精品解析：甘肃平凉市静宁县文萃中学2025-2026学年第二下学期5月阶段检测数学试题

甘肃平凉市静宁县文萃中学2025-2026学年第二下学期5月阶段检测 数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：湘教版选择性必修第二册第1章、第2章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点与点关于（ ） A. 轴对称 B. 轴对称 C. 平面对称 D. 平面对称 2. 已知，则函数在处的瞬时变化率为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 3. 若，则（　　） A. 7 B. 11 C. 22 D. 29 4. 已知函数的极值为，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递减区间为，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则的极小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 若将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，方盒的容积最大 B. 方盒的容积没有最小值 C. 方盒容积的最大值为 D. 方盒容积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两点与，则________________． 13. 已知向量，且，则________________． 14. 已知函数，若成立，则实数t的取值范围为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数， （1）求a的值; （2）求函数的极小值. 16. 已知向量． （1）若，求实数k； （2）若向量与所成角为锐角，求实数k的取值范围． 17. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 18. 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为在上，在上，且． （1）求向量的坐标； （2）求与所成角的余弦值． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃平凉市静宁县文萃中学2025-2026学年第二下学期5月阶段检测 数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：湘教版选择性必修第二册第1章、第2章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点与点关于（ ） A. 轴对称 B. 轴对称 C. 平面对称 D. 平面对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间两点关于坐标平面对称的特点，若两点关于平面对称，则它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数。观察已知两点坐标可得，它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数，故两点关于平面对称。 【详解】点与点关于平面对称， 故选：D． 2. 已知，则函数在处的瞬时变化率为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】依题意， 所以函数在处的瞬时变化率为． 3. 若，则（　　） A. 7 B. 11 C. 22 D. 29 【答案】A 【解析】 【分析】计算的坐标，再利用数量积的坐标运算求出. 【详解】由，得， 所以. 故选：A． 4. 已知函数的极值为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，确定函数的极值点，利用极值点的函数值为，求参数的值. 【详解】由题目条件可得：函数的定义域为，． 当时，在上恒成立，所以在上单调递增，无极值；， 当，令，得；令，得． 所以函数在区间上单调递增，在上单调递减． 则是函数的极大值点，故，解得． 故选：A 5. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量公式进行求解 【详解】， 故在上的投影向量为． 故选：D． 6. 函数的单调递减区间为，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的单调递减区间为，而的定义域为，的一个极值点为1，利用即可得解，然后再代入验证是否满足题意即可. 【详解】， 因为的单调递减区间为，而的定义域为， 所以的一个极值点为1， 所以，解得． 所以，， 令，，解得， 所以的单调递减区间为，符合题意， 综上， 故选：B． 7. 如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】依题意 ， 又，所以，. 故选：C 8. 已知函数，则的极小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的定义域为， 令，解得，列表如下， 2 0 单调递减 极小值 单调递增 所以的极小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的模的坐标公式即可判断A；根据空间向量共线定理即可判断B；根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标公式即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，，设，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，利用导数研究函数的单调性，构造函数即可判断AB，构造函数即可判断CD. 【详解】令，则在上恒成立，所以在上单调递增， 所以，即，故A正确，B错误； 令，所以在上恒成立， 所以在上单调递减，所以当时，， 即，故C错误，D正确. 故选：AD 11. 若将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，方盒的容积最大 B. 方盒的容积没有最小值 C. 方盒容积的最大值为 D. 方盒容积的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】将方盒容积表示为关于的函数的形式，利用导数可求得单调性、最值点和最值，由此可得结果. 【详解】由题意知：方盒的底面为边长为的正方形，高为，其中， 则方盒的容积为， ， 则当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，无最小值，ABC正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两点与，则________________． 【答案】 【解析】 【详解】根据空间中点到点的距离公式，. 13. 已知向量，且，则________________． 【答案】 ## 【解析】 【详解】，解得 . 14. 已知函数，若成立，则实数t的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式可知函数是奇函数，利用导数可判断函数在上单调递增，利用函数单调性可知等价于，解出不等式即可求得实数t的取值范围. 【详解】由题得函数的定义域为， 因为，所以函数是奇函数． 又恒成立，所以函数在上单调递增； 不等式等价于， 所以，即，解得． 所以实数t的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数， （1）求a的值; （2）求函数的极小值. 【答案】（1） （2）极小值 【解析】 【分析】（1）求导函数，结合解方程即可； （2）令进而分析单调性，即可求出极值． 【小问1详解】 由题意可得，故， 【小问2详解】 由（1）得，所以，令，解得，因为 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值． 16. 已知向量． （1）若，求实数k； （2）若向量与所成角为锐角，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示求解； （2）将问题转化为两个向量的数量积为正且不共线求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，则， 解得； 【小问2详解】 因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线． 由（1）知，， 若向量与同向共线，则存在，使得，即， 可得，解得，若两个向量不同向共线，则， 故，解得且， 即的取值范围为． 17. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解； （2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 由题意可知，，，， 所以，解得，，， 所以函数的解析式为，经检验适合题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 令，则，解得，或， 当时，； 当时，； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 当时，取的极大值为， 当时，取得极小值为， 又，， 所以，． 18. 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为在上，在上，且． （1）求向量的坐标； （2）求与所成角的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【详解】（1）由题意可得，，，， 故，. （2）由（1）可知，， 所以，， ， 所以， 故与所成角的余弦值为. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）求得可得，分和两种情况，利用导数判断原函数单调性； （2）根据题意结合（1）中单调性分析可得，构建，利用导数判断其单调性，进而解不等式. 【小问1详解】 因为的定义域为，且， 若，则，可知在定义域内单调递减； 若，令，解得， 当，；当，； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：若，在定义域内单调递减； 若，在内单调递增，在内单调递减. 【小问2详解】 因为， 若，在定义域内单调递减， 且，不合题意； 若，在内单调递增，在内单调递减. 则， 令，则， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即， 可知在内单调递增，且， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $