21.3.2 菱形（第1课时）课件2025-2026学年数学人教版八年级下册

该初中数学课件聚焦菱形的定义、性质及面积计算，通过回顾矩形（从“角”特殊化平行四边形）过渡到菱形（从“边”特殊化），结合动态演示观察边的变化，构建从一般到特殊的知识支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于引导学生动手画菱形、观察猜想性质，通过逻辑推理证明（如利用等腰三角形“三线合一”证对角线垂直），结合菱形花坛计算等实例，体现几何直观与推理意识。课堂练习分层设计，学生能深化理解，教师可依此提升教学效率，培养数学思维与应用能力。

菱形（第1课时） 数学人教版八年级下册 1 平行四边形 矩形 边 角 对角线 问题 我们学习了平行四边形，并从“角”的角度将平行四边形特殊化得到了矩形，研究了矩形的定义、性质和判定．请同学们回忆一下，矩形有哪些一般平行四边形不具有的特殊性质？ 对边平行且相等 对边平行且相等 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线相等且互相平分 问题 这节课，我们继续从“边”的角度将平行四边形特殊化．请你观看演示，注意观察边的变化，当平行四边形的边满足什么条件时，它会变成特殊的平行四边形？ 注意：① 菱形是平行四边形； ② 菱形有一组邻边相等． 问题1 结合图形的变化，你能给菱形下个定义吗？什么是菱形？如何表示菱形？ 菱形是特殊的平行四边形，平行四边形不一定是菱形． 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形． A C B D 如图所示的菱形记作菱形 ABCD． 问题1 菱形也是常见的几何图形．有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架（如图）等都有菱形的形象．你还能举出一些例子吗？ 根据前面研究图形的经验，明确了定义之后，接下来就要研究性质．和矩形一样，菱形是平行四边形，当然具有平行四边形的所有性质，但由于它的一组邻边相等，它还会具有一般平行四边形不具有的一些特殊的性质． 研究定义 研究性质 研究判定 边、角、对角线 问题2 请你根据定义画一个菱形并进行观察，除了平行四边形的性质，菱形还有哪些特殊性质？量一量，和你的猜想一致吗？ AB＝BC＝CD＝DA． AC⊥BD． ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8． 猜想1：菱形的四条边都相等． 猜想2：菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角． 2 B 1 A C D 3 4 5 6 7 8 O 问题2 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，AB＝BC． 求证：AB＝BC＝CD＝DA． A C B D 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB＝CD，AD＝BC． 又 AB＝BC， ∴ AB＝BC＝CD＝DA． 菱形的四条边都相等． 问题2 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形． 求证：AC⊥BD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8． 2 B 1 A C D 3 4 5 6 7 8 O △ABD 是等腰三角形 菱形的性质 分析： 等腰三角形“三线合一” AO 是高、角平分线 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AB＝AD，OB＝OD， ∴ AO 是等腰△ABD 的中线， ∴ AO⊥BD，AO 平分∠BAD， ∴ AC⊥BD，∠3＝∠4． 同理 ∠1＝∠2，∠5＝∠6，∠7＝∠8． 问题2 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形． 2 B 1 A C D 3 4 5 6 7 8 O 求证：AC⊥BD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8． 等腰三角形“三线合一” 新知 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形（平行四边形一般只被分成两对全等的三角形），这对于计算菱形的一些角的度数及面积都有帮助．给出菱形两条对角线的长度，你能计算它的面积吗？ 问题3 A C B D O 利用对角线的长度计算菱形的面积． 问题3 设菱形对角线 AC＝a，BD＝b． ∴ AO＝ BO＝ ∴ S菱形ABCD＝4S△AOB＝ ∴ S△AOB＝ 还可以怎样计算？ A C B D O ∵ 菱形是特殊的平行四边形， ∴ S菱形ABCD＝底×高＝CD·BE． 问题3 利用平行四边形的面积公式计算菱形的面积． 菱形的面积等于底乘高，也等于它的两条对角线长的积的一半． A C B D E 问题4 我们知道，矩形是轴对称图形，矩形每组对边中点连线所在的直线是它的对称轴．那么，菱形呢？请你任意画一个菱形，探究一下，有什么发现？ 问题4 我们知道，矩形是轴对称图形，矩形每组对边中点连线所在的直线是它的对称轴．那么，菱形呢？请你任意画一个菱形，探究一下，有什么发现？ 菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴． 例 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）． 分析： 菱形的性质 ∠ABC＝60° 两条对角线长的积的一半 AC⊥BD，∠ABO＝30° 勾股定理，求 AO，BO 17 例 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）． 解：设 AC，BD 相交于点 O． ∵ 花坛 ABCD 的形状是菱形， ∴ AC⊥BD，∠ABO＝ 在 Rt△ABO 中， AO＝ BO＝ 18 ∴ 花坛的两条小路长 AC＝2AO＝20（m）， BD＝2BO＝ ≈33.64（m）． 例 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）． ∴ 花坛的面积 S菱形ABCD＝4×S△OAB＝ ＝ ≈346.4（m2）． 19 归纳 1．当菱形有一个内角是60°时，较短的对角线将菱形分成两个等边三角形． 2．计算菱形对角线长度时，常将问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理求解． 20 5 4 　　1．四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点O，且 AB＝5，AO＝4．求 AC，BD 的长以及菱形 ABCD 的面积． A C B D O 解：如图，四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO． 在 Rt△ABO 中，AB＝5，AO＝4， 根据勾股定理，BO＝ ∴ AC＝2AO＝8，BD＝2BO＝6． ∴ S菱形ABCD＝ ＝24． 　　2．如图，在菱形 ABCD 中，BD＝4，∠A∶∠ABC＝1∶2．求△ABD 的周长． 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AD∥BC，AB＝AD． ∴ ∠A＋∠ABC＝180°． 又 ∠A∶∠ABC＝1∶2， ∴ ∠A＝60°． 又 AB＝AD， ∴ △ABD 是等边三角形． ∴ AB＝AD＝BD＝4． ∴ △ABD 的周长＝AB＋AD＋BD＝12． 　　3．如图，在菱形 ABCD 中，∠A＝60°，连接对角线 BD，E，F 分别是边 AB，BC 的中点，分别连接 DE，DF，EF．求证：△DEF是等边三角形． △ABD 和 △CBD 均为等边三角形 △ADE≌△CDF AE＝CF ∠EDF＝60° “三线合一” DE＝DF 全等三角形的性质 　　3．如图，在菱形 ABCD 中，∠A＝60°，连接对角线 BD，E，F 分别是边 AB，BC 的中点，分别连接 DE，DF，EF．求证：△DEF是等边三角形． 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∠A＝60°， ∴ AB＝AD＝CD＝BC，∠A＝∠C＝60°． ∴ △ABD 和△DBC 均为等边三角形， ∴ ∠ADB＝∠CDB＝60°． ∵ E，F 分别是边 AB，BC 的中点， 　　3．如图，在菱形 ABCD 中，∠A＝60°，连接对角线 BD，E，F 分别是边 AB，BC 的中点，分别连接 DE，DF，EF．求证：△DEF是等边三角形． ∴ ∠BDE＝ ∠BDF＝ AE＝ CF＝ ∴ ∠EDF＝∠BDE＋∠BDF＝60°，AE＝CF． 　　3．如图，在菱形 ABCD 中，∠A＝60°，连接对角线 BD，E，F 分别是边 AB，BC 的中点，分别连接 DE，DF，EF．求证：△DEF是等边三角形． 在△ADE 和△CDF 中， ∴ △ADE≌△CDF（SAS）． ∴ DE＝DF．∴ △DEF 是等边三角形． 菱形 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角 四条边都相等 轴对称图形，对称轴为对角线所在直线 性质 面积 公式 底×高 两条对角线长的积的一半 $