21.3.2 菱形（第2课时）教案 2025-2026学年人教版八年级数学下册

该教案聚焦菱形的三种判定定理，通过复习菱形定义与性质，类比平行四边形、矩形的研究路径，引导学生从性质逆命题提出猜想，搭建新旧知识联系的学习支架。 以“猜想-证明-应用”为主线，新知探究让学生自主推导判定定理培养推理能力，例题精讲多角度证明发展几何直观，折叠三角形纸片折菱形渗透创新意识，思维导图助学生用数学语言构建体系，提升学生推理与直观能力，为教师提供清晰教学路径和多样化活动设计。

21.3.2　菱形（第2课时） 教学目标 1．类比平行四边形、矩形判定定理的研究过程，探究并证明菱形的判定定理，即从菱形性质定理的逆命题出发，提出猜想，发现结论，给出证明，积累研究图形的经验． 2．理解并掌握菱形的三种判定方法，能运用菱形的判定定理进行计算和证明，解决相关的图形问题，发展几何直观与推理能力． 教学重点 菱形判定定理的证明及应用． 教学难点 菱形判定定理的应用． 教学过程 新课导入 【知识回顾】1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2．菱形的特殊性质：（1）四条边都相等； （2）两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 3．菱形的图形特征：菱形是轴对称图形，每组对角线所在的直线是它的对称轴． 【引导语】经过对平行四边形、矩形的研究，我们积累了一定的图形研究经验，对“从定义到性质，再到判定”的探索路径也更加清晰．对于菱形，我们首先可以依据定义得到判定定理1，即“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，在此基础上，还可以进一步从菱形性质定理的逆命题出发，提出猜想并加以证明，从而得到其他更便于应用的判定定理，以丰富对菱形的认识． 【新知】菱形的判定定理1：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【问题】请你写出菱形性质定理的逆命题，想一想，它们是否正确？如何证明？ 【师生活动】师生共同写出菱形性质定理的逆命题：①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，并猜想这两个逆命题都是正确的． 【设计意图】通过复习旧知，建立新旧知识的联系，同时，类比平行四边形、矩形的研究方法，明确探究菱形判定定理的路径． 新知探究 【问题1】如何证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形？ 【师生活动】学生在学习任务单上画图，写出已知和求证，思考证明思路．教师引导学生逐步分析：①已知四边形ABCD是平行四边形，要证明它是菱形，只需要证明一组邻边相等（如AB＝AD）即可；②根据平行四边形的性质，对角线互相平分，即BO＝DO，又因为AC⊥BD，所以AC垂直平分BD；③根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”可得AB＝AD．学生在学习任务单上完成证明． 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD． 求证：▱ABCD是菱形． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ BO＝DO． 又 AC⊥BD， ∴ AC垂直平分BD， ∴ AB＝AD． ∴ ▱ABCD是菱形． 【新知】菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【追问1】要利用判定定理2证明一个四边形是菱形，你们觉得有几个要点？ 【师生活动】学生共同口答，明确要利用判定定理2证明一个四边形是菱形，有2个要点：①四边形是平行四边形；②四边形的对角线互相垂直． 【追问2】对角线互相垂直的四边形是菱形吗？ 【师生活动】学生组内讨论，尝试举出反例，发现对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（如下图）．教师进一步强调使用判定定理2需要同时满足两个条件． 【问题2】如何证明四条边相等的四边形是菱形？ 【师生活动】学生在学习任务单上画图，写出已知和求证，思考证明思路．教师适时引导学生先证明这个四边形是平行四边形，再结合菱形的定义，即可证明它是菱形．小组代表口述证明思路，教师板书证明过程． 已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD． 求证：四边形ABCD是菱形． 证明：∵ AB＝CD，AD＝BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形． 又 AB＝AD， ∴ ▱ABCD是菱形． 【新知】菱形的判定定理3：四条边相等的四边形是菱形． 【追问】“四条边相等”这个条件是否可以简化呢？有三条边相等的四边形是菱形吗？ 【师生活动】学生组内讨论，动手画图，尝试举反例，发现有三条边相等的四边形不一定是菱形（如图）． 【设计意图】通过自主推导菱形的判定定理，培养学生的逻辑推理能力，同时强调定理应用的前提条件，深化学生对定理的理解． 【问题3】我们已经学习了矩形和菱形，它们都是特殊的平行四边形．请同学们回顾矩形和菱形的概念、性质、判定，用自己喜欢的方式进行梳理，并说一说它们的异同． 【师生活动】学生组内讨论，以小组为单位进行梳理，教师巡视指导，请小组代表展示交流（下图为示例）． 【设计意图】通过对比梳理，帮助学生构建矩形和菱形的知识体系，厘清概念、性质间的区别与联系，强化判定定理的条件意识，为后续学习正方形作好铺垫． 例题精讲 【例】如图，在▱ABCD 中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形． 【师生活动】学生独立审题，明确已知条件．教师适时引导学生：已知AC⊥EF，要证明四边形AFCE是菱形，当然会想到使用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”这一判定定理，只需证明四边形AFCE是平行四边形．由题意可知AO＝CO，所以还需证明EO＝FO．证明两条线段相等，可以通过证明两三角形全等解决问题．学生在学习任务单上尝试证明，教师板书示范． 【答案】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AE∥CF，AO＝CO． ∴ ∠1＝∠2． 在△AOE和△COF中， ∴ △AOE≌△COF（ASA）． ∴ EO＝FO． ∴ 四边形AFCE是平行四边形． 又 AC⊥EF， ∴ 四边形 AFCE 是菱形． 【追问】你能利用“四条边相等的四边形是菱形”这个判定定理证明这个例题吗？ 【师生活动】教师引导学生根据线段的垂直平分线的性质可以得到AE＝CE，AF＝CF，只需证明AE＝CF，即可证明四边形AFCE是菱形．而证明两条线段相等，同样可以通过证明两三角形全等解决问题． 【答案】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AE∥CF，AO＝CO． ∴ ∠1＝∠2． 在△AOE和△COF中， ∴ △AOE≌△COF（ASA）． ∴ AE＝CF． 又 EF垂直平分AC， ∴ AE＝CE，AF＝CF． ∴ AE＝CE＝AF＝CF． ∴ 四边形 AFCE 是菱形． 【归纳】1．全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质是证明线段相等的常用方法． 2．在判定菱形时，首先看已知条件是平行四边形还是四边形．若给出了平行四边形，优先考虑“定义法”或者“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”． 【设计意图】通过例题，巩固学生对菱形判定定理的理解，同时引导学生多角度思考问题，培养思维的灵活性． 课堂练习 1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O且互相垂直平分．求证：四边形ABCD是菱形． 【师生活动】学生独立思考，尝试在学习任务单上完成证明．教师巡视指导，提示学生由对角线互相垂直平分可以先证平行四边形，再结合垂直证明菱形． 【答案】证明：∵ 对角线AC，BD互相垂直平分， ∴ AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO． ∴ 四边形ABCD是平行四边形． 又 AC⊥BD， ∴ ▱ABCD是菱形． 2．如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？ 【师生活动】学生先自主观察图形，尝试判断．教师引导学生从以下方面进行分析：①由纸条对边平行可证明四边形ABCD是平行四边形；②由纸条等宽（即一组邻边上的高相等），且同一个平行四边形的面积相等，可得到它的一组邻边也相等；③根据一组邻边相等的平行四边形是菱形完成证明．学生在学习任务单上完成解答，教师讲评． 【答案】解：四边形ABCD是菱形． 如图，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． 由题意，AE＝AF． ∵ AD∥BC，AB∥CD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形． 又 S▱ABCD＝BC·AE＝CD·AF， ∴ BC＝CD． ∴ ▱ABCD是菱形． 3．一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形，使∠A是菱形的一个内角，和点A相对的顶点在边BC上，并说明所折图形是菱形的理由． 【师生活动】教师引导学生分析：因为菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的对称轴使，所以可以想办法折出对角线，解决问题．具体如下：∠A是菱形的一个内角，且与点A相对的顶点在边BC上，可以折出∠A的平分线，交BC于点D，再折出AD的垂直平分线，分别交AB，AC于点 E，F，连接DE，DF，则四边形AEDF是菱形．学生动手操作，用三角形纸片尝试折叠，教师巡视指导． 【答案】解：如图，将△ABC折叠，使AB，AC重合，得折痕AD．展开后再次折叠使点A，D重合，得折痕EF，连接DE，DF，则四边形AEDF是菱形． 理由：设AD，EF相交于点O． ∵ 折叠后AB，AC重合， ∴ ∠EAO＝∠FAO． 又 折叠后点A，D重合， ∴ EF垂直平分AD． ∴ ∠AOE＝∠AOF＝90°，AE＝DE，AF＝DF． 在△AEO和△AFO中， ∴ △AEO≌△AFO(ASA)． ∴ AE＝AF． ∴ AE＝DE＝AF＝DF． ∴ 四边形AEDF是菱形． 【设计意图】通过课堂练习，帮助学生巩固菱形的三种判定方法，引导学生在不同问题中灵活选择合适的判定方法，提升学生的几何直观、推理能力和解决问题的能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1.菱形的三种判定方法分别是什么？它们的前提条件有什么不同？ 2.判定菱形时，如何根据已知条件选择合适的判定方法？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第79页习题21.3第5，10题． 学科网（北京）股份有限公司 $