21.3.2 菱形（第2课时）教案 2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3.2　菱形（第2课时）

1．类比平行四边形、矩形判定定理的研究过程，探究并证明菱形的判定定理，即从菱形性质定理的逆命题出发，提出猜想，发现结论，给出证明，积累研究图形的经验．

2．理解并掌握菱形的三种判定方法，能运用菱形的判定定理进行计算和证明，解决相关的图形问题，发展几何直观与推理能力．

菱形判定定理的证明及应用．

菱形判定定理的应用．

       新课导入       

【知识回顾】1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

2．菱形的特殊性质：（1）四条边都相等；

（2）两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．

3．菱形的图形特征：菱形是轴对称图形，每组对角线所在的直线是它的对称轴．

【引导语】经过对平行四边形、矩形的研究，我们积累了一定的图形研究经验，对“从定义到性质，再到判定”的探索路径也更加清晰．对于菱形，我们首先可以依据定义得到判定定理1，即“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，在此基础上，还可以进一步从菱形性质定理的逆命题出发，提出猜想并加以证明，从而得到其他更便于应用的判定定理，以丰富对菱形的认识．

【新知】菱形的判定定理1：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

【问题】请你写出菱形性质定理的逆命题，想一想，它们是否正确？如何证明？

【师生活动】师生共同写出菱形性质定理的逆命题：①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，并猜想这两个逆命题都是正确的．

【设计意图】通过复习旧知，建立新旧知识的联系，同时，类比平行四边形、矩形的研究方法，明确探究菱形判定定理的路径．

       新知探究       

【问题1】如何证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形？

【师生活动】学生在学习任务单上画图，写出已知和求证，思考证明思路．教师引导学生逐步分析：①已知四边形ABCD是平行四边形，要证明它是菱形，只需要证明一组邻边相等（如AB＝AD）即可；②根据平行四边形的性质，对角线互相平分，即BO＝DO，又因为AC⊥BD，所以AC垂直平分BD；③根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”可得AB＝AD．学生在学习任务单上完成证明．

已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD．

求证：▱ABCD是菱形．

证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ BO＝DO．

又 AC⊥BD，

∴ AC垂直平分BD，

∴ AB＝AD．

∴ ▱ABCD是菱形．

【新知】菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

【追问1】要利用判定定理2证明一个四边形是菱形，你们觉得有几个要点？

【师生活动】学生共同口答，明确要利用判定定理2证明一个四边形是菱形，有2个要点：①四边形是平行四边形；②四边形的对角线互相垂直．

【追问2】对角线互相垂直的四边形是菱形吗？

【师生活动】学生组内讨论，尝试举出反例，发现对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（如下图）．教师进一步强调使用判定定理2需要同时满足两个条件．

【问题2】如何证明四条边相等的四边形是菱形？

【师生活动】学生在学习任务单上画图，写出已知和求证，思考证明思路．教师适时引

导学生先证明这个四边形是平行四边形，再结合菱形的定义，即可证明它是菱形．小组代表口述证明思路，教师板书证明过程．

已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD．

求证：四边形ABCD是菱形．

证明：∵ AB＝CD，AD＝BC，

∴ 四边形ABCD是平行四边形．

又 AB＝AD，

∴ ▱ABCD是菱形．

【新知】菱形的判定定理3：四条边相等的四边形是菱形．

【追问】“四条边相等”这个条件是否可以简化呢？有三条边相等的四边形是菱形吗？

【师生活动】学生组内讨论，动手画图，尝试举反例，发现有三条边相等的四边形不一定是菱形（如图）．

【设计意图】通过自主推导菱形的判定定理，培养学生的逻辑推理能力，同时强调定理应用的前提条件，深化学生对定理的理解．

【问题3】我们已经学习了矩形和菱形，它们都是特殊的平行四边形．请同学们回顾矩形和菱形的概念、性质、判定，用自己喜欢的方式进行梳理，并说一说它们的异同．

【师生活动】学生组内讨论，以小组为单位进行梳理，教师巡视指导，请小组代表展示交流（下图为示例）．