21.3.2 第2课时 菱形的判定-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(人教版·新教材)河北专版

该教案聚焦菱形的判定定理，通过复习矩形的定义、性质及判定，类比菱形的定义和性质，引导学生猜想菱形判定方法，搭建前后知识联系的学习支架。 以实践探究为特色，通过木条转动实验、等腰三角形拼图等活动，培养学生几何直观与推理意识，例题分层设计兼顾基础与综合应用，助力学生掌握判定方法，提升教师教学效率。

21.3.2 菱形 第2课时 菱形的判定 课题 菱形的判定 课型 新授课 教学内容 教材第74-75页的内容 教学目标 1.掌握菱形的判定定理及其证明方法． 2.能利用菱形的判定定理解决一些简单的问题． 3.在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及推理能力． 教学重难点 教学重点：菱形的判定定理及其应用． 教学难点：探究菱形的判定条件． 教 学 过 程 备 注 1.复习回顾，导入新课 【问题1】（1）矩形的定义、性质和判定定理分别是什么？ 矩形的定义、性质 矩形的判定 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等 对角线相等的平行四边形是矩形 四个角都是直角 有三个角是直角的四边形是矩形 （2）回顾菱形的定义及性质，填表： 菱形的定义、性质 菱形的判定 一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形 两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 ？ 四条边都相等 ？ 教师追问：你能通过类比发现菱形的判定定理吗？ 师生活动：教师出示问题，学生填写表格，通过类比引起对菱形判定定理的思考． 2.实践探究，获取新知 【问题2】如图，用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？ 师生活动：学生猜想， 当两个木棒之间的夹角等于90度时，得到的图形是菱形.请学生代表利用学具展示说明. 教师追问：你能证明这个猜想吗? 师生活动:学生思考后小组内交流证明思路，教师引导学生规范的文字题证明，然后学生写出证明过程并简明的点评. 已知：在□ABCD中，对角线AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD，∴BA=BC.∴□ABCD是菱形. 归纳菱形的判定定理：对角线互相垂直度平行四边形是菱形. 【问题3】拿出课前准备的两个全等的等腰三角形纸板（不等边），动手拼一拼，看看可以拼出几种平行四边形. （1）当两底边重合时拼出的四边形是什么图形？它的四条边有什么样的数量关系？ （2）你能得到什么结论？ 师生活动：学生代表展示作品，并利用作品说明结论，最后得出：四条边相等的四边形是菱形.教师指导学生规范完成几何论证过程. 已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明:∵AD=BC，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形. 归纳菱形的判定定理：四条边都相等的四边形是菱形. 数学语言：∵ AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形. 3.学以致用，应用新知 考点1 菱形的判定 【例1】如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AECF， ∴∠EAO＝∠FCO. ∵EF垂直平分AC， ∴AO＝CO，∠AOE＝∠COF＝90°， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF. 又AO＝CO， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AFCE是菱形. 【例2】如图，在△ABC中，AB=BC，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点.求证：四边形BDEF是菱形. 证明：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点， ∴DE=AB，EF=BC，BF=AB，BD=BC. 又AB=BC，∴DE=EF=BF=BD.∴四边形BDEF是菱形. 考点2 菱形判定与性质的综合 【例3】如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF. (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若BF＝BA，AD＝4，DF＝2，求BF的长． 解：(1)证明：∵BA＝BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD＝CD. 又∵DE＝DF，∴四边形AECF是菱形． (2)∵DE＝DF＝2，∴EF＝2DF＝4. 设BE＝x，则BD＝BE＋DE＝x+2，BA＝BF＝BE＋EF＝x+4. 在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2＋BD2＝BA2， 即42＋(x＋2)2＝(x＋4)2，解得x＝1. ∴BF＝x＋4＝5，即BF的长为5. 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，BO=DO.添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是 ( ) A.AB=AD　　　B.AC=BD C.AC⊥BD D.∠ABO=∠CBO 答案：B （2）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，则四边形周长为 ，面积为 ． 答案：20，24 （3）如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形． 证明：∵AB∥DM， ∴∠BAM＝∠AMD. 由折叠性质，得∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM. ∴∠DAM＝∠AMD. ∴AD＝DM＝AB＝BM. ∴四边形ABMD是菱形． （4）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，已知AB＝AC＝4，∠ABC＝60°. ①求证：▱ABCD是菱形； ②求BD的长． 解：①证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC.∴▱ABCD是菱形． ②∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD. ∵AB＝AC＝4，∴AO＝2.∴BO＝2，BD＝2OB＝4. （5）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，BO＝3.求证：▱ABCD是菱形． 分析：在△AOB中，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，再结合四边形ABCD是平行四边形即可得证． 证明：∵AB＝5，AO＝4，BO＝3，∴AB2＝AO2＋BO2. ∴△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°. ∴▱ABCD是菱形． 5.课堂小结，自我完善 （1）本节课你学习了几种判定菱形的方法？ （2）你是怎样得到这些判别方法的？ （3）对本节课的学习你有什么感受和想法？ 6.布置作业 教材P75练习第1-3题； 教材P78习题21.3第5,10题. 回顾矩形的定义、性质及判定，菱形的定义、性质，通过类比，建立知识之间的联系，激发学生的求知欲，为突破本节课重难点做准备. 引导学生认识菱形的判定定理与菱形的性质定理是互逆定理后，让学生独立思考，逐步锻炼学生的推理论证能力． 这一探究活动贴近生活、轻松自然.学生利用平行四边形的判定和菱形的定义，演示说明自己的作品就是菱形，进一步培养了推理论证能力，体验了数学与生活的密切联系，产生了极大的成就感. 设置例题帮助学生掌握菱形的两个判定定理，并综合运用菱形的判定和性质来解决问题． 通过随堂训练，巩固课堂所学内容，检测学习效果，进一步培养根据已知条件和对图形的观察进行合情推理，选择合适的判定方法进行推理论证的能力. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，体会知识之间的联系. 课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 菱形的判定 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3.四条边相等的四边形是菱形 例题 练习 教学反思 学生获得知识，建立在自己体验和思考的基础上；学生应用知识并逐步形成技能，离不开自己的实践；学生通过自主、合作、探究的学习方式，亲身经历观察、实验、猜想、推理、论证、展示、交流等活动，才能在数学思考、问题解决、数学素养等方面得到发展. 学科网（北京）股份有限公司 $