21.3.2 菱形（第2课时）课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦菱形判定定理，通过知识回顾菱形定义与性质，引导学生从性质逆命题出发提出猜想，构建“定义-性质-判定”的研究路径，形成学习支架衔接前后知识。 其亮点是以问题驱动探究，通过证明对角线垂直的平行四边形、四边相等的四边形是菱形，培养推理意识（数学思维），结合图形分析与折纸操作发展几何直观（数学眼光）。多样化例题与练习帮助学生掌握判定方法，教师可借清晰结构提升教学效率。

菱形（第2课时） 数学人教版八年级下册 1 1. 菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ． 2. 菱形的特殊性质： （1）四条边都相等； （2）两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 3. 菱形的图形特征： 菱形是轴对称图形，每组对角线所在的直线是它的对称轴． 经过对平行四边形、矩形的研究，我们积累了一定的图形研究经验，对“从定义到性质，再到判定”的探索路径也更加清晰． 猜想 证明 定义 判定 性质 写出逆命题 判定定理1 菱形也可以沿用这样的研究方法 对于菱形，我们首先可以依据定义得到判定定理1，在此基础上，进一步从性质定理的逆命题出发，提出猜想并加以证明． 菱形的判定定理1： 一组邻边相等的平行四边形是菱形． 请你写出菱形性质定理的逆命题，它们是否正确？如何证明？ ① 四条边相等的四边形是菱形； ② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 问题1 如何证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形？ 问题1 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交于点 O，AC⊥BD．求证：□ ABCD 是菱形． 分析： BO＝DO AC⊥BD AC 垂直平分 BD AB ＝AD 线段垂直平分线的性质 □ ABCD 是菱形 只需要证明一组邻边相等即可 问题1 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ BO＝DO． 又 AC⊥BD， ∴ AC 垂直平分 BD， ∴ AB＝AD． ∴ □ ABCD 是菱形． 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义法） 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交于点 O，AC⊥BD．求证：□ ABCD 是菱形． 新知 菱形的判定定理2： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 要利用判定定理2证明一个四边形是菱形，有几个要点？ ① 四边形是平行四边形； ② 四边形的对角线互相垂直． 只满足一个条件可以吗？ 对角线互相垂直的四边形是菱形吗？ 问题1 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（如右图）． “对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定前提是平行四边形． A B C D 问题2 如何证明四条边相等的四边形是菱形？ A C B D 问题2 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD＝BC＝CD． 求证：四边形 ABCD 是菱形 ． 证明：∵ AB＝CD，AD＝BC， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． 又 AB＝AD， ∴ □ ABCD 是菱形． A C B D 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义法） 新知 菱形的判定定理3： 四条边相等的四边形是菱形． 有三条边相等的四边形是菱形吗？ 三条边相等 不是菱形 判定 问题3 平行四边形 有一个角是直角 矩形 性质 四个角都是直角 对角线相等 轴对称图形 三个角是直角的四边形 对角线相等的平行四边形 有一个角是直角的平行四边形 回顾矩形和菱形的概念、性质、判定，用自己喜欢的方式进行梳理，并说一说它们的异同． 问题3 判定 平行四边形 有一组邻边相等 菱形 性质 四条边都相等 对角线互相垂直 轴对称图形 四条边相等的四边形 对角线互相垂直的平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形 回顾矩形和菱形的概念、性质、判定，用自己喜欢的方式进行梳理，并说一说它们的异同． 例 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边 AD，BC 分别相交于点 E，F．求证：四边形 AFCE 是菱形． AC⊥EF AO＝CO，AE∥CF ① 证明 EO＝FO． ② 四边形 AFCE 是平行四边形． ③ 四边形 AFCE 是菱形． 15 例 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边 AD，BC 分别相交于点 E，F．求证：四边形 AFCE 是菱形． 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AE∥CF，AO＝CO． ∴ ∠1＝∠2． 在△AOE 和△COF 中， 16 ∴ △AOE≌△COF（ASA）． ∴ EO＝FO． ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形． 又 AC⊥EF， ∴ 四边形 AFCE 是菱形． 例 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边 AD，BC 分别相交于点 E，F．求证：四边形 AFCE 是菱形． 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 17 你能用“四边相等的四边形是菱形”证明吗？ ∴ △AOE≌△COF（ASA）． ∴ EO＝FO． ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形． 又 AC⊥EF， ∴ 四边形 AFCE 是菱形． 例 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边 AD，BC 分别相交于点 E，F．求证：四边形 AFCE 是菱形． 18 例 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边 AD，BC 分别相交于点 E，F．求证：四边形 AFCE 是菱形． 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AE∥CF，AO＝CO． ∴ ∠1＝∠2． 在△AOE 和△COF 中， 19 ∴ △AOE≌△COF（ASA）． ∴ AE＝CF． 又 EF 垂直平分AC， ∴ AE＝CE，AF＝CF． ∴ AE＝CE＝AF＝CF． ∴ 四边形 AFCE 是菱形． 例 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边 AD，BC 分别相交于点 E，F．求证：四边形 AFCE 是菱形． 线段垂直平分线的性质 四边相等的四边形是菱形 20 归纳 全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质是证明线段相等的常用方法． 21 四边形 有四条边相等 菱形 平行四边形 对角线互相垂直 有一组邻边相等 对角线互相平分且垂直 菱形 菱形 　　在判定菱形时，首先看已知条件是平行四边形还是四边形． 22 　　1．如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O 且互相垂直平分．求证：四边形 ABCD 是菱形． 证明： ∵ 对角线 AC，BD 互相垂直平分， ∴ AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO． ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． 又 AC⊥BD， ∴ □ ABCD 是菱形． F 　　2．如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形 ABCD 是一个菱形吗？为什么？ 解： 四边形 ABCD 是一个菱形． 如图，过点 A 分别作 AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD于点 F． E 由题意，AE＝AF． 两张纸条等宽 ∵ AD∥BC，AB∥CD， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． F 　　2．如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形 ABCD 是一个菱形吗？为什么？ 又 S▱ABCD＝BC·AE＝CD·AF． ∴ BC＝CD． ∴ □ ABCD 是菱形． E 　　3．一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形，使得∠A 是菱形的一个内角，和点 A 相对的顶点在边 BC 上，并说明所折图形是菱形的理由． 分析： A D F E B C 折出∠A 的平分线 折出 AD 的垂直平分线 连接 DE ，DF 菱形是轴对称图形，对角线所在直线是它的对称轴，可以想办法折出对角线 　　3．一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形，使得∠A 是菱形的一个内角，和点 A 相对的顶点在边 BC 上，并说明所折图形是菱形的理由． 解：如图，将△ABC 折叠，使 AB，AC 重合，得折痕 AD．展开后再次折叠使点 A，D 重合，得折痕 EF，连接 DE，DF，则四边形 AEDF 是菱形． A D F E B C 　　3．一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形，使得∠A 是菱形的一个内角，和点 A 相对的顶点在边 BC 上，并说明所折图形是菱形的理由． 理由：设 AD，EF 相交于点 O． A D F E B C O ∵ 折叠后 AB，AC 重合， ∴ ∠EAO＝∠FAO， 又 折叠后点 A，D 重合， ∴ EF 垂直平分 AD． 　　3．一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形，使得∠A 是菱形的一个内角，和点 A 相对的顶点在边 BC 上，并说明所折图形是菱形的理由． A D F E B C O 在△AEO 和△AFO 中， ∴ ∠AOE＝∠AOF＝90°， AE＝DE，AF＝DF． 　　3．一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形，使∠A 是菱形的一个内角，和点 A 相对的顶点在边 BC 上，并说明所折图形是菱形的理由． ∴ AE＝DE＝AF＝DF． ∴ 四边形 AEDF 是菱形． A D F E B C O ∴ △AEO≌△AFO(ASA)． ∴ AE＝AF． 菱形的判定 从四边形来判定 四条边相等的四边形是菱形 从平行四边形来判定 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 $