形是正方形，再作判断． 【详解】解：∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， 又， ∴矩形是正方形， 现在文文选择了③④，你认为文文选择的对， 故答案为：对． 【变式3】．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 【答案】①②或①③（填写一组即可） 【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键． 根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 【详解】解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； 当选择①；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； 当选择②；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或①③均可以， 故答案为：①②或①③（填写一组即可）． 题型七：证明正方形问题 【典例7】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在中，，点为其内一点，且，分别平分．若于点，于点，则四边形是正方形吗请说明理由． 【答案】四边形为正方形,理由见解析 【分析】此题考查了正方形的判定，以及角平分线定理；过作垂直于点，由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形为矩形，由为角平分线，利用角平分线定理得到，同理得到，等量代换得到，利用邻边相等的矩形为正方形即可得证． 【详解】解：：四边形是正方形，理由如下： 过作，交于点，    ， 四边形为矩形， 平分，，， ； 平分，，， ， ， 四边形为正方形． 【变式1】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】先证明四边形是菱形，再证明，即可得出结论 【详解】证明：四边形是菱形， ，，， ， ， 四边形是菱形； ， ，即， 菱形是正方形． 【变式2】．（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）如图，在中，，且，点D、E分别是边的中点，连接，过点B作，过点E作交于点F，求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】由已知条件推出四边形为平行四边形，是的中位线，由三角形中位线的性质可得出，，从而得出，由线段的中点可得出，再结合已知条件可得出，则可证明四边形为正方形． 【详解】证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵点D、E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴, ∵,, ∴， ∴四边形为正方形． 【变式3】．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，，．求证：四边形ABCD是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形与正方形的判定、全等三角形的判定与性质，掌握矩形中一组邻边相等即可判定为正方形是解题的关键． 通过已知角的关系推导出，再结合和公共边，证明，从而得到，进而判定矩形为正方形． 【详解】证明：∵，，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 题型八：四边形的线段最值问题 【典例8】．（2026八年级下·全国·专题练习） 如图，在边长为2的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：连接，交于，连接交于， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则， ， 当点与重合时，取得最小值． 四边形是边长为2的菱形，， ，是等边三角形， ∵E为的中点， ∴，， 在中，， 的最小值为． 故答案为：． 【变式1】．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，点E为延长线上的一点，取的中点M，连接和．若，则的最大值为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．在的右侧构造等腰直角三角形，连接，证明，求出，再根据可得结论． 【详解】解：如图，在的右侧构造等腰直角三角形，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的最大值为； 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，在长方形纸片中，，E是的中点，F是上一动点．将沿直线折叠，点A落在点处．在上任取一点G，连接，′，′，则周长的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题结合长方形性质、折叠性质及勾股定理求解周长的最小值．关键在于利用折叠的对称性（）将周长转化为，再通过分析的最小值（由三角形三边关系确定），结合勾股定理计算相关线段长度，进而得到周长最小值． 【详解】解：． 由折叠性质知，是的垂直平分线， 故， ， 四边形是长方形， ，，， 根据勾股定理，， 当在与的交点时，取得最小值， 即的最小值为， 点是中点， ， 由折叠性质，， 在中，，， ， 根据三角形三边关系，， 的最小值为， 周长的最小值为． 【点睛】本题核心是利用折叠的对称性将转化为，把周长问题转化为线段和的最小值问题；再结合长方形性质（对边相等、直角）、勾股定理（计算对角线与线段长度）及三角形三边关系（确定的最小值），最终求得周长最小值． 【变式3】．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在四边形中，，，，点、分别为边上的点、且，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，两点之间线段最短，通过平移转化线段是解题关键． 先通过条件得出是等边三角形且垂直平分，再将向左平移个单位转化为，把转化为，最后根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理算出的最小值． 【详解】解：如图，连接，将向左平移两个单位得到，则，， ，， 是等边三角形， ， ，， 垂直平分， ， ， 当、、共线时，最小，最小值为， ，， ， ，， ． 故答案为：． 题型九：动点问题 【典例9】．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【答案】(1)， (2)a的值为2或 【分析】（1）先根据点P运动的速度与时间，用t表示出，再根据，用t表示出； （2）分、两种情况讨论，分别求出a的值． 【详解】（1）解：点P在线段上以的速度由B点向点C运动，运动的时间为t秒， ， ， ， 故答案为：2t，； （2）当时， 此时，， 则有，， 此时，． 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 综上所述，a的值为2或． 【变式1】．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的性质．由正方形的性质得，，而，则，再分两种情况讨论，一是当，时，，此时，求得；二是当，时，，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∵E为边上一点，且， ∴， 由题意得，则， 当，时，， ∴， ∴； 当，时，， ∴， ∴， 综上，的值为2或4． 故选：C． 【变式2】．（24-25八年级上·新疆昌吉·期末）如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、动点问题．当和全等时，一定为直角三角形，点在上时，不能构成三角形；点在上时构成的不是直角三角形，此时两个三角形不能全等；当点在上时，此时点运动的路程为，根据运动的速度可以求出运动的时间；当点在上时，此时点运动的路程为，根据运动的速度求出运动的时间即可． 【详解】解：中， 当和全等时，一定为直角三角形， 当点在上时，不能构成三角形； 当点在上时，如下图所示， 构成的不是直角三角形，此时和不全等； 当点在上时，如下图所示， ， 则有， 此时点运动的路程为， 运动的时间为； 当点在上时，如下图所示， ， ， 此时点运动的路程为， 运动的时间为， 综上所述，当和全等时，的值是或． 故选：D ． 【变式3】．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于． (1)如图，过点作于，求证：； (2)如图，点E为的中点，连接，求证：； (3)如图，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】根据正方形的性质可得：，，根据同角的余角相等可得，利用可证； 利用可证，根据全等三角形的性质可证，过点作，交的延长线于点，可证，根据全等三角形的性质可证：，利用勾股定理可证结论成立； 作的中点，的中点，连接，因为点在边上运动，点在上运动，点是的中点，可知点的运动轨迹是连接、中点的线段，利用勾股定理求出的长度即为点运动的路径长． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ，在和中，， ； （2）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点为的中点， ， ， 如下图所示，过点作，交的延长线于点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：如下图所示，作的中点，的中点，连接， 当点与点重合时，点与点重合，则线段与重合， 点在的中点的位置， 当点与点重合时，点与点重合，则线段与重合， 点在的中点的位置， 随着点、的运动，点在线段上运动， ， ， 在中， 题型十：正方形的性质和判定综合问题 【典例10】．（25-26八年级下·上海闵行·月考）问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用证明，进而可得； ②根据正方形的性质得内角为，根据证明，得，进而得，从而证明； （2）①先根据勾股定理求的长，记与相交于点，由翻折得、，根据等面积法得，进而根据计算； ②根据正方形和翻折性质得，根据，翻折后和的性质证明，根据等腰三角形三线合一得，由得，由得，由翻折得，等量代换后，根据证明． 【详解】（1）选择①，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ； 选择②，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）①解：四边形是正方形，， ， 在中，， 由翻折得，垂直平分， 记与相交于点，则，且， 在中， ，即， 解得，， ； ②证明：由翻折得，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 由翻折得，垂直平分， 是等腰三角形，是的角平分线， ， 在中，，， 在中，，， ， ， ，， 在和中， ， ． 【变式1】．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形即可解决问题； （2）由正方形的面积公式求得，进而得到，由四边形是菱形得到，，菱形的面积，由勾股定理求得，根据菱形的面积公式即可求得答案． 【详解】（1）证明：菱形的对角线和交于点， ，，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是正方形； （2）解：正方形的面积为， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积， 在中，， 设点到线段的距离为， ， 即， ． 即点到线段的距离为． 【变式2】．（25-26八年级下·山东·课后作业）如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 【答案】(1)矩形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】（1）过E作于M点，过E作于N点，由正方形得，，计算，故四边形为矩形，再证明，得，故矩形为正方形； （2）由（1）知，得，故． 【详解】（1）解：矩形是正方形，理由如下： 过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知，得， ∴． 【变式3】．（25-26八年级下·广西桂林·月考）如图，在边长为的正方形中， (1)如图1，，垂足为点，求证：； (2)如图2，垂直平分，且，求的长； (3)如图3，，点、和分别为、和的中点，，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵垂直平分，且， ∴，，， 设， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 设，则， ∴， ∴ 解得：，即． （3）解：如图，过点作于点，连接，并延长交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方形和等边三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ． 2．（25-26八年级下·北京·月考）如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A．313 B．225 C．169 D．144 【答案】B 【分析】利用勾股定理，结合正方形面积公式求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 3．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，于，利用正方形对角线的性质证，结合证，得，再利用等腰直角三角形性质与角度和差关系，推导的度数． 【详解】解：过点作于，于． 则， 四边形是正方形，是对角线， ，， ∴四边形是矩形， ∵，，， ， ∴四边形是正方形， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，． ，， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． ． 4．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质可得，，结合三角形的面积公式计算出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】用等面积法计算三角形的高是解题关键． 5．（2026·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点B坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：，则． 6．（2026九年级下·广东深圳·专题练习）2020年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，E，F分别是上的点，相交于点M．N是的中点．若，．则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先求出正方形的边长，再根据勾股定理求出，然后说明，即可得出，最后根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． 在中，由勾股定理，得． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵N是的中点，即为的斜边上的中线， ∴． 7．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边分别交于点M、N．若正方形的边长为8，则阴影部分的面积为（    ） A．64 B．32 C．16 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理，解题的关键是连接构造全等三角形． 连接，由得到点E是的中点，然后结合正方形的性质得到、、，进而结合得到，从而得证，再由全等三角形的性质得到重叠部分四边形的面积与的面积，最后由正方形的边长求得结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴点E是的中点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为8，即， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分四边形的面积为16． 故选：C． 二、填空题 8．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在正方形中，点E，点F分别是对角线，上的点，连接，，，若，且，则的度数为___________． 【答案】/30度 【分析】根据正方形的性质和，证明得到，从而得到，根据即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 四边形是正方形，对角线为、相交于点， ， ， ，，， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 9．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，已知四边形和四边形均为正方形，且G是的中点，连接，若，则的长为 _________． 【答案】 【分析】过点作交于点，交于点，则，再证明，得出，再利用勾股定理求线段长即可解答． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 则， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）如图，已知中，，分别以直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】过作交的延长线于，可证得，在中，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】如图所示，过作交的延长线于， ∵正方形和正方形， ∴，，， ， 又∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ， ∴． 11．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，正方形的边长为3，点E在上，且，P是对角线上的一个动点，则的最小值为 _________． 【答案】 【分析】根据正方形性质可知点B与点D关于对称，可得，由三角形三边关系可得，求出长是最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴点B与点D关于对称， ∴， ∵， ∴， 即长是最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 12．（25-26九年级下·天津·开学考试）如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点分别是的中点，连接，则的长度为___________． 【答案】/ 【详解】解：连接并延长交于，连接， 四边形是正方形， ，，， ，分别是边，的中点， ， ， ， ∵点H是的中点， ∴， ， ， ， ， ∴在中，， 点，分别是，的中点， ． 三、解答题 13．（25-26八年级下·山东·课后作业）已知，正方形的边在正方形的边上，延长到，使，在边上，且，求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质易证，根据全等三角形的性质推出，，求出，根据正方形的判定得出即可． 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴． ∵，， ∴，，， 即，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 14．（25-26八年级下·上海宝山·月考）如图，在中，，点是的中点，过点作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当时，求证：四边形是正方形． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，点是的中点， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：由（1）知四边形是矩形， 在中，， ， ， 矩形是正方形． 15．（25-26八年级下·广西桂林·月考）四边形为矩形，，若点F是上的点，E是延长线上的一点，，于点G， (1)求证： (2)求的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）知， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴的度数为． 16．（2026八年级下·全国·专题练习）【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）请直接判断：______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题： （2）如图②，在正方形中，点E、F、G分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： 如图，过点作，交于点，交于点， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 17．（25-26八年级下·全国·期中）正方形是所有四边形中性质最为丰富的，尤其是对角线，相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．如果我们把两个正方形按照一定的方式放在一起，会发现一些很有趣的结论．已知正方形，是对角线上一点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连． (1)如图①所示，求证：矩形是正方形． (2)将（1）中正方形顶点沿着平移，顶点落在延长线上时，如图②所示．试探究，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 【分析】（1）过点分别作于点，于点，证明，得到，即可得证； （2）证明△DAE≌△DCG，即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：如图，过点分别作于点，于点， 则． ∵四边形是正方形， ，平分， ， ∴四边形为正方形， ． ∵四边形为矩形， ， ． 又，， ， ， ∴矩形是正方形． （2）．理由如下： 由（1）可知，矩形是正方形， ，． ∵四边形是正方形， ，， ，， ， ． ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $