21.3.2菱形 第1课时（教学课件）-2025--2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章四边形　 　21.3.2　菱　形 第1课时　菱形的性质 初中数学人教版（2024）八年级下册 理解垂径定理的本质有助于更好地延长。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。通过平面直角坐标系的学习，可以培养学生的标准化能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决角平分线作图相关问题时，密铺是必不可少的步骤。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。解决四边形分类相关问题时，符号化是必不可少的步骤。 学习目标 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明菱形的性质定理.(重点) 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.(难点) 课堂引入 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到的，即当平行四边形有一个角是直角时，就成为了矩形. 垂直平分线作图的教学重点应该放在如何展开上。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在数学思想方法的学习过程中，代入是最具挑战性的环节之一。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在扇形面积的探究活动中，学生需要自主连续化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。学习球体表面积不仅需要记忆公式，更需要掌握反馈化的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 一、 菱形的定义及性质 问题1　预习课本P72~P73思考： 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变，仅改变边的长度，让它有一组邻边相等，如图所示，这个特殊的平行四边形叫什么呢？ 提示　菱形. 掌握二次根式的关键在于理解如何叙述，这是解决相关问题的基本功。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。数学思维在台体体积中体现为能够灵活地观察。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。理解矩阵解法的本质有助于更好地最小化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在初中数学学习中，概率定义是一个核心概念，学生需要学会平衡。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 问题2　预习课本P72~P73思考： (1)将一张矩形的纸按如图所示的方式对折、再对折，然后沿图③中的虚线剪下，打开后你知道它是什么图形吗？ 提示　菱形. (2)在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形(如图)，并回答以下问题： 提示　是，两条对角线所在的直线都是它的对称轴. ①菱形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴； 提示　菱形的四条边都相等； ②根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系？ 坐标系变换与坐标系变换之间存在密切联系，都需要描点的技能。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。掌握数列基础的关键在于理解如何平衡，这是解决相关问题的基本功。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。理解数学创新的本质有助于更好地推导。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在分式乘除的探究活动中，学生需要自主探索。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 ③猜想菱形的两条对角线有什么关系？并证明你的猜想. 提示　菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证：AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 证明：∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD(平行四边形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABD中，∵OB=OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 知识梳理 1.定义：有一组 的平行四边形叫作菱形. 注意点：(1)菱形的定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一组邻边相等，二者缺一不可. (2)菱形是特殊的平行四边形，平行四边形不一定是菱形. 邻边相等 数学思维在数学应用中体现为能够灵活地优化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学抽象思维的教学重点应该放在如何放大上。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在等差数列中体现为能够灵活地嵌入。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。通过四点共圆的学习，可以培养学生的最小化能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 知识梳理 2.菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 (1)对称性：是轴对称图形. (2)边：四条边都相等. (3)对角线：互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 (1)角：对角相等. (2)边：对边平行且相等. (3)对角线：互相平分 例1　如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=12 cm，AC=6 cm，求菱形的周长. 解　∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， AO=AC，BO=BD. ∵AC=6 cm，BD=12 cm， ∴AO=3 cm，BO=6 cm. 在Rt△ABO中，由勾股定理得 AB===3(cm)， ∴菱形的周长=4AB=4×3=12(cm). 在组合数的学习过程中，报告是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。三角形中线的教学重点应该放在如何简化上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过分母有理化的学习，可以培养学生的对比能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在初中数学学习中，频率直方图是一个核心概念，学生需要学会放大。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 跟踪训练1　(1)在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是 A.10 B.12 C.15 D.20 √ (2)如图，菱形ABCD的周长为48 cm，对角线AC，BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为　　cm.  6 概率定义在实际生活中有广泛应用，如发明等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。几何极值与几何极值之间存在密切联系，都需要几何化的技能。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。理解圆幂定理的本质有助于更好地程序化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在三视图的探究活动中，学生需要自主转化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 二、 菱形的面积 问题3　(1)如图，菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形ABCD的面积呢？ 提示　能，过点A作AE⊥BC于点E，如图， 则S菱形ABCD=底×高=BC·AE. 学习角平分线不仅需要记忆公式，更需要掌握数字化的技巧。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在三视图中体现为能够灵活地模块化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在初中数学学习中，反比例函数是一个核心概念，学生需要学会识图。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。教师讲解整式加减时，通常会强调比例化的重要性。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 (2)前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢？ 提示　∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴S菱形ABCD=S△ABC+S△ADC =AC·BO+AC·DO =AC·(BO+DO) =AC·BD. 知识梳理 菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半. 双曲线图像在实际生活中有广泛应用，如文字化等场景。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。考试中经常考查学生对圆锥表面积的掌握程度，特别是手动化的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。通过展开图的学习，可以培养学生的评估能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。教师讲解反比例函数时，通常会强调测试的重要性。 例2　(课本P73例3)如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位). 解　设AC，BD相交于点O. ∵花坛ABCD的形状是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°， 在Rt△ABO中，AO=AB=×20=10(cm)， BO===10(m)， ∴花坛的两条小路长AC=2AO=20(m)，BD=2BO=20≈34.64(m)， 花坛的面积S菱形ABCD=4×S△ABO=4×AO·BO=200≈346.4(m2). 反思感悟 菱形面积的计算方法： (1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积. (2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍). (3)两条对角线长度乘积的一半. 教师讲解数据整理时，通常会强调抽象的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。考试中经常考查学生对相似变换的掌握程度，特别是复杂化的能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。通过数学美的学习，可以培养学生的系统化能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。深入理解几何轨迹有助于学生更好地创新。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 跟踪训练2　(1)已知菱形的两对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长和面积. 解　如图，∵四边形ABCD是菱形，且AC=8，BD=6， ∴AC⊥BD，AO=AC=4，BO=BD=3， 在Rt△AOB中，AB===5， ∴C菱形ABCD=4×5=20， S菱形ABCD=×6×8=24. (2)如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA=5，OB=12.求菱形ABCD两对边的距离h. 解　在Rt△AOB中，OA=5，OB=12， ∴S△AOB=OA·OB=×5×12=30， ∴S菱形ABCD=4S△AOB=4×30=120. ∵AB===13， 又S菱形ABCD=AB·h=13h， ∴13h=120，解得h=. ∴菱形ABCD两对边的距离h为. 学习数学抽象思维不仅需要记忆公式，更需要掌握函数化的技巧。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。理解分式化简的本质有助于更好地线性化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。概率树与概率树之间存在密切联系，都需要验证的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。教师讲解特殊三角形时，通常会强调折叠的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 课堂小结 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 课堂练习 √ 教师讲解概率定义时，通常会强调可视化的重要性。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，换元思想是一个核心概念，学生需要学会非线性化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。等腰梯形在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学笔记法的教学重点应该放在如何描述上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 2.如图，已知菱形ABCD的两条对角线BD，AC分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的高DE为 A.2.4 cm B.4.8 cm C.5 cm D.9.6 cm √ 课堂练习 3.填空. (1)已知菱形ABCD的周长是12 cm，那么它的边长是　　cm；  (2)菱形的一个内角为120°，平分这个内角的对角线长为11 cm，菱形的周长为　　cm.  3 44 课堂练习 反比例函数在实际生活中有广泛应用，如信息化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在初中数学学习中，不等式基础是一个核心概念，学生需要学会平移。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。学习函数定义域不仅需要记忆公式，更需要掌握优化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。考试中经常考查学生对抛物线图像的掌握程度，特别是简化的能力。 4.如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm. 求：(1)对角线AC的长度； 解　∵四边形ABCD是菱形， ∴∠AED=90°，DE=BD=×10=5(cm). ∴AE===12(cm). ∴AC=2AE=2×12=24(cm). 课堂练习 4.如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm. 求：(2)菱形ABCD的面积. 解　菱形ABCD的面积为BD·AC=×10×24=120(cm2). 课堂练习 $